資源簡介

(共31張PPT)
2 雙曲線
2.2 雙曲線的簡單幾何性質
第2課時 雙曲線的幾何性質的綜合問題
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
理解雙曲線的離心率、漸近線.
知識點一 雙曲線的離心率
我們把叫作雙曲線的離心率，用表示.因為 ，
所以.決定雙曲線的開口大小， 越大，雙曲線的開口就越大.因為
，所以______，也______，從而離心率 可
以用來表示雙曲線開口的程度.
越大
越大
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
雙曲線的離心率越大,雙曲線的開口越大.( )
√
2.橢圓的離心率與雙曲線的離心率的取值范圍是否相同？
解：不相同.雙曲線的離心率的取值范圍是 ；橢圓的離心率的取值范圍是
.
知識點二 雙曲線的漸近線
一般地，直線和稱為雙曲線 的漸近線.
直線和稱為雙曲線 的漸近線.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
雙曲線與 的漸近線相同.( )
×
2.當雙曲線的漸近線確定時,其標準方程能確定嗎
解：不能.每條雙曲線對應唯一一組漸近線,但當漸近線確定時,它對應無數條雙
曲線,且其焦點可能在軸上,也可能在 軸上.
探究點一 雙曲線的離心率
例1（1） 已知雙曲線 的實軸長是虛軸長的3倍，則
的離心率為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由題可知，所以，所以 ．故選B.
（2）已知,分別為焦點在軸上的雙曲線的左、右頂點,點在上, 為
等腰三角形,且的頂角為 ,則 的離心率為( )
D
A. B.2 C. D.
[解析] 由題意可設雙曲線的方程為,
不妨設 在雙曲線的左支上,則 ,
.
過點 作軸,垂足為,在中,,,
點 的坐標為,代入雙曲線方程得,則 ,
即, ,故選D.
變式（1） 已知雙曲線的左、右焦點分別為 ，
，若在雙曲線上存在點（不是頂點），使得，則 的離
心率的取值范圍為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 設與軸交于點，連接，則 ,所以
因為，所以點 在雙曲線的右支上，
且易知，所以 ，
可得.
在中（其中 為坐標原點），，即，故.
由 ，且三角形內角和為 ，得 ，
則 ，即，即，
所以C的離心率的取值范圍為 .故選A.
（2）已知雙曲線的左、右焦點分別為， ，且雙曲
線上存在點，使 ，求雙曲線離心率的取值范圍.
解：設為雙曲線的右頂點，為坐標原點，
在雙曲線上存在一點 ，使得，
，
即在雙曲線右支上存在點，使得，可得 ，
，.
又，， ，即，
雙曲線離心率的取值范圍為 .
［素養小結］
求雙曲線離心率的值或取值范圍的方法：
（1）求，，的值，由或直接求 .
（2）列出含有，，的齊次方程（或不等式），借助消去 ，然
后轉化成關于 的方程（或不等式）求解.
拓展 設,分別是雙曲線的左、右焦點，過點
且垂直于軸的直線與雙曲線交于,兩點，若點滿足 ，則雙
曲線的離心率 的取值范圍是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，， 為鈍角，
，，，
又 ，，，，
或 （舍去）.故選B.
探究點二 雙曲線的漸近線
例2（1） 雙曲線 的漸近線方程是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方程可化為，則, ，
所以雙曲線的漸近線方程為 .故選C.
（2）已知雙曲線的離心率為，則 的一條漸近線
的方程為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因為C的離心率，所以 ，
所以漸近線的方程為 .故選B.
變式（1） 已知雙曲線的離心率為 ，則其兩
條漸近線的夾角為__.
[解析] 因為雙曲線的離心率為 ，
所以，所以，即，
所以雙曲線的漸近線方程為 ，
所以兩條漸近線的夾角為 .
（2）已知雙曲線的漸近線方程為 ，其焦點到漸近線的距離為2，則
此雙曲線的標準方程為________________________.
或
[解析] 因為漸近線方程為 ,所以可設雙曲線的方程為.
當時，方程可化為 ，此時雙曲線焦點為，
則焦點到漸近線的距離為，得 ，
則雙曲線的標準方程為.
