資源簡介

(共28張PPT)
1 直線與直線的方程
1.1 一次函數的圖象與直線的方程
1.2 直線的傾斜角、斜率及其關系
第2課時 直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.理解直線的傾斜角與斜率的關系.
2.理解利用直線的方向向量來描述直線的傾斜程度.
知識點一 直線的斜率與傾斜角的關系
由正切函數的概念可知，傾斜角不是的直線，它的斜率和它的傾斜角 滿足
__________（其中 ）.
斜率與傾斜角 有如下關系：
當時，斜率，且隨傾斜角 的增大而______；
當時，斜率，且隨傾斜角 的增大而______；
當時，直線與軸垂直，此時直線 的斜率________.
增大
增大
不存在
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）直線的傾斜角越大,它的斜率也越大;反過來,直線的斜率越大,它的傾斜角也
越大.( )
×
（2）所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率,傾斜角是 的直線
不存在斜率.( )
√
知識點二 直線的斜率與方向向量的關系
在直線上任取兩個不同的點， ，由平面向量的知識可知，向
量是直線的方向向量，它的坐標是________________.直線的傾斜角 、斜
率、方向向量分別從不同的角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中
軸的傾斜程度，它們之間的關系是_________________（其中）.若 是直
線的斜率，則_________是它的一個方向向量；若直線 的一個方向向量的坐標
為，其中 ,則它的斜率______.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）一條直線的方向向量與 軸正方向所成的角和直線的傾斜角相等.( )
×
（2）已知直線上不同兩點, ，可以確定直線的方向，求出直
線的一個方向向量，進而可以求出它的斜率.( )
×
（3）若直線的一個方向向量的坐標為，則的斜率為 .( )
×
探究點一 直線的斜率與傾斜角的關系
例1（1） 過點， 的直線的傾斜角為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 經過，兩點的直線的斜率 ，
設該直線的傾斜角為 ，則，又 ，所以 .
故選D.
（2）[2024·江西九江高二期中]已知直線的斜率，則直線 的傾斜角
的取值范圍為( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因為直線的傾斜角為 ，所以.
由 可得，所以,, .故選B.
變式（1） 如圖，已知直線，， 的斜率分別為
，， ，則( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由題圖知直線的傾斜角為鈍角，
直線，的傾斜角為銳角，且 的傾斜角較大，
， .故選D.
（2）經過點作直線，若直線與連接， 兩點的線段總有
公共點，則直線的傾斜角 的取值范圍是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 如圖所示，設直線的傾斜角為 ， ，
由題知，
直線 與連接， 兩點的線段總有公共點，
，即，
, ,． 故選A.
［素養小結］
1.由傾斜角大小（或范圍）求斜率大小（或范圍）利用公式
求解.
2.由兩點坐標求直線斜率運用斜率公式 求解.
3.涉及直線與線段有交點問題常利用數形結合及公式求解.
拓展 [2024·廣東佛山高二期中] 直線 的傾斜角為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為直線 的斜率為 ，
且 ，
所以直線 的傾斜角為 .故選D.
探究點二 直線的斜率與方向向量的關系
例2（1） 已知直線經過兩點,，則直線 的一個方向向量的坐標
是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為,，所以，
因為 ，所以向量與共線，
故直線的一個方向向量的坐標是 .故選C.
（2）（多選題）直線 的一個方向向量的坐標是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 在直線上取點， ，
則直線的一個方向向量的坐標為 ，故D正確；
對于A，因為，所以向量與 不共線，A不正確；
對于B，因為，所以向量,與 共線，故B正確；
對于C，因為，所以向量與 不共線，
C不正確.
故選 .
變式（1） 過，兩點的直線的一個方向向量為 ,則
( )
C
A. B. C. D.1
[解析] 方法一：由直線上的兩點， ，
得，，
又直線的一個方向向量為 ，所以，解得 ，故選C.
方法二：由直線的一個方向向量為，得直線的斜率為 ，
所以，解得 .故選C.
（2）直線過點,則直線 的一個方向向量的坐標為____________
_________.
（答案不唯一）
[解析] 直線過原點，且過點，則,
所以直線 的一個方向向量的坐標為（答案不唯一，與 共線的
非零向量的坐標均可）.
