資源簡介

第2課時　兩條直線垂直
【課前預習】
知識點
k1k2=-1　平行或重合　0
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　(1)C　[解析] 因為直線l的斜率為1,所以與l垂直的直線的斜率為-1,結合選項可得C正確.故選C.
(2)解:①直線l1的斜率k1==,直線l2的斜率k2==,∵k1k2=1,∴l1與l2不垂直.
②∵a=(10,1)=10,∴直線l2的斜率k2=,又直線l1的斜率k1=-10,∴k1k2=-1,∴l1⊥l2.
③由題可知,直線l1與x軸垂直,直線l2與x軸平行,∴l1⊥l2.
變式　證明:(1)由斜率公式,得kAB==,kCD==-,則kABkCD=×=-1,所以AB⊥CD.
(2)由l1,l2的方程可知,直線l1,l2的斜率分別為k1=-,k2==,則k1k2=×=-1,所以l1⊥l2.
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)直線l:x-2y+1=0的斜率k=,而所求直線垂直于直線l,故所求直線的斜率為-2,又所求直線過點P(1,-1),所以所求直線的方程為y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.故選B.
(2)因為直線l1與直線l2互相垂直,所以a×1-2(a-1)=0,解得a=2.故選C.
變式　(1)D　(2)D　[解析] (1)設AC邊上的高所在直線的斜率為k1,則k1=-.設AC邊所在直線的斜率為k2,因為AC邊上的高與AC邊垂直,所以k1k2=-1,所以k2=,又A(5,5),所以AC邊所在直線的方程為y=(x-5)+5,整理得2x-3y+5=0.故選D.
(2)設點C的坐標為(x,y),∵直線AH的斜率kAH==0,BC⊥AH,∴直線BC的斜率不存在,又點B的橫坐標為6,∴x=6.∵直線BH的斜率kBH==2,AC⊥BH,∴直線AC的斜率kAC==-,∴y=-2,∴點C的坐標為(6,-2).故選D.
例3　(1)25　[解析] 因為直線2x-(b-3)y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直,所以2b-a(b-3)=0,當a=2時,方程無解,所以a≠2,所以b=.由a>0,b>0,可得a-2>0,所以2a+3b=2a+=2a+=2(a-2)++13≥2+13=25,當且僅當a=5,b=5時等號成立,故2a+3b的最小值為25.
(2)解:作出四邊形ABCD,如圖所示,由斜率公式可得kAB==,kCD==,kAD==-3,kBC==-,∴kAB=kCD,kAD≠kBC,由圖可知AB與CD不重合,∴AB∥CD,AD與BC不平行.又kAB·kAD=×(-3)=-1,∴AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形.
變式　解:(1)設D(x,y),因為=,所以(x,y-3)=(1,1),解得即D(1,4).
設E(m,n),則m==3,n==3,即E(3,3).
因為kDC==-,所以l1的斜率為2,故l1的方程為y-3=2(x-3),化成一般式,得2x-y-3=0.
(2)由(1)知D(1,4),E(3,3),所以kBE==-2.因為BE∥l2,所以l2的斜率為-2,所以l2的方程為y-4=-2(x-1),整理得y=-2x+6,所以l2在y軸上的截距為6.(共24張PPT)
-1 直線與直線的方程
1.4 兩條直線的平行與垂直
第2課時 兩條直線垂直
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.理解兩條直線垂直的條件.
2.能根據斜率或方向向量、法向量判定兩條直線垂直.
3.能應用兩條直線垂直解決相關問題.
知識點 兩條直線垂直的判定
對于兩條不重合的直線和，
___________.
特殊地，當,中有一條直線的斜率不存在時，說明斜率不存在的直線與 軸垂
直，因此，若，則另一條直線與 軸____________，即另一條直線的斜率
為___.
平行或重合
0
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩
條直線垂直.( )
×
（2）已知直線的傾斜角為 ，直線的傾斜角為 ，若 ，則
.( )
×
（3）已知直線,的一個方向向量分別為,，若 ，則
，從而 .( )
√
探究點一 兩條直線垂直的判定
例1（1） 已知直線，則下列直線中與 垂直的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為直線的斜率為1，所以與垂直的直線的斜率為 ，
結合選項可得C正確.故選C.