當時，方程可化為 ，此時雙曲線焦點為，
則焦點到漸近線的距離為，解得 ，
則雙曲線的標準方程為.
所以此雙曲線的標準方程為或 .
［素養小結］
對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：
（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，由漸近線方程可確定, 的關
系，結合已知條件可解.
拓展 過雙曲線的左焦點作 的一條漸近線的垂線
，垂足為，與的另一條漸近線交于點，且，則 的漸近線
方程為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 設雙曲線的右焦點為,為坐標原點,則， 為雙曲線的兩條漸近線.
由題意知，，因為，所以為線段 的中點，
則為等腰三角形，則，
又 ，所以，所以雙曲線的漸近線方程為 .
故選B.
探究點三 與雙曲線有關的軌跡問題
例3（1） 已知是圓上的一個動點，點 ，線段
的垂直平分線交直線于點，則點 的軌跡方程為( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由題可知圓的圓心為，，，
線段 的垂直平分線交直線于點， ，
，又，
點 的軌跡為以，為焦點且實軸長為4的雙曲線，
則，，， 點 的軌跡方程為 .故選C.
（2）已知，圓，動圓經過點且與圓 相切，則
動圓圓心 的軌跡方程是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由,得,則圓C的圓心為 ,半徑，
設動圓的半徑為.
若動圓與圓C相內切，則圓C在圓 內，所以，，
所以，
所以動點 是以,為焦點的雙曲線的右支，且, ，
所以，所以動圓圓心的軌跡方程是.
若動圓 與圓C相外切，則，，
所以 ，
所以動點是以，為焦點的雙曲線的左支，且， ，
所以，所以動圓圓心的軌跡方程是 .
綜上可得，動圓圓心的軌跡方程是 .故選C.
變式 動圓截直線和 所得的弦長分別為8，4，則動圓圓
心 的軌跡是( )
C
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
[解析] 設動圓的圓心為,半徑為,則點到直線 的距離，
點到直線的距離 ，則，
即，整理可得 ，
即，故動圓圓心 的軌跡是雙曲線.故選C.
［素養小結］
求與雙曲線有關的軌跡方程常用下列方法：1.待定系數法；2.直譯法；3.定義法；
4.相關點法.
1.求雙曲線的離心率一般有兩種方法：
（1）由條件尋找,滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中，， 的關系
將雙曲線的離心率公式變形，即 ，注意區
分雙曲線中，，的關系與橢圓中，，的關系，在橢圓中 ，
而在雙曲線中 .
（2）根據條件列含,的齊次方程，利用公式轉化為含或 的方程，求解
可得，注意根據雙曲線離心率的范圍對解進行取舍.
2.求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據條件，結合和 ，得
到關于的不等式，求解即得.注意雙曲線的離心率的取值范圍為 ，橢圓
的離心率的取值范圍為.另外，在建立關于 的不等式時，注意雙曲線上的
點到焦點的距離的最值的應用.
3.雙曲線漸近線的理解.
雙曲線的漸近線是兩條直線,當, 趨向于無窮大時,雙曲線將無限地與漸近線接
近,但永遠沒有交點.因為焦點在軸上和在軸上的漸近線方程分別為 和
,容易混淆,所以要熟記把雙曲線的標準方程右邊的常數寫成0,分解因式
即得漸近線的方程.
4.設雙曲線方程的技巧
①與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可設為 .
②漸近線方程為的雙曲線方程可設為 .
例1 已知雙曲線，則雙曲線 的離心率為( )
D
A. B. C.2 D.3
[解析] 因為，，所以，則 .故選D.
例2 （多選題）雙曲線 的離心率恰好等于它的一條漸近
線的斜率的兩倍，則雙曲線漸近線的斜率為( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 由題意可知，即，整理得 ，
， 雙曲線的漸近線的斜率為或.故選 .
例3 [2024·江西上饒高二期末] 已知雙曲線的漸近線方程是 ，焦距為
，則雙曲線的標準方程為_______________________.
或
[解析] 當雙曲線的焦點在軸上時，由解得
所以所求雙曲線的標準方程為.
