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第3課時　直線方程的一般式
【學習目標】
　　1.根據確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的一般式.
　　2.會進行直線方程的五種形式之間的轉化.
◆ 知識點一　直線方程的一般式
關于x,y的二元一次方程　　　　　　　(其中A,B不全為0)表示的是一條直線,稱它為直線方程的　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線方程的一般式都可以化為截距式. (　 )
(2)直線方程的一般式都可以化為斜截式. (　 )
(3)平面直角坐標系中的任何一條直線都可以用直線方程的一般式表示. (　 )
◆ 知識點二　直線方程的點法式
若直線l過點P0(x0,y0),且它的一個法向量為n=(A,B),則直線l的方程為　　　　　　　,稱這個方程為直線方程的點法式.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)任何直線的方程都可以化為點法式. (　 )
(2)直線Ax+By+C=0的一個法向量的坐標為(B,-A). (　 )
(3)直線Ax+By+C=0的一個方向向量的坐標為(B,-A). (　 )
◆ 探究點一　直線方程的一般式
例1 根據下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式.
(1)斜率是,且經過點A(5,3);
(2)經過A(-1,5),B(2,-1)兩點;
(3)在x軸、y軸上的截距分別為-3,-1;
(4)經過點B(4,2),且平行于x軸.
變式1 若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一條直線,則實數m滿足 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.m≠0
B.m≠2
C.m≠±2
D.m≠±2且m≠0
變式2 求直線x-2y+2=0繞點(-2,0)按逆時針方向旋轉后所得到的直線的方程.
[素養小結]
1.求直線方程的一般式的方法
2.由直線方程的一般式轉化為四種特殊形式時,一定要注意轉化的前提條件.
◆ 探究點二　直線方程一般式的應用
例2 設直線l的方程為(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)若直線l在x軸上的截距為-3,求m的值;
(2)若直線l的斜率為1,求m的值.
變式 (1)[2024·北京101中學高二月考] 由曲線2|x|+|y|=2圍成的圖形的面積為 (　 )
A.2 B.4
C.5 D.8
(2)在同一平面直角坐標系中,直線l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是 (　 )
A B C D
[素養小結]
(1)若方程Ax+By+C=0表示直線,則需滿足A,B不同時為0.
(2)在直線方程Ax+By+C=0中,令x=0可得直線在y軸上的截距,令y=0可得直線在x軸上的截距.若確定直線斜率存在,則可將一般式化為斜截式.
(3)解分式方程注意驗根.
拓展 已知直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0.
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求a的值;
(2)若l不經過第二象限,求實數a的取值范圍.
◆ 探究點三　直線方程的點法式
例3 (1)直線l過點A(3,-1),且l的一個法向量為n=(3,2),則直線l的方程的點法式為　　　　　　　　.
(2)在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),則AB邊上的高所在直線的方程是 (　 )
A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0
C.x+2y-8=0 D.x-2y+4=0
變式 過點P(-1,2),且與直線=垂直的直線的方程的點法式為　　　　　　.
[素養小結]
在求直線方程的點法式時,一定要區別直線的法向量與方向向量, 結合向量的知識準確找出直線的一個法向量,再由點法式,寫出直線的方程.
◆ 探究點四　直線過定點問題
例4 (1)無論k為何值,直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過一個定點,則該定點的坐標為 (　 )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)
(2)已知實數a,b滿足a+2b=1,則直線ax+3y+b=0過定點 (　 )
A. B.
C. D.
變式 已知A(-2,4),B(4,2),直線l:ax-y-2=0與線段AB恒相交,求實數a的取值范圍.
[素養小結]
(1)題目給出已知直線方程含參,則直線一般過定點;
(2)直線過定點,當斜率存在時,將直線方程化為點斜式,可得直線過定點P,當斜率不存在時,根據直線方程也可得直線過定點P,從而可得答案.第3課時　直線方程的一般式
一、選擇題
1.直線x+3y+4=0的傾斜角為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.如果AB<0,BC<0,那么直線Ax+By+C=0不經過 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·遼寧大連高二期中] 已知直線l經過點A(3,2),且n=(3,-4)是直線l的一個法向量,則直線l的方程為 (　 )
A.4x-3y-6=0
B.4x+3y-18=0
C.3x+4y-17=0
D.3x-4y-1=0
4.若直線l過點A(1,0),B(2,3),則它的方程的點法式為 (　 )
A.(x-1)+3y=0
B.3(x-1)+y=0
C.-3(x-1)+y=0
D.(x-1)-3y=0
5.關于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直線(圖中實線)可能是 (　 )
A B C D
6.已知直線l的方程為xsin α+y-1=0,α∈R,則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　 )
A.∪
B.∪
C.
