資源簡介

第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
【課前預習】
知識點
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
【課中探究】
例1　A　[解析] 由題意知所求橢圓的焦點為(±,0),設其方程為+=1(a>),將點(-3,2)的坐標代入方程可得+=1,得a2=15,故所求橢圓的標準方程為+=1,故選A.
變式　D　[解析] 易知所以=16;所以=16=,則兩橢圓的焦距相等,D正確.因為所以兩橢圓的長軸長不相等,短軸長不相等,A,B錯誤.根據e=知,兩橢圓的離心率不相等,C錯誤.故選D.
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因為橢圓+=1的焦點在x軸上,所以a2=8+c2.由解得所以橢圓方程為+=1,則左焦點F(-1,0),右頂點A(3,0).設P(x0,y0),則+=1,所以=8,則·=(-1-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-2x0-3+=-2x0-3+8-=-2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],可知當x0=-3時,·取得最大值12.故選C.
(2)方法一:設點P(x0,y0),則|OP|=,且|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.∵點P在橢圓上,∴+=1,則=64-,∴|OP|=.∵0≤≤100,∴64≤+64≤100,即8≤|OP|≤10.
方法二:設點P(x0,y0),其中x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),則|OP|===,∵cos2θ∈[0,1],∴8≤|OP|≤10.故選C.
變式　11　[解析] 設該橢圓的右焦點為F2,連接PF2.因為+>1,所以點Q在橢圓外.由題意可得a=3,b=,c===2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因為|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|+|PQ|=6-|PF2|+|PQ|≤6+|QF2|,當且僅當Q,F2,P三點共線,且F2在線段PQ上時,等號成立.因為|QF2|==5,所以|PF1|+|PQ|≤11.
例3　B　[解析] 設P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),因為正方形ABCD的面積為16,所以|AB|=4,所以+=16.由=+,可得即則+(2y)2=16,整理得+=1.故選B.
變式　(1)+y2=1　(2)+=1　[解析] (1)設圓x2+y2=4上一點的坐標為(x,y),經變換后所對應點的坐標為(x',y'),因為圓x2+y2=4上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的一半,所以即所以(x')2+(2y')2=4,即+y'2=1,所以所得曲線的方程為+y2=1.
(2)設M(x,y),P(x0,y0),則Q(0,y0).由(1-)=-,得=,則(-x0,0)=(-x,y0-y),可得因為點P(x,y)在圓x2+y2=12上,所以(x)2+y2=12,即+=1,所以動點M的軌跡方程為+=1.
拓展　+=1(x≠0)　[解析] ∵kAM·kBM=-,∴·=-,化簡得+=1.當M位于y軸上時,直線AM,BM的斜率均不存在,不合題意,舍去.故點M的軌跡方程為+=1(x≠0).
例4　D　[解析] 取橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為坐標軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設橢圓方程為+=1(a>b>0),令y=-c,則+=1,解得x=±,依題意可得所以所以=,所以e==.故選D.
變式　A　[解析] 以F1F2所在直線為x軸,F1F2的中點為原點,建立平面直角坐標系.設橢圓的方程為+=1(a>b>0),因為橢圓的離心率為,且|F1F2|=5 cm,所以e==,2c=5,可得a=,c=,所以由橢圓的定義得所求路程為2a=9(cm).故選A.(共30張PPT)
1 橢圓
1.2 橢圓的簡單幾何性質
第2課時 橢圓的幾何性質的綜合問題
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.了解橢圓系方程的設法.
2.結合橢圓的定義，會用代數法、幾何法求橢圓中的最值問題.
知識點 兩個橢圓的關系問題
1.共焦點的橢圓系方程
①與橢圓 有公共焦點的橢圓系方程為
；
②與橢圓 有公共焦點的橢圓系方程為
.
2.同離心率的橢圓系方程
①與橢圓 有相同離心率的橢圓系方程為
或 ；
②與橢圓 有相同離心率的橢圓系方程為
或 ．
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）橢圓的頂點坐標、長軸長、短軸長、離心率都與焦點所在的坐標軸有關. ( )
×
（2）橢圓方程中的參數不能刻畫橢圓的扁平程度，而
能刻畫橢圓的扁平程度.( )
×
（3）離心率相同的橢圓是同一個橢圓.( )
×
探究點一 兩個橢圓的關系問題
例1 過點且與橢圓 有相同焦點的橢圓的標準方程是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由題意知所求橢圓的焦點為 ，設其方程為，
將點的坐標代入方程可得 ，得，
故所求橢圓的標準方程為 ，故選A.