當雙曲線的焦點在 軸上時，由解得
所以所求雙曲線的標準方程為 .
故所求雙曲線的標準方程為或 .第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
【課前預習】
知識點一
越大　越大
診斷分析 1.√
2.解:不相同.雙曲線的離心率的取值范圍是(1,+∞);橢圓的離心率的取值范圍是(0,1).
知識點二
診斷分析 1.×
2.解:不能.每條雙曲線對應唯一一組漸近線,但當漸近線確定時,它對應無數條雙曲線,且其焦點可能在x軸上,也可能在y軸上.
【課中探究】
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)由題可知a=3b,所以e2=1+=,所以e=.故選B.
(2)由題意可設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),不妨設M在雙曲線-=1(a>0,b>0)的左支上,則∠MAB=120°,|MA|=|AB|=2a.過點M作MN⊥x軸,垂足為N,在Rt△AMN中,|AN|=|AM|=a,|MN|=a,∴點M的坐標為(-2a,a),代入雙曲線方程得4-=1,則a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,∴e=,故選D.
變式　(1)A　[解析] 設PF1與y軸交于點Q,連接QF2,則|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,因為∠PF2F1=3∠PF1F2,所以點P在雙曲線的右支上,且易知∠PF2Q=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,可得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.在Rt△QOF1中(其中O為坐標原點),|QF1|>|OF1|,即2a>c,故e=<2.由∠PF2F1=3∠PF1F2,且三角形內角和為180°,得∠PF1F2<=45°,則cos∠PF1F2=>cos 45°,即>,即e=>,所以C的離心率的取值范圍為(,2).故選A.
(2)解:設A為雙曲線的右頂點,O為坐標原點,∵在雙曲線上存在一點P,使得|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即在雙曲線右支上存在點P,使得|PF2|=2a,可得|AF2|≤2a,∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,∴c≤3a.又∵c>a,∴a拓展　B　[解析] ∵·<0, ∴||·||·cos∠AF2B<0,∴∠AF2B為鈍角,∴<∠AF2F1<,∴tan∠AF2F1>1,∴>1,又∵|AF1|=,|F1F2|=2c,∴>1,∴c2-a2>2ac,∴e>+1或e<1-(舍去).故選B.
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)方程2x2-y2=-8可化為-=1,則a=2,b=2,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.故選C.
(2)因為C的離心率e==,所以=,所以漸近線的方程為x±y=0.故選B.
變式　(1)　(2)x2-=1或-=1　[解析] (1)因為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,所以e==,所以=1,即=1,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,所以兩條漸近線的夾角為.
(2)因為漸近線方程為2x±y=0,所以可設雙曲線的方程為4x2-y2=λ(λ≠0).當λ>0時,方程可化為-=1,此時雙曲線焦點為,則焦點到漸近線的距離為=2,得λ=4,則雙曲線的標準方程為x2-=1.當λ<0時,方程可化為-=1,此時雙曲線焦點為,則焦點到漸近線的距離為=2,解得λ=-16,則雙曲線的標準方程為-=1.所以此雙曲線的標準方程為x2-=1或-=1.
拓展　B　[解析] 設雙曲線的右焦點為F1,O為坐標原點,則OM,ON為雙曲線的兩條漸近線.由題意知,FM⊥OM,因為+=0,所以M為線段FN的中點,則△FON為等腰三角形,則∠FOM=∠NOM,又∠FOM=∠F1ON,所以∠FOM=,所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0.故選B.
例3　(1)C　(2)C　[解析] (1)由題可知圓F1的圓心為F1(-3,0),|PF1|=4,F2(3,0),∵線段PF2的垂直平分線交直線PF1于點Q,∴|QP|=|QF2|,∴||QF1|-|QF2||=||QF1|-|QP||=|PF1|=4,又|F1F2|=6>4,∴點Q的軌跡為以F1,F2為焦點且實軸長為4的雙曲線,則a=2,c=3,∴b=,∴點Q的軌跡方程為-=1.故選C.
