資源簡介

1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
【課前預習】
知識點
　(1)|x2-x1|　(2)|y2-y1|
診斷分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.解:(1)∵k=,∴y1-y2=k(x1-x2).
(2)|AB|==
=·|x1-x2|.
【課中探究】
例1　(1)B　(2)BC　[解析] (1)因為BC邊的中點為D,所以點D的坐標為,即(-1,3),故BC邊上的中線AD的長為=5.故選B.
(2)設所求點的坐標為(x0,y0),則x0+y0-1=0,且=,兩式聯立解得或所以所求點的坐標為(-1,2)或(-3,4).故選BC.
變式　解:(1)因為|AB|==2,|AC|==2,
|BC|==2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以AB⊥AC,
又|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)設點M的坐標為(x,y),因為點M為BC邊的中點,所以x==2,y==2,即點M的坐標為(2,2).由兩點間的距離公式得|AM|==,所以BC邊上的中線AM的長為.
拓展　D　[解析] +=
+,則原問題等價于求點P(x,0)到點A(0,1),B(2,2)的距離之和的最小值.作出點A關于x軸對稱的點A'(0,-1),顯然當B,P,A'三點共線時,點P到點A,B的距離之和取得最小值,最小值為B,A'之間的距離,為=.故選D.
例2　D　[解析] 由兩點間的距離公式得=17,解得a=±8.故選D.
變式　解:由題可知點P(x,0),則|PA|==,|PB|==.
由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-.
例3　解:由題意知,|AB|===|y1-y2|,故×2=2,可得k=±1,則直線l的方程為y=±x-1.
變式　3x-y=0或x+y=0　[解析] 由題知,|AB|==2,解得a=3或a=-1.因為點B在直線l上,所以b=0,所以直線l的方程為3x-y=0或x+y=0.(共23張PPT)
1 直線與直線的方程
1.6 平面直角坐標系中的距離公式
第1課時 兩點間的距離公式
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
探索并掌握平面上兩點間的距離公式.
知識點 兩點間的距離公式
,兩點間的距離公式為 _______________________.
（1）當直線平行于軸時, _________;
（2）當直線平行于軸時, _________;
（3）特別地,原點與任一點間的距離 .
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）點,點之間的距離為 .( )
×
（2）點,點之間的距離為 .( )
×
（3）已知點,，若,，則 .( )
√
（4）當， 兩點的連線與坐標軸平行或垂直時，兩點間的距離公式不適用. ( )
×
2.（1）已知平面上的兩點,,直線的斜率為,用含
的式子表示 .
解：, .
（2）已知平面上的兩點,,直線的斜率為 ,如何用
含，，的關系式表示, 兩點間的距離
解：
.
探究點一 求兩點間的距離
例1（1） [2024·烏魯木齊高二期中]已知三角形的三個頂點為, ,
，則邊上的中線 的長為( )
B
A.3 B.5 C.9 D.25
[解析] 因為邊的中點為D，所以點D的坐標為,，即，
故 邊上的中線的長為 .故選B.
（2）（多選題）直線上與點的距離等于 的點的坐標可
以是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 設所求點的坐標為，
則 ，且，
兩式聯立解得或
所以所求點的坐標為或.
故選 .
變式 已知的三個頂點分別為,, ,
（1）判斷 的形狀;
解：因為 ,
,
,
所以,所以 ，
又,所以 是等腰直角三角形.
（2）求邊上的中線 的長.
解：設點的坐標為,
因為點為邊的中點,所以 , ,即點的坐標為 .
由兩點間的距離公式得,
所以邊上的中線的長為 .
［素養小結］
（1）求兩點間的距離或者利用兩點間的距離求參數時應用距離公式直接求解或
建立方程求解；
（2）運用兩點間的距離判斷三角形或四邊形的形狀時，先利用直線方程判斷位
置關系，再用距離公式求出線段長度.
若四邊形的兩組對邊分別平行,則該四邊形是平行四邊形,進而再判斷四邊形是否是
矩形、菱形;若四邊形只有一組對邊平行,則該四邊形是梯形，進而再判斷四邊形是
否是等腰梯形、直角梯形;若四邊形的兩組對邊均不平行,則四邊形為一般四邊形.