（2）判斷滿足下列條件的直線與 是否垂直.
①經過點，，經過點， ；
②的斜率為，的一個方向向量為 ；
③經過點，，經過點， .
解：①直線的斜率，直線的斜率 ，
，與 不垂直.
②,， 直線的斜率，
又直線 的斜率，， .
③由題可知，直線與軸垂直，直線與軸平行， .
變式 解答下列各題：
（1）已知點，，，，求證： ；
證明：由斜率公式，得， ，
則，所以 .
（2）已知直線，，求證： .
證明： 由，的方程可知，直線，的斜率分別為， ，
則，所以 .
［素養小結］
利用直線的斜率判定兩直線垂直時,一般先由圖形進行猜測,然后利用直線的斜率
關系或方向向量、法向量來進行判斷.在利用斜率進行判斷時，一定要考慮直線
的斜率是否存在.
探究點二 已知垂直求直線方程或參數
例2（1） 過點且垂直于直線 的直線的方程為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 直線的斜率，而所求直線垂直于直線 ，
故所求直線的斜率為，
又所求直線過點 ，
所以所求直線的方程為，即 .
故選B.
（2）[2024·福建廈門高二期中]直線 與直線
互相垂直，則 ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.
[解析] 因為直線與直線互相垂直，所以，解得 .故選C.
變式（1） 已知的頂點， 邊上的高所在直線的方程為
，則 邊所在直線的方程為( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 設邊上的高所在直線的斜率為，則.
設 邊所在直線的斜率為，
因為邊上的高與邊垂直，所以，所以,
又 ,所以邊所在直線的方程為，整理得 .
故選D.
（2）已知點，，，是的垂心，則點 的坐標為 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 設點C的坐標為，
直線的斜率，， 直線的斜率不存在，
又點B的橫坐標為6，
直線 的斜率，， 直線的斜率，
， 點C的坐標為 .
故選D.
［素養小結］
求與已知直線垂直的直線的方程時，常常有兩種方法：①由兩垂直直線
（傾斜角不為）的斜率之積為 ，求出所求直線的斜率，再結合條件求解；
②由兩直線的法向量或方向向量垂直來求解.
探究點三 平行和垂直的綜合問題
例3（1） 已知，為正數,且直線 與直線
互相垂直,則 的最小值為____.
25
[解析] 因為直線與直線 互相垂直,
所以，
當時，方程無解，所以，所以 .
由，，可得，所以 ，
當且僅當，時等號成立，故 的最小值為25.
（2）已知，，，四點，若順次連接，，，
四點，試判定四邊形 的形狀.
解：作出四邊形 ，如圖所示，
由斜率公式可得， ，
， ，
，，
由圖可知與 不重合，，與 不平行.
，.故四邊形 為直角梯形.
變式 已知四邊形是平行四邊形，，，，且 為線
段 的中點.
（1）求線段的垂直平分線 的方程的一般式；
解：設，因為，所以，解得即 ．
設，則，，即 ．
因為，所以的斜率為2，
故的方程為 ，化成一般式，得 ．
（2）直線經過點，且，求在 軸上的截距．
解：由（1）知，，所以．
因為，所以 的斜率為，
所以的方程為，整理得，
所以 在 軸上的截距為6．
［素養小結］
利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟
1.兩直線垂直條件剖析
（1）與 的方向向量垂直.
（2）成立的條件是兩條直線,的斜率, 都存在且都不
等于0.
（3）若,則,分別為,的斜率或其中一條直線垂直于 軸,
另一條直線垂直于軸;若,則 .
（4）當斜率都存在時,若兩條直線有垂直關系,則可以用一條直線的斜率表示另
一條直線的斜率（互為負倒數）.
2.對于兩條直線, ，有
.
例1 已知直線，若直線，則直線 的斜率為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 直線，直線，
直線的斜率滿足 ,得 .
故選B.
例2 若直線和直線垂直，則實數 的
值為( )
A
A.0或 B. C. D.
[解析] 因為直線和直線 垂直，
所以，解得或 .故選A.
例3 [2024·江西宜豐中學高二月考] 已知直線經過點， ，直
線經過點，，若，則 的值為______.
