資源簡介

(共28張PPT)
3 拋物線
3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）
◆ 課前預(yù)習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學(xué)習目標】
1.了解拋物線的簡單幾何特征.
2.了解拋物線標準方程中 的幾何意義.
知識點 拋物線的幾何性質(zhì)
標準方程
圖象 ____________________________ _____________________________ ___________________________________ __________________________________
焦點坐標
準線方程
標準方程 開口方向 ______ ______ ______ ______ 范圍 對稱性 關(guān)于_____對稱 關(guān)于_____對稱
頂點坐標 ______ 離心率 ______ 向右
向左
向上
向下
軸
軸
續(xù)表
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）拋物線關(guān)于原點對稱.( )
×
（2）拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心.( )
√
（3）拋物線的標準方程雖然各不相同，但是其離心率都相同.( )
√
2.（1）從形狀上看,拋物線有點像雙曲線的一支,它們有區(qū)別嗎
解：有區(qū)別.拋物線與雙曲線的曲線延伸趨勢不同.
例如當拋物線 上的點趨于無窮遠時,它在這一點的切線的斜率接
近于0,也就是說在無窮遠處拋物線與 軸接近于平行;
而當雙曲線上的點趨于無窮遠時,它的一條切線的斜率接近于它的一條漸近線的
斜率.雙曲線有漸近線而拋物線沒有漸近線.
（2）如何把握拋物線的簡單幾何性質(zhì)？
解： 確定拋物線的幾何性質(zhì)，
一要定性，確定拋物線的開口方向，從而可得到方程的形式；
二要定量，確定焦點到準線的距離，進而得到拋物線的標準方程、焦點坐標、
準線方程等.
探究點一 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
例1（1） 一個正三角形的兩個頂點在拋物線 上（除原點外），
另一個頂點是坐標原點，如果這個三角形的面積為，那么 _______.
[解析] 由題意可知,該正三角形在拋物線上（除原點外）的兩個頂點關(guān)于 軸對稱，
則由正三角形的性質(zhì)可設(shè)這兩個頂點的坐標分別為 ,,
則正三角形的邊長為.
把點 的坐標代入拋物線方程可得，
解得.由題可知，解得 ，所以 ．
（2）求下列拋物線的頂點坐標、對稱軸、焦點坐標和準線方程.
；；； .
解：設(shè)拋物線的焦點到準線的距離為 .
①拋物線的焦點在軸正半軸上，，則該拋物線的頂點坐標為 ，
對稱軸為軸，焦點坐標為,，準線方程為 .
②拋物線的焦點在軸正半軸上, ,則該拋物線的頂點坐標為，
對稱軸為軸，焦點坐標為，準線方程為 .
③拋物線，即，其焦點在軸負半軸上， ，
則該拋物線的頂點坐標為，對稱軸為軸，焦點坐標為，
準線方程為 .
④拋物線，即，其焦點在軸負半軸上， ，
則該拋物線的頂點坐標為，對稱軸為軸，焦點坐標為，
準線方程為 .
變式 在同一直角坐標系中，方程與 表
示的曲線大致是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 可變形為，
此方程表示焦點在 軸上的拋物線，排除D.
當時， 表示開口向左的拋物線，
此時表示橢圓或圓或不表示任何圖形，排除B.
當 時，表示開口向右的拋物線，此時 表示雙曲線，
排除C，A符合條件.
故選A.
［素養(yǎng)小結(jié)］
確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)要把握三個要點：
（1）開口：由拋物線的標準方程看曲線的開口方向，關(guān)鍵是看準一次項是 還
是 ，一次項的系數(shù)是正還是負.
（2）關(guān)系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸.
（3）定值：焦點到準線的距離為 ；過焦點垂直于對稱軸的弦（又稱為通徑）
長為 ；離心率恒等于1.
探究點二 拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程：
（1）焦點關(guān)于準線的對稱點為 ；
解：由題意可設(shè)拋物線的標準方程為，
則拋物線的焦點 的坐標為，準線方程為 .
因為焦點關(guān)于準線的對稱點為 ，
所以，解得 ，
所以所求拋物線的標準方程為 .