變式 橢圓與橢圓且 的( )
D
A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等
[解析] 易知所以;所以 ，
則兩橢圓的焦距相等，D正確.
因為 所以兩橢圓的長軸長不相等，短軸長不相等，A，B錯誤.
根據 知，兩橢圓的離心率不相等，C錯誤.故選D.
［素養小結］
在求兩個橢圓的關系問題時，常有兩種思路：（1）由橢圓的幾何性質來進行判
斷求解；（2）由橢圓系方程來判斷求解.
探究點二 橢圓中的最值問題
例2（1） 已知焦點在軸上的橢圓，且，, 分別是橢圓
的左焦點和右頂點，是橢圓上任意一點，則 的最大值為( )
C
A.8 B.10 C.12 D.16
[解析] 因為橢圓的焦點在軸上，所以.
由 解得所以橢圓方程為，
則左焦點，右頂點 .
設，則，所以，
則,，
可知當時， 取得最大值12．故選C.
（2）已知橢圓的標準方程為，則橢圓上的點到橢圓中心 的距離
的取值范圍為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法一：設點,則,且 ,
點在橢圓上，，則 ，.
, ,即 .
方法二：設點，其中 ， ， ，
則，
， .故選C.
變式 設是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點 的坐標為
，則 的最大值為____.
[解析] 設該橢圓的右焦點為，連接.因為，所以點 在橢圓外.
由題意可得,，，所以, ,
因為，所以 ，
當且僅當，，三點共線，且在線段 上時，等號成立.
因為，所以 .
［素養小結］
最值問題常涉及一些不等式.例如：在橢圓 中，
，, 以及三角形兩邊之和大于第三邊等等.在求
橢圓相關量的范圍或最值時，要注意應用這些不等關系.構建函數是確定最值的
一個最重要的途徑，但一定要注意自變量的取值范圍.
探究點三 與橢圓有關的軌跡問題
例3 已知面積為16的正方形的頂點，分別在軸和軸上滑動， 為
坐標原點，，則動點 的軌跡方程是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 設，，，因為正方形 的面積為16，
所以，所以.
由，可得即
則，整理得 .故選B.
變式（1） 將圓 上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的一半，
所得曲線的方程是___________.
[解析] 設圓上一點的坐標為 ,經變換后所對應點的坐標為，
因為圓 上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的一半，
所以即所以，即 ，
所以所得曲線的方程為 .
（2）已知圓上的動點在軸上的射影為， 為坐標原點，動
點滿足，則動點 的軌跡方程為____________.
[解析] 設,,則.由 ，
得，則,可得
因為點 在圓上，所以,即,
所以動點 的軌跡方程為 .
［素養小結］
解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法：
（1）直接法：直接法即根據所滿足的幾何條件，將幾何條件 直接翻
譯成，的形式，即，然后進行等價變換，化簡為 ．
（2）定義法：看所求動點的軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則
用待定系數法求解即可．
（3）相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一個動點按照某種規律運動而形
成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，
即可解決問題，這種方法稱為相關點法.
拓展 在平面直角坐標系中，已知點與，動點 滿足直線
，的斜率之積為，則點 的軌跡方程為__________________.
[解析] ，，化簡得.
當位于 軸上時，直線，的斜率均不存在，不合題意，舍去.
故點 的軌跡方程為 .
探究點四 橢圓簡單幾何性質的實際應用
例4 如圖①，韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深、塔高、
梁重、跨大的特點，它跨越了曲江區、湞江區、武江區，成為連接曲江區與芙
蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命.韶州大橋
的橋塔外形近似橢圓，示意圖如圖②.若橋塔所在面截橋面所得線段記為 ，且
過橢圓的下焦點，，橋塔最高點 到橋面的距離為110，則此橢圓
的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，
建立如圖所示的平面直角坐標系.
設橢圓方程為，
令，則 ，解得，
依題意可得
所以所以，所以 .故選D.
