資源簡介

第2課時　圓的標準方程的綜合應用
【學習目標】
　　理解圓的幾何性質.
◆ 知識點　圓的簡單幾何性質
由圓的方程x2+y2=r2(r>0),可得圓的簡單幾何性質:
(1)范圍
由方程x2+y2=r2可得圓上任意一點P(x,y)都滿足不等式|x|≤r,|y|≤r,這說明圓上的所有點都在兩條平行直線x=-r,x=r和兩條平行直線y=-r,y=r圍成的　　　　之間.
(2)對稱性
根據方程x2+y2=r2的結構特點,可以發現:若點P的坐標(x,y)滿足方程x2+y2=r2,則點P分別關于x軸、y軸和原點O對稱的點　　　　,　　　　,　　　　的坐標也都滿足方程x2+y2=r2,這說明圓x2+y2=r2既是關于　　　　和　　　　的軸對稱圖形,也是關于　　　　的中心對稱圖形.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上任意一點P的坐標(x,y)都滿足不等式|x|≤r,|y|≤r. (　 )
(2)若圓關于直線對稱,則直線一定過該圓的圓心. (　 )
◆ 探究點一　與直線相關的圓的標準方程
例1 過點A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的標準方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-3)2+(y+1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
變式 已知圓C的圓心在直線y=x上,且與y軸相切于點(0,5),則圓C的標準方程是 (　 )
A.(x+5)2+(y-5)2=25
B.(x-5)2+(y-5)2=25
C.(x-5)2+(y-5)2=5
D.(x+5)2+(y-5)2=5
[素養小結]
求具備一定條件的圓的方程時,關鍵是確定圓的兩個幾何要素,即圓心和半徑,常用待定系數法.在一些問題中借助圓的平面幾何知識可以簡化計算,如已知一個圓經過兩個點時,其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上,解題時要注意平面幾何知識的應用.
◆ 探究點二　圓的簡單幾何性質
例2 (1)已知實數x,y滿足方程(x+4)2+(y-2)2=4,則x的最大值為 (　 )
A.3 B.2
C.-1 D.-2
(2)在平面直角坐標系xOy中,P是圓C:(x-3)2+(y-4)2=1上的動點,若A(-a,0),B(a,0),a≠0,則|+|的最大值為　　　　.
變式 設點P(x,y)是圓C:x2+(y-2)2=1上的動點,定點A(1,0),B(-1,0),則·的最大值為　　　　.
[素養小結]
在解決與圓有關的問題時,借助于圓的幾何性質,往往可以簡化思路,簡便運算.
◆ 探究點三　與圓有關的最值問題
例3 已知點(x,y)在曲線(x-2)2+y2=1上,則的最大值是 (　 )
A.6 B.25
C.26 D.36
變式 一束光線從點A(-1,1)射出,經x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(　 )
A.4 B.2
C.5 D.6
[素養小結]
求解與圓有關的長度或距離的最值問題時,一般根據長度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質數形結合求解.
拓展 [2024·山東泰安高二期中] 已知點(x,y)在曲線x-1=上,則的最大值,最小值分別為 (　 )
A.+2,-2
B.+2,
C.,-2
D.,第2課時　圓的標準方程的綜合應用
【課前預習】
知識點
(1)正方形　(2)P1(x,-y)　P2(-x,y)　P3(-x,-y)
x軸　y軸　原點
診斷分析 (1)×　(2)√
【課中探究】
例1　A　[解析] 因為A(1,-1),B(-1,1),所以線段AB的中點坐標為(0,0),kAB==-1,所以線段AB的中垂線的斜率k=1,所以線段AB的中垂線的方程為y=x,即圓心在直線y=x上.又因為圓心在直線x+y-2=0上,所以由解得所以圓心坐標為(1,1),圓的半徑r==2,所以所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=4.故選A.
變式　B　[解析] 設圓心C的坐標為(a,a),點A的坐標為(0,5),連接AC,由于圓C與y軸相切于點A(0,5),所以AC⊥y軸,可得a=5,所以圓心C的坐標為(5,5),圓C的半徑為|AC|=5,因此,圓C的標準方程為(x-5)2+(y-5)2=25.故選B.
例2　(1)D　(2)12　[解析] (1)由題可知,點(x,y)為圓(x+4)2+(y-2)2=4上的點,圓心坐標為(-4,2),半徑r=2,則-6≤x≤-2,即x的最大值是-2,故選D.