(2)由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,則圓C的圓心為C(2,0),半徑r=2,設動圓P的半徑為R.若動圓P與圓C相內切,則圓C在圓P內,所以|PM|=R,|PC|=R-2,所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4,所以動點P是以M(-2,0),C(2,0)為焦點的雙曲線的右支,且a=1,c=2,所以b==,所以動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1(x≥1).若動圓P與圓C相外切,則|PM|=R,|PC|=R+2,所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4,所以動點P是以M(-2,0),C(2,0)為焦點的雙曲線的左支,且a=1,c=2,所以b==,所以動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1(x≤-1).綜上可得,動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1.故選C.
變式　C　[解析] 設動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,則點M到直線x-3y=0的距離d1=,點M到直線3x-y=0的距離d2=,則r2=+42=+22,即+42=+22,整理可得x2-y2=15,即-=1,故動圓圓心M的軌跡是雙曲線.故選C.第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
1.D　[解析] 設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),則依題意可得可得 所以C的方程為-=1.故選D.
2.C　[解析] 雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,直線x+2y+3=0的斜率為-,所以由題可知,=2,所以雙曲線的離心率e==.故選C.
3.A　[解析] 因為雙曲線兩頂點間的距離為8,所以2a=8,所以a=4.因為離心率e==,所以c=5,所以b=3.因為雙曲線的頂點在y軸上,所以雙曲線的標準方程為-=1,故選A.
4.C　[解析] e====,因為a≥1,所以+1∈(1,2],故e∈(,].故選C.
5.D　[解析] 設P(x0,y0),則-=1,即b2-a2=a2b2,該雙曲線的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,不妨取點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離分別為d1==,d2==,因為|F1F2|2=16d1d2,所以d1d2====,可得c4=4a2b2,即c2=2ab,又由c2=a2+b2,可得(a-b)2=0,所以a=b,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,故選D.
6.B　[解析] 由題意知F2(c,0),不妨令點M在漸近線y=x上,由題意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由 =16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.
7.BCD　[解析] 由雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,可得=2,又由==2,可得=,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x.對于A,雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x,不符合題意;對于B,雙曲線-x2=1的漸近線方程為y=±x,符合題意;對于C,雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±x,符合題意;對于D,雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,符合題意.故選BCD.
8.AC　[解析] 當a=b時,兩漸近線的斜率為1或-1,此時直線AF與另一漸近線平行,不滿足題意.當a>b時,如圖①所示,∵sin∠ABO=,∴cos 2∠BOF=,∴2cos2∠BOF-1=,又由0<
∠BOF<,得cos∠BOF=,∴sin∠BOF=,∴sin∠BOx=, cos∠BOx=,∴tan∠BOx=,即漸近線OB的斜率為=,∴e===.當acos∠BOP=,∴sin∠BOP=,∴tan∠BOP=,即漸近線OB的斜率為=,∴e===.綜上,雙曲線C的離心率為或.故選AC.
9.-=1(答案不唯一)　[解析] 設所求雙曲線的標準方程為-=λ(λ≠0),當λ=1時,所求雙曲線和原雙曲線完全相同,故λ≠1,令λ=2,得到所求雙曲線的一個標準方程為-=1(答案不唯一).
10.2　[解析] 由題意知c==3,雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,焦點為(±3,0),所以焦點到其漸近線的距離為=2.
11.(1,2) 　[解析] 由題意知|AE|=|BE|,則△ABE為等腰三角形,∵△ABE是銳角三角形,
∴∠AEF<45°.將x=-c代入-=1可得y=±,故在Rt△AFE中,|AF|=,|FE|=a+c,則|AF|<|FE|,∴0,∴e2-e-2<0,解得-11,∴112.-=1　[解析] 因為A,B分別為橢圓+=1的左、右頂點,所以A(-2,0),B(2,0),設直線MA與直線NB的交點為P(x,y),M(x1,y1),N(x1,-y1),由kPA=kMA,kPB=kNB,得=,=,兩式相乘得===,整理得-=1,即所求軌跡方程為-=1.
13.解:(1)方法一:由題意可設所求雙曲線的方程為-=1(mn>0),由題意得解得
故所求雙曲線的標準方程為-=1.
方法二:由題意可設所求雙曲線的方程為4x2-9y2=λ(λ≠0),將點(1,2)的坐標代入方程解得λ=-32,
故所求雙曲線的標準方程為-=1.
