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課件15張PPT。“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的思考與實(shí)踐一、引發(fā)思考的兩個(gè)案例
1. 關(guān)于函數(shù)最值概念的一些調(diào)查
緣起
調(diào)查及結(jié)果
另外一次調(diào)查及結(jié)果
對調(diào)查結(jié)果的初步反思
1.1 調(diào)查的緣起現(xiàn)實(shí)課堂中對“函數(shù)最值”內(nèi)容的教學(xué)教師一般采用類型系統(tǒng)歸納講解式的教學(xué)方法，如果說有什么變化的話，就是將“教師歸納講解”任務(wù)讓學(xué)生去歸納，去完成。
高三三角函數(shù)最值內(nèi)容的復(fù)習(xí)，由于先前已經(jīng)復(fù)習(xí)了函數(shù)最值內(nèi)容，所以我一是讓學(xué)生自己小結(jié)三角函數(shù)最值的基本類型和基本方法，二是給出一個(gè)綜合性的最值題讓學(xué)生完成（具體內(nèi)容在后面分析）。
學(xué)生的小結(jié)完整而又不乏主見，完成得十分出色。布置的題目全班58個(gè)同學(xué)，用近十條途徑求得了最值，但全對的，僅有11個(gè)同學(xué)，主要問題是解答過程不完整。
學(xué)生基本類型和方法歸納得這么完整，為什么在具體實(shí)踐中卻有這么多的問題，這些都不能簡單地把原因歸結(jié)為“粗心”，“學(xué)生不認(rèn)真”，“學(xué)生笨”等等。所以我有了在學(xué)生中進(jìn)行“函數(shù)最值概念”調(diào)查的想法。1.2 調(diào)查及結(jié)果調(diào)查形式和內(nèi)容：班級共58人，每人發(fā)給一個(gè)小紙片，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解（不查閱資料），用自己的語言寫出以下兩個(gè)問題的答案：⑴ 什么是函數(shù)的最大值和最小值？ ⑵ 你求函數(shù)最大值、最小值的依據(jù)是什么？
對于第一個(gè)問題，以下是學(xué)生寫上來的部分結(jié)果：⑴ x取什么值時(shí)，y有最大或最小；⑵ x的最大范圍；⑶ 函數(shù)的頂點(diǎn)；⑷ x在一定范圍內(nèi)，y取最大或最小；⑸ 在函數(shù)的圖象中，表示最低點(diǎn)或最高點(diǎn)相應(yīng)的y值；⑹ 導(dǎo)數(shù)為零的y值最大或最小；⑺ x在某一范圍內(nèi)變化時(shí)y的最大值和最小值；⑻ 在函數(shù)中，x為某一值，y有最大值；⑼ 二次函數(shù)中，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值；⑽ 值域中的最大值和最小值；⑾ 如果f(x)小于等于A，則A是最大值；⑿函數(shù)在一定范圍內(nèi)存在的最大（小）的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最大（小）值；⒀ 最大值、最小值是指函數(shù)在定義域內(nèi)所有極值中的最大值與最小值；⒁ 在給定區(qū)間內(nèi)，在直角坐標(biāo)系中所能找到的最高的點(diǎn)；⒂ 函數(shù)在定義域內(nèi)可達(dá)到最大值與最小值……。
對于第二個(gè)問題，學(xué)生絕大部分從求最值方法的角度來回答，如回答：圖像法、比較法、求導(dǎo)、作圖、由單調(diào)性判斷……。
1.3 在高一學(xué)生中的調(diào)查
在高一涉及函數(shù)最值問題教學(xué)時(shí)，我也進(jìn)行了一個(gè)簡單的調(diào)查，問題是：請大家講講什么是函數(shù)的最大值和最小值？下面是學(xué)生的回答：①x的最大范圍；②函數(shù)的頂點(diǎn)；③x在一定范圍內(nèi)，y取最大或最小；④在函數(shù)的圖象中，表示最低點(diǎn)或最高點(diǎn)相應(yīng)的y值；⑤在函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)y的最大值；⑥在二次函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)y有最大值；在函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)，x為某一值，y有最大值；⑦二次函數(shù)中，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值；⑧二次函數(shù)中，圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值。
1.4 對調(diào)查結(jié)果的思考這一調(diào)查結(jié)果，首先是讓人大吃一驚，學(xué)生對最值概念認(rèn)識(shí)會(huì)如此膚淺。其次，從調(diào)查中我們可以發(fā)現(xiàn)，對很多高三學(xué)生而言，他們求最值的策略是“機(jī)械模仿”，說得難聽點(diǎn)就是閉著眼睛套方法。第三，很多高一學(xué)生沒有建立起正確的二次函數(shù)最值概念，即使有正確的二次函數(shù)最值概念，也沒有實(shí)現(xiàn)對一般函數(shù)最值概念的遷移。在這樣的事實(shí)下，我們傳統(tǒng)的“類型系統(tǒng)歸納講解式”教學(xué)方法是否存在一定的不足值得我們反思。2. 題“已知函數(shù)y=logm(x2+ax+1)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍”背后的一些調(diào)查和事實(shí)。
問題背景
一些事實(shí)
學(xué)生的疑惑2.1 背景簡介與上述題目類似的問題散見于各類高中數(shù)學(xué)課外資料之中，但大部分學(xué)生特別是高一的學(xué)生難以獨(dú)立解答這類問題，面對詳細(xì)的解答過程，學(xué)生也不易理解，即使教師給予多次一般性的解釋，學(xué)生也常常是似懂非懂，疑惑不斷，重復(fù)錯(cuò)誤不斷。每一屆學(xué)生都如此。
面對上述情況，教師一般有兩種態(tài)度：一是責(zé)備學(xué)生不認(rèn)真，多次講解仍不會(huì)；二是教師反思自己教學(xué)，然后精心準(zhǔn)備，為學(xué)生排難解惑。2.2 一個(gè)事實(shí)
同樣的題目給高三的學(xué)生做，錯(cuò)誤率會(huì)大大降低，而且對老師的解釋也較為容易理解。這又是為什么呢？2.3 學(xué)生的疑惑在簡單的問答調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對解答最大的不理解是：為什么不用考慮定義域？
上述調(diào)查結(jié)果為后續(xù)的教學(xué)決策提供了第一手資料和事實(shí)依據(jù)。二、幾個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中的事實(shí)
1.一個(gè)公認(rèn)的客觀事實(shí)及常見處理
事實(shí)：好教案并不能保證一定有一堂好課。
原因：“好教案并不能保證一定有一堂好課”因素很多，但較為一致的觀點(diǎn)是不同的教師水平和學(xué)生基礎(chǔ)。
措施：如果學(xué)生基礎(chǔ)差，則在原教案的基礎(chǔ)上，降低題目難度，減少題目數(shù)量；如果學(xué)生基礎(chǔ)好，則在原教案的基礎(chǔ)上，增加題目難度，增加題目數(shù)量。教案改進(jìn)的重心：題的難度與數(shù)量。
2. 一個(gè)教學(xué)中普遍存在的矛盾現(xiàn)象
矛盾現(xiàn)象：一方面大家都知道同一教案，不同老師在不同班級上課，效果差異會(huì)很大。另一方面，現(xiàn)在各個(gè)學(xué)校都在積極倡導(dǎo)統(tǒng)一備課，統(tǒng)一教案，有的老師甚至幾年用同一教案。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，基本包括了例題的統(tǒng)一。
主張“統(tǒng)一”目的：第一，這種統(tǒng)一從教師群體看，是優(yōu)秀教案的傳承，是經(jīng)典教案的共享，如數(shù)學(xué)歸納法教案，函數(shù)的最值教案，實(shí)際是一代代教師經(jīng)驗(yàn)的積累；從教師個(gè)體看，是教師不斷自我完善過程中一個(gè)時(shí)期暫時(shí)的不變，查看一個(gè)老師歷年的教案，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的變化及不同時(shí)期的特點(diǎn)和特征。第二，這種統(tǒng)一也是備課組集體智慧的結(jié)晶，是智慧火花的生成。從中，我們不難看出，這種“統(tǒng)一”其實(shí)是教案質(zhì)量不斷提高的過程。