(2)易知|+|=2||,且||max=|OC|+1=+1=6,所以|+|max=12.
變式　8　[解析] 因為點P(x,y)在圓C上,所以x2+(y-2)2=1,則x2=1-(y-2)2,且1≤y≤3.因為=(1-x,-y),=(-1-x,-y),所以·=x2-1+y2=-(y-2)2+y2=4y-4,由1≤y≤3,得0≤4y-4≤8,即·的最大值為8.
例3　A　[解析] d=表示圓(x-2)2+y2=1上的點到點(5,-4)的距離,所以d的最大值為圓心(2,0)到點(5,-4)的距離加上半徑1,故dmax=+1=6.故選A.
變式　A　[解析] 點A(-1,1)關于x軸的對稱點為B(-1,-1),圓C的圓心為C(2,3),半徑r=1,連接BC,所以最短路程是|BC|-1=-1=5-1=4.故選A.
拓展　B　[解析] 由x-1=,可得(x-1)2+y2=4(x≥1),此方程表示的曲線是以A(1,0)為圓心,2為半徑的圓的右半部分,設點B在第一象限,且AB⊥x軸,垂足為A,交該半圓于點B.顯然表示點P(0,4)與此半圓上的點的距離,其最大值為|PA|+2,最小值為|PB|,易知B(1,2),|PB|==,|PA|==,所以的最大值為+2,最小值為.故選B.(共25張PPT)
2 圓與圓的方程
2.1 圓的標準方程
第2課時 圓的標準方程的綜合應用
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
理解圓的幾何性質.
知識點 圓的簡單幾何性質
由圓的方程 ，可得圓的簡單幾何性質：
（1）范圍
由方程可得圓上任意一點都滿足不等式, ，這
說明圓上的所有點都在兩條平行直線,和兩條平行直線,
圍成的________之間.
正方形
（2）對稱性
根據方程的結構特點，可以發現：若點的坐標 滿足方程
，則點分別關于軸、軸和原點 對稱的點__________，
__________，___________的坐標也都滿足方程 ，這說明圓
既是關于_____和_____的軸對稱圖形，也是關于______的中心對稱
圖形.
軸
軸
原點
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）圓上任意一點的坐標 都滿足不等式
, .( )
×
（2）若圓關于直線對稱，則直線一定過該圓的圓心.( )
√
探究點一 與直線相關的圓的標準方程
例1 過點，，且圓心在直線 上的圓的標準方程
是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 因為，，所以線段的中點坐標為 ，
，所以線段的中垂線的斜率，
所以線段 的中垂線的方程為，即圓心在直線上.
又因為圓心在直線 上，所以由解得
所以圓心坐標為 ，圓的半徑 ，
所以所求圓的標準方程為 .故選A.
變式 已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點，則圓 的標準方
程是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 設圓心C的坐標為，點A的坐標為，連接，
由于圓C與 軸相切于點，所以軸，可得，
所以圓心C的坐標為 ，圓C的半徑為，
因此，圓C的標準方程為 .故選B.
［素養小結］
求具備一定條件的圓的方程時，關鍵是確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，
常用待定系數法.在一些問題中借助圓的平面幾何知識可以簡化計算，如已知一
個圓經過兩個點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意
平面幾何知識的應用.
探究點二 圓的簡單幾何性質
例2（1） 已知實數,滿足方程，則 的最大值為 ( )
D
A.3 B.2 C. D.
[解析] 由題可知，點為圓 上的點，
圓心坐標為，半徑，則，即的最大值是 ，故選D.
（2）在平面直角坐標系中，是圓 上的動點，
若，，，則 的最大值為____.
12
[解析] 易知，且 ，
所以 ．
變式 設點是圓上的動點，定點， ，
則 的最大值為___.
[解析] 因為點在圓上，所以，
則 ，且.
因為, ，
所以，
由 ，得，即 的最大值為8.
［素養小結］
在解決與圓有關的問題時，借助于圓的幾何性質，往往可以簡化思路，簡便運算.
探究點三 與圓有關的最值問題
例3 已知點在曲線上，則 的最大
值是( )
A
A.6 B.25 C.26 D.36
[解析] 表示圓上的點到點 的
距離，
所以的最大值為圓心到點 的距離加上半徑1，
故 .故選A.
