資源簡介

(共32張PPT)
1 橢圓
1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
◆ 課前預(yù)習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì).
2.了解橢圓標準方程中,,, 的幾何意義.
知識點 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1.橢圓的幾何性質(zhì)
標準方程
圖形 _______________________________________________________ ______________________________________
標準方程
性 質(zhì) 焦點 ________________ ________________
焦距
范圍 ________________________ ________________________
對稱性 關(guān)于________________對稱
長軸 ,其中 為長半軸長
短軸 ,其中 為短半軸長
頂點 ______________ ______________
離心率 ______
,
,
，
，
軸、軸和原點
,
,
續(xù)表
2.離心率對橢圓扁圓程度的影響
（1）離心率
橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的離心率,用 表示，即______,顯然
.
（2）離心率對橢圓扁圓程度的影響
如圖所示,在中,,記 ,則
,易知越大,越小,橢圓越____; 越小,
越大,橢圓越____.
扁
圓
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）橢圓的頂點一定在坐標軸上.( )
×
（2）橢圓的長軸長是 .( )
×
（3）若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長分別為10，8，則橢圓的方程
為 .( )
×
（4）橢圓比橢圓 更扁一些.( )
√
探究點一 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
例1 求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率：
（1） ；
解：由橢圓方程可知其焦點在軸上，,，則 ，
所以該橢圓的長軸長為6，短軸長為，焦距為 ；
上、下頂點坐標分別為,，左、右頂點坐標分別為, ；
上、下焦點坐標分別為,，離心率 .
（2） ；
解：由橢圓方程可知其焦點在軸上，可得, ，
則，
所以該橢圓的長軸長為26，短軸長為24，焦距為10；
上、下頂點坐標分別為,，左、右頂點坐標分別為, ；
左、右焦點坐標分別為,，離心率 .
（3） .
解：將橢圓方程整理變形成標準方程可得 ，
易知其焦點在軸上，可得,，則，
所以該橢圓的長軸長為1，短軸長為 ，焦距為；
上、下頂點坐標分別為,,,，左、右頂點坐標分別為, ,,；
左、右焦點坐標分別為,,,，離心率 .
變式 [2024·蘭州一中高二期中] 已知橢圓 的離心率
，求 的值及橢圓的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
解：由整理得.因為，
所以該橢圓的焦點在 軸上且, .
又因為，所以，解得 ，
所以橢圓的方程為，可得,，則 .
所以橢圓的長軸長為，焦距為，焦點坐標為 ，
上、下頂點坐標分別為，，
左、右頂點坐標分別為， .
［素養(yǎng)小結(jié)］
解決橢圓幾何性質(zhì)問題的方法是先將所給方程化為標準形式，然后根據(jù)方程判
斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用，， 之間的關(guān)系和定義，求橢圓的
基本量.
探究點二 橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
（1）橢圓過點，離心率 ；
解：若橢圓的焦點在軸上，則，， ，
， 橢圓的標準方程為.
若橢圓的焦點在 軸上，則，由，
解得， 橢圓的標準方程為.
綜上，所求橢圓的標準方程為 或 .
（2）橢圓在 軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且其焦距為8；
解：由題意知橢圓的焦點在軸上，可設(shè)橢圓的方程為 .
設(shè)該橢圓的一個焦點為，為坐標原點，短軸的兩個端點分別為， ，
則為等腰直角三角形，易知為斜邊的中線（高），
則在 中， ，
， ，且橢圓的焦距為8，, ，
故所求橢圓的標準方程為 .
（3）橢圓經(jīng)過點，且與橢圓 有相同的離心率.
解：方法一：設(shè)的離心率為，所求橢圓的長半軸長為 ,短半軸長為，
由題意知 .
所求橢圓與橢圓 的離心率相同，，即，
可設(shè)所求橢圓的標準方程為或 ，
將點的坐標代入橢圓的標準方程中，得或 ，
解得或 . 故所求橢圓的標準方程為或 .
方法二：由題意設(shè)所求橢圓的方程為 或，
將點的坐標代入可得， ，解得，，
故或 ，即所求橢圓的標準方程為或 .
變式 已知橢圓的對稱軸是坐標軸，為坐標原點，是一個焦點， 是一個
頂點，若橢圓的長軸長是26， ，則橢圓的方程是( )
D
A. B.
C.或 D.或
[解析] 由知A是短軸的端點, 長軸長是26, ,即,
由，得，，
橢圓的方程為或 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用橢圓的幾何性質(zhì)求其標準方程的思路
（1）當利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數(shù)法,其步驟是:
①確定焦點的位置;
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程；
③根據(jù)已知條件列方程（組）,常用的關(guān)系式有, 等.