主張“統(tǒng)一”信念：大家這么努力做著對教案的改進(jìn)和“統(tǒng)一”工作的背后，其實(shí)還有一個(gè)信念，那就是，好的教案是教學(xué)高效的前提。 三、“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的確立正是幾年前的一些實(shí)踐和實(shí)踐中的思考，再聯(lián)系前面提到的一些事實(shí)，我們認(rèn)為：我們在備課過程中對于備學(xué)生的工作往往停留在經(jīng)驗(yàn)上，雖然有很多經(jīng)驗(yàn)確實(shí)對教學(xué)有很大的幫助，但一些過時(shí)的、膚淺的、甚至是錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)，同樣對有效教學(xué)起著阻礙作用，所以我們需要在掌握學(xué)生第一手資料的前提下來決策教學(xué)，實(shí)施教案。我們這里提出并多年實(shí)踐的“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)正是立足上述不足而提出的。基本含義包括兩部分：一是通過一些調(diào)查就某些教學(xué)內(nèi)容（例題）適合在哪個(gè)時(shí)期對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)進(jìn)行思考，即教學(xué)內(nèi)容的適合性問題；二是通過一些簡單的問題，了解學(xué)生對于要教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，確定教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)，即教學(xué)的有效性問題。四、“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的實(shí)踐類型和案例
1．學(xué)生基礎(chǔ)確定

2．可行性思考
3. 情境設(shè)計(jì)的有效性思考 結(jié)束語：教學(xué)不足的發(fā)現(xiàn)來自于對學(xué)生現(xiàn)實(shí)的細(xì)致觀察和調(diào)查，而對不足的改進(jìn)則要立足于教師深入持久的思考。“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的實(shí)踐與思考
一、二個(gè)案例
1. 關(guān)于函數(shù)最值概念的一些調(diào)查
1. 1 在高三學(xué)生中的一次最值概念調(diào)查
1.1.1 調(diào)查的緣起
高三三角函數(shù)最值一節(jié)的復(fù)習(xí)前，由于先前已經(jīng)復(fù)習(xí)了函數(shù)的最值，所以我事先布置了兩個(gè)任務(wù)給學(xué)生：一是自己小結(jié)三角函數(shù)最值的基本類型和基本方法；二是給出一個(gè)題目讓學(xué)生先做一下（具體內(nèi)容在后面分析）。
結(jié)果很多同學(xué)借助于網(wǎng)絡(luò)資源和其它資料，小結(jié)完整而又不乏主見，完成得十分出色。布置的題目全班58個(gè)同學(xué)，用近十條途徑求得了最值（十條途徑是對整個(gè)班而言，一個(gè)學(xué)生基本只用到一種方法），但真正做完整或者說全對的58個(gè)同學(xué)中僅有11個(gè)，主要是答案正確，但解答過程不完整。
學(xué)生基本類型和方法歸納得這么完整，為什么在具體實(shí)踐中卻有這么多的問題，這些都不能簡單地把原因歸結(jié)為“粗心”，“學(xué)生不認(rèn)真”，“學(xué)生笨”等等。所以我想到了在學(xué)生中進(jìn)行“函數(shù)最值概念”等的調(diào)查。
1.1.2 調(diào)查及結(jié)果
調(diào)查形式和內(nèi)容很簡單，一個(gè)班共58人，每人發(fā)給一個(gè)小紙片，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解（不查閱資料），用自己的語言寫出以下兩個(gè)問題的答案：⑴ 什么是函數(shù)的最大值和最小值？ ⑵ 你求函數(shù)最大值、最小值的依據(jù)是什么？
對于第一個(gè)問題，以下是學(xué)生寫上來的部分結(jié)果：⑴ x取什么值時(shí)，y有最大或最小；⑵ x的最大范圍；⑶ 函數(shù)的頂點(diǎn)；⑷ x在一定范圍內(nèi)，y取最大或最小；⑸ 在函數(shù)的圖象中，表示最低點(diǎn)或最高點(diǎn)相應(yīng)的y值；⑹ 導(dǎo)數(shù)為零的y值最大或最小；⑺ x在某一范圍內(nèi)變化時(shí)y的最大值和最小值；⑻ 在函數(shù)中，x為某一值，y有最大值；⑼ 二次函數(shù)中，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值；⑽ 值域中的最大值和最小值；⑾ 如果f(x)A，則A是最大值；⑿函數(shù)在一定范圍內(nèi)存在的最大（小）的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最大（小）值；⒀ 最大值、最小值是指函數(shù)在定義域內(nèi)所有極值中的最大值與最小值；⒁ 在給定區(qū)間內(nèi)，在直角坐標(biāo)系中所能找到的最高的點(diǎn)；⒂ 函數(shù)在定義域內(nèi)可達(dá)到最大值與最小值……。
對于第二個(gè)問題，學(xué)生絕大部分從求值域方法的角度來回答，如回答：圖像法、比較法、求導(dǎo)、作圖、由單調(diào)性判斷……。
1.2 在高一學(xué)生中的調(diào)查
在高一涉及函數(shù)最值問題教學(xué)時(shí)，我也進(jìn)行了一個(gè)簡單的調(diào)查，問題是：請大家講講什么是函數(shù)的最大值和最小值？下面是學(xué)生的回答：①x的最大范圍；②函數(shù)的頂點(diǎn)；③x在一定范圍內(nèi)，y取最大或最小；④在函數(shù)的圖象中，表示最低點(diǎn)或最高點(diǎn)相應(yīng)的y值；⑤在函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)y的最大值；⑥在二次函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)y有最大值；在函數(shù)中，當(dāng)a<0時(shí)，x為某一值，y有最大值；⑦二次函數(shù)中，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值；⑧二次函數(shù)中，圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值。
1.3 對調(diào)查結(jié)果的初步分析
這一調(diào)查結(jié)果，首先是讓人大吃一驚，學(xué)生對最值概念認(rèn)識(shí)會(huì)如此膚淺（后來我了解到，其實(shí)我們和多老師自己也不是很完整）。其次，從調(diào)查中可以發(fā)現(xiàn)，對很多高三學(xué)生而言，他們求最值的策略是“機(jī)械模仿”，說得難聽點(diǎn)是閉著眼睛套方法。第三，對高一學(xué)生而言，我們常用的系統(tǒng)方法歸類式的教學(xué)方法是否是最佳教學(xué)法值得我們反思。當(dāng)然，仁者見仁，智者見智，對調(diào)查結(jié)果還會(huì)有更多的啟示，下面我們會(huì)有更深入的分析。
2. 題“已知函數(shù)y=logm(x2+ax+1)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍”背后的一些問題及思考。
2.1背景簡介：與上述題目類似的問題散見于各類高中數(shù)學(xué)課外資料之中，但大部分學(xué)生特別是高一的學(xué)生難以獨(dú)立解答這類問題，面對詳細(xì)的解答過程，學(xué)生也不易理解，即使教師給予多次一般性的解釋，學(xué)生也常常是似懂非懂，疑惑不斷，重復(fù)錯(cuò)誤不斷。每一屆學(xué)生都如此。
面對上述情況，教師的兩種態(tài)度：一是責(zé)備學(xué)生不認(rèn)真，多次講解仍不會(huì)；二是教師反思自己教學(xué)，然后精心準(zhǔn)備，為學(xué)生排難解惑。
2.2這里有另外一個(gè)事實(shí)：同樣的題目給高三的學(xué)生做，錯(cuò)誤率會(huì)大大降低，而且對老師的解釋也較為容易理解。一致的觀點(diǎn)是：高三學(xué)生能力提高了，那么是什么能力？解題能力還是什么？這些對于我們的數(shù)學(xué)教學(xué)又有怎樣的啟示？
二、幾個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中的事實(shí)
1. 一個(gè)公認(rèn)的客觀事實(shí)及常見處理
事實(shí)：好教案并不能保證一定有一堂好課。
原因：“好教案并不能保證一定有一堂好課”因素很多，但較為一致的觀點(diǎn)是不同的教師水平和學(xué)生基礎(chǔ)。
措施：如果學(xué)生基礎(chǔ)差，則在原教案的基礎(chǔ)上，降低題目難度，減少題目數(shù)量；如果學(xué)生基礎(chǔ)好，則在原教案的基礎(chǔ)上，增加題目難度，增加題目數(shù)量。教案改進(jìn)的重心：題的難度與數(shù)量。
2. 一個(gè)教學(xué)中普遍存在的矛盾現(xiàn)象
矛盾現(xiàn)象：一方面大家都知道同一教案，不同老師在不同班級上課，效果差異會(huì)很大。另一方面，現(xiàn)在各個(gè)學(xué)校都在積極倡導(dǎo)統(tǒng)一備課，統(tǒng)一教案，有的老師甚至幾年用同一教案。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，基本包括了例題的統(tǒng)一。