變式 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面
（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．燈絲
位于橢圓的一個焦點上，由 發出的光線，經過旋轉橢
圓面反射后集中到另一個焦點 ．已知此橢圓的離心率為
，且 ，則燈絲發出的光線經反射鏡面反射
后到達另一個焦點時所經過的路程為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 以所在直線為軸， 的中點為原點，建立平面直角坐標系.
設橢圓的方程為，
因為橢圓的離心率為，且 ，所以,，
可得, ，所以由橢圓的定義得所求路程為 .故選A.
［素養小結］
求解橢圓的實際應用問題的思路：
（1）通過數學抽象找出實際問題中的橢圓；
（2）建立適當的坐標系，通過橢圓的方程或幾何性質解決實際問題.
與橢圓有關的最值問題具有較強的綜合性，常涉及多個知識點，思維能力要求
比較高.解決這類問題常用的方法有以下三種.
（1）定義法：利用定義轉化為常見問題來處理.
（2）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現橢圓的幾何特征及意義，則考慮
利用圖形性質來解決，這就是幾何法，解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題
所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義及知識求解.
（3）代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數，則可先建立目標函
數，再根據函數式的特征選用適當的方法求解目標函數的最值.常用的方法有配
方法、判別式法、基本不等式法及函數的單調性法等.
例1 [2024·廣東潮州高二期末] 已知圓 ，圓
，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心 的軌跡為曲線
，則 的方程為___________________
[解析] 由已知得，圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為 ，半徑.
設動圓的圓心為，半徑為.
因為動圓與圓 外切并且與圓內切，
所以 ，
由橢圓的定義可知，曲線是以，為焦點，長半軸長為2，
短半軸長為 的橢圓（左頂點除外），其方程為 .
例2 已知點在橢圓上，且點 到橢圓焦點的距離的
最小值為2，最大值為8，則橢圓的離心率為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為點到橢圓焦點的距離的最小值為2，最大值為8，所以
解得所以橢圓的離心率 .故選A.
例3 設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于， 兩點，
點與點關于軸對稱，為坐標原點.若且，則點 的軌
跡方程是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 設，，，，則 ,
, ,由，得 ，
即，.易知點的坐標為，則 ,
由，得，即.
將， 代入，
得點的軌跡方程為 .第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
1.C　[解析] 由9x2+25y2=225,得橢圓的標準方程為+=1,則a=5,b=3,因為點P(x,y)在橢圓上,所以|x|≤5,|y|≤3.故選C.
2.A　[解析] 由題意可知當點M為橢圓的短軸的端點時,△MF1A2的面積取得最大值,由+=1,得a=5,b=4,c=3,所以△MF1A2面積的最大值為(a+c)·b=×8×4=16.故選A.
3.B　[解析] 連接BQ,由線段垂直平分線的性質得|BQ|=|PQ|,∵|AP|=|AQ|+|PQ|=6,且點A,B均為定點,∴|AQ|+|BQ|=6>|AB|=2,∴點Q的軌跡是以點A,B為焦點的橢圓,設橢圓方程為+=1(a>b>0),則2a=6,2c=2,∴a=3,c=1,∴b=2,∴點Q的軌跡方程為+=1,故選B.
4.D　[解析] 易知橢圓+=1的長軸長是8,短軸長是6,焦距是2,離心率為.橢圓+=k(k>0且k≠1)的標準方程為+=1(k>0且k≠1),可知該橢圓的長軸長是8,短軸長是6,焦距是2,離心率為,所以這兩個橢圓的離心率相等.故選D.
5.A　[解析] 設橢圓的內接矩形在第一象限的頂點坐標為(x,y),則x>0,y>0,由對稱性可知,內接矩形的面積S=4xy=8··≤4×=4,當且僅當=,即x=y時等號成立,由解得此時等號成立,所以橢圓+=1的內接矩形面積的最大值為4.故選A.
6.C　[解析] 由橢圓的方程可得a=,b=,c=1,設△PF1F2內切圓的半徑為r,則=×2c·|y0|=(2a+2c)·r,可得r==|y0|,因為+=1,所以|y0|=·,所以r=·,所以=·2c·r=×2××=·,因為|x0|≤1,所以∈,即∈.故選C.