（2）不能確定橢圓的焦點位置時,滿足題意的橢圓的標準方程可能有兩個.
提醒:與橢圓有相同離心率的橢圓的方程為
（,焦點在軸上）或（,焦點在 軸上）.
探究點三 橢圓的離心率
例3（1） 若一個橢圓的長軸長、短軸長和焦距滿足 ,
則該橢圓的離心率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由,得，則 ,
所以,等號兩邊同時除以,
整理得,解得 或 （舍去）,故選C.
（2）如圖，，，分別為橢圓
的左頂點、上頂點與右焦點，若 ，求該橢
圓的離心率.
解：設(shè)該橢圓的焦距為，由題意可得 ，
， ，
則, ，
因為 ，所以 ，
則，整理可得 ，
解得 ，
又，所以 .
變式（1） [2024·黃山高二期中]已知矩形 的四個頂點都在橢圓
上，邊和 分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點，且
，則該橢圓的離心率為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由橢圓方程知，當時，，所以, .
因為，所以，即，所以 ，
可得 ，故選A.
（2）已知橢圓，其上頂點為，左、右焦點分別為 ,
，且為等邊三角形，則橢圓 的離心率為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由題可知，橢圓C的離心率 .故選A.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求橢圓離心率的值或范圍的兩種方法
（1）直接法：若已知，，可直接利用求解.若已知，或， ，可借助
求出或，再代入公式 求解.
（2）方程法：若，的值不可求，則可根據(jù)條件建立，， 的齊次關(guān)系式，
借助，轉(zhuǎn)化為關(guān)于， 的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩
邊同時除以的最高次冪，得到關(guān)于的方程或不等式，即可求得 的值或范圍.
拓展 已知橢圓的左、右頂點分別為, ,若橢圓上
存在點,使得 ,則橢圓 的離心率的取值范圍為_ ______.
[解析] 易知當點為橢圓與軸的交點時, 最大,
由題可知此時 ,即（ 為坐標原點）,
則,即,即,即 ,
得,不等號兩邊同時除以得，
又，所以 .
根據(jù)曲線的方程,研究曲線的幾何性質(zhì),并正確地畫出它的圖形,是解析幾何的基
本問題之一.本節(jié)就是根據(jù)橢圓的標準方程來研究它的幾何性質(zhì).其性質(zhì)可分為兩
類:一類是與坐標系無關(guān)的本身固有的性質(zhì),如長軸長、短軸長,離心率,焦距;另一
類是與坐標系有關(guān)的性質(zhì),如頂點、焦點.
1.對橢圓的簡單幾何性質(zhì)的認識
（1）橢圓的焦點決定橢圓的位置;
（2）橢圓的長軸長和短軸長決定橢圓的大小;
（3）橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度;
（4）對稱性是圓錐曲線的重要性質(zhì),橢圓的頂點是橢圓與對稱軸的交點,是橢圓
重要的特殊點,在畫圖時應(yīng)先確定頂點和對稱軸.
2.橢圓的離心率對橢圓扁平程度的影響
橢圓的離心率的大小決定了橢圓的形狀,反映了橢圓的扁平程度.
由可知,當越接近于1時, 越接近于0,橢圓越扁;
當越接近于0時,越接近于1,橢圓越接近于圓.當且僅當時, ,兩焦點重
合,圖形為圓,方程為 ,但需要特別指出的是圓與橢圓是完全不同的兩
種曲線,圓不是橢圓的特殊情形.
例1 已知橢圓的標準方程為，且焦距為6，則實數(shù) 的值為
________.
4或
[解析] ，.
當橢圓的焦點在 軸上時，由橢圓的標準方程知，.
由，得，，又 ，.
當橢圓的焦點在軸上時，由橢圓的標準方程知， .
由，得，又，.
綜上可知，實數(shù) 的值為4或 .
例2 阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得
到橢圓的面積公式，設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長分別為， ，則橢圓的面積
公式為 ．若橢圓的焦點在軸上，離心率為，面積為 ，則橢圓
的標準方程為___________．
[解析] 由橢圓的焦點在軸上，可設(shè)橢圓 的標準方程為.
因為離心率為，所以，則.
因為橢圓 的面積為 ，所以 ，則.
由 可得所以橢圓的標準方程為 .