主張“統(tǒng)一”目的：第一，這種統(tǒng)一從教師群體看，是優(yōu)秀教案的傳承，是經(jīng)典教案的共享，如數(shù)學(xué)歸納法教案，函數(shù)的最值教案，實(shí)際是一代代教師經(jīng)驗(yàn)的積累；從教師個(gè)體看，是教師不斷自我完善過程中一個(gè)時(shí)期暫時(shí)的不變，查看一個(gè)老師歷年的教案，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的變化及不同時(shí)期的特點(diǎn)和特征。第二，這種統(tǒng)一也是備課組集體智慧的結(jié)晶，是智慧火花的生成。從中，我們不難看出，這種“統(tǒng)一”其實(shí)是教案質(zhì)量不斷提高的過程。
主張“統(tǒng)一”信念：大家這么努力做著對教案的改進(jìn)和“統(tǒng)一”工作的背后，其實(shí)還有一個(gè)信念，那就是，好的教案是教學(xué)高效的前提。
3. 教案的課堂實(shí)施事實(shí)
在實(shí)際課堂教學(xué)中，一般教師會(huì)結(jié)合自身擁有的經(jīng)驗(yàn)（默會(huì)知識(shí)）開展教學(xué)，如學(xué)生在這里可能會(huì)出錯(cuò)，學(xué)生這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)理解上的問題等等。其中的經(jīng)驗(yàn)主要來自兩個(gè)方面：自身實(shí)踐和同行交流。
但教師很少會(huì)有意識(shí)深入去調(diào)查、了解以下情況：我們所講的例題，所要教學(xué)的內(nèi)容目前是否適合學(xué)生；如果適合，學(xué)生又對要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了解或掌握了多少。
三、“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的確立
正是幾年前的一些實(shí)踐和實(shí)踐中的思考，再聯(lián)系前面提到的一些事實(shí)，我們認(rèn)為：我們在備課過程中對于備學(xué)生的工作往往停留在經(jīng)驗(yàn)上，雖然有很多經(jīng)驗(yàn)確實(shí)對教學(xué)有很大的幫助，但一些過時(shí)的、膚淺的、甚至是錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)，同樣對有效教學(xué)起著阻礙作用，所以我們需要在掌握學(xué)生第一手資料的前提下來決策教學(xué)，實(shí)施教案。我們這里提出并多年實(shí)踐的“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)正是立足上述不足而提出的。基本含義包括兩部分：一是通過一些調(diào)查就某些教學(xué)內(nèi)容（例題）適合在哪個(gè)時(shí)期對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)進(jìn)行思考，即教學(xué)內(nèi)容的適合性問題；二是通過一些簡單的問題，了解學(xué)生對于要教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，確定教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)，即教學(xué)的有效性問題。
四、“調(diào)查先導(dǎo)”教學(xué)的實(shí)踐類型和案例
1．學(xué)生基礎(chǔ)確定。學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)決定了教學(xué)的起點(diǎn)，這種基礎(chǔ)應(yīng)包括知識(shí)水平和能力水平兩部分。我們在某一內(nèi)容的教學(xué)開始前，對學(xué)生的基礎(chǔ)進(jìn)行簡單但有效的調(diào)查，并將調(diào)查的結(jié)果與教案內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，實(shí)踐中這一行動(dòng)取得很好的效果。
我們以最值的有關(guān)調(diào)查和根據(jù)調(diào)查對課堂教學(xué)的改進(jìn)案例來加以具體說明。
1.1 傳統(tǒng)的函數(shù)最值教案和課堂教學(xué)實(shí)錄片斷
1.1.1 教案片斷
例1：觀察函數(shù)y=x2－2x－3在下列范圍內(nèi)時(shí)的圖象特征，并求出其最值。
⑴x∈[－4, －1] ⑵x∈[－4,5] ⑶x∈[4,6] ⑷x∈[a,b]
歸納總結(jié)：一元二次函數(shù)在指定區(qū)間求最值的方法：
⑴ 對稱軸不過指定區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求最值。
⑵ 對稱軸過指定區(qū)間，在頂點(diǎn)處求到一個(gè)最值，另一最值只須比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小。
練習(xí)（略）
例2：求函數(shù)的最值。
歸納總結(jié)：用判別式法——若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的最值，檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的的值。
練習(xí)（略）
1.1.2 教學(xué)過程片斷
⑴學(xué)生試做；⑵教師講解；⑶共同歸納小結(jié)；⑷練習(xí)鞏固。
1.2 根據(jù)調(diào)查結(jié)果對上述教案和課堂教學(xué)不足的分析
上述教學(xué)過程有著明顯的讓學(xué)生模仿著解題的痕跡。結(jié)合前面提到的對高一學(xué)生最值概念的調(diào)查，我們認(rèn)為：⑴ 高一最值教學(xué)中，傳統(tǒng)課堂上簡單歸類式教學(xué)，會(huì)無意識(shí)強(qiáng)化學(xué)生“機(jī)械模仿”學(xué)習(xí)方式；⑵ 要幫助學(xué)生構(gòu)筑起最值的上位概念，確立學(xué)生求最值的基本策略，提高學(xué)生自我判斷和解題時(shí)的決策能力；⑶ 系統(tǒng)歸類和“變式”練習(xí)要注意時(shí)機(jī)和針對性，達(dá)到有利鞏固、有效鞏固的目的。
1.3 改進(jìn)后的課堂教學(xué)片斷和教案
1.3.1 改進(jìn)后的課堂教學(xué)片斷
⑴ 學(xué)生試做；⑵ 教師講解；⑶ 尋找解題依據(jù)（可以讓獨(dú)立完成的同學(xué)自己講講依據(jù)）；⑷ 總結(jié)解題的策略，并根據(jù)解題實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸納函數(shù)最值概念；⑸ 歸納解題步驟；⑹ 變式練習(xí)。
1.3.1 教案的改進(jìn)
⑴ 增加了學(xué)生對最值概念，求最值策略等知識(shí)內(nèi)容，與解題步驟、解題方法相比，這是兩種不同層次的知識(shí)；
⑵ 增加了尋找解題依據(jù)過程。
打個(gè)比方來說明調(diào)查前后我在教學(xué)中作了哪些改進(jìn)：很多老師都會(huì)打藍(lán)球或打羽毛球，但很少有人把兩者聯(lián)系起來，為什么？因?yàn)橐话阄覀兪仟?dú)立通過“簡單模仿”獲得單手投籃或揮拍技能的，但如果在告訴選手正確的動(dòng)作要領(lǐng)的基礎(chǔ)上，同時(shí)告訴選手為什么要這樣（技能的上位概念），當(dāng)選手們理解了用腰部帶動(dòng)大臂再帶動(dòng)小臂的發(fā)力原理后，會(huì)發(fā)現(xiàn)單手投籃發(fā)力和羽毛球揮拍發(fā)力原理是一樣的，而且舉一反三會(huì)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)球等發(fā)力也一樣。當(dāng)然一定量的練習(xí)是不可少的。
調(diào)查前的教學(xué)：我們理所當(dāng)然地認(rèn)為最值概念學(xué)生應(yīng)該是掌握的，會(huì)解題學(xué)生自然會(huì)掌握解題方法策略，就如模仿著學(xué)打籃球和打羽毛球；
調(diào)查后的教學(xué)：我們不但要學(xué)生模仿，還讓學(xué)生理解道理，形成能力。
2．可行性思考
對于教學(xué)，也存在著不講比講好，滯后講比先講好的現(xiàn)象。
我們?nèi)砸跃唧w的例子來說明
案例2 題“已知函數(shù)y=logm(x2+ax+1)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍”有關(guān)教學(xué)和調(diào)查分析
2.1 幫助學(xué)生克服解題困難的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程（到目前較為認(rèn)可的一個(gè)案例）：
2.2.1 特例鋪墊
例1：試判斷下列函數(shù)的定義域和值域是否為R，并進(jìn)一步探究函數(shù)中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽之間的關(guān)系：①y=log2(x2+2)；②y=log0.5(x2+2)；③y=loga(x2+2)；④y=log2(x2+2x)；⑤y=loga(x2+2x).
