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專題限時集訓(三)　排列、組合、二項式定理、古典概型
一、單項選擇題
1．(2024·安徽合肥模擬)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會互相影響，則不同的選法種數為(　　)
A．20 B．25
C．225 D．450
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2024·江西上饒二模)已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數最大，則展開式中的常數項為(　　)
A．24 B．18
C．12 D．6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2024·福建福州模擬)(1－x)5(1＋2x)4的展開式中x2的系數為(　　)
A．－14 B．－6
C．34 D．74
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．(2024·湖南長沙三模)在(3x＋y－1)8的展開式中，x2y的系數是(　　)
A．168 B．－168
C．1 512 D．－1 512
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(2024·福建廈門三模)某校5名同學到A，B，C三家公司實習，每名同學只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學．若同學甲去A公司，則不同的安排方法共有(　　)
A．18種 B．30種
C．42種 D．60種
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．(2024·四川雅安三模)從0，1，2，3，4五個數字組成的沒有重復數字的四位數中任取一個數，則該數為偶數的概率為(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7．(2024·福建三明三模)各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數學運算一般使用的是十進制，任何進制數均可轉換為十進制數，如八進制數3750轉換為十進制數的算法為(3750)8＝3×83＋7×82＋5×81＋0×80＝2 024．若將八進制數轉換為十進制數，則轉換后的數的末位數字是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8．如圖，A，B，C，D為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色(A與C不相鄰，B與D不相鄰)，則使用2種顏色涂色的概率為(　　)
A． B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多項選擇題
9．(2024·山西臨汾三模)在的展開式中(　　)
A．所有奇數項的二項式系數的和為128
B．二項式系數最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數的和為38
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．若(2x－3)12＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，則(　　)
A．a9＝5 120
B．a0－a1＋a2－…－a9＋a10－a11＋a12＝312
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D．＋…＋＝－1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末進社區義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是(　　)
A．若1班不再分配名額，則共有種分配方法
B．若1班有除勞動模范之外的學生參加，則共有種分配方法
C．若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法
D．若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空題
12．編號為1，2，3，4的四位同學就座于編號為1，2，3，4的四個座位上，每個座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學編號和座位編號一致的坐法種數為________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13．已知的展開式中所有的二項式系數之和為64，則各項的系數的絕對值之和為________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14．(2024·江蘇南通模擬)把甲、乙、丙、丁、戊5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相鄰的兩天，乙、丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有________種．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1專題限時集訓(三)
1．C　[甲的選擇方法有＝15(種)，乙的選擇方法有＝15(種)，所以甲和乙不同的選擇方法有15×15＝225(種)．故選C．]
2．A　[已知的二項展開式中只有第3項的二項式系數最大，則n＝4，從而的二項展開式的通項為Tk＋1＝x4-k＝2kx4-2k(k＝0，1，2，3，4)，
令4－2k＝0，解得k＝2，
所以展開式中的常數項為22＝24．
故選A．]
3．B　[(1－x)5的展開式通項為Tr＋1＝·(－1)r·xr(r＝0，1，2，3，4，5)，
(1＋2x)4的展開式通項為Tk＋1＝·2k·xk(k＝0，1，2，3，4)，
當r＝0，k＝2時，x2的系數為·22＝24，
當r＝1，k＝1時，x2的系數為－5×4×2＝－40，
當r＝2，k＝0時，x2的系數為＝10，
故x2的系數為24＋10－40＝－6．故選B．]
4．D　[原問題可以理解為8個(3x＋y－1)相乘，要想得到x2y，需要8個因式中有2個取x項，1個取y項，還剩5個取常數項，由題意x2y的系數為×(－1)5＝－1 512．故選D．]
5．B　[若只有同學甲去A公司，則共有＝6(種)可能，若除同學甲外還有一名同學去A公司，則共有＝12×2＝24(種)可能，故共有6＋24＝30(種)可能．故選B．]
6．C　[若選擇的4個數中有0，則沒有重復數字的四位數有＝72(個)；
若選擇的4個數中無0，則沒有重復數字的四位數有＝24(個)，所以沒有重復數字的四位數共有72＋24＝96(個)．
若個位數為0，則沒有重復數字的偶數有＝24(個)；
若個位數不為0，則沒有重復數字的偶數有＝36(個)；
所以四位數中沒有重復數字的偶數共有24＋36＝60(個)．
綜上所述，該數為偶數的概率為＝．故選C．]
7．A　[＝＝7×(85＋84＋83＋82＋81＋80)
＝7×＝86－1＝－1
＝×100×(－2)6－1＝×100×(－2)6－1，因為×100×(－2)5]是10的倍數，所以換算后這個數的末位數字即為×100×(－2)6－1的末位數字，
由×100×(－2)6－1＝64－1＝63，知末位數字為3．故選A．]
8．B　[使用4種顏色給四個區域涂色，有＝24(種)涂法；使用3種顏色給四個區域涂色，共有＝48(種)涂法；
(使用3種顏色給四個區域涂色有兩類情況：①區域A與區域C涂同一種顏色，區域B與區域D涂另外2種顏色；
②區域B與區域D涂同一種顏色，區域A與區域C涂另外2種顏色)
使用2種顏色給四個區域涂色，共有＝12(種)不同的涂法．
所以所有的涂色方法共有24＋48＋12＝84(種)，故使用2種顏色給四個區域涂色的概率為＝．故選B．]
9．AB　[對于A，二項式系數和為28，則所有奇數項的二項式系數的和為＝128，故A正確；
對于B, 二項式系數最大為，則二項式系數最大的項為第5項，故B正確；
對于C，Tk＋1＝(－)k＝(0≤k≤8，k∈N)，Tk＋1為有理項，k可取的值為0，3，6，所以有理項共有三項，故C錯誤；
對于D，令x＝1，則所有項系數和為＝1，故D錯誤．故選AB．]
10．BD　[(2x－3)12＝a0＋a1＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，令x－1＝t，則(2t－1)12＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11＋a12t12，
對于A，a9t9＝(2t)9·(－1)3＝－112 640t9，
∴a9＝－112 640，故A錯誤；
對于B，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＋a10－a11＋a12＝312，故B正確；
對于C，令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝1，令t＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a12＝1－1＝0，故C錯誤；
對于D，令t＝，得a0＋＋…＋＝0，∴＋…＋＝－a0＝－1，故D正確．
故選BD．]
11．BD　[對于A，若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個班級至少1個，根據隔板法，有種分配方法，故A錯誤；對于B，若1班有除勞動模范之外的學生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至少1個，根據隔板法，有種分配方法，故B正確；對于C，D，若每個班至少3人參加，由于1班有2個勞模，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，故有＝126(種)，故C錯誤，D正確．故選BD．]
12．6　[由題意4人中選2人出來，他們的編號與座位編號一致，剩下2人編號與座位編號不一致，只有一種坐法，坐法種數為＝6．]
13．729　[由題意得2n＝64，∴n＝6，
設的展開式中各項的系數為a0，a1，a2，…，a6，
則各項的系數的絕對值之和為|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|，
即為中各項的系數的和，
令x＝1，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(1＋2)6＝36＝729，
即各項的系數的絕對值之和為729．]
14．36　[①將乙、丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有＝2(種)情況；
②將這個整體與丁、戊全排列，有＝6(種)安排方法，
③排好后，有4個空位，由于甲、乙安排在不相鄰的兩天，則只能從3個空中任選1個安排甲，有＝3(種)安排方法，
所以不同的安排方案共有2×6×3＝36(種)．]
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