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培優專練16　極值點偏移問題
1．(2024·安徽合肥二模)已知曲線C：f ＝ex－xex在點A處的切線為l．
(1)求直線l的方程；
(2)證明：除點A外，曲線C在直線l的下方；
(3)設f ＝f ＝t，x1≠x2，求證：x1＋x2<2t－－1．
2．(2024·廣東湛江一模)已知函數f ＝．
(1)討論f 的單調性；
(2)若方程f ＝1有兩個根x1，x2，求實數a的取值范圍，并證明x1x2>1．
1/1培優專練16
1．解：(1)因為f ＝ex－xex，
所以f ＝0，f ′＝－xex，f ′＝－e，
所以直線l的方程為y＝－e，即y＝－ex＋e．
(2)證明：令g＝－ex＋e－ex＋xex，則g′＝－e－ex＋ex＋xex＝－e＋xex，
令h＝g′，則h′＝ex，
由h′>0，解得x>－1，由h′<0，解得x<－1，
所以h在上單調遞減，在上單調遞增，
當x→－∞時，h→－e，h＝0，
所以g在上單調遞減，在上單調遞增，
所以g≥g＝0，當且僅當x＝1等號成立，
所以除切點之外，曲線C在直線l的下方．
(3)證明：由f ′＝－xex>0，解得x<0，f ′＝－xex<0，解得x>0，
所以f 在上單調遞增，在上單調遞減，
f (x)max＝f ＝1，f ＝0，
當x→－∞時，f →0．
因為f ＝f ＝t，x1≠x2，則0因為曲線C在點處的切線方程為φ＝－ex＋e，
設點在切線上，有t＝－e，
故x3＝－＋1，
由(1)知x∈時，φ>f ，
則φ>f ＝t＝φ，
即x2要證：x1＋x2<2t－－1，
只要證：x1＋x2只要證：x1<2t－2，
又t＝，
只要證：－2，
令F＝2ex－2xex－x－2，x<0，
則F′＝－2xex－1，
易證F′在上單調遞增，在(－1，0)上單調遞減，
所以F′≤F′＝－1<0，
所以F在上單調遞減，所以F>F＝0成立，
所以原命題成立．
2．解：(1)由題意可得x>0，>0，所以a>0，
f ＝＝的定義域為，
又f ′＝＝－，
由f ′＝0，得x＝1，
當00，則f 在上單調遞增，
當x>1時，f ′<0，則f 在上單調遞減．
(2)由＝1，得＝a，
設g＝，g′＝＝，由g′＝0，得x＝1，
當00，則g在上單調遞增，
當x>1時，g′<0，則g在上單調遞減，
又g＝0，g＝1，且當x趨近于正無窮，g趨近于0，
g＝的圖象如下圖，
所以當0證明：不妨設x1設h＝g－g＝－x，
h′＝＋ln x＝ln x≥0，
所以h在上單調遞增，
又h＝0，所以h＝g－g<0，
即g又g＝g，所以g又x2>1，>1，g在上單調遞減，
所以x2>，故x1x2>1．
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