D.
7.(多選題)已知直線l:mx+y+1=0,A(1,2),B(3,3),則下列結論正確的是 (　 )
A.直線l恒過定點(0,-1)
B.當m=0時,直線l的斜率為0
C.當m=1時,直線l的傾斜角為45°
D.當m=2時,直線l與直線AB的斜率相同
8.(多選題)已知直線l:ax+y-2+a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值可能是 (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
二、填空題
9.若直線l的方程為x-y+3=0,則直線l的一個法向量的坐標是　　　　.
10.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則實數m的取值范圍是　　　　　　　.
11.直線l經過點P(2,3),且與向量n=(-8,4)垂直,則直線l的方程為　　　　　　.
12.[2024·黑龍江哈爾濱高二期末] 不論k為何值,直線l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒過定點A,若直線mx+ny=2過點A,且m,n是正實數,則+的最小值是　　　　.
三、解答題
13.根據下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式.
(1)斜率為,且經過點A(5,3);
(2)過點B(-3,0),且垂直于x軸;
(3)斜率為4,且在y軸上的截距為-2;
(4)在y軸上的截距為3,且平行于x軸;
(5)經過點(1,2),且與直線x+2y=0垂直.
14.已知直線l:kx-y+2+k=0(k∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線不經過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,O為坐標原點,△AOB的面積為S,求S的最小值并求此時直線l的方程.
15.[2024·福建漳州高二期中] 已知點A(2,-3),B(-3,-2).若直線l:mx+y-m-1=0與線段AB相交,則實數m的取值范圍是 (　 )
A.∪[4,+∞)
B.
C.
D.
16.在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數,就稱點(x,y)為整點,下列說法中正確的是
　　　　(寫出所有正確說法的序號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經過任何整點;
②若k與b都是無理數,則直線y=kx+b不經過任何整點;
③若直線l經過兩個不同的整點,則直線l必經過無窮多個整點;
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充要條件是k與b都是有理數;
⑤存在恰經過一個整點的直線.(共34張PPT)
1 直線與直線的方程
1.3 直線的方程
第3課時 直線方程的一般式
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.
2.會進行直線方程的五種形式之間的轉化.
知識點一 直線方程的一般式
關于，的二元一次方程________________（其中， 不全為0）表示的是一
條直線，稱它為直線方程的________.
一般式
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）直線方程的一般式都可以化為截距式.( )
×
（2）直線方程的一般式都可以化為斜截式.( )
×
（3）平面直角坐標系中的任何一條直線都可以用直線方程的一般式表示.( )
√
知識點二 直線方程的點法式
若直線過點，且它的一個法向量為，則直線 的方程為
_________________________，稱這個方程為直線方程的點法式.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）任何直線的方程都可以化為點法式.( )
√
（2）直線的一個法向量的坐標為 .( )
×
（3）直線的一個方向向量的坐標為 .( )
√
探究點一 直線方程的一般式
例1 根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式.
（1）斜率是，且經過點 ；
解：由點斜式，得直線方程為 ，
即 .
（2）經過， 兩點；
解：由兩點式，得直線方程為 ，
即 .
（3）在軸、軸上的截距分別為， ；
解：由截距式，得直線方程為，即 .
（4）經過點，且平行于 軸.
解：直線方程為，即 .
變式1 若方程表示一條直線，則實數 滿足
( )
B
A. B.
C. D.且
[解析] 當時，或；
當時，或 .
要使方程表示一條直線，
則， 不能同時為0，所以 ，故選B.
變式2 求直線繞點按逆時針方向旋轉 后所得到的直線
的方程.
解：設直線的傾斜角為 ，旋轉后直線的傾斜角為 ，
則，.
易知旋轉后的直線過點 ，
所以旋轉后所得到的直線的方程為，即 .
［素養小結］
1.求直線方程的一般式的方法
2.由直線方程的一般式轉化為四種特殊形式時，一定要注意轉化的前提條件.