(2)方法一:由橢圓方程可得雙曲線的焦點坐標為(-3,0),(3,0),即c=3且焦點在x軸上,設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),因為e==,所以a=2,則b2=c2-a2=5,故所求雙曲線的標準方程為-=1.
方法二:因為橢圓的焦點在x軸上,所以可設雙曲線的標準方程為-=1(16<λ<25),
因為e=,所以=-1,解得λ=21,
故所求雙曲線的標準方程為-=1.
14.解:(1)因為雙曲線C1:-=1,所以a=2,b=,c==3,所以雙曲線的離心率e==,漸近線方程為y=±x=±x.
(2)設橢圓C2的方程為+=1(m>n>0),
根據題意得解得所以橢圓C2的標準方程為+=1.
15.B　[解析] 延長QF2,與雙曲線交于點P',因為F1P∥F2P',所以根據對稱性知|F1P|=|F2P'|.設|F1P|=|F2P'|=2t,則|F2P|=5t,|F2Q|=10t,可得|F2P|-|F1P|=3t=2a,即t=a,所以|P'Q|=12t=8a,連接QF1,則|QF1|=|QF2|+2a=a,|F1P'|=|F2P|=a,可得|P'Q|2+|F1P'|2=|QF1|2,所以∠F1P'Q=90°,在△P'F1F2中,由勾股定理得|F2P'|2+|F1P'|2=|F1F2|2,即+=4c2,解得e==.故選B.
16.　[解析] 根據雙曲線的光學性質可知F1,A,D三點共線,F1,B,C三點共線,故F1A⊥AB,
tan∠ABF1=-tan∠ABC=,不妨設|AF1|=5x,則|AB|=12x,|BF1|=13x.由雙曲線的定義可知|F1B|-|F2B|=2a=|F1A|-|F2A|,則兩式相加可得18x-(|F2A|+|F2B|)=4a=6x,所以2a=3x,所以|AF1|=,|AF2|=,由勾股定理可知|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即+=4c2,所以e2=,故e=.第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
【學習目標】
　　理解雙曲線的離心率、漸近線.
◆ 知識點一　雙曲線的離心率
我們把叫作雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率,用e表示.因為c>a>0,所以e=>1.決定雙曲線的開口大小,越大,雙曲線的開口就越大.因為===,所以　　　　,e也　　　　,從而離心率e可以用來表示雙曲線開口的程度.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
雙曲線的離心率越大,雙曲線的開口越大. (　 )
2.橢圓的離心率與雙曲線的離心率的取值范圍是否相同
◆ 知識點二　雙曲線的漸近線
一般地,直線y=x和y=-x稱為雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線.
直線y=x和y=-x稱為雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
雙曲線-=1與-=1(a>0,b>0)的漸近線相同. (　 )
2.當雙曲線的漸近線確定時,其標準方程能確定嗎
◆ 探究點一　雙曲線的離心率
例1 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的實軸長是虛軸長的3倍,則C的離心率為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知A,B分別為焦點在x軸上的雙曲線E的左、右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且△ABM的頂角為120°,則E的離心率為 (　 )
A. B.2 C. D.
變式 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若在雙曲線C上存在點P(不是頂點),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,則C的離心率的取值范圍為 (　 )
A.(,2) B.(,+∞)
C.(1,] D.(1,]
(2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且雙曲線上存在點P,使|PF1|=2|PF2|,求雙曲線離心率的取值范圍.
[素養小結]
求雙曲線離心率的值或取值范圍的方法:
(1)求a,b,c的值,由e2===1+或e=直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.
拓展 設F1,F2分別是雙曲線M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A,B兩點,若點F2滿足·<0,則雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　 )
A.1B.e>+1
C.1D.e>
◆ 探究點二　雙曲線的漸近線
例2 (1)雙曲線2x2-y2=-8的漸近線方程是 (　 )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±x
D.y=±x
(2)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的一條漸近線的方程為 (　 )
A.x-y=0
B.x-y=0
C.x-y=0
D.x-y=0
變式 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其兩條漸近線的夾角為　　　　.