設(shè)計(jì)目的：通過以上復(fù)合函數(shù)特例，讓學(xué)生直觀感悟以下兩點(diǎn)：一是二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，定義域?yàn)镽的復(fù)合函數(shù)的值域一定不為R，定義域不為R的復(fù)合函數(shù)的值域一定為R；二是復(fù)合函數(shù)的值域是否為R與底a的值是否大于1無關(guān)。以上兩點(diǎn)也是針對學(xué)生解題中易被定義域和字母a干擾這一特點(diǎn)設(shè)計(jì)的。
2.2.2 正面分析
例2：函數(shù)y=logmu的值域?yàn)镽，則u應(yīng)滿足怎樣的條件？
例3（例2解答完成后給出）：函數(shù)u＝x2+ a x+1中，u要取到（0，+）內(nèi)的所有值，則a的取值范圍是什么？
說明：運(yùn)用函數(shù)圖象，借助數(shù)形結(jié)合分析。
設(shè)計(jì)目的：分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)。
2.2.3總結(jié)升華
結(jié)論一：二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，值域?yàn)镽與定義域不為R等價(jià)；
結(jié)論二：二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，值域?yàn)镽與對應(yīng)二次函數(shù)的△≥0等價(jià).
說明：結(jié)論一消除了部分學(xué)生對于解答中不用考慮定義域的疑惑，排除了定義域?qū)獯鸬母蓴_；結(jié)論二給予了一個(gè)明確的問題解答結(jié)論.
2.2.4錯(cuò)解辯析
錯(cuò)解呈現(xiàn)：有同學(xué)從復(fù)合函數(shù)定義域角度出發(fā)思考，認(rèn)為真數(shù)位置的x2+ax+1應(yīng)大于0，所以答案應(yīng)是△<0。請問這位同學(xué)的思考是否正確，如果你認(rèn)為這位同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的，請簡要說明錯(cuò)誤原因。
設(shè)計(jì)目的：進(jìn)一步消除學(xué)生“為什么不用考慮定義域”的疑惑。
2.2.5變式練習(xí)
題1：① 若函數(shù)y=logm(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
② 若函數(shù)y=loga(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
③ 若函數(shù)y=log2a-1(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
設(shè)計(jì)目的：通過“形似題”的變式練習(xí)，在變與不變的辯析中，鞏固此類問題解題方法，同時(shí)實(shí)現(xiàn)解法的舉一反三。
2.2.6一般拓展
題2：討論形如y=logg(a)[M(a)x2+N(a)x+P(a)]的函數(shù)值域?yàn)镽時(shí)，g(a)，M(a)，N(a)和P(a)應(yīng)滿足的條件.
設(shè)計(jì)目的：對題的一般形式的拓展討論，達(dá)到兩個(gè)目的：一是提高學(xué)生歸納能力；二是形成結(jié)論，提高考試效率。
2.3 設(shè)計(jì)思路特點(diǎn)歸納
案例中的題目，學(xué)生最多的錯(cuò)解是“用△<0去求a的取值范圍”，最大的疑惑是“正解用△≥0求a的取值范圍，為什么不用考慮定義域”。所以上述設(shè)計(jì)思路正是立足于學(xué)生解題時(shí)的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，以教師多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累為基礎(chǔ)，按照題目的知識(shí)結(jié)構(gòu)（見右圖），層層展開，有效地幫助學(xué)生建立了這一類型題目的程式化運(yùn)算，具體有以下設(shè)計(jì)特點(diǎn)：
2.3.1運(yùn)用辯析，正本清源
“辯析”是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師常用的教學(xué)手段，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)者連續(xù)運(yùn)用了“對比辯析”和“錯(cuò)解辯析”。
針對學(xué)生“正解用△≥0求a的取值范圍，為什么不用考慮定義域”的疑惑，設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了“特例鋪墊”這一過程，通過對比讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，定義域?yàn)镽的復(fù)合函數(shù)的值域一定不為R，定義域不為R的復(fù)合函數(shù)的值域一定為R”這一事實(shí)，為后續(xù)的正解排疑解惑做好了鋪墊工作。
針對學(xué)生“用△<0去求a的取值范圍”這一常見錯(cuò)誤，設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了“錯(cuò)解辯析”這一教學(xué)過程，進(jìn)一步消除學(xué)生“為什么不用考慮定義域”的疑惑。
兩個(gè)辯析設(shè)計(jì)，立足教師對學(xué)生常見錯(cuò)誤的了解（這也正是我們教師的優(yōu)點(diǎn)所在），為學(xué)生認(rèn)清錯(cuò)誤，回歸正途起到了積極的作用。
2.3.2分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)
與國外同層次的中學(xué)數(shù)學(xué)教師相比，我們的數(shù)學(xué)教師的解題能力更為突出，對題本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)的了解也更為深入，正是基于這一點(diǎn)，我們的數(shù)學(xué)教師運(yùn)用“分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)”的教學(xué)方法往往會(huì)顯得比較得心應(yīng)手。
對于案例所給出的題目，正解主要涉及以下推理過程和依據(jù)：⑴ 要使復(fù)合函數(shù)值域?yàn)镽，u應(yīng)取得到（0，+）內(nèi)的所有值，即函數(shù)u＝x2+ax+1的值域應(yīng)包含所有正實(shí)數(shù)，主要依據(jù)為：對數(shù)函數(shù)y=logmu的定義域?yàn)椋?，+），值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；⑵ 要使函數(shù)u＝x2+ax+1的值域應(yīng)包含所有正實(shí)數(shù)，所以△≥0，主要依據(jù)為：函數(shù)u＝x2+ax+1的圖象與x軸至少應(yīng)有一交點(diǎn)。設(shè)計(jì)者正是立足以上知識(shí)結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生疑點(diǎn)，各個(gè)擊破，層層推進(jìn)。
2.3.3變式鞏固，凸現(xiàn)主旨
變式練習(xí)的其中一個(gè)作用是在變與不變中凸現(xiàn)某類問題的主要解決方法，促成學(xué)生對這種方法的掌握，并提醒學(xué)生在掌握主要方法的同時(shí)注意其它的影響因素，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對這類問題解決方法的全面掌握。上述“變式練習(xí)”這一環(huán)節(jié)也是基于這一點(diǎn)的一個(gè)設(shè)計(jì)，也是教學(xué)中普遍運(yùn)用的一種教學(xué)方法。
2.3.4適度拓展，形成結(jié)論
由于對考試的關(guān)注，在解題教學(xué)中，教師一般最終都會(huì)針對某一類題的題目，形成一個(gè)總結(jié)性的結(jié)論。我們先不論這種做法的優(yōu)劣，單從考試的角度看，這確實(shí)是一種行之有效的方法，也是我們學(xué)生考試成績優(yōu)秀的原因之一。上述設(shè)計(jì)也沒有回避這一點(diǎn)，在“一般拓展”這一環(huán)節(jié)中，通過對案例中給出題目的一般情形的討論，使學(xué)生對此類問題的不同情形有了對應(yīng)的固定結(jié)論。在考試中，學(xué)生只要背出結(jié)論，就會(huì)得到正確的答案，即使不理解也無關(guān)緊要，就如我們會(huì)操作計(jì)算機(jī)，但并不懂計(jì)算機(jī)的工作原理一般。
上述四個(gè)設(shè)計(jì)特點(diǎn)，是我們中學(xué)一線數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中普遍使用的教學(xué)方法，是教師集體智慧的結(jié)晶，符合張奠宙教授提出的“記憶通向理解，速度贏得效率，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性，重復(fù)依靠變式”4個(gè)方面的雙基數(shù)學(xué)教學(xué)理論特征[5]，是雙基數(shù)學(xué)教學(xué)理論在實(shí)踐中的具體化。
2.4 對設(shè)計(jì)和教學(xué)過程的再思考
調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每屆學(xué)生都會(huì)對這類問題產(chǎn)生理解上的困難，但高三卻相對容易理解。
2.4.1 函數(shù)概念的二重性問題
Sfard(1991,1994)等人研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)中，特別是代數(shù)中，許多概念既表現(xiàn)為一種過程、算法、操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)果、結(jié)構(gòu)。如函數(shù)，既代表定義域中的元素按對應(yīng)法則與值域中元素作對應(yīng)的過程，又代表特定對應(yīng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)。學(xué)生形成一個(gè)概念，往往要經(jīng)歷由過程到對象的認(rèn)知過程，而且只有當(dāng)概念進(jìn)入對象狀態(tài)，呈現(xiàn)為靜態(tài)結(jié)構(gòu)時(shí)，一個(gè)完整的概念才在學(xué)生頭腦中定型，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)發(fā)揮作用。案例中的題目，絕大部分老師是在高一《對數(shù)函數(shù)》章節(jié)新課內(nèi)容完成后，復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生練習(xí)的題目。這一時(shí)段，大部分學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知水平，正處在過程到對象的過渡時(shí)期，另一方面學(xué)生接觸復(fù)合函數(shù)概念的時(shí)間也不長，這些上述分析表明，學(xué)生解題時(shí)的困難，除了知識(shí)和方法上的缺陷造成的困難，還存在由于認(rèn)知水平不足造成的困難。
