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專題限時集訓(五)　解三角形
一、單項選擇題
1．(2024·浙江金華三模)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知A＝，a＝，b＝2，則c＝(　　)
A．
C．3
D．3
2．(2024·福建三明模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知b＝2，B＝，sin A＝sin C，則△ABC的面積為(　　)
A．4 B．
C．2 D．1
3．(2024·湖北武漢模擬)在△ABC中，已知AB＝x，BC＝2，C＝，若存在兩個這樣的△ABC，則x的取值范圍是(　　)
A． B．(0，2)　
C．(2，2) D．(，2)
4．(2024·全國甲卷)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝，b2＝ac，則sin A＋sin C＝(　　)
A．
C．
5．(2024·山東臨沂一模)在同一平面上有相距14 km的A，B兩座炮臺，A在B的正東方．某次演習時，A向西偏北θ方向發射炮彈，B則向東偏北θ方向發射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18 km外的同一目標，接著A改向向西偏北方向發射炮彈，彈著點為18 km外的點M，則B炮臺與彈著點M的距離為(　　)
A．7 km B．8 km
C．9 km D．10 km
6．(2024·河北秦皇島三模)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝2C，b＝a，則(　　)
A．△ABC為直角三角形
B．△ABC為銳角三角形
C．△ABC為鈍角三角形
D．△ABC的形狀無法確定
二、多項選擇題
7．(2024·湖南長沙雅禮中學模擬)已知△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面積S△ABC＝6，則下列結論正確的是(　　)
A．△ABC的周長為5＋
B．△ABC的三個內角A，B，C滿足A＋B＝2C
C．△ABC的外接圓半徑為
D．△ABC的中線CD的長為
8．(2024·江蘇淮安模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是(　　)
A．若sin 2A＝sin 2B，則△ABC為等腰直角三角形
B．若a＝b sin C＋c cos B，則C＝
C．若a＝12，b＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個
D．在銳角三角形ABC中，不等式b2＋c2－a2>0恒成立
三、填空題
9．(2024·山東威海二模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝，b＋c＝4，cos C＝－，則sin A＝________．
10．(2024·廣東廣州模擬)已知△ABC中，點D在邊AC上，B＝60°，sin A＝3sin C，AC＝，則△ABC的面積為________；若＝2，則BD＝________．
四、解答題
11．(2024·黑龍江哈爾濱二模)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝4，＝cos A＋．
(1)求角B的大小；
(2)已知直線BD為∠ABC的平分線，且與AC交于點D，若BD＝，求△ABC的周長．
12．(2024·廣東梅州二模)在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，a cos B－b sin A＝c，c＝2．
(1)求A的大小：
(2)如圖，點D在BC上．
①當AD⊥AB，且AD＝1時，求AC的長；
②當BD＝2DC，且AD＝1時，求△ABC的面積S△ABC．
2/3專題限時集訓(五)
1．D　[由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即13＝4＋c2－2c，解得c＝3(c＝－舍去)．
故選D．]
2．B　[由正弦定理及sin A＝sin C a＝c，
由已知及余弦定理的推論cos B＝，得＝，解得c＝2，故a＝c＝2，
所以S△ABC＝ac sin B＝×2×2×＝．故選B．]
3．C　[由正弦定理＝，可得sin A＝＝，
由題意可知，關于A的方程sin A＝在A∈有兩解，在同一坐標系內分別作出曲線y＝sin A，A∈和水平直線y＝，
因為它們有兩個不同的交點，所以<<1，所以24．C　[因為B＝，b2＝ac，
則由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根據正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，
因為A，C為三角形內角，則sin A>0，sin C>0，則sin A＋sin C＝．故選C．]
5．D　[依題意設炮彈第一次命中點為C，則AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，
∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ，
即182＝182＋142－2×18×14cos θ，解得cos θ＝，
所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ為銳角，解得cos＝(負值舍去)，
在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮臺與彈著點M的距離為10 km．故選D．]
6．A　[由b＝a，可得sin B＝sin A，
又B＝2C，則sin 2C＝sin (π－3C)＝sin 3C＝sin (2C＋C)，