7.BCD　[解析] 由題意知,a=,b=,c==2.設橢圓的左焦點為F',則F'(-2,0).由點A在橢圓內部得+<1,結合m>4,解得m>6+2.由|PF|+|PF'|=2,及|PA|+|PF|=8得||PA|-|PF'||=|8-2|,又當P,F',A三點共線時||PA|-|PF'||最大,所以|8-2|≤|AF'|=2,解得9≤m≤25,綜上,6+28.ACD　[解析] 由題知在②兩邊同加c2+c1,得a1+c2=a2+c1,故C正確;將①代入②得a2-c2=2a2-c1,兩邊同時除以a2得1-=2-=2-2=2-2,即1-e2=2-2e1,則e2=2e1-1,故A正確;由②得c1=a1-a2+c2=a2+c2>2c2③,③式兩邊同乘a2得c1a2>2a2c2=a1c2,故B錯誤; 由③式得-c1<-2c2,兩邊同加a1得a1-c1=2a2-c19.20 cm　[解析] 由大橢圓和小橢圓的扁平程度相同,可得這兩個橢圓的離心率相同.由大橢圓的長軸長為40 cm,短軸長為20 cm,可得其焦距為20 cm,故大橢圓的離心率為,所以小橢圓的離心率為.設小橢圓的長軸長為2a cm,因為小橢圓的短軸長為10 cm,所以=,可得a=10,所以小橢圓的長軸長為20 cm.
10.4　[解析] 令P(x,y),則|PA|=,又x2=4(1-y2),所以|PA|=,又-1≤y≤1,所以當y=-1時,|PA|取得最大值4.
11.x2+=1　[解析] 設M(x,y),P(m,n),則P0(m,0),∴=(m-x,-y),=(0,-n),∵=,∴(m-x,-y)=(0,-n),∴m=x,n=y,又點P在圓x2+y2=1上,∴m2+n2=1,∴x2+y2=1,∴點M的軌跡C的標準方程為x2+=1.
12.　[解析] 方法一:設點M的坐標是(x0,y0),則|x0|方法二:設橢圓的一個短軸端點為P,∵橢圓上存在一點M,使∠F1MF2=90°,∴∠F1PF2≥90°,則c≥b(當且僅當M為短軸端點時等號成立),∴c2≥b2=a2-c2,即≥,又013.解:(1)當a=3時,原方程為+=1,則F1(-2,0),F2(2,0),設P(x,y),則-3≤x≤3,-≤y≤,故=(-2-x,-y),=(2-x,-y),所以·=x2+y2-4,又x2=9-y2,且0≤y2≤5,
所以·=5-y2∈[1,5].
(2)由題意知,=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=|PF1||PF2|.因為|PF1|+|PF2|=2a,
且cos∠F1PF2==-,
所以=
-1=-,整理得|PF1||PF2|=20,
所以=5.
14.解:(1)因為P3,P4關于y軸對稱,所以P3,P4必在橢圓C上,則+=1.因為+>+=1,所以P1(1,1)不在橢圓C上,所以P2(0,1)在橢圓C上,所以b=1,a2=4,故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)點A(0,-1)是橢圓C的下頂點,設橢圓上的點M(x0,y0),其中-1≤y0≤1,則+=1,即=4-4,所以|MA|2=+(y0+1)2=4-4+(y0+1)2=-3+2y0+5=-3+.因為函數y=-3+在上單調遞增,在上單調遞減,所以當y0=時,|MA|2取到最大值,且最大值為,故|MA|的最大值為.
15.A　[解析] 由圓C1:(x+3)2+y2=1得其圓心為C1(-3,0),半徑為1;由圓C2:(x-3)2+y2=49得其圓心為C2(3,0),半徑為7.動圓C與圓C1外切且與圓C2內切,連接CC2,設動圓C的半徑為r,則|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以動點C的軌跡是以C1,C2為焦點,8為長軸長的橢圓,設橢圓方程為+=1(a>b>0),則a=4,c=3,b2=a2-c2=7,所以動點C的軌跡方程為+=1.由橢圓的定義可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|≤8+|MC2|=8+(當C,C2,M三點共線且|CM|>|CC2|時取等號),故選A.
16.解:(1)由題意可知b==15,a=34-=25.