0或5
[解析] 當直線的斜率存在時，，即，
由知 ，得；
當直線的斜率不存在時，，即，此時直線 的斜率，
故.
綜上， 的值為0或5.第2課時　兩條直線垂直
1.B　[解析] 方法一:由直線-3x+4y+1=0得其斜率k1=,由直線8x+6y-3=0得其斜率k2=-,則k1k2=-1,所以這兩條直線互相垂直.
方法二:因為A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0,所以這兩條直線互相垂直.故選B.
2.B　[解析] 將直線y=3x繞原點按逆時針方向旋轉90°,得到直線y=-x,再將所得直線向右平移1個單位長度,得到直線y=-(x-1),將直線方程化為一般式,得x+3y-1=0,故選B.
3.A　[解析] 由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有兩個相異實根,即l1與l2的斜率k1,k2均存在.設兩根分別為x1,x2,則k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2 .
4.B　[解析] 由兩條直線垂直可知(2a+1)·a+a·(-3)=0,解得a=0或a=1,故選B.
5.B　[解析] 由題意可得,直線l1的斜率k1==-1,直線l2的斜率k2=tan 45°=1,可得k1k2=-1,則l1與l2垂直.故選B.
6.A　[解析] 易知動直線x+my=0過定點A(0,0),由mx-y-m+3=0可得y-3=m(x-1),所以該直線過定點B(1,3).由1×m+m×(-1)=0,可知兩條動直線互相垂直,即PA⊥PB,因為|AB|=,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥2|PA|·|PB|,所以|PA|·|PB|≤5,當且僅當|PA|=|PB|=時等號成立.故選A.
7.ACD　[解析] 當a=3時,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,兩直線平行,故A正確.當a=-2時,l1:-x+y-3=0,l2:-x+y-3=0,兩直線重合,故B錯誤.當a=時,直線l1的斜率k1=-=-,直線l2的斜率k2=-=5,因為k1·k2=-1,所以 l1⊥l2,故C正確. l1:ax+2y+3a=0的方程的點斜式為y=-(x+3),即y-0=-(x+3),所以l1過定點(-3,0),當a≠1時,l2:3x+(a-1)y+7-a=0的方程的點斜式為y-1=-(x+2),此時l2過定點(-2,1),當a=1時,l2:x=-2也過點(-2,1),故D正確.故選ACD.
8.ABD　[解析] ∵l1⊥l2,∴1×b+(a-2)×1=0,∴a+b=2,且a>0,b>0,∴09.2x+y-1=0　[解析] 直線l:x-2y+2=0的斜率為,所以過點A且垂直于直線l的直線的斜率為=-2,故所求直線方程為y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.
10.充分不必要　[解析] 當直線x+ay+2=0與直線ax+(a+2)y+1=0互相垂直時,a+a(a+2)=0,即a2+3a=0,解得a=0或a=-3,所以“a=-3”是“直線x+ay+2=0與直線ax+(a+2)y+1=0互相垂直”的充分不必要條件.
11.(-19,-62)　[解析] ∵H為△ABC的垂心,∴AH⊥BC,BH⊥AC,又kBC==-,kBH==-,∴直線AH,AC的斜率均存在,且kAH=4,kAC=5.設A(x,y),則解得∴A(-19,-62).
12.(3,0)或(5,0)　[解析] 設C(x,0),易知當x=1或x=2時,不合題意,因此當x≠1且x≠2時,可得kAB==1,kAC=-,kBC=-.當A為直角時,kAB·kAC=1×=-1,得x=3,此時C的坐標為(3,0).當B為直角時,kAB·kBC=1×=-1,得x=5,此時C的坐標為(5,0).當C為直角時,kAC·kBC=·=-1,化簡得x2-3x+8=0,該方程無解.綜上,C(3,0)或C(5,0).
13.解:(1)由l1∥l2,得(a+1)×[-(a-2)]+2(2a-1)=0,即a2-5a=0,所以a=0或a=5.
當a=0時,l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-1=0,兩直線重合,不符合題意;當a=5時,l1:6x-2y-1=0,l2:9x-3y+1=0,符合題意.綜上可知,a=5.
(2)由l1⊥l2,得(a+1)(2a-1)+2(a-2)=0,即2a2+3a-5=0,所以(2a+5)(a-1)=0,即a=-或a=1.