(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,其焦點到漸近線的距離為2,則此雙曲線的標準方程為　　　　　　　　　　.
[素養小結]
對于雙曲線的漸近線,有下面兩種考查方式:
(1)已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
(2)給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程,由漸近線方程可確定a,b的關系,結合已知條件可解.
拓展 過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點F作C的一條漸近線的垂線l,垂足為M,l與C的另一條漸近線交于點N,且+=0,則C的漸近線方程為 (　 )
A.2x±y=0
B.x±y=0
C.x±y=0
D.x±y=0
◆ 探究點三　與雙曲線有關的軌跡問題
例3 (1)已知P是圓F1:(x+3)2+y2=16上的一個動點,點F2(3,0),線段PF2的垂直平分線交直線PF1于點Q,則點Q的軌跡方程為 (　 )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1(x>0)
(2)已知M(-2,0),圓C:x2-4x+y2=0,動圓P經過M點且與圓C相切,則動圓圓心P的軌跡方程是 (　 )
A.x2-=1(x≥1)
B.-y2=1(x≥)
C.x2-=1
D.-y2=1
變式 動圓M截直線x-3y=0和3x-y=0所得的弦長分別為8,4,則動圓圓心M的軌跡是 (　 )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
[素養小結]
求與雙曲線有關的軌跡方程常用下列方法:1.待定系數法;2.直譯法;3.定義法;4.相關點法.第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
一、選擇題
1.[2024·江蘇常州高二期中] 已知焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為,虛軸長為4,則C的方程為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3x2-4y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
2.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y+3=0垂直,則該雙曲線的離心率為 (　 )
A.2 B. C. D.
3.頂點在y軸上,兩頂點間的距離為8,且離心率e=的雙曲線的標準方程為 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.已知雙曲線-=1(a≥1),則該雙曲線的離心率的取值范圍是 (　 )
A.(1,+∞) B.(0,)
C.(,] D.[,+∞)
5.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,右支上一點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離分別為d1,d2,若|F1F2|2=16d1d2,則雙曲線C的漸近線方程為 (　 )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.已知離心率為的雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點,且OM⊥MF2,O為坐標原點,若=16,則雙曲線的實軸長是 (　 )
A.32 B.16 C.84 D.4
7.(多選題)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,則下列雙曲線中與雙曲線C的漸近線相同的是 (　 )
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-=1
8.(多選題)[2024·江蘇鹽城高二期中] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的上焦點為F,過焦點F作C的一條漸近線的垂線,垂足為A,并與另一條漸近線交于點B,若sin∠ABO=(其中O為坐標原點),則C的離心率可能為 (　 )
A. B.
C. D.
二、填空題
9.與雙曲線-=1有相同漸近線的雙曲線的一個標準方程為　　　　　　.(不同于原雙曲線)
10.雙曲線-=1的焦點到其漸近線的距離等于　　　　.
11.[2024·浙江金華高二期中] 已知點F是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若△ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是　　　　.
12.已知A,B分別為橢圓+=1的左、右頂點,點M,N為橢圓上的兩個動點,且線段MN與x軸垂直,則直線MA與直線NB的交點的軌跡方程為　　　　　　.
三、解答題
13.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)以直線2x±3y=0為漸近線,過點(1,2);
(2)與橢圓+=1有公共焦點,離心率為.
14.已知雙曲線C1:-=1.
(1)求雙曲線的離心率e與漸近線方程;
(2)若橢圓C2與雙曲線有相同的焦點,且橢圓經過點A,求橢圓C2的標準方程.
15.[2024·浙江金華高二期中] 如圖,已知F1,F2分別是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P,Q為雙曲線C上兩點,滿足F1P∥F2Q,且|F2Q|=2|F2P|=5|F1P|,則雙曲線C的離心率為 (　 )
A. B.
C. D.
16.雙曲線的光學性質為:從雙曲線的右焦點F2發出的光線經雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經過左焦點F1(如圖①).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為-=1(a>0,b>0),F1,F2分別為其左、右焦點,若由焦點F2發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后,滿足DA⊥AB,tan∠ABC=-,則該雙曲線的離心率為　　　　.

展開更多......

收起↑