2.4.2 學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展的局限性
Piaget的認(rèn)知發(fā)展理論指出學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展組成幾個(gè)不同的階段，由低到高排列。也就是說學(xué)生思維發(fā)展具有階段性，會(huì)隨著年齡的不同而不同。如少年期（11，12～14，15歲），即初中生，主要是以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象邏輯思維（簡稱經(jīng)驗(yàn)型思維），也就是說，這時(shí)學(xué)生的抽象邏輯思維水平雖有很大的提高，但還需要具體形象或經(jīng)驗(yàn)的直接支持，而且初一到初三年級的情況也很不相同，其中初二年級是一關(guān)鍵時(shí)期，這個(gè)時(shí)期的學(xué)生處于思維發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維轉(zhuǎn)化。青年時(shí)期（14，15～17，18歲），即高中生，主要是以理論型為主的抽象邏輯思維（簡稱理論型思維），也就是說，這時(shí)學(xué)生的抽象邏輯思維，可以擺脫具體事實(shí)形象，具有較高的抽象概括水平，而且開始形成辯證思維。同時(shí)考慮到高一年級是學(xué)生由初中到高中的過渡時(shí)期，在許多方面高一學(xué)生與初三學(xué)生具有相似性。這一理論表明，教學(xué)應(yīng)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
設(shè)函數(shù)y= x2+3x-a的值域?yàn)門，則以上問題解決另一個(gè)關(guān)鍵是要理解“（0,+）T”與“函數(shù)y=lg(x2+3x-a)的值域?yàn)镽”的等價(jià)性，而這一步的抽象，具有難以描述的邏輯上的困難，而高一學(xué)生的思維還不能達(dá)到這一層次。
2.5 建議
這類題目高一可以不講，在高三時(shí)，讓學(xué)生去做。前面我們化了九牛二虎之力，幫助學(xué)生掌握這類題型的解法。其實(shí)就如我們用電腦，不懂原理，但仍可熟練運(yùn)用。
3. 情境設(shè)計(jì)的有效性思考案例及分析
問題：為什么不用數(shù)學(xué)歸納法？
調(diào)查事實(shí)：高三綜合卷中的數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)歸納法證題的學(xué)生不多。不用的原因：用數(shù)學(xué)歸納法心理不踏實(shí)；好不好用沒法判斷，試用中效果也不好。
一個(gè)要值得注意的改變：隨著教材內(nèi)容的調(diào)整，數(shù)學(xué)歸納法這一方法的重心已經(jīng)從“怎么用，高難度的用”向“意識(shí)到可用”轉(zhuǎn)移，實(shí)際的應(yīng)用技巧和難度已經(jīng)大大降低。
如何促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解是數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)也是一貫的一個(gè)難點(diǎn).我國傳統(tǒng)教學(xué)中主要采用兩條途徑：一是運(yùn)用多米諾骨牌直觀類比；二是通過變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理進(jìn)行自我反思，促進(jìn)對原理的理解.這兩條途徑的優(yōu)點(diǎn)是教師便于操作，學(xué)生易于接受，對促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的初步理解和熟練運(yùn)用有較大幫助，特別體現(xiàn)在學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的使用技巧掌握上.因?yàn)橐陨蟽煞N途徑都以學(xué)生的自我領(lǐng)悟?yàn)榛A(chǔ)，特別是多米諾骨牌的直觀呈現(xiàn)還是屬于“順序結(jié)構(gòu)”，缺乏對數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)含的“循環(huán)結(jié)構(gòu)”的本質(zhì)體現(xiàn)，所以對很多同學(xué)而言，難以消除他們對“為什么可以假設(shè)P(k)成立”的疑惑，也難以促成他們對數(shù)學(xué)歸納法原理中“循環(huán)遞推”本質(zhì)的深層次理解，容易使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用停留在規(guī)范的低水平重復(fù)操作上，特別在怎樣類型的題目適合用數(shù)學(xué)歸納法上，學(xué)生容易產(chǎn)生困難，也不易使學(xué)生創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)歸納法.
美國的Dubinsky曾通過讓學(xué)生掌握SETL語言，并借助計(jì)算機(jī)編程練習(xí)來幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的深層次理解，取得較好效果.但由于學(xué)生對SETL語言的學(xué)習(xí)和熟練本身也需要一個(gè)過程，所以這一教學(xué)方法延長了數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)的時(shí)間，降低了教學(xué)效率，并沒有被廣泛采用.
最近新課程標(biāo)準(zhǔn)中新增的“算法初步”內(nèi)容給予我們啟示：我們可以借鑒Dubinsky的教學(xué)方法，同時(shí)利用算法初步知識(shí)來克服教學(xué)效率低下的不足.
案例3 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的一種創(chuàng)新設(shè)計(jì)和實(shí)踐
3.1 引入（略）
3.2 創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法證題思想
⑴ 問題1：設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算12+22+32+…+1002的值的算法，并畫出程序框圖.
算法分析：需要一個(gè)累加變量和計(jì)數(shù)變量，將累加變量的初始值設(shè)為0，計(jì)數(shù)變量的值從1～100，具體步驟如下：
第一步：令i=1，sum=0.
第二步：判斷i是否小于等于100，若不是，則輸出sum的值；若是，則令sum=sum+i*i，i=i+1.
第三步：重復(fù)第二步.
程序框圖為：
⑵ 變式1：設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算12+22+32+…+10002的值的算法，并畫出程序框圖.
發(fā)現(xiàn)只需將⑴中的100改成1000即可.
⑶ 變式2：那么12+22+32+…+n2(n為某一正整數(shù))呢？
⑷ 分析、歸納（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）：一般12+22+32+…+n2的值的算法只需將⑴中的100改成n即可，程序框架圖中虛線框內(nèi)的循環(huán)體不變，實(shí)質(zhì)是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行的步驟，形成不斷累加的循環(huán)過程.從算法的步驟看，實(shí)際已將12+22+32+…+n2的計(jì)算過程濃縮為兩步：一是初始值的賦予；二是循環(huán)體的循環(huán)累加.
⑸ 問題2(教師提出并適當(dāng)引導(dǎo))：前人已經(jīng)獲得了一個(gè)可直接求得上述平方和的公式，即12+22+32+…+n2=.（教師驗(yàn)證n=1，n=2成立后啟發(fā)）由于等式涉及的正整數(shù)n有無限多個(gè)，無法一一驗(yàn)證，如果我們要驗(yàn)證上述等式對一切正整數(shù)n成立，前面的算法設(shè)計(jì)能給予我們怎樣的啟發(fā)？
⑹ 發(fā)現(xiàn)（學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充）：在驗(yàn)證n=1成立后，再驗(yàn)證+(k+1)2=即可.
⑺ 解釋（針對有疑惑的同學(xué)，由學(xué)生解釋，教師補(bǔ)充）：類比算法設(shè)計(jì)中的循環(huán)體，+(k+1)2=實(shí)質(zhì)形成一個(gè)循環(huán)過程，即n=k時(shí)等式成立則n=k+1時(shí)等式也成立，結(jié)合已驗(yàn)證的n=1時(shí)等式成立這一結(jié)果，形成一個(gè)遞推鏈：n=1時(shí)等式成立n=2時(shí)等式成立 n=3時(shí)等式成立……，從而驗(yàn)證了對一切正整數(shù)n等式成立.
⑻ 形成證明：（學(xué)生敘述，教師書寫補(bǔ)充）當(dāng)n=1時(shí)，左式=12=1，右式==1，所以n=1時(shí)等式成立，又因?yàn)?(k+1)2=，所以對一切正整數(shù)n等式成立.
⑼ 與教材中的證明過程的比較與討論（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）：兩個(gè)證明過程的本質(zhì)一致；⑻的證明過程中的“+(k+1)2=”，在教材的證明中實(shí)際為步驟二：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是12+22+32+…+k2=，那么12+22+32+…+(k+1)2=……=.也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.教材的這種處理在形式上似乎有更為繁瑣的嫌疑，但這樣的處理更具有普遍意義，也更容易幫助同學(xué)形成規(guī)范.