例3（1） 若橢圓的長軸在軸上，長軸長等于12，離心率等于 ，則橢圓的
標準方程為___________；
[解析] 設(shè)橢圓的標準方程為，
則 得故所求橢圓的標準方程為 .
（2）若橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且橢圓過點 ，則橢圓的標準方
程為_______________________；
或
[解析] 當焦點在軸上時，設(shè)橢圓方程為，
因為點 在橢圓上，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為 ；
當焦點在軸上時，設(shè)橢圓方程為，
因為點 在橢圓上，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為 .
綜上，橢圓的標準方程為或 ．
（3）若，，， 四個點中恰有三個點在橢圓
上，則橢圓的標準方程為___________．
[解析] 因為橢圓是對稱圖形，所以，必在橢圓上．
又點 與點、點的橫坐標相同，縱坐標不同，所以點 不在橢圓上，
所以點在橢圓上．
設(shè)橢圓的方程為 ，
則得所以橢圓的標準方程為 .1.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
【課前預(yù)習】
知識點
1.F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　-a≤x≤a,-b≤y≤b　-b≤x≤b,-a≤y≤a　x軸、y軸和原點
(±a,0),(0,±b)　(0,±a),(±b,0)　e=
2.(1)=e　(2)扁　圓
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
例1　解:(1)由橢圓方程+=1可知其焦點在y軸上,a=3,b=,則c=,所以該橢圓的長軸長為6,短軸長為2,焦距為2;上、下頂點坐標分別為(0,3),(0,-3),左、右頂點坐標分別為(-,0),(,0);上、下焦點坐標分別為(0,),(0,-),離心率e=.
(2)由橢圓方程+=1可知其焦點在x軸上,可得a=13,b=12,則c=5,所以該橢圓的長軸長為26,短軸長為24,焦距為10;上、下頂點坐標分別為(0,12),(0,-12),左、右頂點坐標分別為(-13,0),(13,0);左、右焦點坐標分別為(-5,0),(5,0),離心率e=.
(3)將橢圓方程4x2+9y2=1整理變形成標準方程可得+=1,易知其焦點在x軸上,可得a=,b=,則c=,所以該橢圓的長軸長為1,短軸長為,焦距為;上、下頂點坐標分別為,,左、右頂點坐標分別為,;左、右焦點坐標分別為,,離心率e==.
變式　解:由x2+=2整理得+=1.因為m>0,所以該橢圓的焦點在y軸上且a2=2(m+3),b2=2.
又因為e=,所以e2=1-=1-=,解得m=1,所以橢圓的方程為+=1,可得a=2,b=,則c==.所以橢圓的長軸長為4,焦距為2,焦點坐標為(0,±),上、下頂點坐標分別為(0,2),(0,-2),左、右頂點坐標分別為(-,0),(,0).
例2　解:(1)若橢圓的焦點在x軸上,則a=3,∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3,∴橢圓的標準方程為+=1.若橢圓的焦點在y軸上,則b=3,由e=====,解得a2=27,∴橢圓的標準方程為+=1.綜上,所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
(2)由題意知橢圓的焦點在x軸上,可設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0).設(shè)該橢圓的一個焦點為F,O為坐標原點,短軸的兩個端點分別為A1,A2,則△A1FA2為等腰直角三角形,易知OF為斜邊A1A2的中線(高),則在△A1FA2中,|OF|=|OA1|=|OA2|,
∵|OF|=c,|A1A2|=2b,且橢圓的焦距為8,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32,
故所求橢圓的標準方程為+=1.
(3)方法一:設(shè)+=1的離心率為e,所求橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,由題意知e2=1-=.
∵所求橢圓與橢圓+=1的離心率相同,
∴=,即a2=2b2,可設(shè)所求橢圓的標準方程為+=1或+=1,
將點M(1,2)的坐標代入橢圓的標準方程中,得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
故所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
方法二:由題意設(shè)所求橢圓的方程為+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),將點M的坐標代入可得+=k1,+=k2,解得k1=,k2=,故+=或+=,即所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
變式　D　[解析] 由cos∠OFA=知A是短軸的端點,∵長軸長是26,∴|FA|=13,即a=13,由cos∠OFA==,得c=5,∴b2=132-52=122=144,∴橢圓的方程為+=1或+=1.
例3　(1)C　[解析] 由2a+2c=2×2b,得a+c=2b,則(a+c)2=4b2=4(a2-c2),所以3a2-5c2=2ac,等號兩邊同時除以a2,整理得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍去),故選C.