(2)由(1)知,兩個半橢圓的方程為+=1(x≤0)和+=1(x≥0),令A(x1,t),B(x2,t)分別是矩形水箱在第一、二象限的頂點,則可得x2=-x1,所以網箱所占水域面積S=2t(x1-x2)=2t×x1=510×2××≤510×=510,當且僅當=時等號成立,
所以網箱所占水域面積的最大值為510平方米.第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
【學習目標】
　　1.了解橢圓系方程的設法.
　　2.結合橢圓的定義,會用代數法、幾何法求橢圓中的最值問題.
◆ 知識點　兩個橢圓的關系問題
1.共焦點的橢圓系方程
①與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓系方程為+=1(a>b>0,λ>-b2);
②與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓系方程為+=1(a>b>0,λ>-b2).
2.同離心率的橢圓系方程
①與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓系方程為+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0);
②與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓系方程為+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)橢圓的頂點坐標、長軸長、短軸長、離心率都與焦點所在的坐標軸有關. (　 )
(2)橢圓方程+=1(a>b>0)中的參數不能刻畫橢圓的扁平程度,而能刻畫橢圓的扁平程度. (　 )
(3)離心率相同的橢圓是同一個橢圓. (　 )
◆ 探究點一　兩個橢圓的關系問題
例1 過點(-3,2)且與橢圓+=1有相同焦點的橢圓的標準方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
變式 橢圓+=1與橢圓+=1(k<9且k≠0)的 (　 )
A.長軸長相等 B.短軸長相等
C.離心率相等 D.焦距相等
[素養小結]
在求兩個橢圓的關系問題時,常有兩種思路:(1)由橢圓的幾何性質來進行判斷求解;(2)由橢圓系方程來判斷求解.
◆ 探究點二　橢圓中的最值問題
例2 (1)已知焦點在x軸上的橢圓+=1,且a+c=4,F,A分別是橢圓的左焦點和右頂點,P是橢圓上任意一點,則·的最大值為(　 )
A.8 B.10
C.12 D.16
(2)已知橢圓的標準方程為+=1,則橢圓上的點P到橢圓中心O的距離|OP|的取值范圍為 (　 )
A.[6,10] B.[6,8]
C.[8,10] D.[16,20]
變式 設F1是橢圓+=1的左焦點,P為橢圓上任意一點,點Q的坐標為(-1,4),則|PQ|+|PF1|的最大值為　　　　.
[素養小結]
最值問題常涉及一些不等式.例如:在橢圓+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0◆ 探究點三　與橢圓有關的軌跡問題
例3 已知面積為16的正方形ABCD的頂點A,B分別在x軸和y軸上滑動,O為坐標原點,=+,則動點P的軌跡方程是 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
變式 (1)將圓x2+y2=4上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的一半,所得曲線的方程是　　　　　　.
(2)已知圓x2+y2=12上的動點P在y軸上的射影為Q,O為坐標原點,動點M滿足(1-)=-,則動點M的軌跡方程為　　　　　　.
[素養小結]
解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法:
(1)直接法:直接法即根據所滿足的幾何條件,將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后進行等價變換,化簡為f(x,y)=0.
(2)定義法:看所求動點的軌跡是否符合橢圓的定義,若符合橢圓的定義,則用待定系數法求解即可.
(3)相關點法:有些問題中的動點軌跡是由另一個動點按照某種規律運動而形成的,只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去,即可解決問題,這種方法稱為相關點法.
拓展 在平面直角坐標系中,已知點A(0,2)與B(0,-2),動點M(x,y)滿足直線AM,BM的斜率之積為-,則點M的軌跡方程為　　　　　　　　.