（2）關(guān)于軸對稱，與直線 相交所得線段的長為12；
解：由題意可設(shè)拋物線的標準方程為 ，
因為直線 與拋物線相交所得線段的長為12，
所以點在拋物線上，由，解得 ，
所以所求拋物線的標準方程為 .
（3）關(guān)于軸對稱，以焦點和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為 的等
邊三角形.
解：當焦點在軸正半軸上時，可設(shè)拋物線的標準方程為 ，
因為為等邊三角形，且 ，
所以，即 ，
所以拋物線的標準方程為 .
同理可得，當焦點在軸負半軸上時，拋物線的標準方程為 .
變式（1） “米”是象形字，數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)在直角
坐標系中用拋物線和 構(gòu)
造了一個類似“米”字圖案，如圖所示.拋物線， 的焦點分
別為，，點在拋物線上，過點作 軸的平行線交拋
物線于點，若，則 ( )
D
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 因為，所以，
又易知點，關(guān)于 軸對稱，所以.
由拋物線定義可知，，即，解得 .
（2）已知為拋物線的焦點，直線與拋物線交于, 兩點，則
的大小為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 拋物線C的方程為，令，可得 ，
不妨設(shè)點A在第一象限，則,.易知，軸，
取 ，， ,
又易知 ， .故選C.
（3）已知拋物線的焦點為,為坐標原點，為拋物線 上一點，
且滿足，則 的面積為_____.
[解析] 因為拋物線的方程為，所以，可得 ，
所以焦點為，準線方程為，
又為拋物線上一點，且 ，所以點到準線的距離為，
所以 ，所以，所以 ，
所以 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程的步驟：
拓展 已知拋物線的焦點為，準線為，點在 上，
過作的垂線，垂足為，若 ，則到 軸的距離為( )
A
A.3 B.4 C.6 D.12
[解析] 由拋物線的對稱性，不妨令在軸上方，設(shè)準線與軸的交點為 ,
因為點在C上，所以根據(jù)拋物線的定義可得, ，
且 ，
連接，則 ,所以 為等腰三角形，且,
所以.
在中， ,,即，解得，
所以到 軸的距離為3.故選A.
1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線.
2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心.
3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線.
4.拋物線的離心率為定值1.
5.拋物線的標準方程中的 影響拋物線的開口.
6.拋物線的通徑為, 越大,拋物線的張口越大.
7.在標準形式下,橢圓、雙曲線和拋物線性質(zhì)的比較
橢圓 雙曲線 拋物線
對稱軸
對稱中心 無
頂點 4個 2個 1個
焦點 2個 2個 1個
準線 不研究 不研究 1條
漸近線 無 2條 無
離心率
8.拋物線的解析式與其焦點位置及開口方向的關(guān)系
先把解析式化成拋物線的標準方程形式,再根據(jù)一次項的系數(shù)判斷.
（1）如果一次項含有,則說明拋物線的焦點在 軸上.系數(shù)為正,則焦點在正半軸
上,開口向右;系數(shù)為負,則焦點在負半軸上,開口向左.
（2）如果一次項含有,則說明拋物線的焦點在 軸上.系數(shù)為正,則焦點在正半軸
上,開口向上;系數(shù)為負,則焦點在負半軸上,開口向下.
9.四種位置的拋物線的對比
（1）相同點:
①頂點都是原點;
②準線與拋物線的對稱軸垂直,垂足與焦點關(guān)于原點對稱,焦點到準線的距離都等
于 ;
③焦點都在拋物線的對稱軸上.
（2）不同點:
①拋物線的方程不同;
②拋物線的開口方向不同.
例1 拋物線 的對稱軸是直線( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為拋物線，所以該拋物線關(guān)于 軸對稱，
即其對稱軸為直線 .故選D.