(2)解:設(shè)該橢圓的焦距為2c,由題意可得A(-a,0),B(0,b),C(c,0),
則kAB=,kCB=-,
因為∠ABC=90°,所以kAB·kBC=·=-1,
則b2=ac=a2-c2,整理可得e2+e-1=0,
解得e=,
又1>e>0,所以e=.
變式　(1)A　(2)A　[解析] (1)由橢圓方程知,當x=c時,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因為2|AB|=|BC|,所以4c=,即2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,可得e=-1+,故選A.
(2)由題可知,橢圓C的離心率e==cos∠AF1F2=cos=.故選A.
拓展　　[解析] 易知當點P為橢圓與y軸的交點時,∠A1PA2最大,由題可知此時
∠A1PA2≥120°,即∠A2PO≥60°(O為坐標原點),則tan∠A2PO=≥tan 60°=,即a≥b,即a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),得2a2≤3c2,不等號兩邊同時除以a2得3e2≥2,又0第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1.D　[解析] 由x2+3y2=9,得+=1,所以b=,故橢圓x2+3y2=9的短軸長為2.故選D.
2.A　[解析] 因為橢圓的短軸長和焦距相等,所以m2+1-m2=m2,可得m=1.故選A.
3.C　[解析] 點(-3,-2)與點(3,2)關(guān)于原點對稱,點(3,-2)與點(3,2)關(guān)于x軸對稱,點(-3,2)與點(3,2)關(guān)于y軸對稱.若點(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則根據(jù)橢圓的對稱性可知(-3,-2),(3,-2),(-3,2)三點都在橢圓上.故選C.
4.C　[解析] 因為e2===1-=,所以=.若橢圓的焦點在x軸上,則0<4-k<9,即-59,即k<-5,又==,所以k=-.綜上所述,k=-4或k=-.故選C.
5.C　[解析] 不妨設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),由題意知,當橢圓的右頂點B(或左頂點)與坐標原點O均為正方形的頂點,且OB為正方形的對角線時,正方形符合題意.不妨令正方形的頂點A在第一象限,頂點C在第四象限,則由正方形和橢圓的對稱性可得正方形的四個頂點及坐標分別為O(0,0),B(a,0),C,A,將點A的坐標代入橢圓方程得+=1,所以a2=3b2,故離心率e====.故選C.
6.B　[解析] 根據(jù)對稱性,可設(shè)點P(x,y),y>0,則△PF1F2的面積S=×|F1F2|×y=cy,則當△PF1F2的面積最大時,y最大,此時P為橢圓的上頂點,坐標為(0,).因為c==2,所以F1(-2,0),F2(2,0),則=(-2,-),=(2,-),所以·=-4+3=-1.故選B.
7.BD　[解析] 由橢圓x2+=1,得a=,b=1,c=2.對于A選項,橢圓的焦點的坐標為(0,-2),(0,2),A選項錯誤;對于B選項,橢圓的長軸長為2,B選項正確;對于C選項,橢圓上的點的橫坐標的取值范圍是[-1,1],C選項錯誤;對于D選項,橢圓的離心率e===,D選項正確.故選BD.
8.AD　[解析] 由題意得解得則b==2,則橢圓C的標準方程為+=1,設(shè)橢圓C的上頂點為B1,坐標原點為O.對于選項A,橢圓C的短軸長為4,A正確.對于選項B,當P,Q分別在x軸的上方和下方時,四邊形PF1QF2的周長為4a=16,B錯誤.對于選項C,連接B1F1,B1F2,在Rt△OB1F1中,∠B1OF1=90°,|OF1|=2,|OB1|=2,則∠OB1F1=30°,則∠F1B1F2=60°.因為當P為短軸端點時∠F1PF2取得最大值,所以存在2個不同的點P,使得∠F1PF2=60°,C錯誤.對于選項D,由∠F1B1F2=60°,可得∠F1PF2≤60°,因為橢圓C的半焦距為2,所以由△PF1F2為銳角三角形,可得點P橫坐標的取值范圍是(-2,2),D正確.故選AD.
9.2　[解析] 因為橢圓C:+=1的長軸長為4,所以2=4,解得m=4,所以c2=4-3=1,即c=1,故橢圓C的焦距為2.
10.+=1或+=1　[解析] 當橢圓的焦點在x軸上時,設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),由題意得b=c,a-c=,所以a===2c,則可得c=,a=2,b=3,所以橢圓方程為+=1.當橢圓的焦點在y軸上時,同理可得橢圓方程為+=1.