⑽ 歸納總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題的一般步驟.（下略）
這里對學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法使用狀況的調(diào)查結(jié)果以及高三綜合卷中歸納法的考查現(xiàn)實(shí)，反映了現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)的不足和教學(xué)目標(biāo)的一定偏離，為后續(xù)的改進(jìn)提供了依據(jù)。
可行性思考案例及分析
從調(diào)查看，對于教學(xué)，也存在著不講比講好和滯后講比先前講好的現(xiàn)象。
我們?nèi)砸跃唧w的例子來說明
案例2 題“已知函數(shù)y=logm(x2+ax+1)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍”有關(guān)教學(xué)和調(diào)查分析
2.1 幫助學(xué)生克服解題困難的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程（到目前較為認(rèn)可的一個(gè)案例）：
2.2.1 特例鋪墊
例1：試判斷下列函數(shù)的定義域和值域是否為R，并進(jìn)一步探究函數(shù)中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽之間的關(guān)系：①y=log2(x2+2)；②y=log0.5(x2+2)；③y=loga(x2+2)；④y=log2(x2+2x)；⑤y=loga(x2+2x).
設(shè)計(jì)目的：通過以上復(fù)合函數(shù)特例，讓學(xué)生直觀感悟以下兩點(diǎn)：一是二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，定義域?yàn)镽的復(fù)合函數(shù)的值域一定不為R，定義域不為R的復(fù)合函數(shù)的值域一定為R；二是復(fù)合函數(shù)的值域是否為R與底a的值是否大于1無關(guān)。以上兩點(diǎn)也是針對學(xué)生解題中易被定義域和字母a干擾這一特點(diǎn)設(shè)計(jì)的。
2.2.2 正面分析
例2：函數(shù)y=logmu的值域?yàn)镽，則u應(yīng)滿足怎樣的條件？
例3（例2解答完成后給出）：函數(shù)u＝x2+ a x+1中，u要取到（0，+）內(nèi)的所有值，則a的取值范圍是什么？
說明：運(yùn)用函數(shù)圖象，借助數(shù)形結(jié)合分析。
設(shè)計(jì)目的：分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)。
2.2.3總結(jié)升華
結(jié)論一：二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，值域?yàn)镽與定義域不為R等價(jià)；
結(jié)論二：二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，值域?yàn)镽與對應(yīng)二次函數(shù)的△≥0等價(jià).
說明：結(jié)論一消除了部分學(xué)生對于解答中不用考慮定義域的疑惑，排除了定義域?qū)獯鸬母蓴_；結(jié)論二給予了一個(gè)明確的問題解答結(jié)論.
2.2.4錯(cuò)解辯析
錯(cuò)解呈現(xiàn)：有同學(xué)從復(fù)合函數(shù)定義域角度出發(fā)思考，認(rèn)為真數(shù)位置的x2+ax+1應(yīng)大于0，所以答案應(yīng)是△<0。請問這位同學(xué)的思考是否正確，如果你認(rèn)為這位同學(xué)的解法是錯(cuò)誤的，請簡要說明錯(cuò)誤原因。
設(shè)計(jì)目的：進(jìn)一步消除學(xué)生“為什么不用考慮定義域”的疑惑。
2.2.5變式練習(xí)
題1：① 若函數(shù)y=logm(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
② 若函數(shù)y=loga(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
③ 若函數(shù)y=log2a-1(ax2+ a x+1) 的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
設(shè)計(jì)目的：通過“形似題”的變式練習(xí)，在變與不變的辯析中，鞏固此類問題解題方法，同時(shí)實(shí)現(xiàn)解法的舉一反三。
2.2.6一般拓展
題2：討論形如y=logg(a)[M(a)x2+N(a)x+P(a)]的函數(shù)值域?yàn)镽時(shí)，g(a)，M(a)，N(a)和P(a)應(yīng)滿足的條件.
設(shè)計(jì)目的：對題的一般形式的拓展討論，達(dá)到兩個(gè)目的：一是提高學(xué)生歸納能力；二是形成結(jié)論，提高考試效率。
2.3 設(shè)計(jì)思路特點(diǎn)歸納
案例中的題目，學(xué)生最多的錯(cuò)解是“用△<0去求a的取值范圍”，最大的疑惑是“正解用△≥0求a的取值范圍，為什么不用考慮定義域”。所以上述設(shè)計(jì)思路正是立足于學(xué)生解題時(shí)的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，以教師多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累為基礎(chǔ)，按照題目的知識(shí)結(jié)構(gòu)（見右圖），層層展開，有效地幫助學(xué)生建立了這一類型題目的程式化運(yùn)算，具體有以下設(shè)計(jì)特點(diǎn)：
2.3.1運(yùn)用辯析，正本清源
“辯析”是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師常用的教學(xué)手段，教學(xué)過程中設(shè)計(jì)者連續(xù)運(yùn)用了“對比辯析”和“錯(cuò)解辯析”。
針對學(xué)生“正解用△≥0求a的取值范圍，為什么不用考慮定義域”的疑惑，設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了“特例鋪墊”這一過程，通過對比讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合形成的函數(shù)中，定義域?yàn)镽的復(fù)合函數(shù)的值域一定不為R，定義域不為R的復(fù)合函數(shù)的值域一定為R”這一事實(shí)，為后續(xù)的正解排疑解惑做好了鋪墊工作。
針對學(xué)生“用△<0去求a的取值范圍”這一常見錯(cuò)誤，設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了“錯(cuò)解辯析”這一教學(xué)過程，進(jìn)一步消除學(xué)生“為什么不用考慮定義域”的疑惑。
兩個(gè)辯析設(shè)計(jì)，立足教師對學(xué)生常見錯(cuò)誤的了解（這也正是我們教師的優(yōu)點(diǎn)所在），為學(xué)生認(rèn)清錯(cuò)誤，回歸正途起到了積極的作用。
2.3.2分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)
與國外同層次的中學(xué)數(shù)學(xué)教師相比，我們的數(shù)學(xué)教師的解題能力更為突出，對題本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)的了解也更為深入，正是基于這一點(diǎn)，我們的數(shù)學(xué)教師運(yùn)用“分散難點(diǎn)，層層推進(jìn)”的教學(xué)方法往往會(huì)顯得比較得心應(yīng)手。
對于案例所給出的題目，正解主要涉及以下推理過程和依據(jù)：⑴ 要使復(fù)合函數(shù)值域?yàn)镽，u應(yīng)取得到（0，+）內(nèi)的所有值，即函數(shù)u＝x2+ax+1的值域應(yīng)包含所有正實(shí)數(shù)，主要依據(jù)為：對數(shù)函數(shù)y=logmu的定義域?yàn)椋?，+），值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；⑵ 要使函數(shù)u＝x2+ax+1的值域應(yīng)包含所有正實(shí)數(shù)，所以△≥0，主要依據(jù)為：函數(shù)u＝x2+ax+1的圖象與x軸至少應(yīng)有一交點(diǎn)。設(shè)計(jì)者正是立足以上知識(shí)結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生疑點(diǎn)，各個(gè)擊破，層層推進(jìn)。
2.3.3變式鞏固，凸現(xiàn)主旨
變式練習(xí)的其中一個(gè)作用是在變與不變中凸現(xiàn)某類問題的主要解決方法，促成學(xué)生對這種方法的掌握，并提醒學(xué)生在掌握主要方法的同時(shí)注意其它的影響因素，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對這類問題解決方法的全面掌握。上述“變式練習(xí)”這一環(huán)節(jié)也是基于這一點(diǎn)的一個(gè)設(shè)計(jì)，也是教學(xué)中普遍運(yùn)用的一種教學(xué)方法。
2.3.4適度拓展，形成結(jié)論
由于對考試的關(guān)注，在解題教學(xué)中，教師一般最終都會(huì)針對某一類題的題目，形成一個(gè)總結(jié)性的結(jié)論。我們先不論這種做法的優(yōu)劣，單從考試的角度看，這確實(shí)是一種行之有效的方法，也是我們學(xué)生考試成績優(yōu)秀的原因之一。上述設(shè)計(jì)也沒有回避這一點(diǎn)，在“一般拓展”這一環(huán)節(jié)中，通過對案例中給出題目的一般情形的討論，使學(xué)生對此類問題的不同情形有了對應(yīng)的固定結(jié)論。在考試中，學(xué)生只要背出結(jié)論，就會(huì)得到正確的答案，即使不理解也無關(guān)緊要，就如我們會(huì)操作計(jì)算機(jī)，但并不懂計(jì)算機(jī)的工作原理一般。