探究點二 直線方程一般式的應用
例2 設直線的方程為 .
（1）若直線在軸上的截距為，求 的值；
解：由題意知，即且 ，
令，得，，解得 .
（2）若直線的斜率為1，求 的值.
解：由題意知，，即且.
將直線 的方程化為斜截式，得，
，得 .
變式（1） [2024·北京101中學高二月考]由曲線 圍成的圖形的面
積為( )
B
A.2 B.4 C.5 D.8
[解析] 當,時，曲線方程為 ；
當,時，曲線方程為；
當, 時，曲線方程為；
當, 時，曲線方程為.
作出曲線 ，如圖所示，
由圖可知，圍成的圖形是一個菱形，
其面積為 .故選B.
（2）在同一平面直角坐標系中，直線 ，
的位置可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 直線的方程是，可化為，
的方程是，可化為.
在A中，假設直線的位置正確，則 ,，所以,的傾斜角為鈍角，
故A錯誤；
在B中,假設直線 的位置正確,則,,所以, 的傾斜角為銳角,
故B錯誤；
在C中，假設直線的位置正確，則,，所以，
的傾斜角為鈍角，且 在軸上的截距為正數，故C錯誤；
在D中，假設直線的位置正確，則 ,，所以,的傾斜角為鈍角，
且在 軸上的截距為負數，故D正確.
故選D.
［素養小結］
（1）若方程表示直線，則需滿足， 不同時為0.
（2）在直線方程中，令可得直線在 軸上的截距，令
可得直線在 軸上的截距.若確定直線斜率存在，則可將一般式化為斜截式.
（3）解分式方程注意驗根.
拓展 已知直線的方程為 .
（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求 的值；
解：易知，在方程中，
令，則 ，令，則.
在兩坐標軸上的截距相等，，解得 或 .
（2）若不經過第二象限，求實數 的取值范圍.
解：將直線的方程化為斜截式得 ，
直線不經過第二象限，解得 ，
實數的取值范圍為 .
探究點三 直線方程的點法式
例3（1） 直線過點，且的一個法向量為，則直線 的方程
的點法式為______________________.
[解析] 直線的方程的點法式為 .
（2）在中，，，，則 邊上的高所在直線的方程是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在中，，，，
邊上的高所在直線的一個法向量為，且過點，
故 邊上的高所在直線的方程是，即 .故選A.
變式 過點，且與直線 垂直的直線的方程的點法式為
__________________.
[解析] 與直線垂直的直線的一個法向量的坐標為 ，
則所求直線方程的點法式為 .
［素養小結］
在求直線方程的點法式時，一定要區別直線的法向量與方向向量，結合向量的
知識準確找出直線的一個法向量，再由點法式，寫出直線的方程.
探究點四 直線過定點問題
例4（1） 無論為何值,直線 都過一個定點,則
該定點的坐標為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .
當時，直線方程為 ，
由點斜式可知，直線過定點；
當時，直線方程為，過點 .
因此所求定點坐標為 .故選D.
（2）已知實數，滿足，則直線 過定點( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
則直線方程 即為，
整理得 ，
由直線方程的點斜式可知，直線過定點, .故選D.
變式 已知，，直線與線段 恒相交，求實
數 的取值范圍.
解：由，得 ，由點斜式可知，
直線過定點.
如圖所示，設線段與軸交于點 ，
易知直線不過點，由圖知，
當直線與線段 的交點在線段（不含端點）上時，
大于或等于直線 的斜率，即；
當直線與線段的交點在線段 （不含端點）上時，
小于或等于直線的斜率，即.
綜上，實數 的取值范圍為 .
［素養小結］
（1）題目給出已知直線方程含參，則直線一般過定點；
（2）直線過定點，當斜率存在時，將直線方程化為點斜式，可得直線過定點 ，
當斜率不存在時，根據直線方程也可得直線過定點 ，從而可得答案.
1.解讀直線方程的一般式：
①方程是關于， 的二元一次方程.
②方程中等號的左側自左向右一般按， ，常數的先后順序排列.
的系數一般不為分數和負數.
④雖然直線方程的一般式有三個參數，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的
方程.