［素養小結］
一般地,如果已知是直線 的一個方向向量,那么:
（1）當時,顯然直線的斜率不存在,傾斜角為 .
（2）當時,直線的斜率存在,且向量是直線 的一個方向向量.
（3）對于非零實數 ，向量都是的方向向量,而且直線 的任意兩個方向向量
一定共線.
探究點三 直線的傾斜角與方向向量的關系
例3（1） 若直線的一個方向向量是，則直線 的傾斜角是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由題意得直線的斜率為，則直線的傾斜角是 ，故選C.
（2）若直線的傾斜角等于 ，則下列向量中不是直線 的方向向量的是 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為直線的傾斜角等于 ，所以其斜率 ，
因此直線的方向向量的坐標是 ，故選A.
變式 若直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角 ____.
[解析] 直線的一個方向向量為,，
斜率， 直線的傾斜角 .
［素養小結］
在運用直線的傾斜角與方向向量的關系時，常常由傾斜角求出斜率，再利用斜
率與方向向量的關系來求解.
1.直線傾斜角與斜率的關系
（1）直線都存在唯一的傾斜角,但并不是每條直線都存在斜率,傾斜角為 的
直線沒有斜率.
（2）直線的傾斜角是一個角（圖形）,而斜率是一個實數值（數）,斜率的絕對
值越大,直線的傾斜角越接近 .
（3）不同的傾斜角對應不同的斜率,因此,要確定一條不垂直于 軸的直線的位置,
只要知道直線上一個定點和它的斜率即可.
2.直線方向向量與斜率的關系
（1）當直線的斜率存在時，直線的方向向量與向量 共線.
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方向向量與向量 共線.
3.直線的傾斜角與方向向量的關系
直線的傾斜角與方向向量的關系可以通過直線斜率來確定.
例1 已知直線的傾斜角為 ， 且 ，則直線 的斜率的
取值范圍是___________________.
[解析] 設直線的斜率為，當 時， ，
當 時，，
故直線的斜率 的取值范圍是 .
例2 已知直線過點，，求直線的一個方向向量，并確定直線 的
斜率與傾斜角.
解：是直線 的一個方向向量，
因此直線的斜率，直線的傾斜角 滿足，從而可知 .
例3 若直線的傾斜角為 ，則它的一個方向向量的坐標為________.
[解析] 由于,則它的一個方向向量的坐標為 .第2課時　直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系
【課前預習】
知識點一
k=tan α　增大　增大　不存在
診斷分析 (1)×　(2)√
知識點二
(x2-x1,y2-y1)　k==tan α　v=(1,k)　k=
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
【課中探究】
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)經過A(2,0),B(-1,)兩點的直線的斜率kAB==-,設該直線的傾斜角為α,則tan α=-,又0°≤α<180°,所以α=150°.故選D.
(2)因為直線l的傾斜角為α,所以α∈[0,π).由-1≤k≤可得-1≤tan α≤,所以α∈∪.故選B.
變式　(1)D　(2)A　[解析] (1)由題圖知直線l1的傾斜角為鈍角,∴k1<0.∵直線l2,l3的傾斜角為銳角,且l2的傾斜角較大,∴0(2)如圖所示,設直線l的傾斜角為α,α∈[0,π),由題知kPA==-1,kPB==1.∵直線l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點的線段總有公共點,∴kPA≤tan α≤kPB,即-1≤tan α≤1,∴α∈∪.故選A.
拓展　D　[解析] 因為直線y=2-xtan 36°的斜率為-tan 36°,且-tan 36°=tan(180°-36°)=tan 144°,所以直線y=2-xtan 36°的傾斜角為144°.故選D.
例2　(1)C　(2)BD　[解析] (1)因為A(-1,2),B(3,4),所以=(4,2),因為(-4,-2)=-,所以向量(-4,-2)與共線,故直線l的一個方向向量的坐標是(-4,-2).故選C.