◆ 探究點四　橢圓簡單幾何性質的實際應用
例4 如圖①,韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋,具有樁深、塔高、梁重、跨大的特點,它跨越了曲江區、湞江區、武江區,成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁,大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命.韶州大橋的橋塔外形近似橢圓,示意圖如圖②.若橋塔所在面截橋面所得線段記為AB,且AB過橢圓的下焦點,|AB|=44,橋塔最高點P到橋面的距離為110,則此橢圓的離心率為 (　 )
A. B. C. D.
變式 如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面)的一部分.燈絲位于橢圓的一個焦點F1上,由F1發出的光線,經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.已知此橢圓的離心率為,且|F1F2|=5 cm,則燈絲發出的光線經反射鏡面反射后到達另一個焦點時所經過的路程為 (　 )
A.9 cm B.10 cm
C.14 cm D.18 cm
[素養小結]
求解橢圓的實際應用問題的思路:
(1)通過數學抽象找出實際問題中的橢圓;
(2)建立適當的坐標系,通過橢圓的方程或幾何性質解決實際問題.第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
一、選擇題
1.橢圓9x2+25y2=225上的點P(x,y)的橫、縱坐標的取值范圍分別為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.|x|≤3,|y|≤5 B.|x|≤,|y|≤
C.|x|≤5,|y|≤3 D.|x|≤,|y|≤
2.在橢圓+=1中,A1,A2分別為橢圓的左、右頂點,F1為其左焦點,M是橢圓上的點,則△MF1A2面積的最大值為 (　 )
A.16 B.32
C.16 D.32
3.圓A的半徑為6,圓心為A(-1,0),B(1,0)是圓A內一個定點,P是圓上任意一點,線段BP的垂直平分線與線段AP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡方程為 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.橢圓+=1與橢圓+=k(k>0且k≠1)的 (　 )
A.長軸長相等 B.短軸長相等
C.焦距相等 D.離心率相等
5.橢圓+=1的內接矩形面積的最大值為 (　 )
A.4 B. C.4 D.2
6.已知F1,F2分別是橢圓E:+=1的左、右焦點,點P(x0,y0)為橢圓E上的動點,且 |x0|≤1,若I為△PF1F2的內心,則△IF1F2面積的取值范圍是 (　 )
A.
B.[,]
C.
D.[-,3-]
7.(多選題)已知橢圓C:+=1(m>4)的右焦點為F,點A(-2,2)為橢圓C內一點.若橢圓C上存在一點P,使得|PA|+|PF|=8,則m的值可以為 (　 )
A.6+2 B.6+4
C.24 D.25
8.(多選題)如圖,橢圓C1與橢圓C2有公共的左頂點和左焦點,且橢圓C2的右頂點為橢圓C1的中心,設橢圓C1與橢圓C2的長半軸長分別為a1和a2,半焦距分別為c1和c2,離心率分別為e1和e2,則以下結論中正確的是 (　 )
A.e2=2e1-1 B.a1c2>a2c1
C.a1+c2=a2+c1 D.a1-2c2>2a2-c1
二、填空題
9.在手工課上,老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型,如圖,其俯視圖可近似看成是兩個大小不同,扁平程度相同的橢圓,已知大橢圓的長軸長為40 cm,短軸長為20 cm,小橢圓的短軸長為10 cm,則小橢圓的長軸長為　　　　.
10.若P是橢圓+y2=1上的一個動點,A(0,3),則|PA|的最大值為　　　　.
11.設點P是圓x2+y2=1上任意一點,由點P向x軸作垂線,垂足為P0,M是平面內任意一點,且=,則點M的軌跡C的標準方程為　　　　　　.
12.若橢圓+=1(a>b>0)上存在一點M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2分別為橢圓的左、右焦點),則橢圓的離心率e的取值范圍為　　　　.
三、解答題
13.已知橢圓C:+=1(a>)的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓C上一點.
(1)若a=3,求·的取值范圍;
(2)若∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面積.
14.已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設點A(0,-1),點M是橢圓C上任意一點,求|MA|的最大值.
15.已知定圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49和定點M(2,1),動圓C與圓C1外切且與圓C2內切,則|CM|+|CC1|的最大值為 (　 )
A.8+ B.8-
C.16+ D.16-
16.如圖,某市新城公園將在長34米、寬30米的矩形地塊內開鑿一個水池,水池邊緣由半橢圓+=1(x≤0)和半橢圓+=1(x≥0)組成,其中a>b>9,水池邊緣內切于矩形(即水池邊緣與矩形各邊均有且只有一個公共點).
(1)求a,b;
(2)在開鑿的水池內建造一個矩形網箱養殖觀賞魚,若該矩形網箱的一條邊所在直線方程為y=t(t∈(0,15)),求該網箱所占水域面積的最大值.

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