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專題限時集訓(六)　等差數列、等比數列
一、單項選擇題
1．(2024·湖南永州三模)已知非零數列滿足2nan＋1－2n+2an＝0，則＝(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
2．(2024·山東大聯考二模)設等差數列的前n項和為Sn，若a5＋a8＝30，S10＝120，則S14＝(　　)
A．156 B．252
C．192 D．200
3．(2024·河南南陽三模)已知等比數列的公比為q，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差數列，則q＝(　　)
A． B．－
C．3 D．－3
4．(2024·天津南開模擬)已知等差數列和的前n項和分別為Sn，Tn，若＝，則＝(　　)
A．
C．
5．(2024·河北廊坊模擬)已知m，n，p，q∈N*，且數列是等比數列，則“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．已知兩個等差數列2，6，10，…及2，8，14，…，200，將這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則數列的各項之和為(　　)
A．1 666 B．1 654　　
C．1 472　　 D．1 460
二、多項選擇題
7．(2024·山東泰安二模)已知等差數列的前n項和為Sn，a2＝4，S7＝42，則下列說法正確的是(　　)
A．a5＝4
B．Sn＝n2＋n
C．為遞減數列
D．的前5項和為
8．已知Sn是等比數列的前n項和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，則(　　)
A．a＋c＝0
B．b是數列的公比
C．ac<0
D．可能為常數列
三、填空題
9．甲、乙兩個機器人分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m．若甲、乙到達對方起點后立即返回，則它們第二次相遇需要經過________分鐘．
10．(2024·山西晉中三模)下面給出一個“三角形數陣”：
　
1 2
3　6
2 4　8　16
…
該數陣滿足每一列成等差數列，每一行的項數由上至下構成公差為1的等差數列，從第3行起，每一行的數由左至右均構成公比為2的等比數列，記第1行的數為a1，第2行的數由左至右依次為a2，a3，依次類推，則a100＝________．
四、解答題
11．(2024·遼寧本溪模擬)設Sn是數列的前n項和，Sn＝2n2－17n．
(1)求的通項公式，并求Sn的最小值；
(2)設bn＝，求數列的前n項和Tn．
12．(2024·江西上饒模擬)數列滿足a1＝，an∈，tan an＋1＝，n∈N*．
(1)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
(2)求正整數m，使得sin a1·sin a2·…·sin am＝．
1/1專題限時集訓(六)
1．D　[由2nan＋1－2n+2an＝0，可得an＋1＝4an，則＝＝64．故選D．]
2．B　[等差數列中，S10＝120，得＝120，則a5＋a6＝a1＋a10＝24，
設等差數列的公差為d，而a5＋a8＝30，
因此2d＝a8－a6＝a5＋a8－(a5＋a6)＝6，解得d＝3，
則a6＋a9＝a5＋a8＋2d＝36，
所以S14＝＝7(a6＋a9)＝252．故選B．]
3．C　[∵a1，a2＋6，a3成等差數列，∴2＝a1＋a3，又a1＋a2＝12，∴2＝a1＋a3，
整理可得3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36，
∴＝＝＝，解得q＝0(舍去)或q＝3．
故選C．]
4．C　[因為Sn，Tn分別是等差數列和的前n項和，
S12＝，T12＝，
又＝，
所以＝＝＝＝．故選C．]
5．B　[設等比數列的公比為b，
若aman＝apaq，則a1bm-1·a1bn-1＝a1bp-1·a1bq-1，因為a1不等于0，
所以bm ＋ n-2 ＝ bp ＋ q-2，若b＝±1時，無法得出m＋n＝p＋q，
所以“aman＝apaq”不是“m＋n＝p＋q”的充分條件；
若“m＋n＝p＋q”，則aman＝a1bm-1·a1bn-1＝bm＋n-2＝bp＋q-2＝a1bp-1·a1bq-1＝apaq，
所以“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的必要條件．
所以“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的必要不充分條件．
故選B．]
6．A．1 666 B．1 654　　
C．1 472　　 D．1 460
A　[由兩個等差數列2，6，10，…及2，8，14，…，200的公共項按從小到大的順序組成一個新數列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17項，是公差為12的等差數列，故新數列的前17項的和為×17＝1 666，即數列的各項之和為1 666．故選A．]
7．BC　[等差數列中，S7＝＝7a4＝42，解得a4＝6，而a2＝4，
因此公差d＝＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2．
對于A項，a5＝7，A錯誤；
對于B項，Sn＝＝n2＋n，B正確；
對于C項，＝1＋為遞減數列，C正確；
對于D項，＝＝，所以的前5項和為
＋…＋＝＝，D錯誤．故選BC．]
8．ABC　[設等比數列的公比為q．
當q＝1時，Sn＝na1，顯然不是Sn＝a·bn＋c的形式，所以D錯誤；當q≠1時，Sn＝＝·qn，
所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝<0，所以ABC正確．故選ABC．]
9．15　[由已知甲每分鐘走的路程成等差數列，設為，則an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
乙每分鐘走的路程為5 m，
因為第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走了210 m，第二次相遇經過的時間設為t分鐘，
則＋5t＝210，
所以t＝15(負值舍去)．]
10．1 792　[由1＋2＋…＋13＝＝91<100，1＋2＋…＋14＝＝105＞100，100－91＝9，知a100是第14行的第9個數．
而每一行的第一個數構成首項和公差均為的等差數列，從而第14行的第一個數是＝7．
又因為從第3行起，每一行的數由左至右成公比為2的等比數列，故第14行的第9個數等于7×29-1＝7×256＝1 792．]
11．解：(1)由數列的前n項和Sn＝2n2－17n，
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝－[2(n－1)2－17(n－1)]＝4n－19．
當n＝1時，a1＝2－17＝－15，滿足上式，
所以數列{an}的通項公式為an＝4n－19，n∈N*．
由an＝4n－19≥0，得n≥，
所以n＝1，2，3，4時，an<0，n≥5時，an>0，
所以Sn的最小值為S4＝4a1＋d＝－36．
(2)由(1)知，當n≤4時，bn＝＝－an；
當n≥5時，bn＝＝an，Sn＝2n2－17n，
當n≤4時，Tn＝－Sn＝17n－2n2．　
當n≥5時，Tn＝－＋a5＋a6＋…＋an＝Sn－2S4＝2n2－17n＋72，
所以Tn＝
12．解：(1)由已知條件可知，cos an>0，
故an＋1∈，tan2an＋1＝＝＝1＋tan2an，
則tan2an＋1－tan2an＝1，
故數列是以1為公差的等差數列，且首項為tan2a1＝tan2＝，
故tan2an＝＋n－1＝，
即tanan＝．
(2)sin a1·sin a2·…·sin am
＝
＝·…·＝＝，
由＝，得m＝3 333．
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