拓展 [2024·福州高二期中] 我國著名數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少
直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數
問題可以轉化為幾何問題求解，如：求 的最小值可以轉化
為求點到點的距離的最小值，則 的最小值為
( )
D
A.3 B. C. D.
[解析] ,
則原問題等價于求點到點, 的距離之和的最小值.
作出點A關于軸對稱的點，顯然當B,,三點共線時，
點 到點A,B的距離之和取得最小值,最小值為B,之間的距離,為 .
故選D.
探究點二 已知兩點間的距離求參數
例2 已知與兩點間的距離是17，則 的值為( )
D
A.8 B. C. D.
[解析] 由兩點間的距離公式得，解得 .
故選D.
變式 已知點，，在軸上有一點，使，求點
的橫坐標 .
解：由題可知點，則 ，
.
由，得，解得 .
［素養小結］
在利用兩點間的距離求參數時，一定要檢驗參數是否有意義.
探究點三 已知兩點間的距離求直線方程
例3 已知,是直線上的兩點，若 ,且
,求直線 的方程.
解：由題意知，
,
故,可得,則直線的方程為 .
變式 已知點到直線上一點的距離為 ，則直
線 的方程為_____________________．
或
[解析] 由題知，,解得或 .
因為點在直線上，所以，所以直線的方程為或 .
［素養小結］
利用兩點間距離公式求直線方程（通常含有參數）時，一般根據兩點間距離公
式列出含有參數的方程，通過解得參數的值，求得直線方程.
兩點間距離公式的理解
（1）平面直角坐標系內兩點間的距離公式是數軸上兩點間距離公式的推廣.特
別地，當 垂直于坐標軸時，有
軸 ；
軸 .
原點與任意一點的距離為 .
（2）兩點間的距離公式的特征：兩點間距離的平方等于兩點橫坐標之差與縱坐
標之差的平方和.公式可簡記為“橫差方，縱差方，加起來，開平方”.
例1 兩點與 之間的距離是_____.
[解析] 依題意， .
例2 已知點，，且，則實數 等于( )
C
A.1 B.3 C.1或3 D. 或3
[解析] 因為 ，
所以，即，解得或 ，
故選C.
例3 已知點的坐標是，點滿足，那么點 的軌跡方程是 ( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 設，由點A的坐標是，點滿足 ，
可得，即，
所以點 的軌跡方程是 .故選A.1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
1.C　[解析] 由題意得=5,即(y+5)2=16,解得y=-1或y=-9.故選C.
2.C　[解析] 由題意知,=tan 45°=1,解得m=1,故A(1,2),B(-1,0),則A,B兩點間的距離為=2.故選C.
3.A　[解析] 由兩點間的距離公式,及|AB|=|AC|可得=,解得a=-2.故選A.
4.A　[解析] 當兩直線l1,l2與直線PQ垂直時,兩平行直線l1,l2之間的距離最大,最大距離為|PQ|==5,所以l1,l2之間的距離的取值范圍是(0,5].故選A.
5.C　[解析] 設所求點的坐標為(x0,y0),則x0+y0-1=0,且=,兩式聯立解得或故選C.
6.B　[解析] 易知l1:x-my-2=0與l2:mx+y+2=0的交點為Q,所以|OQ|===,所以當m=0時,|OQ|取得最大值2.故選B.
7.A　[解析] 由題意知,直線l的斜率存在且不為0,可設l:y-2=k(x-4)(k≠0).令y=0,可得x=4-,則P;令x=0,可得y=2-4k,則Q(0,2-4k).所以|AP|=,|AQ|=,所以|AP|·|AQ|==≥
==16,即當k=±1時,|AP|·|AQ|取得最小值.故選A.
8.AB　[解析] 由于點B在直線l上,故可設點B的坐標為(x0,-2x0+6).由|AB|2=(x0-1)2+(-2x0+7)2=25,化簡得-6x0+5=0,解得x0=1或x0=5.當x0=1時,直線l1的方程為x=1;當x0=5時,點B的坐標為(5,-4),直線l1的方程為=,即3x+4y+1=0.綜上,直線l1的方程為x=1或3x+4y+1=0.故選AB.
9.　[解析] 由解得故A(1,3),所以|AB|==.
