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專題限時集訓(四)　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換
一、單項選擇題
1．(2024·山東濰坊二模)將函數f (x)＝cos x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象，則g(x)＝(　　)
A．sin 2x B．sin
C．－sin D．cos 2x
2．已知函數f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期為π，則f (x)在區間上的最大值為(　　)
A． B．1
C． D．2
3．(2024·新高考Ⅰ卷)當x∈[0，2π]時，曲線y＝sin x與y＝2sin 的交點個數為(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
4．(教材改編)函數f (x)＝－3cos 的單調遞增區間為(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
5．(2025·河北保定模擬)若tan ＝－3，tan β＝3，則＝(　　)
A．－1 B．
C． D．
6．已知函數f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有兩個零點，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
二、多項選擇題
7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，則下列結論正確的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
8．(2024·湖北武漢模擬)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期為π
C．f (x)在內有3個極值點
D．f (x)在區間上的最大值為
三、填空題
9．(2024·江蘇南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，則tan α＋tan β＝________．
10．(2024·北京通州二模)已知函數f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期為π，將f (x)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，則g(x)＝________；若f (x)在區間上有3個零點，則ω的一個取值為________．
四、解答題
11．(2024·浙江臺州一模)已知函數f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)．
(1)當ω＝0時，求f (x)的最小正周期以及單調遞減區間；
(2)當ω＝2時，求f (x)的值域．
12．(2024·山東臨沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函數f (x)＝a·b．
(1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值；
(2)將f (x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象向下平移1個單位長度，最后使所有點的縱坐標變為原來的(橫坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，當x∈時，解不等式g(x)≥．
1/1專題限時集訓(四)　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換
1．B　[將函數f (x)＝cos x的圖象向右平移個單位長度，得y＝cos ＝sin x的圖象，再將所得圖象上的所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得g(x)＝sin ．故選B．]
2．C　[由題意T＝＝π，解得ω＝2，
所以f (x)＝cos ＋1，
當x∈時，t＝2x＋∈，
所以f (x)在區間上的最大值為cos＋1＝，當x＝0時取到最大值．
故選C．]
3．C　[因為函數y＝sin x的最小正周期為T＝2π，
函數y＝2sin 的最小正周期為T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函數y＝2sin 有三個周期的圖象，
在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有6個交點．
故選C．]
4．D　[f (x)＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函數f (x)的單調遞增區間為，k∈Z．
故選D．]
5．B　[由tan ＝－3，得＝－3，
解得tan α＝2，又tan β＝3，
所以＝＝＝＝．
故選B．]
6．A　[因為0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋，
因為函數f (x)＝sin (ω>0)在區間上有兩個零點，
所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4，
即ω的取值范圍是．故選A．]
7．ABD　[由題意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋
整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－．因為θ∈(0，π)，所以sin θ＝，
于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正確．
因為所以θ∈，故A正確；
tan θ＝＝－，故C錯誤；
sin θ－cos θ＝＝，故D正確．
故選ABD．]
8．ABD　[對于A，B，根據函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正確；
對于C，由五點法畫圖知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，則x＝kπ，k∈Z，
當k＝－2時，x＝－；當k＝－1時，x＝－；
當k＝0時，x＝；當k＝1時，x＝；當k＝2時，x＝．故f (x)在內有2個極值點，分別為x＝，x＝，故C錯誤；
對于D，∵x∈，∴2x＋∈，
故當2x＋＝，此時f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正確．故選ABD．]
9．　[由題可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，
所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β，
所以sin ＝sin ，
因為α，β∈，
所以α＋∈，β＋∈，
又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝，
所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－，
兩邊平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，
故sinαcos α＝，
tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．]
10．cos x　6(答案不唯一，符合＜ω≤即可)　[因為f (x)的最小正周期為π，所以T＝＝π，解得ω＝2．
所以f (x)＝sin ，將f (x)的圖象向左平移個單位長度，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的圖象，
再把y＝cos 2x圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，所以g(x)＝cos x．
因為x∈，所以ωx＋∈，
f (x)在區間上有3個零點，
所以3π<≤4π，解得<ω≤，
則ω的一個取值可以為6．]
11．解：　(1)當ω＝0時，f (x)＝sin x＋cos x
＝sin ，T＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函數f (x)的最小正周期為2π，單調遞減區間為(k∈Z)．
(2)當ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
設sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，則sin 2x＝t2－1，
令g(t)＝t2＋t－1，t∈，
又g(t)＝－，
故當t＝時，g(t)取得最大值1＋，
當t＝－時，g(t)取得最小值－，
所以f (x)的值域為．
12．解：　(1)因為a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函數f (x)＝a·b，
所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1，
因為f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝，
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cos2x0＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝－＝．
(2)將f (x)的圖象向右平移個單位長度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的圖象，再將y＝2sin ＋1的圖象向下平移1個單位長度，得到y＝2sin ，
最后將y＝2sin 圖象的所有點的縱坐標變為原來的(橫坐標不變)，得到y＝sin ，
即g(x)＝sin ，
由g(x)≥，即sin ，
所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈，
所以x∈，
即當x∈時，不等式g(x)≥的解集為．
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