2.直線方程的一般式轉化為直線方程的斜截式、截距式
形式 方程 轉化條件
一般式
斜截式
截距式
3.直線方程的一般式 表示特殊的直線時，系數
，， 滿足的條件
特殊直線 系數滿足的條件
過原點
4.兩個重要結論
結論1：平面直角坐標系中任何一條直線都可以用關于， 的二元一次方程
，不同時為零 來表示.
結論2：任何關于，的二元一次方程，不同時為零 都可
以表示平面直角坐標系中的一條直線.
例1 分別根據下列條件寫出直線方程，并且化成一般式.
（1）斜率是，經過點 ；
解：由直線方程的點斜式得直線方程為 ，
即 .
（2）在軸和軸上的截距分別是， ；
解：由直線方程的截距式得直線方程為，即 .
（3）經過兩點， .
解：由直線方程的兩點式得直線方程為，即 .
例2 直線不過第二象限，則 的取值范圍為( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 若，則直線的方程為 ，該直線不過第二象限，合乎題意；
若，可得直線的方程的斜截式為，
因為直線 不過第二象限，所以解得.
綜上所述， .故選A.
例3 經過點且與直線 垂直的直線的方程的點法式為
_______________________.
[解析] 由于直線的一個法向量的坐標為 ，
故它的一個方向向量的坐標為，
則與直線 垂直的直線的一個法向量的坐標為，
又直線過點 ，
所以所求直線方程的點法式為，
即 .
例4 [2023·哈爾濱期中] 已知直線 ，直線
，其中，若直線， 與兩坐標軸圍成一個凸四邊形，
則此四邊形面積的取值范圍是_______.
[解析] 易知直線過定點，
與 軸、軸的交點分別為， ，
直線過定點，
與軸、 軸的交點分別為，.
記坐標原點為，連接 ，因為，所以在的右側，在的上方，
則直線， 與兩坐標軸圍成的四邊形是四邊形，如圖所示.
因為 ，
，
所以四邊形 的面積，
因為 ，所以，則 .第3課時　直線方程的一般式
【課前預習】
知識點一
Ax+By+C=0　一般式
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
知識點二
A(x-x0)+B(y-y0)=0
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　解:(1)由點斜式,得直線方程為y-3=(x-5),
即x-y-5+3=0.
(2)由兩點式,得直線方程為=,
即2x+y-3=0.
(3)由截距式,得直線方程為+=1,即x+3y+3=0.
(4)直線方程為y=2,即y-2=0.
變式1　B　[解析] 當m2-4=0時,m=2或m=-2;當m2-2m=0時,m=0或m=2.要使方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一條直線,則m2-4,m2-2m不能同時為0,所以m≠2,故選B.
變式2　解:設直線x-2y+2=0的傾斜角為α,旋轉后直線的傾斜角為β,則tan α=,tan β=tan==3.易知旋轉后的直線過點(-2,0),所以旋轉后所得到的直線的方程為y=3(x+2),即3x-y+6=0.
例2　解:(1)由題意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1,
令y=0,得x=,∴=-3,解得m=-.
(2)由題意知,2m2+m-1≠0,即m≠且m≠-1.將直線l的方程化為斜截式,得y=x+,∴=1,得m=-2.
變式　(1)B　(2)D　[解析] (1)當x≥0,y≥0時,曲線方程為2x+y=2;當x≥0,y<0時,曲線方程為2x-y=2;當x<0,y≥0時,曲線方程為-2x+y=2;當x<0,y<0時,曲線方程為-2x-y=2.作出曲線2|x|+|y|=2,如圖所示,由圖可知,圍成的圖形是一個菱形,其面積為×2×4=4.故選B.
(2)直線l1的方程是ax-y+b=0,可化為y=ax+b,l2的方程是bx+y-a=0,可化為y=-bx+a.在A中,假設直線l1的位置正確,則a>0,b>0,所以-b<0,l2的傾斜角為鈍角,故A錯誤;在B中,假設直線l1的位置正確,則a>0,b<0,所以-b>0,l2的傾斜角為銳角,故B錯誤;在C中,假設直線l1的位置正確,則a>0,b>0,所以-b<0,l2的傾斜角為鈍角,且l2在y軸上的截距為正數,故C錯誤;在D中,假設直線l1的位置正確,則a<0,b>0,所以-b<0,l2的傾斜角為鈍角,且l2在y軸上的截距為負數,故D正確.故選D.