10.2　[解析] 設O為坐標原點,則由題意知AO⊥BO,則△ABO為直角三角形,且AB為斜邊,故|AB|=2|OM|=2=2.
11.(2,0)或(4,6)　[解析] 設B(x,y),由題意知,AC⊥BC,且|AC|=|BC|,所以
解得或所以點B的坐標為(2,0)或(4,6).
12.2　[解析] S=+表示點P(x,y)到點A(-1,0)與點B(1,0)的距離之和,即S=|PA|+|PB|,作出PA,PB,如圖所示,由圖可知,S=|PA|+|PB|≥|AB|=2,當且僅當點P在線段AB上時,等號成立,所以S的最小值為2.
13.解:由得所以點A的坐標為.因為O,A在直線l2:y=2x上,所以直線OA的斜率為2,因為點B在直線l1:x+y-4=0上,所以可設點B(t,4-t),由OA⊥OB,得直線OB的斜率為-,即=-,解得t=8,所以B(8,-4),所以線段AB的長度為=.
14.解:(1)依題意知,直線AC的斜率kAC==-,則直線AC的方程為y=-(x-2),整理得x+3y-2=0.
(2)直線BC的斜率kBC==3,可得kAC·kBC=-1,則AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.因為|AC|==,|BC|==,所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.
綜上可知,△ABC是等腰直角三角形.
15.BC　[解析] f(x)=+表示動點P(x,0)到兩個定點A(0,1),B(1,0)的距離之和.如圖,連接AB,由三角形三邊關系可得|PA|+|PB|≥|AB|=,當點P和點B重合時,等號成立,|PA|+|PB|無最大值,所以函數f(x)的最小值為,沒有最大值.故選BC.
16.　[解析] 設點P(0,2)關于直線x-y+1=0的對稱點為P'(a,b),則
解得所以P'(1,1).設N為直線x-y+1=0上的點,如圖,連接P'Q,P'N,PN,QN,則|PN|=|P'N|,所以|QN|+|PN|=|QN|+|P'N|≥|QP'|,當且僅當Q,N,P'三點共線時取等號,又|QP'|==,所以所求最短總路程為.1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
【學習目標】
　　探索并掌握平面上兩點間的距離公式.
◆ 知識點　兩點間的距離公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式為|P1P2|=　　　　　　　　.
(1)當直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=　　　　;
(2)當直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=　　　　;
(3)特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)間的距離|OP|=.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)點P1(0,a),點P2(b,0)之間的距離為a-b. (　 )
(2)點P1(a,0),點P2(b,0)之間的距離為a-b. (　 )
(3)已知點P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,則|P1P2|=|y2-y1|. (　 )
(4)當A,B兩點的連線與坐標軸平行或垂直時,兩點間的距離公式不適用. (　 )
2.(1)已知平面上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直線AB的斜率為k,用含k的式子表示y1-y2.
(2)已知平面上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),直線AB的斜率為k,如何用含k,x1,x2的關系式表示A,B兩點間的距離
◆ 探究點一　求兩點間的距離
例1 (1)[2024·烏魯木齊高二期中] 已知三角形的三個頂點為A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),則BC邊上的中線AD的長為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.5 C.9 D.25
(2)(多選題)直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于的點的坐標可以是 (　 )
A.(-4,5) B.(-1,2)
C.(-3,4) D.(1,-5)
變式 已知△ABC的三個頂點分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求BC邊上的中線AM的長.
[素養小結]
(1)求兩點間的距離或者利用兩點間的距離求參數時應用距離公式直接求解或建立方程求解;
(2)運用兩點間的距離判斷三角形或四邊形的形狀時,先利用直線方程判斷位置關系,再用距離公式求出線段長度.
若四邊形的兩組對邊分別平行,則該四邊形是平行四邊形,進而再判斷四邊形是否是矩形、菱形;若四邊形只有一組對邊平行,則該四邊形是梯形,進而再判斷四邊形是否是等腰梯形、直角梯形;若四邊形的兩組對邊均不平行,則四邊形為一般四邊形.
拓展 [2024·福州高二期中] 我國著名數學家華羅庚先生曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休.”事實上,很多代數問題可以轉化為幾何問題求解,如:求的最小值可以轉化為求點(x,y)到點(a,b)的距離的最小值,則+的最小值為 (　 )
A.3 B.2+1
C.2 D.