例2 頂點在原點，焦點在軸上，且過點 的拋物線的標準方程是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由題意設(shè)拋物線的標準方程是，代入點 的坐標，
解得，所以拋物線的標準方程是 ，故選C.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一)
【課前預(yù)習】
知識點
向右　向左　向上　向下　x≥0　x≤0　y≥0　y≤0
x軸　y軸　(0,0)　e=1
診斷分析 1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:(1)有區(qū)別.拋物線與雙曲線的曲線延伸趨勢不同.例如當拋物線y2=2px(p>0)上的點趨于無窮遠時,它在這一點的切線的斜率接近于0,也就是說在無窮遠處拋物線與x軸接近于平行;而當雙曲線上的點趨于無窮遠時,它的一條切線的斜率接近于它的一條漸近線的斜率.雙曲線有漸近線而拋物線沒有漸近線.
(2)確定拋物線的幾何性質(zhì),一要定性,確定拋物線的開口方向,從而可得到方程的形式;二要定量,確定焦點到準線的距離,進而得到拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程等.
【課中探究】
例1　(1)±2　[解析] 由題意可知,該正三角形在拋物線上(除原點外)的兩個頂點關(guān)于x軸對稱,則由正三角形的性質(zhì)可設(shè)這兩個頂點的坐標分別為,(t≠0),則正三角形的邊長為t.把點的坐標代入拋物線方程可得t2=ta,解得a=t.由題可知·=36,解得t=±6,所以a=±2.
(2)解:設(shè)拋物線的焦點到準線的距離為p.
①拋物線y2=2x的焦點在x軸正半軸上,p=1,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為x軸,焦點坐標為,準線方程為x=-.
②拋物線x2=32y的焦點在y軸正半軸上,p=16,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸,焦點坐標為(0,8),準線方程為y=-8.
③拋物線y=-8x2,即x2=-y,其焦點在y軸負半軸上,p=,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸,焦點坐標為,準線方程為y=.
④拋物線x=-y2,即y2=-16x,其焦點在x軸負半軸上,p=8,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為x軸,焦點坐標為(-4,0),準線方程為x=4.
變式　A　[解析] mx+ny2=0(mn≠0)可變形為y2=-x,此方程表示焦點在x軸上的拋物線,排除D.當mn>0時,y2=-x表示開口向左的拋物線,此時mx2+ny2=1表示橢圓或圓或不表示任何圖形,排除B.當mn<0時,y2=-x表示開口向右的拋物線,此時mx2+ny2=1表示雙曲線,排除C,A符合條件.故選A.
例2　解:(1)由題意可設(shè)拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),則拋物線的焦點F的坐標為,準線方程為y=-.
因為焦點F關(guān)于準線的對稱點為M(0,-9),
所以p=--(-9),解得p=6,
所以所求拋物線的標準方程為x2=12y.
(2)由題意可設(shè)拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),
因為直線y=-12與拋物線相交所得線段的長為12,
所以點(6,-12)在拋物線上,由62=-2p×(-12)(p>0),解得2p=3,所以所求拋物線的標準方程為x2=-3y.
(3)當焦點在x軸正半軸上時,可設(shè)拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),因為△MNF為等邊三角形,且|MF|=2,所以|DF|=|MF|sin 60°=2×=3,即p=3,所以拋物線的標準方程為y2=6x.
同理可得,當焦點在x軸負半軸上時,拋物線的標準方程為y2=-6x.
變式　(1)D　(2)C　(3)2　[解析] (1)因為3|PQ|=6,所以|PQ|=2,又易知點P,Q關(guān)于y軸對稱,所以xP=-1.由拋物線定義可知,|PF1|=-xP,即6=-(-1),解得p=10.
(2)拋物線C的方程為y2=12x,令x=1,可得y=±2,不妨設(shè)點A在第一象限,則A(1,2),B(1,-2).易知F(3,0),AB⊥x軸,取H(1,0),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,又易知∠BFH=∠AFH,∴∠AFB=120°.故選C.
(3)因為拋物線C的方程為y2=4x,所以2p=4,可得=,所以焦點為F(,0),準線方程為x=-,又P為拋物線C上一點,且|PF|=3,所以點P到準線x=-的距離為3,所以xP=3-=2,所以=4×2=16,所以|yP|=4,所以S△POF=×|OF|×|yP|=××4=2.