拓展　解:(1)易知a≠-1,在方程(a+1)x+y+2-a=0中,令x=0,則y=a-2,令y=0,則x=.∵l在兩坐標軸上的截距相等,∴a-2=,解得a=2或a=0.
(2)將直線l的方程化為斜截式得y=-(a+1)x+a-2,
∵直線l不經過第二象限,∴解得a≤-1,
∴實數a的取值范圍為(-∞,-1].
例3　(1)3(x-3)+2(y+1)=0　(2)A　[解析] (1)直線l的方程的點法式為3(x-3)+2(y+1)=0.
(2)∵在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),∴AB邊上的高所在直線的一個法向量為=(2,1),且過點C(2,3),故AB邊上的高所在直線的方程是2(x-2)+(y-3)=0,即 2x+y-7=0.故選A.
變式　7(x+1)+5(y-2)=0　[解析] 與直線=垂直的直線的一個法向量的坐標為(7,5),則所求直線方程的點法式為7(x+1)+5(y-2)=0.
例4　(1)D　(2)D　[解析] (1)由(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0,得(k-1)(y+1)=(k+2)(x-3).當k≠1時,直線方程為y+1=(x-3),由點斜式可知,直線過定點(3,-1);當k=1時,直線方程為x=3,過點(3,-1).因此所求定點坐標為(3,-1).故選D.
(2)由a+2b=1,得a=1-2b,則直線方程ax+3y+b=0即為(1-2b)x+3y+b=0,整理得y+=,由直線方程的點斜式可知,直線過定點.故選D.
變式　解:由ax-y-2=0,得y+2=ax,由點斜式可知,直線l過定點D(0,-2).如圖所示,設線段AB與y軸交于點C,易知直線l不過點C,由圖知,當直線l:ax-y-2=0與線段AB的交點在線段CB(不含端點C)上時,a大于或等于直線DB的斜率,即a≥=1;當直線l:ax-y-2=0與線段AB的交點在線段AC(不含端點C)上時,a小于或等于直線DA的斜率,即a≤=-3.綜上,實數a的取值范圍為(-∞,-3]∪[1,+∞).第3課時　直線方程的一般式
1.A　[解析] 由x+3y+4=0得y=-x-,故直線的斜率為-,又傾斜角的取值范圍為[0,π),所以傾斜角為.故選A.
2.D　[解析] 由題易知B≠0,由Ax+By+C=0可得y=-x-,因為AB<0,BC<0,所以->0,->0,故直線不經過第四象限.故選D.
3.D　[解析] 設P(x,y)為直線l上異于點A的任意一點,因為n=(3,-4)是直線l的一個法向量,所以·n=0,又因為=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y-2)=0,整理可得3x-4y-1=0,又點A坐標滿足上式,所以直線l的方程為3x-4y-1=0.故選D.
4.C　[解析] 因為直線l過點A(1,0),B(2,3),且=(1,3),所以直線l的一個法向量為n=(-3,1),所以該直線方程的點法式為-3(x-1)+y=0.
5.D　[解析] 關于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的是直線,且直線的斜率為a,在y軸上的截距為-,直線的斜率和它在y軸上的截距的乘積為-1.對于A,直線的斜率和它在y軸上的截距都是正數,不滿足題意,所以排除A;對于B,直線的斜率小于1,它在y軸上的截距大于-1且小于0,不滿足題意,所以排除B;對于C,直線的斜率和它在y軸上的截距都是負數,不滿足題意,所以排除C;對于D,直線的斜率小于-1,它在y軸上的截距大于0且小于1,能滿足題意.故選D.
6.B　[解析] 由xsin α+y-1=0,α∈R,得直線l的斜率k=-sin α∈,設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π),則k=tan θ∈.當k∈時,直線l的傾斜角θ∈;當k∈時,直線l的傾斜角θ∈.綜上所述,直線l的傾斜角的取值范圍為∪.故選B.
7.AB　[解析] 直線l:mx+y+1=0的方程可化為y=-mx-1,當x=0時,y=-1,故直線l恒過定點(0,-1),選項A正確;當m=0時,直線l:y+1=0的斜率為0,選項B正確;當m=1時,直線l:x+y+1=0的斜率為-1,故傾斜角為135°,選項C錯誤;當m=2時,直線l:2x+y+1=0的斜率為-2,又kAB==,所以直線l與直線AB的斜率不相同,選項D錯誤.故選AB.