14.解:(1)因為直線l1與直線x-y+3=0平行,所以直線l1的斜率k1=,又直線l1過點(0,-2),所以由直線方程的點斜式得直線l1的方程為y+2=(x-0),即x-y-2=0.
(2)因為直線l2⊥l1,直線l1的斜率為,所以l2:x+ay+2=0的斜率為-,所以a=,則 l2的方程為x+y+2=0.設直線l2與x軸、y軸的交點分別為A,B,O為坐標原點,令y=0得x=-2, 令x=0得y=-,所以S△OAB=|OA|·|OB|=×2×=,即所求三角形的面積為.
15.A　[解析] 因為|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形,所以△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上.設AB的中點為D,則D(2,1),又kAB==-1,所以△ABC的歐拉線的斜率為-=1,所以歐拉線的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0,故選A.
16.解:(1)四邊形ABCD是直角梯形.
證明如下:因為A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2),
所以由斜率公式得kCD==-,kAB==-,kBC==2,kAD==-3,所以kCD=kAB,kBC≠kAD,即AB∥CD且BC與AD不平行,所以四邊形ABCD是梯形.又因為kBC·kCD=-1,所以BC⊥CD,所以四邊形ABCD是直角梯形.
(2)設直線BC的傾斜角為α,則kBC=tan α=2,又∠ABC=,所以∠ABC的平分線所在直線的傾斜角為α-,
則∠ABC的平分線所在直線的斜率k=tan===.又因為∠ABC的平分線所在直線過點B(1,1),所以∠ABC的平分線所在直線的方程為y-1=(x-1),即x-3y+2=0.第2課時　兩條直線垂直
【學習目標】
　　1.理解兩條直線垂直的條件.
　　2.能根據斜率或方向向量、法向量判定兩條直線垂直.
　　3.能應用兩條直線垂直解決相關問題.
◆ 知識點　兩條直線垂直的判定
對于兩條不重合的直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2 　　　　.
特殊地,當l1,l2中有一條直線的斜率不存在時,說明斜率不存在的直線與x軸垂直,因此,若l1⊥l2,則另一條直線與x軸　　　　　　,即另一條直線的斜率為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則這兩條直線垂直. (　 )
(2)已知直線l1的傾斜角為α,直線l2的傾斜角為β,若l1⊥l2,則α-β=90°. (　 )
(3)已知直線l1,l2的一個方向向量分別為a=(1,k1),b=(1,k2),若l1⊥l2,則a·b=0,從而k1k2=-1. (　 )
◆ 探究點一　兩條直線垂直的判定
例1 (1)已知直線l:x-y+3=0,則下列直線中與l垂直的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2x+y=0 B.5x-y+3=0
C.x+y+9=0 D.3x-y-7=0
(2)判斷滿足下列條件的直線l1與l2是否垂直.
①l1經過點A(-3,-4),B(1,3),l2經過點M(-4,-3),N(3,1);
②l1的斜率為-10,l2的一個方向向量為a=(10,1);
③l1經過點C(1,4),D(1,1),l2經過點E(-1,4),F(1,4).
變式 解答下列各題:
(1)已知點A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11),求證:AB⊥CD;
(2)已知直線l1:3x+5y-10=0,l2:15x-9y+8=0,求證:l1⊥l2.
[素養小結]
利用直線的斜率判定兩直線垂直時,一般先由圖形進行猜測,然后利用直線的斜率關系或方向向量、法向量來進行判斷.在利用斜率進行判斷時,一定要考慮直線的斜率是否存在.
◆ 探究點二　已知垂直求直線方程或參數
例2 (1)過點P(1,-1)且垂直于直線l:x-2y+1=0的直線的方程為 (　 )
A.x+2y+1=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-3=0
D.2x-y+3=0
(2)[2024·福建廈門高二期中] 直線l1:ax-2y+3=0與直線l2:x+(a-1)y-2=0互相垂直,則a= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.-1
變式 (1)已知△ABC的頂點A(5,5),AC邊上的高所在直線的方程為3x+2y-7=0,則AC邊所在直線的方程為 (　 )
A.x-2y+5=0
B.2x-3y+3=0
C.x+2y-15=0
D.2x-3y+5=0
(2)已知點A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,則點C的坐標為 (　 )
A.(6,2) B.(-2,2)
C.(-4,-2) D.(6,-2)
[素養小結]
求與已知直線垂直的直線的方程時,常常有兩種方法:①由兩垂直直線(傾斜角不為90°)的斜率之積為-1,求出所求直線的斜率,再結合條件求解;②由兩直線的法向量或方向向量垂直來求解.