變式 一束光線從點射出，經軸反射到圓
上的最短路程是( )
A
A.4 B. C.5 D.6
[解析] 點關于軸的對稱點為，
圓C的圓心為 ，半徑，連接，
所以最短路程是 .
故選A.
［素養小結］
求解與圓有關的長度或距離的最值問題時，一般根據長度或距離的幾何意義，
利用圓的幾何性質數形結合求解.
拓展 [2024·山東泰安高二期中] 已知點在曲線 上，則
的最大值，最小值分別為( )
B
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由，可得 ，
此方程表示的曲線是以為圓心，2為半徑的圓的右半部分，
設點B在第一象限，且 軸，垂足為A，交該半圓于點B.
顯然表示點 與此半圓上的點的距離，
其最大值為，最小值為，
易知 ，，，
所以 的最大值為，最小值為 .故選B.
1.通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到“圓心在任一
弦的中垂線上”這一結論.
2.把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現了數形結合
以及轉化的數學思想，形如 型的最值問題，可轉化為動點到
定點 的距離的平方的最值問題.
例1 過兩點,，且圓心在直線 上的圓的標準方程是______
________________.
[解析] 連接，由題可知，線段的中點坐標為，直線 的斜率為1，
所以線段的垂直平分線的方程為，即，
與 聯立，可得圓心坐標為，
所以圓的半徑為 ，
故圓的標準方程為 .
例2 已知圓經過原點，且其圓心在直線上，則圓 的半徑的最
小值為( )
B
A.1 B. C.2 D.
[解析] 連接，當與直線 垂直時，圓C的半徑最小，
因此，圓C的半徑的最小值為點到直線的距離，即 .
故選B.
例3 已知圓過點，，且圓心在直線 上.
（1）從點發出的光線經過直線反射后，反射光線恰好平分圓 的
圓周，求反射光線所在直線 的方程；
解：由點，，可得線段的中點坐標為 ，
直線的方程為，即 ，
可得線段的垂直平分線的斜率為1，
所以線段 的垂直平分線的方程為，即 .
由得則圓心的坐標為 .
設點關于直線的對稱點為 ，
則解得則 ，
因為反射光線所在直線必經過點和點 ，
所以直線的方程為，即 .
（2）若點在直線上運動，求 的最小值.
解：設點，則 .
，
所以當時， 取得最小值32.第2課時　圓的標準方程的綜合應用
1.A　[解析] 設圓心為C(a,2a-4),由|AC|=|BC|可得=,解得a=2,所以圓心C(2,0),所求圓的半徑為|AC|=2,因此,所求圓的標準方程為(x-2)2+y2=4.故選A.
2.C　[解析] 由題可得直線l:ax+4y-6=0經過圓心(3,-3),則3a+4×(-3)-6=0,解得a=6,故直線l的斜率是-.故選C.
3.A　[解析] 對于A選項,x2+y2=1表示圓心為原點,半徑為1的圓,顯然該曲線關于x軸和y軸都對稱,故A符合題意;對于B選項,y=x2表示開口向上,頂點在原點,關于y軸對稱的拋物線,該曲線不關于x軸對稱,故B不符合題意;對于C選項,(x-1)2+y2=1表示圓心為(1,0),半徑為1的圓,該曲線關于x軸和直線x=1對稱,故C不符合題意;對于D選項,x-y+1=0表示經過點(-1,0),(0,1)的直線,顯然關于x軸和y軸都不對稱,故D不符合題意.故選A.
4.D　[解析] 因為|PA|=|PB|,∠APB=120°,所以∠APC=∠BPC=60°,易得四邊形ACBP為菱形,所以AB的中點D也是PC的中點,所以|CD|=|PC|=1,所以點D的軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓,其方程是(x-2)2+(y-2)2=1.故選D.
5.C　[解析] (x-1)2+(y+2)2=25表示以C(1,-2)為圓心,5為半徑的圓,設原點O(0,0),則|OC|=,則x2+y2的最小值是(5-|OC|)2=(5-)2=30-10.故選C.