8.AC　[解析] 若直線過原點,則-2+a=0,解得a=2;若直線不過原點,則a≠0且a≠2,直線在x軸上的截距為,在y軸上的截距為2-a,由=2-a,可得a=1.綜上,a的值是1或2.故選AC.
9.(1,-1)(答案不唯一)　[解析] 因為直線l的方程為x-y+3=0,所以n=(1,-1)是直線l的一個法向量.
10.(-∞,1)∪(1,+∞)　[解析] 若所給方程表示一條直線,則2m2+m-3與m2-m不同時為0,由
得m=1,故實數m的取值范圍是(-∞,1)∪(1,+∞).
11.2x-y-1=0　[解析] ∵直線l與向量n=(-8,4)垂直,∴直線l的一個法向量為n=(-8,4),又直線l過點P(2,3),∴直線l的方程的點法式為-8(x-2)+4(y-3)=0,化為一般式得2x-y-1=0.
12.　[解析] 當k≠-3時,直線l:(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的方程可整理得y-3=(x-2),所以直線過定點(2,3);當k=-3時,直線方程為x=2,此時直線也過點(2,3).綜上,直線l恒過定點A(2,3).因為直線mx+ny=2過點A,且m,n是正實數,所以2m+3n=2,則+=(2m+3n)=≥=,當且僅當=,即m=3n=時取等號,所以+的最小值是.
13.解:(1)由直線方程的點斜式得y-3=(x-5),整理得x-y+3-5=0.
(2)因為直線過點B(-3,0),且垂直于x軸,
所以其方程為x=-3,即x+3=0.
(3)因為直線的斜率為4,且在y軸上的截距為-2,
所以直線的方程為y=4x-2,即4x-y-2=0.
(4)因為直線在y軸上的截距為3,且平行于x軸,所以直線方程為y=3,即y-3=0.
(5)由x+2y=0得y=-x,即直線x+2y=0的斜率k=-,所以a=為所求直線的一個法向量,又所求直線過點(1,2),所以所求直線的方程為1×(x-1)-(y-2)=0,即2x-y=0.
14.解:(1)證明:直線l:kx-y+2+k=0的方程可化為y-2=k(x+1),由直線方程的點斜式可得直線l:kx-y+2+k=0過定點(-1,2).
(2)直線l:kx-y+2+k=0,即y=kx+2+k,
因為直線l不經過第四象限,所以解得k≥0,
故k的取值范圍是[0,+∞).
(3)因為直線l交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于B,所以k>0.對于直線l的方程kx-y+2+k=0,令y=0,解得x=-,令x=0,解得y=2+k,所以△AOB的面積S=×|OA|×|OB|=××(2+k)= =++2≥2+2=4,當且僅當=,即k=2時等號成立.所以S的最小值為4,此時直線l的方程為2x-y+4=0.
15.A　[解析] 直線l:mx+y-m-1=0的方程可化為y-1=-m(x-1),∴直線l必過定點P(1,1).由A(2,-3),B(-3,-2),可得kPA==-4,kPB==.∵直線l:mx+y-m-1=0與線段AB相交,∴由圖可知,-m≥kPB或-m≤kPA,解得m≤-或m≥4,則實數m的取值范圍是∪[4,+∞).故選A.
16.①③⑤　[解析] 對于①,令y=x+,則該直線既不與坐標軸平行又不經過任何整點,故①正確.對于②,取k=,b=-,則直線y=x-經過整點(1,0),故②錯誤.對于③,設直線經過整點(x1,y1),(x2,y2),x1,y1,x2,y2∈Z,當x1=x2時,直線方程為x=x2,此時直線經過無窮多個整點;當x1≠x2時,直線的斜率k=∈Q,不妨設為k=(p,q∈Z,q≠0),則直線l:y-y1=(x-x1),它經過點(x1+qn,y1+pqn-1)(n∈N*),這些點是無數個整點,故③正確.對于④,當k,b都為有理數時,可取k=,b=,此時直線y=x+不經過整點,故④錯誤.對于⑤,直線y=x只經過一個整點(0,0),故⑤正確.故填①③⑤.

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