◆ 探究點三　平行和垂直的綜合問題
例3 (1)已知a,b為正數,且直線2x-(b-3)y+6=0與直線bx+ay-5=0互相垂直,則2a+3b的最小值為　　　　.
(2)已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,若順次連接A,B,C,D四點,試判定四邊形ABCD的形狀.
變式 已知四邊形ABCD是平行四邊形,A(0,3),B(4,1),C(5,2),且E為線段CD的中點.
(1)求線段CD的垂直平分線l1的方程的一般式;
(2)直線l2經過點D,且BE∥l2,求l2在y軸上的截距.
[素養小結]
利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟第2課時　兩條直線垂直
一、選擇題
1.直線-3x+4y+1=0與直線8x+6y-3=0的位置關系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.平行 B.垂直
C.重合 D.相交但不垂直
2.將直線y=3x繞原點按逆時針方向旋轉90°,再向右平移1個單位長度,所得到的直線的方程為 (　 )
A.x-y+3=0
B.x+3y-1=0
C.x+3y+1=0
D.3x-y-3=0
3.已知兩條直線l1,l2的斜率分別是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的兩個根,則l1與l2的位置關系是 (　 )
A.垂直
B.相交但不垂直
C.平行
D.重合
4.[2024·山東青島五十八中高二月考] 若直線(2a+1)x+ay+1=0和直線ax-3y+3=0垂直,則a的值為 (　 )
A.1 B.0或1
C.0或-1 D.-1
5.已知直線l1經過A(-3,2),B(1,-2)兩點,直線l2的傾斜角為45°,那么l1與l2 (　 )
A.平行
B.垂直
C.重合
D.相交但不垂直
6.設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|·|PB|的最大值是 (　 )
A.5 B.10 C. D.
7.(多選題)已知直線l1:ax+2y+3a=0,直線l2:3x+(a-1)y+7-a=0,則下列說法正確的是 (　 )
A.當a=3時,l1∥l2
B.當a=-2時,l1∥l2
C.當a=時,l1⊥l2
D.直線l1過定點(-3,0),直線l2過定點(-2,1)
8.(多選題)已知a>0,b>0,直線l1:x+(a-2)y+1=0,l2:bx+y-2=0,且l1⊥l2,則 (　 )
A.0C.a2+b2<2 D.+≥3
二、填空題
9.已知點A(1,-1)和直線l:x-2y+2=0,則過點A且垂直于直線l的直線的方程是　　　　　　.
10.“a=-3”是“直線x+ay+2=0與直線ax+(a+2)y+1=0互相垂直”的　　　　條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
11.已知△ABC的頂點B(2,1),C(-6,3),其垂心為H(-3,2),則其頂點A的坐標為　　　　.
12.[2024·廣東深圳高二期中] 已知點A(1,2),B(2,3),點C在x軸上,△ABC為直角三角形,則點C的坐標為　　　　　　　.
三、解答題
13.[2024·湖南張家界高二期中] 已知直線l1:(a+1)x-2y-1=0,直線l2:(2a-1)x-(a-2)y+1=0.
(1)若l1∥l2,求實數a的值;
(2)若l1⊥l2,求實數a的值.
14.已知直線l1經過點(0,-2),且與直線x-y+3=0平行.
(1)求直線l1的方程;
(2)若直線l2:x+ay+2=0與l1互相垂直,求直線l2與兩坐標軸圍成的三角形的面積.
15.數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(3,0),B(1,2),且|AC|=|BC|,則△ABC的歐拉線的方程為 (　 )
A.x-y-1=0 B.2x+y-4=0
C.x+y-3=0 D.2x-y+1=0
16.已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2).
(1)試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明;
(2)求∠ABC的平分線所在直線的方程.

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