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第24章圓強化訓練-2025-2026學年數(shù)學九年級上冊人教版
一、單選題
1．已知圓的半徑為5，且該圓的圓心到一直線的距離為7，則該直線與圓的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．用一個半徑為20，圓心角為的扇形圍成一個如圖所示的圓錐，則這個圓錐的底面半徑是（　　）
A．6 B．5 C．6π D．5π
3．如圖，是的直徑，點C，D在上．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，是的直徑，弦交于點，，，則的直徑為（　　）
A．5 B．8 C．10 D．
5．如圖，，為的弦，為的直徑，，相交于點E，若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖在中，弦、相交于點P．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，為圓的直徑，點，點是圓上的兩個點，連接，，，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在中，，，半徑為的與交于點，且與相切，過點作交于點，點是邊上動點．則周長最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．在中，，，為外一點，且，則的度數(shù)為 ．
10．將一個母線長為的圓錐模型側面展開后得到一個扇形，已知扇形的圓心角為，則扇形的面積為 ．
11．如圖，已知是的外接圓，，則 ．

12．已知，則的最大值為 ．
13．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原產(chǎn)地，生產(chǎn)的瓷器聞名四方，遠銷世界各地．如圖是醴陵生產(chǎn)的某種瓷碗的正面的形狀示意圖．是的一部分，D是的中點，連接，與弦交于點C，連接．已知，碗深，則的半徑為 ．
14．如圖，是的直徑，點，在上，，，垂足分別為點．若，則的長為 ．
15．如圖1，把圓形井蓋卡在角尺（角的兩邊互相垂直，一邊有刻度）之間即圓與兩條直角邊相切，現(xiàn)將角尺向右平移，如圖2，邊與圓的兩個交點對應的長為，則可知井蓋的半徑是 ．
16．如圖，正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點．已知，則圖中陰影部分的面積為 ．
三、解答題
17．如圖，是半圓的直徑，，是半圓上的兩點，，與交于點，若．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，，求扇形的面積．
18．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，
(1)畫出關于x軸對稱的，并寫出點的坐標；
(2)畫出繞點O順時針旋轉后得到的，并寫出點的坐標；
(3)在（2）的條件下，求在旋轉過程中所掃過的面積（結果保留）
19．如圖，為內接三角形，為直徑，點在線段延長線上，線段過點，且交于，．
(1)若，求的大小；
(2)若，求弧、線段、圍成的陰影部分的外圍周長．
20．如圖，在正方形中，點P，點Q分別在邊和上，連接交對角線于點E，將正方形沿折疊，使點A落在邊上的點F處，點D落在點G處，交于點H．
(1)求證：；
(2)求證：A，E，H三點共線；
(3)設正方形的面積為，面積為，求的最小值．
21．如圖，是一個木制的圓形鍋蓋，上面用兩根橫木進行加固，中間有一個木把手，這種木制鍋蓋物美價廉，使用者不容易被燙傷，極大地方便人們的生活如圖是木制圓形鍋蓋的示意圖，橫木，木把手在的直徑上，，都與垂直且將三等分，求這個圓形鍋蓋的半徑大約是多少？結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
22．如圖，在中，，D為邊上的點，以為直徑作，連接并延長交于點E．連接．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，若，求的長．
《第24章圓強化訓練-2025-2026學年數(shù)學九年級上冊人教版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C C A B A
1．A
【分析】本題考查直線與圓的位置關系，掌握相關知識是解決問題的關鍵．通過比較半徑與圓心到直線的距離即可判斷．
【詳解】解：∵圓的半徑為5，且該圓的圓心到一條直線的距離為7，
，
∴直線與圓相離，
∴直線與圓沒有交點．
故選：A．
2．A
【分析】設這個圓錐的底面半徑為r，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到，然后解方程即可．本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
【詳解】解：設這個圓錐的底面半徑為r，
根據(jù)題意得，
解得，
即這個圓錐的底面半徑是6．
故選：A．
3．C
【分析】本題考查圓周角定理，連接，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：連接，如圖所示，
，
，
，
，
，
故選：C．
4．C
【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先整理得出，故，得，即，設，則，運用勾股定理列式代入數(shù)值得，解得．即可作答．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵
∴
，
∴
，
，
，
．
設，
則，
在中，，
即，
解得．
的直徑．
故選：C．
5．C
【分析】本題考查了圓周角定理及推論，三角形內角和定理．根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)得，可得，據(jù)此計算即可得．
【詳解】解：∵是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
6．A
【分析】本題主要考查圓周角，三角形外角的性質．根據(jù)題意可得，然后根據(jù)三角形外角的性質可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故選：A．
7．B
【分析】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)直角三角形的性質求出，再根據(jù)圓內接四邊形的性質求出即可求解，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
為圓的直徑，
，
，
四邊形為圓的內接四邊形，
，
，
故選：．
8．A
【分析】本題考查了切線的性質與判定、勾股定理以及軸對稱的最短路線問題，延長交于點，連接，交于點，則．此時的值最小，即的周長最小，求此時的周長即可．
【詳解】解：如圖，延長交于點，連接，交于點，則．
此時的值最小，即的周長最小
設與相切于，連接，
則，
，
，
；
，為的半徑，
是的切線，
連接，則
，
，
，
，
解得：，
，
周長最小值為，
故選：A．
9．或
【分析】本題考查圓的定義，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，以點A為圓心，長為半徑作圓，可知點在圓A上，分兩種情況：點D在優(yōu)弧上時，和點在劣弧上時，分別計算即可．
【詳解】解：以點A為圓心，長為半徑作圓，
∵，
∴點在圓A上，
∵，
∵點D為形外一點，
當點D在優(yōu)弧上時，
∴，
當點在劣弧上時，
∴，
故答案為：或．
10．
【分析】本題考查了圓錐的側面展開圖、扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關鍵．先根據(jù)圓錐的側面展開圖可得扇形的半徑為，再利用扇形的面積公式計算即可得．
【詳解】解：∵將一個母線長為的圓錐模型側面展開后得到一個扇形，
∴這個扇形的半徑為，
又∵扇形的圓心角為，
∴扇形的面積為，
故答案為：．
11．/25度
【分析】本題考查了圓的基本概念，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，由題意可得，推出，利用三角形內角和定理求出，進而得到，再根據(jù)，利用三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：由題意可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