(2)在直線y=-x-上取點P1(1,-1),P2(-2,1),則直線的一個方向向量的坐標為(-2-1,1-(-1))=(-3,2),故D正確;對于A,因為2×2-3×(-3)≠0,所以向量(2,3)與(-3,2)不共線,A不正確;對于B,因為-3×-2×1=0,所以向量與(-3,2)共線,故B正確;對于C,因為-3×2-(-2)×(-3)≠0,所以向量(-3,-2)與(-3,2)不共線,C不正確.故選BD.
變式　(1)C　(2)(2,2)(答案不唯一)　[解析] (1)方法一:由直線上的兩點A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y)=2,又直線AB的一個方向向量為n=(-1,-1),所以=-1,解得y=-1,故選C.
方法二:由直線的一個方向向量為n=(-1,-1),得直線的斜率為=1,所以=1,解得y=-1.故選C.
(2)直線l:y=kx過原點O,且過點A(2,2),則=(2,2),所以直線l的一個方向向量的坐標為(2,2)(答案不唯一,與=(2,2)共線的非零向量的坐標均可).
例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)由題意得直線l的斜率為-,則直線l的傾斜角是,故選C.
(2)因為直線l的傾斜角等于135°,所以其斜率k=tan 135°=-1,因此直線l的方向向量的坐標是(m,-m)(m∈R,m≠0),故選A.
變式　　[解析] ∵直線l的一個方向向量為a=,∴斜率k====tan,∴直線l的傾斜角θ=.第2課時　直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系
1.C　[解析] ∵直線的傾斜角是,∴直線的斜率為tan=tan=-tan=-.故選C.
2.D　[解析] 由于直線l的一個方向向量的坐標是(-,6),則直線l的斜率為=-2.故選D.
3.B　[解析] 當直線的傾斜角為45°時,斜率為1;當直線的傾斜角為135°時,斜率為-1.由y=
tan α的單調性可知,當45°<α<90°時,k=tan α>1;當90°<α<135°時,k=tan α<-1.綜上可知,k的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).故選B.
4.C　[解析] 由題可知,直線的斜率k=tan 135°==-1,∴a=2.故選C.
5.C　[解析] 由題圖可知,直線l3,l4的傾斜角為鈍角,斜率為負值,直線l1,l2的傾斜角為銳角,斜率為正值,且直線l4的傾斜角大于直線l3的傾斜角,直線l2的傾斜角大于直線l1的傾斜角,所以0>k4>k3,k2>k1>0,所以k36.A　[解析] 設直線l的傾斜角為α,依題意得0≤α<π,α≠,tan α∈.當-1≤tan α<0時,可得≤α<π,當0≤tan α≤時,可得0≤α≤,所以直線l的傾斜角的取值范圍是∪.故選A.
7.ACD　[解析] 因為直線l過點A(0,2),B(,-1),所以直線l的斜率k==-,故B不正確;直線l的傾斜角為,故A正確;易知直線l的一個方向向量為u=(1,-),故C正確;因為u∥v,所以直線l的一個方向向量為v=(-,3),故D正確.故選ACD.
8.BCD　[解析] 對于A,直線AB的斜率kAB==,故A錯誤;對于B,直線BC的斜率kBC==-<0,所以直線BC的傾斜角為鈍角,故B正確;對于C,直線CA的斜率kCA==1,所以直線CA的一個方向向量為(1,kCA),即(1,1),故C正確;對于D,設AB邊的中點為D(x0,y0),則x0==-,y0==,即點D,則kCD==-5,故D正確.故選BCD.
9.(-3,)(答案不唯一)　[解析] 因為直線l的傾斜角為150°,所以直線l的斜率k=tan 150°=-,所以直線l的方向向量與v=共線,可取直線l的一個方向向量為(-3,).
10.　[解析] 直線l的斜率的取值范圍為,即≤tan α≤1,又0≤α<π,所以≤α≤,所以α的取值范圍為.
11.(3,0)或(0,3)　[解析] 由題意可得kPA=-1.若點P在x軸上,則設P(m,0),由=-1,解得m=3;若點P在y軸上,則設P(0,n),由=-1,解得n=3.故點P的坐標為(3,0)或(0,3).
