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培優專練13
1．解：(1)由題意得f ＝ln x－ax＋1的定義域為(0，＋∞)，
則f ′＝－a＝，
當a≤0時，f ′>0，f 在(0，＋∞)上單調遞增，無極值；
當a>0時，令f ′<0，則x>，令f ′>0，則0即f 在上單調遞增，在上單調遞減，故x＝為函數的極大值點，函數極大值為f ＝－ln a，無極小值．
(2)證明：設g(x)＝xex－ln x－x－1，x>0，
g′＝ex－－1，令h＝ex－－1，
則h′＝ex＋>0(x>0)，即h在(0，＋∞)上單調遞增，
h＝－3<0，h＝ee－－1>0，
故 x0∈，使得h＝0，
即＝1，
當x∈時，h<0，g在上單調遞減，
當x∈時，h>0，g在(x0，＋∞)上單調遞增，
故g＝g＝－x0－1＝0，
即g≥0，即xex≥ln x＋x＋1，則ln x＋x＋1≤xex．
2．解：(1)證明：設G＝x－g(x)＝x－sin x，x>0，
則G′＝1－cos x≥0，所以G在區間上單調遞增，
所以G>G＝0，即g(x)設F(x)＝f (x)－x＝ex＋cos x－2－x，x>0，
則F′(x)＝ex－sin x－1，
由x>0時，g(x)－x，
所以F′(x)＝ex－sin x－1>ex－x－1，
設h＝ex－x－1，則h′＝ex－1，
當x>0時，h′>0，所以函數h在區間上單調遞增，
故在區間上，h>h＝0，即在區間上，ex>x＋1，
所以F′(x)>ex－x－1>0，
所以F(x)在區間上單調遞增，
所以F(x)>F(0)＝0，即f >x．
所以g(x)(2)由f ＋g>ax在區間上恒成立，
即ex＋cos x－2＋sin x－ax>0在區間上恒成立，設φ＝ex＋cos x－2＋sin x－ax，
則φ>0在區間上恒成立，
而φ′＝ex－sin x＋cos x－a，
令m＝φ′，則m′＝ex－cos x－sin x，
由(1)知，在區間上，ex>x＋1>sin x＋cos x，
即m′＝ex－cos x－sin x>0，
所以在區間上函數φ′單調遞增，
①當a≤2時，φ′＝2－a≥0，
故在區間上函數φ′>0，
所以函數φ在區間上單調遞增，
又φ＝0，故φ>0，
即函數f ＋g>ax在區間上恒成立；
②當a>2時，φ′＝2－a，
φ′(ln (a＋2))＝a＋2－sin ＋cos [ln (a＋2)]－a＝2－sin >0，
故在區間上函數φ′存在零點x0，
即φ′＝0，
又在區間上函數φ′單調遞增，
故在區間上函數φ′<φ′＝0，
所以在區間上函數φ單調遞減，
由φ＝0，所以在區間上φ<φ＝0，與題設矛盾．
綜上，a的取值范圍為．
1/1培優專練13　隱零點問題
1．(2024·山東威海二模)已知函數f ＝ln x－ax＋1．
(1)求f 的極值；
(2)證明：ln x＋x＋1≤xex．
2．(2024·廣東實驗中學模擬)已知函數f ＝ex＋cos x－2，g＝sin x．
(1)求證：當x∈時，g(x)(2)若x∈，f ＋g>ax恒成立，求實數a的取值范圍．

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