6.A　[解析] 設點A的坐標為(-5,3),圓(x-1)2+(y-1)2=5的圓心為B,C(m,0)是光線與x軸的交點.因為反射光線恰好平分圓(x-1)2+(y-1)2=5的圓周,所以反射光線經過點B(1,1),由反射的性質可知kAC+kBC=0,則+=0,解得m=-,于是kBC==,所以反射光線所在直線的方程為y=,即2x-3y+1=0,故選A.
7.BCD　[解析] 圓(x+3)2+(y+4)2=25的圓心為(-3,-4),半徑為5,A錯誤;因為(-3,-4)滿足x-y-1=0,所以圓心在直線x-y-1=0上,所以圓M關于直線x-y-1=0對稱,B正確;因為點(-6,1)與點(-3,-4)之間的距離為=>5,所以點(-6,1)在圓M外,C正確;因為(x,y)滿足圓M的方程,所以(x+3)2+(y+4)2=25,則可看作圓M上的點到Q(3,4)的距離,易知點Q在圓M外,故所求最小值是|MQ|-5=-5=5,D正確.故選BCD.
8.BD　[解析] 由題意設M(-2,0),N(0,2).對于選項A,因為|MN|==4,所以圓C的半徑r≥2,故選項A錯誤;對于選項B,線段MN的中點坐標為(-,1),kMN=,所以線段MN的中垂線的方程為x+y+2=0,即圓心在直線x+y+2=0上,故選項B正確;對于選項C,當圓心C在x軸上時,可令x+y+2=0中的y=0,解得x=-,則此時C,其半徑r=2-=,所以周長為2πr=π,故選項C錯誤;對于選項D,因為直線x+y+2=0不過第一象限,所以圓心C不可能在第一象限,故選項D正確.故選BD.
9.(x-2)2+(y-1)2=4　[解析] 設圓心為C(a,b),半徑為r.由圓C的圓心在直線x-2y=0上,知a=2b.又∵圓C與y軸相切于點(0,1),∴b=1,a=2,∴圓C的圓心坐標為(2,1),則r=|a-0|=2,故圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4.
10.2x-4y+5=0　[解析] 由題意知,圓心C2(-1,2),圓心C1(0,0),根據題意可得直線l為線段C1C2的垂直平分線,又==-2,線段C1C2的中點坐標為,所以直線l的方程為y-1=,即2x-4y+5=0.
11.1　[解析] 依題意可知,動點P的軌跡是以O為圓心,2為半徑的圓,即動點P的軌跡方程為x2+y2=4,而|OM|==1<2,故點M在圓內,所以|PM|min=2-|OM|=2-1=1.
12.9　[解析] 圓(x+1)2+(y+2)2=4的圓心為(-1,-2),依題意知,點(-1,-2)在直線ax+by+1=0上,因此-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0),所以+=(a+2b)=5++≥5+2=9,當且僅當=,即a=b=時取“=”,所以+的最小值為9.
13.解:(1)由題意,線段AB為直徑,故圓心C為線段AB的中點,即C(3,6),又|AB|==2,所以圓C的半徑r=,
故圓C的標準方程為(x-3)2+(y-6)2=10.
(2)由于|PC|==5>,故點P在圓C外.易知當P,C,Q三點共線時|PQ|取得最值,且|PQ|max=|PC|+r=5+,|PQ|min=|PC|-r=5-,即線段PQ長度的最大值為5+,最小值為5-.
14.解:(1)設D為線段AB的中點,直線m為線段AB的垂直平分線,則D.又kAB=-3,所以km=,所以直線m的方程為x-3y-3=0.由得即圓心C(-3,-2),則該圓半徑r=|CA|==5,
所以圓C的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.
(2)設點M(x,y),Q(x0,y0).因為點P的坐標為(5,0),
所以即又點Q(x0,y0)在圓C:(x+3)2+(y+2)2=25上運動,所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25,整理得(x-1)2+(y+1)2=,即線段PQ的中點M的軌跡方程為(x-1)2+(y+1)2=.
15.2-1　[解析] 圓x2+y2=1的圓心為坐標原點O,半徑為1,設點A(2,0)關于直線x+y=4的對稱點為A'(a,b),于是解得即A'(4,2).連接OA',交直線x+y=4于點P,對于直線x+y=4上任意點P',有|P'A|+|P'O|=|P'A'|+|P'O|≥|OA'|=2,所以所求最短總路程為點A'與圓x2+y2=1上的點的最短距離,為2-1.