12.,-3　[解析] 設正方形一邊所在直線的傾斜角為α,其斜率k=tan α<2,則其中一條對角線所在直線的傾斜角為α+,其斜率為tan.根據題意,令tan=2,即==2,解得tan α=,即正方形其中一邊所在直線的斜率為.又易知與該邊相鄰的邊所在直線的傾斜角為α+,所以與該邊相鄰的邊所在直線的斜率為tan===-=-3.故該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為,-3.
13.解:(1)斜率k與傾斜角θ之間的關系為k=tan θ,利用正切函數的單調性可知,正切函數y=
tan θ在上單調遞增,又tan=1,tan=,所以當θ∈時,斜率k∈[1,],即斜率k的取值范圍是[1,].
(2)由正切函數的性質可知,當θ∈時,y=tan θ單調遞增,且θ從右側趨近時,tan θ趨近-∞,易知tan=-,所以當θ∈時,斜率k∈(-∞,-),即斜率k的取值范圍是(-∞,-).
14.解:因為直線AB的傾斜角α不是銳角,所以α=0°或α=90°或α是鈍角.當α=0°時,1+t=2t,得t=1;當α=90°時,1-t=3,得t=-2;當α是鈍角時,直線AB的斜率小于0,即<0,得<0,所以或解得-215.D　[解析] 因為直線l的一個方向向量的坐標是(1,sin θ),所以直線l的斜率k=sin θ,所以-1≤k≤1,則-1≤tan α≤1,易得0≤α≤或≤α<π.故選D.
16.ABD　[解析] 正切函數y=tan x在上單調遞增,在上也單調遞增.分以下四種情況討論:當0【學習目標】
　　1.理解直線的傾斜角與斜率的關系.
　　2.理解利用直線的方向向量來描述直線的傾斜程度.
◆ 知識點一　直線的斜率與傾斜角的關系
由正切函數的概念可知,傾斜角不是的直線,它的斜率k和它的傾斜角α滿足　　　 .
斜率k與傾斜角α有如下關系:
當α∈時,斜率k≥0,且k隨傾斜角α的增大而　　　　;
當α∈時,斜率k<0,且k隨傾斜角α的增大而　　　　　;
當α=時,直線l與x軸垂直,此時直線l的斜率　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線的傾斜角越大,它的斜率也越大;反過來,直線的斜率越大,它的傾斜角也越大. (　 )
(2)所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率,傾斜角是90°的直線不存在斜率. (　 )
◆ 知識點二　直線的斜率與方向向量的關系
在直線l上任取兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2),由平面向量的知識可知,向量是直線l的方向向量,它的坐標是　　　　　　.直線的傾斜角α、斜率k、方向向量分別從不同的角度刻畫一條直線相對于平面直角坐標系中x軸的傾斜程度,它們之間的關系是　　　　　　　　(其中x1≠x2).若k是直線l的斜率,則　　　　是它的一個方向向量;若直線l的一個方向向量的坐標為(x,y),其中x≠0,則它的斜率　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)一條直線的方向向量與x軸正方向所成的角和直線的傾斜角相等. (　 )
(2)已知直線上不同兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以確定直線的方向,求出直線的一個方向向量,進而可以求出它的斜率. (　 )
(3)若直線l的一個方向向量的坐標為(x0,y0),則l的斜率為. (　 )
◆ 探究點一　直線的斜率與傾斜角的關系
例1 (1)過點A(2,0),B(-1,)的直線的傾斜角為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)[2024·江西九江高二期中] 已知直線l的斜率k∈[-1,],則直線l的傾斜角α的取值范圍為 (　 )
A. B.∪
C. D.∪
變式 (1)如圖,已知直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則 (　 )
A.k1B.k3C.k3D.k1(2)經過點P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點的線段總有公共點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是 (　 )
A.∪
B.
C.∪
D.∪
[素養小結]
1.由傾斜角大小(或范圍)求斜率大小(或范圍)利用公式k=tan α(α≠90°)求解.
2.由兩點坐標求直線斜率運用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
3.涉及直線與線段有交點問題常利用數形結合及公式求解.