◆ 探究點二　已知兩點間的距離求參數
例2 已知A(a,-5)與B(0,10)兩點間的距離是17,則a的值為 (　 )
A.8 B.2
C.±2 D.±8
變式 已知點A(-3,4),B(2,),在x軸上有一點P,使|PA|=|PB|,求點P的橫坐標x.
[素養小結]
在利用兩點間的距離求參數時,一定要檢驗參數是否有意義.
◆ 探究點三　已知兩點間的距離求直線方程
例3 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l:y=kx-1上的兩點,若|y2-y1|=2,且|AB|=2,求直線l的方程.
變式 已知點A(3,1)到直線l:ax-y+b=0上一點B(1,a)的距離為2,則直線l的方程為　　　　　　　　　　　.
[素養小結]
利用兩點間距離公式求直線方程(通常含有參數)時,一般根據兩點間距離公式列出含有參數的方程,通過解得參數的值,求得直線方程.1.6　平面直角坐標系中的距離公式
第1課時　兩點間的距離公式
一、選擇題
1.若點M1(2,-5)與點M2(5,y)之間的距離是5,則y= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-9 B.-1
C.-9或-1 D.12
2.[2024·江蘇徐州高二期中] 已知過A(m,2),B(-m,m-1)兩點的直線的傾斜角是45°,則A,B兩點間的距離為 (　 )
A.2 B.
C.2 D.3
3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6),且|AB|=|AC|,則實數a的值為 (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知直線l1,l2分別過點P(-1,3),Q(2,-1),若它們分別繞點P,Q旋轉,且始終保持平行,則l1,l2之間的距離d的取值范圍為 (　 )
A.(0,5] B.(0,5)
C.(0,+∞) D.(0,]
5.直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于的點的坐標是 (　 )
A.(-4,5)
B.(-3,4)
C.(-3,4)或(-1,2)
D.(-4,5)或(0,1)
6.直線l1:x-my-2=0與直線l2:mx+y+2=0交于點Q,m是實數,O為坐標原點,則|OQ|的最大值是 (　 )
A.2 B.2
C.2 D.4
7.已知直線l過點A(4,2)且與x軸、y軸分別交于點P,Q,則當|AP|·|AQ|最小時,直線l的斜率為 (　 )
A.±1 B.-1 C.±2 D.-2
8.(多選題)已知直線l:y=-2x+6和點A(1,-1),過點A作直線l1與直線l相交于點B,且|AB|=5,則直線l1的方程可能是 (　 )
A.x=1
B.3x+4y+1=0
C.y+1=0
D.17x+6y-11=0
二、填空題
9.若直線l1:3x-y=0與l2:x+y-4=0交于點A,且B(2,0),則|AB|=　　　　.
10.已知點A在x軸上,點B在y軸上,線段AB的中點M的坐標為(2,-1),則線段AB的長度為　　　　.
11.已知等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3,3),點A的坐標為(0,4),則點B的坐標為　　　　.
12.已知x,y∈R,S=+,則S的最小值是　　　　.
三、解答題
13.已知O為坐標原點,直線l1:x+y-4=0與直線l2:y=2x交于點A.若點B在直線l1上,且OA⊥OB,求線段AB的長度.
14.[2024·山西太原高二期末] 已知△ABC的三個頂點為A(-1,1),B(3,3),C(2,0).
(1)求邊AC所在直線的方程;
(2)判斷△ABC的形狀.
15.(多選題)某同學在研究函數f(x)=+|x-1|的最值時,聯想到兩點間的距離公式,從而將函數變形為f(x)=+,則下列結論正確的是 (　 )
A.函數f(x)的最小值為
B.函數f(x)的最小值為
C.函數f(x)沒有最大值
D.函數f(x)有最大值
16.唐代詩人李頎的《古從軍行》開頭兩句詩為:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發,先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短 在平面直角坐標系中,設軍營所在位置為Q(-2,3),若將軍從點P(0,2)處出發,河岸線所在直線方程為x-y+1=0,則“將軍飲馬”的最短總路程為　　　　.

展開更多......

收起↑