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第5章一元一次方程強化訓練-2025-2026學年數(shù)學七年級上冊北師大版（2024）
一、單選題
1．式子，，，，，，，，中是一元一次方程的有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知每個人做某項工作的效率相同，m個人做d天可以完成，若增加r人，則完成工作所需的天數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．已知等式，則下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某同學在解方程去分母時，方程右邊的沒有乘以2，因而求得方程的解為，則a的值和方程的正確的解分別是多少？( )
A． B． C． D．
5．如果是關于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．或
6．解方程 時，去括號正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．《孫子算經》中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？該題意思是：今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？若設有x輛車，則可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．A、兩港口之間的水流速度為，某輪船在靜水中的速度為，已知該輪船在、兩港口之間往返一次的時間為，設、兩港口之間的距離為，則有（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．已知是關于的一元一次方程，則其解是 ．
10．關于的方程的解為正整數(shù)，則的值為 ．（為整數(shù)）.
11．若關于的方程是一元一次方程，則 ．
12．輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時，若船速為26千米/小時，水速為2千米/時，則A港和B港相距 千米．
13．利民超市在國慶節(jié)期間進行了如下購物優(yōu)惠活動：若一次性購物不超過元，則不予優(yōu)惠；若一次性購物超過元，則按全額的折優(yōu)惠．某顧客第一次購物付款元，第二次購物付款元．如果將這兩次購物合并成一次性購物，那么該顧客付款時可以節(jié)省 元．
14．若*是規(guī)定的運算符號，設，則在中，x的值是 ．
15．如果是方程的解，則 ．
16．如圖，長度為的線段的中點是點，點在線段上，且，則線段的長為 ．
三、解答題
17．解下列方程．
(1)；
(2)．
18．已知，．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
19．新定義：如果有理數(shù)m，a，b滿足條件，那么m稱為a與b的“對稱數(shù)”．如：，3稱為5.5與0.5的“對稱數(shù)”．
(1)下列關于“對稱數(shù)”的說法正確的是________（填序號）．
①4.5是3與6的“對稱數(shù)”；
②與3的“對稱數(shù)”是0；
③1是與3的“對稱數(shù)”．
(2)若5是3與x的“對稱數(shù)”，則________；與6的“對稱數(shù)”是________．
(3)若m是a與b的“對稱數(shù)”，也是c與d的“對稱數(shù)”，寫出一個a，b，c，d之間始終成立的相等關系．
20．服裝廠要生產一批某型號套裝，已知每5米長的布料可做上衣2件或褲子5條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用米長的這種布料生產套裝．
(1)請問用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做褲子？
(2)某商場以每套元的價格購進了這批服裝，定價為每套元，但在運輸?shù)倪^程中，由于司機的疏忽丟失了一包服裝，共計套，商場想盡快賣完這批服裝，計劃打折出售，全部售出后利潤率是，求商場計劃打幾折出售？
21．如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)是8．若動點從原點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動；同時另一動點從點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為（秒）．
(1)當時，求點到原點的距離；
(2)當時，求點到原點的距離；
(3)當點到原點的距離為4時，求點到原點的距離．
22．如圖1，已知數(shù)軸上的點A對應的數(shù)是a，點B對應的數(shù)是b，且滿足．
(1)求數(shù)軸上到點A、點B距離相等的點C對應的數(shù)
(2)動點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，設運動時間為t秒，問：是否存在某個時刻t，恰好使得P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由
(3)如圖2，在數(shù)軸上的點M和點N處各豎立一個擋板（點M在原點左側，點N在原點右側），數(shù)軸上甲、乙兩個彈珠同時從原點出發(fā)，甲彈珠以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向左運動，乙彈珠以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動．當彈珠遇到擋板后立即以原速度向反方向運動，若甲、乙兩個彈珠相遇的位置恰好到點M和點N的距離相等．試探究點M對應的數(shù)與點N對應的數(shù)是否滿足某種數(shù)量關系，請寫出它們的關系式，并說明理由．
《第5章一元一次方程強化訓練-2025-2026學年數(shù)學七年級上冊北師大版（2024）》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C C B B D
1．A
【分析】本題考查了一元一次方程的定義“只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程”，熟練掌握一元一次方程的定義是解題關鍵．根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可得．
【詳解】解：中，不是整式，則不是一元一次方程；
中，不含有未知數(shù)，則不是一元一次方程；