11.　[解析] 由已知得c2=a2-1(a>1),所以該橢圓的左焦點的坐標為(-,0),右頂點的坐標為(a,0),其左焦點到右頂點的距離為+a=2,解得a=.
12.　[解析] 如圖,依題意得|AF1|=a,由|PA|=|PF2|,得|PF2|-|PF1|=|AF1|=a,因為|PF2|+|PF1|=2a,所以|PF1|=a,|PF2|=a.令橢圓的半焦距為c,則cos∠AF1F2=.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,即=+(2c)2-2×a×2c×,整理得a2=5c2,因此e2=,可得e=,即橢圓的離心率為.
13.解:(1)由題意,橢圓x2+(m+3)y2=m的標準方程為+=1(m>0),因為m>0,所以m>,即橢圓的焦點在x軸上,所以a2=m,b2=,由題意可知e2===1-=1-=,即=m,且m>0,解得m=1.
(2)由(1)知橢圓的方程為x2+=1,故a2=1,b2=,c2=1-=,故橢圓的焦點坐標為,,頂點坐標為(1,0),(-1,0),,.
14.解:由題意得A(0,-b),則直線l的方程為y=x-b,由P,BP∥x軸,得B,所以=,=,由·=,得·==,可得b=,所以B.
又B在橢圓上,所以+=1,解得a2=4,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)由橢圓方程得c==1,則F(-1,0),D(-2,0).設(shè)M(x0,y0),則+=1,所以=3-,且-2≤x0≤2,則·=(x0+2,y0)·(-1-x0,-y0)=--3x0-2-=--3x0-5=-(x0+6)2+4.因為-2≤x0≤2,所以·∈[-12,0],
即·的取值范圍為[-12,0].
15.A　[解析] 不妨以橢圓中心為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),則e==,且a-c=r+R,解得a=2(r+R),c=r+R,故該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為a+c-R=2(r+R)+(r+R)-R=3r+2R.故選A.
16.0(答案不唯一)　[解析] 因為點F1,F2分別為橢圓C:+y2=1的左、右焦點,所以a2=3,b2=1,c2=2,則F1(-,0),F2(,0).設(shè)P(x0,y0),則=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),由·=m,可得+=m+2.因為點P在橢圓上,所以+ =1,所以=.要使得·=m成立的點P恰好是4個,則需滿足0<<3,解得-1第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
【學習目標】
　　1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì).
　　2.了解橢圓標準方程中a,b,c,e的幾何意義.
◆ 知識點　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1.橢圓的幾何性質(zhì)
標準方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
圖形
(續(xù)表)
標準方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
性 質(zhì) 焦點 　　　　　 　　　　　
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范圍 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
對稱性 關(guān)于　　　　　　　　　對稱
長軸 |A1A2|=2a,其中a為長半軸長
短軸 |B1B2|=2b,其中b為短半軸長
頂點 　　　　　 　　　　　
離心率 　　　(02.離心率對橢圓扁圓程度的影響
(1)離心率
橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的離心率,用e表示,即　　　　,顯然0(2)離心率對橢圓扁圓程度的影響
如圖所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,記e=,則0【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)橢圓的頂點一定在坐標軸上. (　 )
(2)橢圓+=1(a>b>0)的長軸長是a.(　 )
(3)若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為+=1. (　 )
(4)橢圓+=1比橢圓+=1更扁一些. (　 )
◆ 探究點一　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
例1 求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率:
(1)+=1;
(2)+=1;
(3)4x2+9y2=1.
變式 [2024·蘭州一中高二期中] 已知橢圓x2+=2(m>0)的離心率e=,求m的值及橢圓的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解決橢圓幾何性質(zhì)問題的方法是先將所給方程化為標準形式,然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上,再利用a,b,c之間的關(guān)系和定義,求橢圓的基本量.
◆ 探究點二　橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
(1)橢圓過點(3,0),離心率e=;
(2)橢圓在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,且其焦距為8;
(3)橢圓經(jīng)過點M(1,2),且與橢圓+=1有相同的離心率.
變式 已知橢圓的對稱軸是坐標軸,O為坐標原點,F是一個焦點,A是一個頂點,若橢圓的長軸長是26,cos∠OFA=,則橢圓的方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用橢圓的幾何性質(zhì)求其標準方程的思路
(1)當利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數(shù)法,其步驟是:
①確定焦點的位置;
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程;
③根據(jù)已知條件列方程(組),常用的關(guān)系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)不能確定橢圓的焦點位置時,滿足題意的橢圓的標準方程可能有兩個.