拓展 [2024·廣東佛山高二期中] 直線y=2-xtan 36°的傾斜角為 (　 )
A.36° B.72°
C.108° D.144°
◆ 探究點二　直線的斜率與方向向量的關系
例2 (1) 已知直線l經過兩點A(-1,2),B(3,4),則直線l的一個方向向量的坐標是 (　 )
A.(2,-4) B.(1,2)
C.(-4,-2) D.(4,-2)
(2)(多選題)直線y=-x-的一個方向向量的坐標是 (　 )
A.(2,3) B.
C.(-3,-2) D.(-3,2)
變式 (1)過A(4,y),B(2,-3)兩點的直線的一個方向向量為n=(-1,-1),則y= (　 )
A.- B.
C.-1 D.1
(2)直線l:y=kx過點A(2,2),則直線l的一個方向向量的坐標為　　　　　　.
[素養小結]
一般地,如果已知a=(u,v)是直線l的一個方向向量,那么:
(1)當u=0時,顯然直線l的斜率不存在,傾斜角為90°.
(2)當u≠0時,直線l的斜率k存在,且向量(1,k)是直線l的一個方向向量.
(3)對于非零實數λ,向量λa都是l的方向向量,而且直線l的任意兩個方向向量一定共線.
◆ 探究點三　直線的傾斜角與方向向量的關系
例3 (1)若直線l的一個方向向量是e=(-1,),則直線l的傾斜角是 (　 )
A. B. C. D.
(2)若直線l的傾斜角等于135°,則下列向量中不是直線l的方向向量的是 (　 )
A.(2,2) B.(-3,3)
C.(,-) D.
變式 若直線l的一個方向向量為a=,則直線l的傾斜角θ=　　　　.
[素養小結]
在運用直線的傾斜角與方向向量的關系時,常常由傾斜角求出斜率,再利用斜率與方向向量的關系來求解.第2課時　直線的斜率與傾斜角、方向向量的關系
一、選擇題
1.已知直線的傾斜角是,則直線的斜率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.
C.- D.
2.若直線l的一個方向向量的坐標是(-,6),則其斜率為 (　 )
A. B.-
C.2 D.-2
3.已知直線l的傾斜角為α,若45°<α<135°且α≠90°,則直線l的斜率k的取值范圍為 (　 )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
4.傾斜角為135°的直線經過點(a+1,5)和(2a-2,3a),則a= (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
5.如圖,若直線l1,l2,l3,l4的斜率分別為k1,k2,k3,k4,則 (　 )
A.k4B.k1C.k3D.k26.若直線l的斜率k∈,則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　 )
A.∪
B.
C.∪
D.
7.(多選題)已知直線l過點A(0,2),B(,-1),則 (　 )
A.直線l的傾斜角為
B.直線l的斜率為
C.直線l的一個方向向量為u=(1,-)
D.直線l的一個方向向量為v=(-,3)
8.(多選題)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),則下列說法正確的是 (　 )
A.直線AB的斜率為7
B.直線BC的傾斜角為鈍角
C.若a=(1,1),則a是直線CA的一個方向向量
D.△ABC中,邊AB上中線所在直線的斜率為-5
二、填空題
9.[2024·四川成都高二期末] 若直線l的傾斜角為150°,則它的一個方向向量為　　　　.
10.已知直線l的傾斜角為α,直線l的斜率的取值范圍為,則α的取值范圍為　　　　.
11.已知點A(1,2),若在坐標軸上有一點P,使直線PA的傾斜角為135°,則點P的坐標為　　　　　.
12.若正方形的一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為　　　　.
三、解答題
13.根據下列給出的直線l的傾斜角θ的取值范圍,計算直線的斜率k的取值范圍.
(1)θ∈;
(2)θ∈.
14.若經過點A(1-t,1+t)和點B(3,2t)的直線的傾斜角α不是銳角,求實數t的取值范圍.
15.若直線l的一個方向向量的坐標是(1,sin θ),θ∈R,則直線l的傾斜角α的取值范圍是 (　 )
A.[0,π) B.
C. D.∪
16.(多選題)[2024·河南南陽高二期中] 已知三條直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,傾斜角分別為α,β,γ,且k1A.α<β<γ B.β<γ<α
C.α<γ<β D.γ<α<β

展開更多......

收起↑