中，的次數(shù)是2，則不是一元一次方程；
不是等式，則不是一元一次方程；
中，不含有未知數(shù)，則不是一元一次方程；
中，含有兩個未知數(shù)，則不是一元一次方程；
中，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，等號兩邊都是整式，則是一元一次方程；
中，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，等號兩邊都是整式，則是一元一次方程；
不是等式，則不是一元一次方程；
綜上，在這些式子中，是一元一次方程的有2個，
故選：A．
2．C
【分析】本題考查工程問題，列代數(shù)式，設每個人的工作效率均為1，根據(jù)工作時間等于工作總量除以工作效率，進行求解即可．
【詳解】解：設每個人的工作效率均為1，由題意，得
完成工作所需的天數(shù)為．
故選C．
3．C
【分析】本題主要考查了等式的性質，等式的性質：①等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；②等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．
根據(jù)等式的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：A、在等式的兩邊同時加上1得，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、在等式的兩邊同時減去1得，在等式的兩邊同時乘3得，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、在等式的兩邊同時乘6得，原變形正確，故此選項符合題意；
D、在等式的兩邊同時乘6得，原變形錯誤，故此選項不符合題意．
故選：C．
4．C
【分析】本題考查了一元一次方程的解法及錯解還原問題，解題的關鍵是根據(jù)“去分母時右邊未乘2”的錯誤操作，先列出錯誤方程，再將錯解代入求出a的值，最后代入原方程計算正確解．
先根據(jù)錯誤操作（去分母時右邊不乘2）寫出錯誤方程；將錯解代入錯誤方程，求出a的值；再把a的值代入原方程，按正確步驟（去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1）求解，最后匹配選項．
【詳解】解：由原方程去分母時右邊未乘2，得．
∵錯解滿足錯誤方程，
∴代入得，
即，解得．
將代入原方程，
去分母得，
移項合并得，解得．
綜上，，正確的解，對應選項C．
故選：C．
5．C
【分析】解題的關鍵是根據(jù)一元一次方程的定義．此類題目可嚴格按照定義解題．若一個整式方程經過化簡變形后，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，則這個方程是一元一次方程．
【詳解】解：由一元一次方程的特點得，
即，或，
解得：或．
故選：C．
6．B
【分析】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關鍵．去括號時，一是注意不要漏乘括號內的項，二是明確括號前的符號．根據(jù)乘法分配律先將2乘進去即可．
【詳解】解：
去括號，得，
故選∶B．
7．B
【分析】本題考查了一元一次方程解實際問題．根據(jù)總人數(shù)不變，分別表示出每3人乘一車，每2人共乘一車時的總人數(shù)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意列方程得，
故選：B．
8．D
【分析】此題主要考查了一元一次方程的實際應用，正確表示出輪船的速度是解題關鍵，直接根據(jù)題意得出順水速和逆水速，進而得出答案．
【詳解】解：設、兩港口之間的距離為，則有：．
故選：D．
9．
【分析】本題考查了一元一次方程的定義，解一元一次方程，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
把原方程可化為，根據(jù)一元一次方程的定義可得，然后代入得到，最后解方程即可．
【詳解】解：原方程可化為，
∵此方程是關于的一元一次方程，
∴，
解得，
∴原方程可化為，
解得，
故答案為：．
10．4或8
【分析】先通過移項、合并同類項將方程化為用含的式子表示的形式，再根據(jù)解為正整數(shù)確定的值．本題主要考查了一元一次方程的解法及整數(shù)解的應用，熟練掌握一元一次方程的變形求解和根據(jù)整數(shù)解確定參數(shù)值的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：
則．
∵方程的解為正整數(shù)，
∴是的正因數(shù)．
的正因數(shù)有和．
當時，，此時，是正整數(shù)．
當時，，此時，是正整數(shù)．
故的值為或 ，
故答案為：或．
11．
【分析】本題考查了一元一次方程的定義“只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程”，熟記一元一次方程的定義是解題關鍵．根據(jù)一元一次方程的定義可得，，由此即可求解．
【詳解】解：∵關于的方程是一元一次方程，
∴，，
∴，
故答案為：．
12．504
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，設A港和B港相距x千米，根據(jù)行船問題公式可知，順水速度較快，所用時間較少，所以利用行程問題公式，列方程為：，解方程即可．
【詳解】解：設A港和B港相距x千米，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A港和B港相距504千米．
故答案為：504．
13．或
【分析】本題考查了一元一次方程的應用．能夠分析出第二次購物可能有兩種情況，進行討論列方程是解決本題的關鍵．
對第二次購物消費金額分金額小于元，金額大于等于元，兩種情況分別進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴第一次購物付款元，沒有優(yōu)惠，
當?shù)诙蜗M金額小于元時，此時第二次購物沒有優(yōu)惠，
如果將這兩次購物合并成一次性購物，總價為元，顧客付款時可以節(jié)省元，
當?shù)诙蜗M金額大于等于元時，第二次享受了優(yōu)惠，設為第二次消費金額，
即：，解得；
如果將這兩次購物合并成一次性購物，總價為元，顧客付款時可以節(jié)省元，
如果將這兩次購物合并成一次性購物，那么該顧客付款時可以節(jié)省或元．
故答案為或．
14．
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算以及解一元一次方程的方法，根據(jù)，，可得，據(jù)此求出x的值是多少即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案為：．