上述四個(gè)設(shè)計(jì)特點(diǎn)，是我們中學(xué)一線數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中普遍使用的教學(xué)方法，是教師集體智慧的結(jié)晶，符合張奠宙教授提出的“記憶通向理解，速度贏得效率，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性，重復(fù)依靠變式”4個(gè)方面的雙基數(shù)學(xué)教學(xué)理論特征[5]，是雙基數(shù)學(xué)教學(xué)理論在實(shí)踐中的具體化。
2.4 對設(shè)計(jì)和教學(xué)過程的再思考
調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每屆學(xué)生都會(huì)對這類問題產(chǎn)生理解上的困難，但高三卻相對容易理解。
2.4.1 函數(shù)概念的二重性問題
Sfard(1991,1994)等人研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)中，特別是代數(shù)中，許多概念既表現(xiàn)為一種過程、算法、操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)果、結(jié)構(gòu)。如函數(shù)，既代表定義域中的元素按對應(yīng)法則與值域中元素作對應(yīng)的過程，又代表特定對應(yīng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)。學(xué)生形成一個(gè)概念，往往要經(jīng)歷由過程到對象的認(rèn)知過程，而且只有當(dāng)概念進(jìn)入對象狀態(tài)，呈現(xiàn)為靜態(tài)結(jié)構(gòu)時(shí)，一個(gè)完整的概念才在學(xué)生頭腦中定型，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)發(fā)揮作用。案例中的題目，絕大部分老師是在高一《對數(shù)函數(shù)》章節(jié)新課內(nèi)容完成后，復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生練習(xí)的題目。這一時(shí)段，大部分學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知水平，正處在過程到對象的過渡時(shí)期，另一方面學(xué)生接觸復(fù)合函數(shù)概念的時(shí)間也不長，這些上述分析表明，學(xué)生解題時(shí)的困難，除了知識(shí)和方法上的缺陷造成的困難，還存在由于認(rèn)知水平不足造成的困難。
2.4.2 學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展的局限性
Piaget的認(rèn)知發(fā)展理論指出學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展組成幾個(gè)不同的階段，由低到高排列。也就是說學(xué)生思維發(fā)展具有階段性，會(huì)隨著年齡的不同而不同。如少年期（11，12～14，15歲），即初中生，主要是以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象邏輯思維（簡稱經(jīng)驗(yàn)型思維），也就是說，這時(shí)學(xué)生的抽象邏輯思維水平雖有很大的提高，但還需要具體形象或經(jīng)驗(yàn)的直接支持，而且初一到初三年級的情況也很不相同，其中初二年級是一關(guān)鍵時(shí)期，這個(gè)時(shí)期的學(xué)生處于思維發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，表現(xiàn)為經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維轉(zhuǎn)化。青年時(shí)期（14，15～17，18歲），即高中生，主要是以理論型為主的抽象邏輯思維（簡稱理論型思維），也就是說，這時(shí)學(xué)生的抽象邏輯思維，可以擺脫具體事實(shí)形象，具有較高的抽象概括水平，而且開始形成辯證思維。同時(shí)考慮到高一年級是學(xué)生由初中到高中的過渡時(shí)期，在許多方面高一學(xué)生與初三學(xué)生具有相似性。這一理論表明，教學(xué)應(yīng)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
案例題目中，設(shè)函數(shù)y= x2+3x-a的值域?yàn)門，則以上問題解決另一個(gè)關(guān)鍵是要理解“（0,+）T”與“函數(shù)y=lg(x2+3x-a)的值域?yàn)镽”的等價(jià)性，這一步事實(shí)學(xué)生是承認(rèn)的、明確的，但學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中這里是要考慮定義域的，為什么解法實(shí)際與定義域無關(guān)，學(xué)生始終想不通，具有難以描述的難點(diǎn)。也就是說，剛學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的學(xué)生還不足以成熟到理解這一問題，所以教師給出上述例題的時(shí)機(jī)還不成熟。如果，這個(gè)例題放到高三，學(xué)生很容易理解，這時(shí)大部分的學(xué)生已經(jīng)成熟到能理解這一問題。可行性分析，使得很多教師困惑的問題得以澄清，提高了教師教學(xué)的針對性和有效性。
2.5 建議
這類題目高一可以不講，在高三時(shí)，讓學(xué)生去做。前面我們化了九牛二虎之力，幫助學(xué)生掌握這類題型的解法。其實(shí)就如我們用電腦，不懂原理，但仍可熟練運(yùn)用。
學(xué)生基礎(chǔ)確定案例及分析
1．學(xué)生基礎(chǔ)確定。學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)決定了教學(xué)的起點(diǎn)、目標(biāo)和教學(xué)的重點(diǎn)，這種基礎(chǔ)應(yīng)包括知識(shí)水平和能力水平兩部分。我們在某一內(nèi)容的教學(xué)開始前，對學(xué)生的基礎(chǔ)進(jìn)行簡單但有效的調(diào)查，并將調(diào)查的結(jié)果與教案內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，實(shí)踐中這一行動(dòng)取得很好的效果。
我們以最值的有關(guān)調(diào)查和根據(jù)調(diào)查對課堂教學(xué)的改進(jìn)案例來加以具體說明。
1.1 傳統(tǒng)的函數(shù)最值教案和課堂教學(xué)實(shí)錄片斷
1.1.1 教案片斷
例1：觀察函數(shù)y=x2－2x－3在下列范圍內(nèi)時(shí)的圖象特征，并求出其最值。
⑴x∈[－4, －1] ⑵x∈[－4,5] ⑶x∈[4,6] ⑷x∈[a,b]
歸納總結(jié)：一元二次函數(shù)在指定區(qū)間求最值的方法：
⑴ 對稱軸不過指定區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求最值。
⑵ 對稱軸過指定區(qū)間，在頂點(diǎn)處求到一個(gè)最值，另一最值只須比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小。
練習(xí)（略）
例2：求函數(shù)的最值。
歸納總結(jié)：用判別式法——若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的最值，檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的的值。
練習(xí)（略）
1.1.2 教學(xué)過程片斷
⑴學(xué)生試做；⑵教師講解；⑶共同歸納小結(jié)；⑷練習(xí)鞏固。
1.1.3 教案的課堂實(shí)施事實(shí)
在實(shí)際課堂教學(xué)中，一般教師會(huì)結(jié)合自身擁有的經(jīng)驗(yàn)（默會(huì)知識(shí)）開展教學(xué)，如學(xué)生在這里可能會(huì)出錯(cuò)，學(xué)生這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)理解上的問題等等。其中的經(jīng)驗(yàn)主要來自兩個(gè)方面：自身實(shí)踐和同行交流。
但教師很少會(huì)有意識(shí)深入去調(diào)查、了解以下情況：我們所講的例題，所要教學(xué)的內(nèi)容目前是否適合學(xué)生；如果適合，學(xué)生又對要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了解或掌握了多少；同一內(nèi)容，對現(xiàn)在的學(xué)生，通過教學(xué)應(yīng)該達(dá)成怎樣的目的。
1.2 根據(jù)調(diào)查結(jié)果對上述教案和課堂教學(xué)不足的分析
上述教學(xué)過程有著明顯的讓學(xué)生模仿著解題的痕跡。結(jié)合前面提到的對高一學(xué)生最值概念的調(diào)查，我們認(rèn)為：⑴ 高一最值教學(xué)中，傳統(tǒng)課堂上簡單歸類式教學(xué)，會(huì)無意識(shí)強(qiáng)化學(xué)生“機(jī)械模仿”學(xué)習(xí)方式；⑵ 要幫助學(xué)生構(gòu)筑起最值的上位概念，確立學(xué)生求最值的基本策略，提高學(xué)生自我判斷和解題時(shí)的決策能力，如例1，對于高一學(xué)生，首先要確立學(xué)生利用函數(shù)的單調(diào)性解題的解題策略，其次是一元二次函數(shù)類型最值的結(jié)論；⑶ 系統(tǒng)歸類和“變式”練習(xí)要注意時(shí)機(jī)和針對性，達(dá)到有利鞏固、有效鞏固的目的。
1.3 改進(jìn)后的課堂教學(xué)片斷和教案
1.3.1 改進(jìn)后的課堂教學(xué)過程
