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浙江省名校協(xié)作體2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期返校聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題及參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
. . . .
2.已知向量，，若，則（ ）
. . . .
3.設(shè)為兩個(gè)平面，為直線.若，則“”是“”的（ ）
.充分不必要條件 .必要不充分條件
.充要條件 .既不充分也不必要條件
4.在平面直角坐標(biāo)系中，的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，其中，則（ ）
. . . .
5.袋子中有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)黑球，2個(gè)白球，3個(gè)黃球，從中不放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，能摸到白球的概率為（ ）
. . . .
6.在中，分別為角的對(duì)邊，已知，，，則（ ）
. . . .
7.已知，則的大小關(guān)系是（ ）
. . . .
8.在三棱錐中，是等邊三角形，，，，則與平面所成角的正弦值是（ ）
. . . .
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)，，其中，為虛數(shù)單位，則（ ）
.若，則 .若，則
.若為實(shí)數(shù)，則 .若為純虛數(shù)，則
10.中，已知，，則（ ）
.
.可以取值為45°
.取最大時(shí)，邊上的中線長(zhǎng)為
.面積的最大值為8
11.若四面體各棱長(zhǎng)均為1或2，但不是正四面體，則該四面體外接球的表面積可能為（ ）
. . . .
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知函數(shù)，，則 .
13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則四面體的體積為 .
14.在中，分別為角的對(duì)邊，且，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，圓心為，則 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù)，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16.（15分）某市為了迎接全國(guó)文明城市的復(fù)查，文明辦隨機(jī)抽取了位市民進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查項(xiàng)目是對(duì)該市各方面文明情況的滿意度，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)他們的問卷分?jǐn)?shù)，將所有的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3，第2小組的頻數(shù)為24，回答下列問題：
（1）求的值，若規(guī)定問卷調(diào)查的滿意度的第60百分位數(shù)不大于88分，則通過復(fù)查；否則，視為不通過.試判斷該調(diào)查是否通過復(fù)查；
（2）在統(tǒng)計(jì)該問卷調(diào)查中，通過分層隨機(jī)抽樣得到前兩組樣本的平均數(shù)分別為76,82，方差分別為5,2，求這兩組數(shù)據(jù)總的平均數(shù)及方差.
17.（15分）已知函數(shù).
（1）將的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在時(shí)取得最大值為，求非零實(shí)數(shù)和的值.
18.（17分）如圖，在三棱錐中，，，且，的中點(diǎn)分別為，且.
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.
19.（17分）定義：對(duì)于函數(shù)，若存在常數(shù)，使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意都有成立，則稱為廣義偶函數(shù).其中的對(duì)稱軸為.特別地，當(dāng)時(shí)，就是偶函數(shù).
設(shè)為正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)是廣義偶函數(shù)，并求其對(duì)稱軸；
（2）若存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意，都有，求的取值范圍；
（3）若存在，使得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.
參考答案
一、選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A D C A B A
二、選擇題
9 10 11
AC ACD ABC
三、填空題
12. 13. 14.
四、解答題
15.解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式，解得，故此不等式解集為.
（2）由題意，，得恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，∴，解得.
16.解：（1）∵后2組的頻率和為，
∴前3組的頻率和為0.75，又前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3，
∴第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，
∴，前兩組的頻率和為0.375，前三組的頻率和為0.75，
故第60百分位數(shù)為，∴該調(diào)查通過復(fù)查.
（2），.
∴這兩組數(shù)據(jù)總的平均數(shù)及方差分別為80和11.
17.解：（1）由題意得，最小正周期為.
由題意得，即，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
，
其中，，
由題意得，解得.
18.解：（1）證明：中，是的中點(diǎn)，∴，同理：，
∴，又平面，平面，∴平面
（2）由，，得，
∵，，由勾股定理得，
在中，由得.
，得，，，
由得，又，得①，
在中，，
∴，進(jìn)一步得②，
由①②得平面，∴平面平面.
（3）連接，，是的中點(diǎn)，得，
，得，∴的平面角為.
在中，，
，
得，
得.
19.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，
∴，∴為廣益偶函數(shù)，其對(duì)稱軸為.
（2）∵在上單調(diào)遞減，在上為常數(shù)函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
∴，
記，易得，
∴.
（3）由，得，
要使有零點(diǎn)，則.
記，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，
即，得，
下證當(dāng)時(shí)，存在使得函數(shù)有唯一零點(diǎn).
不妨取，此時(shí)有，
，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上無零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
故當(dāng)時(shí)，，
即在上有唯一零點(diǎn)，
綜上可得.

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