即sin 2C＝sin 2C cos C＋cos 2C sin C，
即2cos C＝2cos2C＋(2cos2C－1)，
即4cos2C－2cosC－＝0，
由B＝2C>C，故C只能為銳角，可得cos C＝，
因為07．BC　[因為△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，所以a∶b∶c＝2∶3∶，
設a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，利用余弦定理的推論，得cos C＝＝＝，
由于C∈(0，π)，所以C＝．
因為S△ABC＝6，所以ab sin C＝×2t×3t×＝6，解得t＝2．
所以a＝4，b＝6，c＝2．
對于A, △ABC的周長為a＋b＋c＝10＋2，故A不正確；
對于B，因為C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正確；
對于C，由正弦定理得外接圓半徑為R＝＝＝，故C正確；
對于D，如圖所示，在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，
又a利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝19，解得CD＝，故D錯誤．故選BC．]
8．BD　[A選項，sin 2A＝sin 2B，A＋B∈(0，π)，
故2A＝2B或2A＋2B＝π，
解得A＝B或A＋B＝，
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；
B選項，a＝b sin C＋c cos B，由正弦定理得sin A＝sin B sin C＋sin C cos B，
因為sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B sin C＋sin C cos B＝sin B cos C＋cos B sin C，
故sin B sin C＝sin B cos C，
因為B∈(0，π)，所以sin B≠0，
故sin C＝cos C，tan C＝1，
因為C∈(0，π)，故C＝，B正確；
C選項，若a＝12，b＝10，B＝60°，則a sin B＝6>10＝b，
則符合條件的△ABC有0個，C錯誤；
D選項，△ABC為銳角三角形，故A為銳角，
由余弦定理的推論得cos A＝>0，故不等式b2＋c2－a2>0恒成立，D正確．
故選BD．]
9．　[在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以c2－b2＝6－2b×，
所以(c－b)(c＋b)＝6＋2b，
因為c＋b＝4，所以4(c－b)＝6＋2b，
所以4c－6b＝6，解得b＝1，c＝3，
由cos C＝－，可得sin C＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
所以sin A＝＝＝．]
10．　[記BC＝a，AB＝c，AC＝b．
由題設及正弦定理得a＝3c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
代入化簡得7c2＝7，解得c＝1，a＝3．
所以S＝ac sin B＝．
法一：由＝2，得＝，
＝＝＝)＝．
所以BD2＝＝
＝＋||||cos 60°＋＝，即BD＝．
法二：在△ABC中，cos A＝＝＝－．
由＝2，得||＝||＝，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A
＝1＋－2×1×＝，所以BD＝．]
11．解：　(1)由已知，得2b cos B＝c cos A＋，
根據正弦定理，得2sin B cos B＝sin C cos A＋，
即2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，
即2sin B cos B＝sin (A＋C)＝sin B，
由于00，所以cos B＝，所以B＝．
(2)因為S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以ac sin ∠ABC＝BD·c·sin ∠ABD＋BD·a·sin ∠CBD，
因為直線BD為∠ABC的平分線，
所以∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝，
所以ac×＝c×a×，
則ac＝(a＋c)，即ac＝(a＋c)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
即16＝a2＋c2－ac，
所以16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)，
解得a＋c＝2或a＋c＝－(舍)，故△ABC的周長為2＋4．
12．解：　(1)因為a cos B－b sin A＝c，
所以由正弦定理可得sin A cos B－sin B sin A＝sin C，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以－sin B sin A＝cos A sin B，
因為B為三角形內角，sin B>0，
所以－sin A＝cos A，可得tan A＝－，
因為A∈(0，π)，所以A＝．
(2)①此時AB＝2＝2AD，AD⊥AB，
所以DB＝＝，
所以cos ∠ABC＝＝，sin ∠ABC＝＝，
sin C＝sin ＝＝－．
在△ABC中，由正弦定理可得＝，即AC＝＝＝．
②設∠CAD＝α，由S△ABC＝S△BAD＋S△CAD，
可得b＝2sin ＋b sin α，
即b－b sin α＝2sin ．
又＝＝，
由于BD＝2DC，
所以＝，
所以b＝＝ sin α＝，b＝，
則S△ABC＝bc sin A＝．
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