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2025-2026學年九年級第一次月考
【九上第21-22章】·數學
學校：______________ 班級：______________ 姓名：______________
全卷總分：120分 考試時間：120分鐘
一．選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.下列方程中是一元二次方程的是(　　)
A．x2－1＝0 B．y2＋x＝1
C．2x＋1＝0 D．x 1
2.用配方法解方程x2－8x+9＝0，變形后的結果正確的是（ ）
A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7
C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25
3.已知拋物線y＝x2＋mx的對稱軸為直線x＝2，則m的值是（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
4.把拋物線y=5 向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到的拋物線是（ ）　
A. B.
C. D.
5.對于拋物線y＝（x－1）2－1，下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的開口向下
B．有最大值，最大值是－1
C．拋物線的頂點坐標是(1，1)
D．當x＞1時，y隨x的增大而增大
6.若m，n是一元二次方程 的兩個根，則 的值是（ ）　
A.4 B.5 C.6 D.12
7.已知點(－3，y1)，(0，y2)，(2，y3)在二次函數y＝2x2＋4x＋c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是(　　)
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
8.《四元玉鑒》是中國元代數學重要著作之一，由數學家朱世杰所著．書中有這樣一道方程的應用題：今有錦一匹，先賣三尺，余賣得錢二貫九百七十五文．只云匹長不及尺價四十七文，問匹長、尺價各幾何？譯文：今有一匹錦，先賣掉三尺，剩下的賣了二貫九百七十五文；已知這匹錦的長度數比一尺錦的價格數少四十七文，問：這匹錦的長和每尺的價格各是多少？(備注：1貫＝1000文)，設這匹錦的長為x尺，根據題意可列方程為(　　)
A. (x－3)(x－47)＝2975
B. (x＋3)(x－47)＝2975
C. (x＋3)(x＋47)＝2975
D. (x－3)(x＋47)＝2975
9.若關于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是(　　)
A.m＜0且m≠－1 B.m≥0 C.m≤0且m≠－1 D.m＜0
10.在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝ax+a的圖象大致是(　　)
二．填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分.)
11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是______．
12.一元二次方程x(2x－1)＝2x＋3化為一般形式為______．
13.請你寫出一個二次函數，其圖象滿足條件：①開口向上；②與y軸的交點坐標為(0，﹣2)．此二次函數的解析式可以是 ．
14.二次函數y＝mx2－(2n＋1)x的圖象經過點(2，0)，則關于x的一元二次方程mx2－2nx＝x的根為 ．
15.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型拱門，現把這個方案中的拋物線型拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖，拱門的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱門中設置矩形框架ABCD，當AB＝3m時，矩形框架ABCD的周長為 m．
三．解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分.)
16.解方程：x2－4x＝5．
17.已知二次函數的圖象頂點是(－2，3)，且過點(－1，5)，求這個二次函數的解析式．
18.第十九屆亞運會在杭州隆重舉辦，政府鼓勵全民加強體育鍛煉，李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件50元的乒乓球拍．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數y＝﹣10x+900．若物價部門規定這種乒乓球拍的銷售單價不得超過75元，李明想使獲得的月利潤不低于3000元，求銷售單價x的取值范圍．
四、解答題(二)(本大題3小題，每小題9分，共27分.)
19.已知關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，且a≠0)．
(1)若a＝ ，b＝1，c＝－ ，求x的值；
(2)若b＝a＋c，求證：方程總有實數根．
20.某花卉種植基地計劃利用空地新建一個矩形苗圃園種植玫瑰花，如圖，其中一面靠院墻，且院墻長度為20米，另外三邊搭建圍墻．現有的施工材料可建圍墻34米，同時在與院墻平行的一面開一個2米寬的門，已知圍成的矩形苗圃園與院墻垂直的一邊長和與院墻平行的一邊長的比為5∶8.
(1)求圍成的矩形苗圃園的面積；
(2)為了方便澆水，在苗圃園內修建如圖所示的3條等寬的鵝卵石小路，使得種植玫瑰花的面積為126平方米，求鵝卵石小路的寬為多少米？
21.根據以下素材，探索并完成任務．
探究汽車剎車性能
“道路千萬條，安全第一條”．剎車系統是車輛行駛安全重要保障，某學習小組研究了剎車性能的相關問題（反應時間忽略不計）．
素材1 剎車時間：駕駛員從開始踩剎車到汽車完全停止，汽車所行駛的時間． 剎車距離：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止，汽車所行駛的距離．
素材2 汽車研發中心設計一款新型汽車，某興趣小組成員記錄了模擬汽車在公路上以某一速度勻速行駛時的剎車性能測試數據，具體如下：
剎車后汽車行駛時間t（s） 1 2 3 4
剎車后汽車行駛距離y（m） 27 48 63 72
素材3 該興趣小組成員發現：①剎車后汽車行駛距離y（單位：m）與行駛時間t（單位：s）之間具有函數關系y＝at2+bt（a≠0）、a、b為常數）；②剎車后汽車行駛距離y隨行駛時間t的增大而增大，當汽車剎車后行駛的距離最遠時，汽車完全停止．
問題解決：請根據以上信息，完成下列任務．
（1）任務一：求y關于t的函數表達式；
（2）任務二：汽車司機發現正前方90m處有一個障礙物在路面，立刻剎車，判斷該車在不變道的情況下是否會撞到障礙物？請說明理由．
五、解答題(三)(本大題2小題，每小題12分，共24分.)
22.定義：我們把關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)稱為一對“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0．
(1)寫出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程”______；
(2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的兩根為 ＝2， ＝－5，它的“友好方程”的兩根 ， ＝______．根據以上結論，猜想ax2+bx+c＝0的兩根 、 與其“友好方程”cx2+bx+a＝0的兩根 ， 之間存在的一種特殊關系為______；
(3)已知關于x的方程2021x2+bx－c＝0的兩根為 ＝－1， ，請利用(2)中的結論，求出關于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的兩根．
23.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋6與x軸交于A(－2，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，D是第一象限內拋物線上的一個動點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當CD∥x軸時，求△ACD的周長；
(3)當△BCD的面積等于△AOC面積的 時，求點D的橫坐標．
數學試卷 第頁（共頁）

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