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專題限時(shí)集訓(xùn)(二)
1．A　[由z(1＋i)＝i2 024，得z＝＝＝＝，
故復(fù)數(shù)z的虛部為－．故選A．]
2．C　[依題意得z＝1－2i，
所以＝＝＝＝－i，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為．
故選C．]
3．B　[由題意知，e1·e2＝1×1×cos 60°＝．
又因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝(e1＋e2)·(xe1＋2e2)＝x|e1|2＋(x＋2)e1·e2＋2|e2|2＝x＋3＝0，故x＝－2．故選B．]
4．C　[∵a＝(3，4)，b＝(1，0)，∴c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
則＝，即＝，解得t＝5．故選C．]
5．A　[在 ABCD中，因?yàn)椋?，＝2＝a，＝b，
所以＝＝＝－a＋b．故選A．
]
6．B　[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則
iz＝i(x＋yi)＝xi＋yi2＝－y＋xi，
|iz|＝|－y＋xi|＝＝，
又|iz|＝1，所以＝1，即x2＋y2＝1，
所以z對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，|z－4＋3i|＝|x＋yi－4＋3i|＝表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(4，－3)的距離，
所以|z－4＋3i|的最小值是－1＝4．
故選B．]
7．A　[由題意＝λ()，當(dāng)λ∈(0，＋∞)時(shí)，如圖，
可知點(diǎn)P在BC邊上的中線所在直線上，
∴動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心．故選A．]
8．C　[＝，由投影的定義知cos ∠PAB即為AP在直線AB上的投影，結(jié)合圖形得，當(dāng)過P的直線與半圓弧BC相切于P點(diǎn)且平行于BC時(shí)，cos ∠PAB最大為3，此時(shí)＝＝2×3＝6．
當(dāng)P與C或B點(diǎn)重合時(shí)，cos ∠PAB最小為2，
此時(shí)＝＝2×2＝4，
∴∈．故選C．]
9．AC　[若a∥b，則2x－4＝0，解得x＝2，故A正確．
若a⊥b，則4x＋2＝0，解得x＝－，故B錯誤．
若x＝3，則a＝(3，1)，又b＝(4，2)，所以向量a與向量b的夾角的余弦值為＝＝，故C正確．
若x＝－1，則a＝(－1，1)，又b＝(4，2)，所以向量b在向量a上的投影向量為＝＝(1，－1)，故D錯誤．故選AC．]
10．ABD　[方程z2－2z＋2＝0，化為(z－1)2＝i2，解得z＝1＋i或z＝1－i．不妨令z1＝1＋i，z2＝1－i，
對于A，顯然z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，即＝z2，A正確；
對于B，z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2，而|z1|＝|z2|＝，則z1z2＝|z1|2，B正確；
對于C，z1＋z2＝2，C錯誤；
對于D，由|z1|＝|z2|＝，得＝＝1，D正確．
故選ABD．]
11．AD　[對于A，＝＝＝)＝，故A正確；
對于B，因?yàn)椋?，所以AB⊥AC，
由題意得E為BC的一個三等分點(diǎn)(靠C點(diǎn)更近)，所以在上的投影向量為，故B錯誤；
對于C，＝＝＝＝，
＝，
故＝＋＋＝＋＋5，
又＝ ＝＋－2＝144，
所以＋＝2＋144＝162，
故＝＋＋5＝41，故C錯誤；
對于D，＝＋＋＝4，
而＋－2＝144 ＝＋)－72，
代入得＋)＝44 ＋＝88，故選項(xiàng)D正確．故選AD．]
12．　[∵|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，
∴a2＋b2－2a·b＝3，a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b，∴a2＝2a·b，∴b2＝3，∴|b|＝．]
13．　[根據(jù)題意，＝(1，1)，＝(0，3)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
又0≤〈〉≤π，
所以向量與的夾角為．]
14．　－　[以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因?yàn)椋溅耍蹋?－λ，μ)，
則所以λ＋μ＝．
因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE：y＝－3x，x∈上，設(shè)F(a，－3a)，a∈，
因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
則＝＋(－3a)＝5－，且a∈，
所以當(dāng)a＝－時(shí)，取到最小值為－．]
1/1專題限時(shí)集訓(xùn)(二)　復(fù)數(shù)、平面向量
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2024·山東菏澤一模)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝i2 024，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為(　　)
A．－ B．
C．－i D．
2．(2024·山西晉城一模)設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1，－2)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知單位向量e1，e2的夾角為60°，且a＝e1＋e2，b＝xe1＋2e2．若a⊥b，則實(shí)數(shù)x的值為(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
4．(2024·遼寧大連模擬)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則實(shí)數(shù)t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
5．(2024·浙江紹興二模)已知四邊形ABCD是平行四邊形，＝2＝2，記＝a，＝b，則＝(　　)
A．－a＋b B．－a－b
C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b
6．(2024·浙江麗水二模)復(fù)數(shù)z滿足|iz|＝1(i為虛數(shù)單位)，則|z－4＋3i|的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
7．已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的(　　)
A．重心 B．外心
C．內(nèi)心 D．垂心
8．(2024·湖北荊門模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為半圓弧BC上的動點(diǎn)(含端點(diǎn))，則的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
二、多項(xiàng)選擇題
9．(2024·湖北武漢模擬)已知向量a＝(x，1)，b＝(4，2)，則(　　)
A．若a∥b，則x＝2
B．若a⊥b，則x＝
C．若x＝3，則向量a與向量b的夾角的余弦值為
D．若x＝－1，則向量b在向量a上的投影向量為()
10．(2024·廣東佛山二模)已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足z2－2z＋2＝0，則(　　)
A．＝z2 B．z1z2＝|z1|2
C．z1＋z2＝－2 D．＝1
11．如圖，在△ABC中，BC＝12，D，E是BC的三等分點(diǎn)，則(　　)
A．＝
B．若＝0，則在上的投影向量為
C．若＝9，則＝40
D．若＝4，則＋＝88
三、填空題
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝__________．
13．已知復(fù)數(shù)1＋i與3i在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量和(其中i是虛數(shù)單位，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則與夾角為________．
14．(2024·天津高考)在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE＝DE，＝λ＋μ，則λ＋μ＝________；F為線段BE上的動點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則的最小值為________．
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