提醒:與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為+=k1(k1>0,焦點在x軸上)或+=k2(k2>0,焦點在y軸上).
◆ 探究點三　橢圓的離心率
例3 (1)若一個橢圓的長軸長2a、短軸長2b和焦距2c滿足2a+2c=2×2b,則該橢圓的離心率是 (　 )
A. B. C. D.
(2)如圖,A,B,C分別為橢圓+=1(a>b>0)的左頂點、上頂點與右焦點,若∠ABC=90°,求該橢圓的離心率.
變式 (1)[2024·黃山高二期中] 已知矩形ABCD的四個頂點都在橢圓+=1(a>b>0)上,邊AD和BC分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點,且2|AB|=|BC|,則該橢圓的離心率為 (　 )
A.-1+ B.2-
C.-1+ D.2-
(2)已知橢圓C:+=1(a>b>0),其上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F2,且△AF1F2為等邊三角形,則橢圓C的離心率為 (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求橢圓離心率的值或范圍的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c,可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的齊次關(guān)系式,借助a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同時除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍.
拓展 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,若橢圓上存在點P,使得∠A1PA2=120°,則橢圓C的離心率的取值范圍為　　　　. 1.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
一、選擇題
1.橢圓x2+3y2=9的短軸長為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.6
C. D.2
2.已知橢圓C:+=1(m>0)的短軸長和焦距相等,則m的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C. D.
3.若點(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則下列說法正確的是 (　 )
A.點(-3,-2)不在橢圓上
B.點(3,-2)不在橢圓上
C.點(-3,2)在橢圓上
D.無法判斷上述點與橢圓的關(guān)系
4.已知橢圓+=1的離心率為,則k的值為 (　 )
A.-4 B.
C.-4或- D.-4或
5.若橢圓上存在三個點,使得這三個點與橢圓的中心恰好是一個正方形的四個頂點,則橢圓的離心率e= (　 )
A. B.
C. D.
6.設(shè)F1,F2分別為橢圓+=1的左、右焦點,動點P在橢圓上,當△PF1F2的面積最大時,·的值等于 (　 )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
7.(多選題)已知橢圓x2+=1,則下列說法正確的是 (　 )
A.焦點的坐標是(-2,0),(2,0)
B.橢圓的長軸長為2
C.橢圓上的點的橫坐標的取值范圍是[-2,2]
D.橢圓的離心率為
8.(多選題)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,P,Q為C上的動點,|PF2|的最大值為6,則下列結(jié)論中正確的是 (　 )
A.橢圓C的短軸長為4
B.當P,Q分別在x軸的上方和下方時,四邊形PF1QF2的周長的取值范圍是(8,16]
C.存在四個不同的點P,使得∠F1PF2=60°
D.若△PF1F2為銳角三角形,則點P橫坐標的取值范圍是(-2,2)
二、填空題
9.已知橢圓C:+=1(m>0)的長軸長為4,則橢圓C的焦距為　　　　.
10.若橢圓的中心為原點,對稱軸為坐標軸,短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成一個正三角形,焦點到橢圓上點的最短距離為,則這個橢圓的方程為　　　　　　　　　　　.
11.已知橢圓+y2=1(a>1),若其左焦點到右頂點的距離為2,則a的值為　　　　.
12.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F2,連接AF1并延長,交橢圓C于點P,若|PA|=|PF2|,則該橢圓的離心率為　　　　.
三、解答題
13.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=.
(1)求m的值;
(2)求橢圓的焦點坐標、頂點坐標.
14.如圖,點A是橢圓C:+=1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點,過A作斜率為的直線l,交橢圓于點B,已知點P的坐標為,且滿足BP∥x軸,·=.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C的左頂點為D,左焦點為F,點M為橢圓上任意一點,求·的取值范圍.
15.[2024·河南周口高二期中] 如圖,某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道可近似看作以地心F1為一個焦點且離心率為的橢圓,地球可看作半徑為R的球體,近地點離地面的距離為r,則遠地點離地面的距離l為 (　 )
A.3r+2R B.2r+3R
C.r+2R D.r+R
16.設(shè)點F1,F2分別為橢圓C:+y2=1的左、右焦點,點P是橢圓C上任意一點,若使得·=m成立的點P恰好是4個,則實數(shù)m的一個取值可以為　　　　.

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