15．
【分析】本題主要考查已知一元一次方程的解，求參數(shù)；把代入方程中，計算求解即可．
【詳解】解：∵是方程的解，
∴，
，
，
．
故答案為：．
16．
【分析】本題考查的知識點是線段中點的有關計算、線段的和與差、一元一次方程的實際應用，解題關鍵是熟練掌握線段中點的有關計算．
先由中點的定義求出，的長，再根據(jù)的關系，求的長，最后利用得其長度．
【詳解】解：線段的中點為，
，
，，
設，則，
，
解得，
即，
．
故答案為：．
17．(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次方程的步驟．
（1）利用解一元一次方程的步驟進行求解即可；
（2）利用解一元一次方程的步驟進行求解即可．
【詳解】（1）解：，
移項、合并同類項，得，
將系數(shù)化為，得；
（2）解：
去分母，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得，
將系數(shù)化為，得．
18．(1)2或
(2)
【分析】此題主要考查了絕對值以及有理數(shù)的乘法，正確分類討論是解題關鍵．
（1）直接利用絕對值的性質得出a，b的值，進而得出答案；
（2）直接利用絕對值的性質得出a，b的值，進而得出答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴a，b異號，
當，時，，
當，時，，
綜上，或；
（2）解∶ ∵，
∴，
當，時，，
當，時，，
綜上，．
19．(1)①②
(2)7，2
(3)
【分析】本題考查絕對值方程的應用，數(shù)軸上兩點之間的距離，正確理解新定義并靈活應用是解題的關鍵．
（1）根據(jù)“對稱數(shù)”的定義逐項判斷即可；
（2）根據(jù)“對稱數(shù)”的定義分別列方程求解即可；
（3）根據(jù)“對稱數(shù)”的定義得到，，然后得到在數(shù)軸上，a，b到m的距離相等，且，c，d到m的距離相等，且，進而求解即可．
【詳解】（1）解：①∵，，
∴4.5是3與6的“對稱數(shù)”，故①正確；
②∵，，
∴與3的“對稱數(shù)”是0，故②正確；
③∵，，
∴1不是與3的“對稱數(shù)”，故③錯誤；
∴正確的是①②；
（2）解：∵5是3與x的“對稱數(shù)”
∴
∴
∴或
∴或（舍去）；
設與6的“對稱數(shù)”是y
根據(jù)題意得，
∴
∴或
∴（舍去）或；
（3）解：因為m是a與b的“對稱數(shù)”，也是c與d的“對稱數(shù)”，
所以，，
所以在數(shù)軸上，a，b到m的距離相等，且，c，d到m的距離相等，且，
所以，，
所以．
20．(1)
(2)九二折
【分析】本題考查一元一次方程的應用，打折銷售，掌握相關知識是解決問題的關鍵．
（1）設用x米的布料做上衣，米的布料做褲子，根據(jù)“一件上衣和一條褲子為一套”為等量關系列方程求解即可；
（2）先計算出銷售總額，再計算銷售單價，然后求折扣率即可．
【詳解】（1）解：設用x米的布料做上衣，米的布料做褲子，
，
解得，
米，
答：用400米的布料做上衣，160米的布料做褲子；
（2）解：套，
成本：元，
銷售額：元，
單價：元，
，
答：商場計劃打九二折出售．
21．(1)6
(2)2
(3)2或6
【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，兩點間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關鍵．
（1）計算出點Q運動的路程，即可解答；
（2）計算出點Q的運動路程，即可解答；
（3）分兩種情況，點在還沒達到原點，點Q到點O的距離為4；到達原點后返回時，與點O的距離為，再計算時間，即可得到點到點O的距離，即可解答．
【詳解】（1）解：∵動點P從原點O出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點Q從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，
∴當時，，
∵在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，
∴，
∴，
∴當時，點到原點的距離為6；
（2）解：∵動點Q從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，
∵在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8，
∴，
，
∴時點Q到達原點，然后開始向右運動，
∴當時，點向右運動了得，此時點到原點的距離為；
（3）解：當時，
或，
或，
當時，；
當時，．
22．(1)點C對應的數(shù)為
(2)或
(3)或
【分析】（1）根據(jù)已知等式，利用非負數(shù)的性質求出a與b的值，設C點對應的數(shù)為x，表示出與，根據(jù)求出xx的值，即可確定出點C對應的數(shù)；
（2）表示出P點對應的數(shù)，進而表示出與，根據(jù)求出t的值即可；
（3）根據(jù)甲的速度大于乙的速度，分兩種情況考慮：①甲、乙均反彈之后在中點相遇，設點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，則M、N的中點對應的數(shù)為，根據(jù)甲、乙兩個彈珠相遇的位置恰好到M點和N點的距離相等列出關系式即可；甲反彈乙沒反彈在中間相遇，同理可得關系式．
【詳解】（1）解：∵，
，，
設點C對應的數(shù)為x，
∵點C到點A、點B距離相等，
∴，
∴，
解得：，
點C對應的數(shù)為；
（2）由題意得P點對應的數(shù)為，，，
∵，
∴，
當時，；
當時，；
∴當或時，P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍；
（3）解： 設點M對應的數(shù)為m，點N對應的數(shù)為n，運動時間為t，根據(jù)甲的速度大于乙的速度，分兩種情況考慮：
①甲、乙均反彈之后在中點相遇，
則M、N的中點對應的數(shù)為，
∴，，
∴，，
∴，
整理得；
②甲反彈乙沒反彈在中點相遇，
則，，
∴，
整理得．
∴綜上，m與n的關系式為或．
【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，以及非負數(shù)的性質，一元一次方程的應用，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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