16.解:f(x)==,所以函數f(x)的幾何意義是點(cos x,sin x)和點A(-1,-1)所在直線的斜率,易知點(cos x,sin x),x∈的軌跡是單位圓x2+y2=1在第一象限的部分及與y軸正半軸的交點.設圓x2+y2=1與x軸正半軸的交點為B,與y軸正半軸的交點為C,則B(1,0),C(0,1),所以kAB==,kAC==2,所以f(x)的值域為.第2課時　圓的標準方程的綜合應用
一、選擇題
1.過點A(0,0),B(2,2)且圓心在直線y=2x-4上的圓的標準方程為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(x-2)2+y2=4
B.(x+2)2+y2=4
C.(x-4)2+(y-4)2=8
D.(x+4)2+(y-4)2=8
2.若圓C:(x-3)2+(y+3)2=4關于直線l:ax+4y-6=0對稱,則直線l的斜率是 (　 )
A.6 B.
C.- D.-
3.下列方程所表示的曲線中,關于x軸和y軸都對稱的是 (　 )
A.x2+y2=1
B.y=x2
C.(x-1)2+y2=1
D.x-y+1=0
4.已知△PAB是圓C:(x-2)2+(y-2)2=4的內接三角形,且|PA|=|PB|,∠APB=120°,則AB的中點D的軌跡方程為 (　 )
A.x2+y2=1
B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=3
D.(x-2)2+(y-2)2=1
5.若x,y滿足(x-1)2+(y+2)2=25,則x2+y2的最小值是 (　 )
A.5 B.5-
C.30-10 D.無法確定
6.已知從點(-5,3)發出的一束光線,經x軸反射后,反射光線恰好平分圓(x-1)2+(y-1)2=5的圓周,則反射光線所在的直線方程為 (　 )
A.2x-3y+1=0
B.2x-3y-1=0
C.3x-2y+1=0
D.3x-2y-1=0
7.(多選題)已知圓M的標準方程為(x+3)2+(y+4)2=25,則下列說法正確的是 (　 )
A.圓M的圓心為(3,4)
B.圓M關于直線x-y-1=0對稱
C.點(-6,1)在圓M外
D.若x,y∈R,且(x,y)滿足圓M的方程,則的最小值是5
8.(多選題)在平面直角坐標系xOy中,圓C經過點(-2,0)和(0,2),則 (　 )
A.圓C的半徑大于2
B.圓心在直線x+y+2=0上
C.當圓心C在x軸上時,圓C的周長為4π
D.圓心C不可能在第一象限
二、填空題
9.已知圓C的圓心在直線x-2y=0上,且與y軸相切于點(0,1),則圓C的標準方程為　　　　　　.
10.在平面直角坐標系xOy中,圓C1:x2+y2=2關于直線l對稱的圓為C2:(x+1)2+(y-2)2=2,則l的方程為　　　　　　　.
11.大約在2000多年前,我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”,意思是說,圓有一個圓心,從圓心到圓上作線段,長度都相等.這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.現有一動點P滿足|OP|=2,其中O為坐標原點,若M,則|PM|的最小值為　　　　.
12.已知圓(x+1)2+(y+2)2=4關于直線ax+by+1=0(a>0,b>0)對稱,則+的最小值為　　　　.
三、解答題
13.已知圓C上有兩個點A(2,3),B(4,9),且線段AB為直徑.
(1)求圓C的標準方程;
(2)已知P(-1,3),點Q是圓C上的任意一點,求線段PQ長度的最大值和最小值.
14.已知圓心為C的圓經過點A(1,1)和B(2,-2),且圓心C在直線l:x-y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)若線段PQ的端點P的坐標是(5,0),端點Q在圓C上運動,求線段PQ的中點M的軌跡方程.
15.[2024·廣西百色高二期中] 在平面直角坐標系中,設軍營所在區域為x2+y2≤1,將軍從點A(2,0)出發,要到河邊飲馬,再回到軍營,河岸線所在直線方程為x+y=4,將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營,則將軍所走的最短總路程為　　　　.
16.數學家華羅庚曾說:“數缺形時少直觀,形少數時難入微.”事實上,很多代數問題可以轉化為幾何問題求解.例如,與相關的代數問題,可以轉化為點A(x,y)與點B(a,b)之間的距離的幾何問題.結合上述觀點,求函數f(x)=,x∈的值域.

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