⑴ 學(xué)生試做；⑵ 教師講解；⑶ 尋找解題依據(jù)（可以讓獨(dú)立完成的同學(xué)自己講講依據(jù)）；⑷ 總結(jié)解題的策略，并根據(jù)解題實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸納函數(shù)最值概念；⑸ 歸納解題步驟；⑹ 變式練習(xí)。
1.3.1 教案的改進(jìn)
⑴ 增加了學(xué)生對最值概念，求最值策略等知識(shí)內(nèi)容，與解題步驟、解題方法相比，這是兩種不同層次的知識(shí)；
⑵ 增加了尋找解題依據(jù)過程。
打個(gè)比方來說明調(diào)查前后我在教學(xué)中作了哪些改進(jìn)：很多老師都會(huì)打藍(lán)球和羽毛球，但很少有人把兩者聯(lián)系起來，為什么？因?yàn)橐话阄覀兪仟?dú)立通過“簡單模仿”獲得單手投籃或揮拍技能的，但如果在告訴選手正確的動(dòng)作要領(lǐng)的基礎(chǔ)上，同時(shí)告訴選手為什么要這樣（技能的上位概念），當(dāng)選手們理解了用腰部帶動(dòng)大臂再帶動(dòng)小臂的發(fā)力原理后，會(huì)發(fā)現(xiàn)單手投籃發(fā)力和羽毛球揮拍發(fā)力原理是一樣的，而且舉一反三會(huì)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)球等發(fā)力也一樣。當(dāng)然一定量的練習(xí)是不可少的。
調(diào)查前的教學(xué)：我們理所當(dāng)然地認(rèn)為最值概念學(xué)生應(yīng)該是掌握的，會(huì)解題學(xué)生自然會(huì)掌握解題方法策略，就如模仿著學(xué)打籃球和打羽毛球；
調(diào)查后的教學(xué)：我們不但要學(xué)生模仿，還讓學(xué)生理解道理，形成能力。
情境設(shè)計(jì)的有效性思考案例及分析
問題：為什么不用數(shù)學(xué)歸納法？
調(diào)查事實(shí)：高三綜合卷中的數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)歸納法證題的學(xué)生不多。不用的原因：用數(shù)學(xué)歸納法心理不踏實(shí)；好不好用沒法判斷，試用中效果也不好。
一個(gè)要值得注意的改變：隨著教材內(nèi)容的調(diào)整，數(shù)學(xué)歸納法這一方法的重心已經(jīng)從“怎么用，高難度的用”向“意識(shí)到可用”轉(zhuǎn)移，實(shí)際的應(yīng)用技巧和難度已經(jīng)大大降低。
如何促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解是數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點(diǎn)也是一貫的一個(gè)難點(diǎn).我國傳統(tǒng)教學(xué)中主要采用兩條途徑：一是運(yùn)用多米諾骨牌直觀類比；二是通過變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理進(jìn)行自我反思，促進(jìn)對原理的理解.這兩條途徑的優(yōu)點(diǎn)是教師便于操作，學(xué)生易于接受，對促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的初步理解和熟練運(yùn)用有較大幫助，特別體現(xiàn)在學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的使用技巧掌握上.因?yàn)橐陨蟽煞N途徑都以學(xué)生的自我領(lǐng)悟?yàn)榛A(chǔ)，特別是多米諾骨牌的直觀呈現(xiàn)還是屬于“順序結(jié)構(gòu)”，缺乏對數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)含的“循環(huán)結(jié)構(gòu)”的本質(zhì)體現(xiàn)，所以對很多同學(xué)而言，難以消除他們對“為什么可以假設(shè)P(k)成立”的疑惑，也難以促成他們對數(shù)學(xué)歸納法原理中“循環(huán)遞推”本質(zhì)的深層次理解，容易使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用停留在規(guī)范的低水平重復(fù)操作上，特別在怎樣類型的題目適合用數(shù)學(xué)歸納法上，學(xué)生容易產(chǎn)生困難，也不易使學(xué)生創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)歸納法.
美國的Dubinsky曾通過讓學(xué)生掌握SETL語言，并借助計(jì)算機(jī)編程練習(xí)來幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的深層次理解，取得較好效果.但由于學(xué)生對SETL語言的學(xué)習(xí)和熟練本身也需要一個(gè)過程，所以這一教學(xué)方法延長了數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)的時(shí)間，降低了教學(xué)效率，并沒有被廣泛采用.
最近新課程標(biāo)準(zhǔn)中新增的“算法初步”內(nèi)容給予我們啟示：我們可以借鑒Dubinsky的教學(xué)方法，同時(shí)利用算法初步知識(shí)來克服教學(xué)效率低下的不足.
1 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的一種創(chuàng)新設(shè)計(jì)和實(shí)踐
1.1 引入（略）
1.2 創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法證題思想
⑴ 問題1：設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算12+22+32+…+1002的值的算法，并畫出程序框圖.
算法分析：需要一個(gè)累加變量和計(jì)數(shù)變量，將累加變量的初始值設(shè)為0，計(jì)數(shù)變量的值從1～100，具體步驟如下：
第一步：令i=1，sum=0.
第二步：判斷i是否小于等于100，若不是，則輸出sum的值；若是，則令sum=sum+i*i，i=i+1.
第三步：重復(fù)第二步.
程序框圖為：
⑵ 變式1：設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算12+22+32+…+10002的值的算法，并畫出程序框圖.
發(fā)現(xiàn)只需將⑴中的100改成1000即可.
⑶ 變式2：那么12+22+32+…+n2(n為某一正整數(shù))呢？
⑷ 分析、歸納（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）：一般12+22+32+…+n2的值的算法只需將⑴中的100改成n即可，程序框架圖中虛線框內(nèi)的循環(huán)體不變，實(shí)質(zhì)是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行的步驟，形成不斷累加的循環(huán)過程.從算法的步驟看，實(shí)際已將12+22+32+…+n2的計(jì)算過程濃縮為兩步：一是初始值的賦予；二是循環(huán)體的循環(huán)累加.
⑸ 問題2(教師提出并適當(dāng)引導(dǎo))：前人已經(jīng)獲得了一個(gè)可直接求得上述平方和的公式，即12+22+32+…+n2=.（教師驗(yàn)證n=1，n=2成立后啟發(fā)）由于等式涉及的正整數(shù)n有無限多個(gè)，無法一一驗(yàn)證，如果我們要驗(yàn)證上述等式對一切正整數(shù)n成立，前面的算法設(shè)計(jì)能給予我們怎樣的啟發(fā)？
⑹ 發(fā)現(xiàn)（學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充）：在驗(yàn)證n=1成立后，再驗(yàn)證+(k+1)2=即可.
⑺ 解釋（針對有疑惑的同學(xué)，由學(xué)生解釋，教師補(bǔ)充）：類比算法設(shè)計(jì)中的循環(huán)體，+(k+1)2=實(shí)質(zhì)形成一個(gè)循環(huán)過程，即n=k時(shí)等式成立則n=k+1時(shí)等式也成立，結(jié)合已驗(yàn)證的n=1時(shí)等式成立這一結(jié)果，形成一個(gè)遞推鏈：n=1時(shí)等式成立n=2時(shí)等式成立 n=3時(shí)等式成立……，從而驗(yàn)證了對一切正整數(shù)n等式成立.
⑻ 形成證明：（學(xué)生敘述，教師書寫補(bǔ)充）當(dāng)n=1時(shí)，左式=12=1，右式==1，所以n=1時(shí)等式成立，又因?yàn)?(k+1)2=，所以對一切正整數(shù)n等式成立.
⑼ 與教材中的證明過程的比較與討論（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）：兩個(gè)證明過程的本質(zhì)一致；⑻的證明過程中的“+(k+1)2=”，在教材的證明中實(shí)際為步驟二：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是12+22+32+…+k2=，那么12+22+32+…+(k+1)2=……=.也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.教材的這種處理在形式上似乎有更為繁瑣的嫌疑，但這樣的處理更具有普遍意義，也更容易幫助同學(xué)形成規(guī)范.
⑽ 歸納總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題的一般步驟.（下略）
這里對學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法使用狀況的調(diào)查結(jié)果以及高三綜合卷中歸納法的考查現(xiàn)實(shí)，反映了現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)的不足和教學(xué)目標(biāo)的一定偏離，為后續(xù)的改進(jìn)提供了依據(jù)。

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