12．
【分析】本題考查了圓與直線的位置關系，解題的關鍵是掌握相關知識．根據(jù)的最大值就是方程所代表的圓周上的點到坐標原點的距離最大值的平方，即可求解．
【詳解】解： 連接坐標原點與圓心所得的直線與圓的交點、，
則時，取最小，當時，取最大，
原點與圓心的距離半徑，
，
故答案為：．
13．13
【分析】本題考查弧，弦，角之間的關系，三線合一，勾股定理，根據(jù)D是的中點，得到，三線合一，得到，，設半徑為，在中，利用勾股定理，進行求解即可．
【詳解】解：∵是的一部分，D是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，，
設的半徑為，則：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故答案為：13．
14．9
【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質，并靈活應用．
利用垂徑定理得出，，證明，得出，假設半徑為，則，，利用勾股定理列出方程進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
假設半徑為，則，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴，
∴，
故答案為：9．
15．
【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關鍵．過圓心P作，交圓P于E，交于F，得到，設圓P的半徑為r ，則 ，在中，，即，解方程即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過圓心P作，交圓P于E，交于F，
則，
設圓P的半徑為r ，則
在中，，即，
解得：，
則井蓋的半徑是，
故答案為：
16．/
【分析】連接，根據(jù)已知條件得到是的直徑，，根據(jù)切線的性質得到，得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴是的直徑，，
∵分別與相切于點A和點D，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積
故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質，切線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
17．(1)
(2)
【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、扇形的面積以及勾股定理，注意得到，應用垂徑定理是關鍵．
（1）由，，可求得的度數(shù)；由是半圓的直徑， 根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”，可求得，又由，證得，然后由“垂徑定理”求得，最后根據(jù)圓周角定理求得的度數(shù)；
（2）由“垂徑定理”可求得的長，設，則， 在中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可得到的長，再利用扇形面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：，，
，
，
是圓的直徑，
，
，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
設，則，
在中，，
即， 解得，
即，
扇形的面積為： ．
18．(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
(3)
【分析】本題是三角形綜合題，考查作圖-旋轉變換、作圖-軸對稱變換、扇形面積，熟練掌握旋轉的性質、軸對稱的性質、扇形面積公式是解答本題的關鍵．
（1）根據(jù)軸對稱的性質作圖即可．
（2）根據(jù)旋轉的性質作圖，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出的長，再利用扇形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求，
點的坐標為；
（2）解：如圖，即為所求；
點的坐標為；
（3）解：由勾股定理得，，
在旋轉過程中所掃過的面積為．
19．(1)
(2)
【分析】（1）連接，則，由，，推導出，由交于，得，求得，而，則，求得；
（2）由，得，由，得，，則，所以，則，，求得，而，則陰影部分的外圍周長為．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，則，
，
，，
，
交于，
，
，
，
，
，
，
即的大小為；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，，
，，
，
，
即弧、線段、 圍成的陰影部分的外圍周長為．
【點睛】本題考查的是同角的補角相等、三角形內角和定理、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、弧長公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．
20．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)的最小值為
【分析】本題主要考查了正方形的性質、折疊的性質、平行四邊形的判定與性質、圓的性質等知識點，綜合運用所學知識成為解答本題的關鍵．
（1）作，交于點W，結合正方形及折疊性質證明，即可證明結論；
（2）作于點W，連接，設交于點，先證明，再證明，證明點A、B、F、共圓即可證明結論；
（3）作于點W，作的外接圓O，連接，作于點V，設，則，求出及，當A、O、V共線時a最小，即可求出結論．
【詳解】（1）證明：如下圖，作，交于點W，
∵正方形沿折疊，使點A落在邊上的點F處，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴ ，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：如下圖，作于點W，設交于點，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
，
∵正方形沿折疊，使點A落在邊上的點F處，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴點A、B、F、共圓，
，
點在上，即點E與點重合，
∴A，E，H三點共線；
（3）解：如下圖，作于點W，作的外接圓O，連接，作于點V，
設，
則正方形的面積為，
，
，
，
，
，
，即a最小值為，此時A、O、V共線，
，
∴的最小值為．
21．
【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理，全等三角形的判定，關鍵是由勾股定理列出關于的方程．連接，由垂徑定理推出，判定，推出，設這個圓形鍋蓋的半徑是，得到，由勾股定理得到，求出，于是得到答案．
【詳解】解：連接，
直徑，
，
，
，
，
，
將三等分，
，
設這個圓形鍋蓋的半徑是，
，
，
，
，
（負值舍去）．
答：這個圓形鍋蓋的半徑大約是．
22．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．
（1）連接，則，由，得，而，則，即可證明是的切線；
（2）由勾股定理得，而，所以，解得，則，如圖，過點E作于點F，利用三角形的面積公式求得的長，然后利用勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）解：連接，則，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，且，
是的切線；
（2），
，
，
，
，
解得，
，
如圖，過點E作于點F，連接，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
（負值舍去），
，
在中，，
，
（負值舍去），
的長是．
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