拓展　A　[解析] 由拋物線的對稱性,不妨令P在x軸上方,設(shè)準線l與x軸的交點為M,因為點P(1,y0)在C上,所以根據(jù)拋物線的定義可得|PQ|=|PF|=1+,|MF|=p,且∠FPQ=120°,連接QF,則∠PQF=∠PFQ=30°,所以△FPQ為等腰三角形,且=,所以|QF|=.在Rt△QMF中,∠MQF=60°,sin∠MQF=,即=,解得p=6,所以F到y(tǒng)軸的距離為3.故選A.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一)
1.D　[解析] 因為拋物線x2=4y的焦點在y軸的非負半軸上,所以該拋物線的對稱軸為直線x=0.故選D.
2.A　[解析] 在拋物線的標準方程中,一次項的系數(shù)的絕對值越小,說明對應(yīng)拋物線的開口越小.觀察四個選項發(fā)現(xiàn),A選項中一次項的系數(shù)的絕對值最小,故選A.
3.B　[解析] 由拋物線y2=-13x關(guān)于x軸對稱易知,點(m,-n)一定在該拋物線上.故選B.
4.A　[解析] 由題意得,m≠0,拋物線y=mx2的標準方程為x2=y, 則拋物線的準線方程為y=-.由坐標原點到準線的距離為2,得=2,解得m=±,故選A.
5.C　[解析] 由題可知解得所以△POF的面積為×2×4=4,故選C.
6.A　[解析] 如圖,過點A,B作準線的垂線,分別交準線于點E,D,設(shè)準線與x軸交于G點.設(shè)|BF|=a,∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2a.由拋物線定義得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.在直角三角形ACE中,∵|AF|=8,∴|AE|=8,|AC|=8+3a,∵2|AE|=|AC|,∴8+3a=16,∴a=.∵BD∥FG,|FG|=p,∴=,即=,∴p==4,∴拋物線的方程為y2=8x.故選A.
7.AD　[解析] 由拋物線的方程為y2=-2x,可知該拋物線開口向左,焦點坐標為,準線方程為x=,對稱軸為x軸.故選AD.
8.ACD　[解析] 根據(jù)題意作圖,如圖所示,因為以F為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點,所以|FA|=|FB|,又∠ABD=90°,所以AB⊥l,又A在拋物線上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF為等邊三角形,故A正確;因為∠ABD=90°,所以AB∥x軸,過F作FE⊥AB于點E,則點E為AB的中點,點E的橫坐標為,點B的橫坐標為-,所以點A的橫坐標為,則|AB|=2p,所以S△ABF=|AB|2=×4p2=9,得p=3,則|BF|=|AB|=2p=6,故B錯誤;焦點F到準線的距離為p=3,故C正確;拋物線C的方程為y2=6x,故D正確.故選ACD.
9.　[解析] 拋物線的標準方程為x2=y,其焦點為F,準線方程為y=-,由拋物線的焦點F到準線的距離為1,得=1,可得a=,所以拋物線的標準方程為x2=2y,其準線方程為y=-.設(shè)點M(x0,y0),由拋物線的定義可得|MF|=y0+=5,解得y0=.
10.6　[解析] 雙曲線-y2=1的左、右焦點坐標分別為(-3,0),(3,0),因為拋物線y2=2px(p>0)的準線過雙曲線-y2=1的一個焦點,且拋物線的準線方程為x=-,所以=3,可得p=6.
11.　[解析] 不妨設(shè)點A在第一象限,連接OB,易知|OA|=|OB|,因為|AB|=|OA|=r,所以△OAB為等邊三角形,故A.將點A的坐標代入x2+(y-8)2=r2,解得r=,則A,將點A的坐標代入拋物線方程x2=2py,解得p=.
12.　[解析] 拋物線C:y2=4x的準線方程為x=-1,因為=2,所以F是MP的中點,設(shè)P(-1,t),因為F(1,0),所以M(3,-t),將點M的坐標代入拋物線方程得t2=12,不妨設(shè)t>0,則t=2,即M(3,-2).設(shè)N,由于M,N,F三點共線,所以=,整理得+4y0-4=0,解得y0=或y0=-2(舍去),所以N,所以|NF|=+1=.
13.解:(1)由題知,拋物線y2=4x的準線方程為x=-1,設(shè)A(x,y),由|AF|=2得x+1=2,解得x=1,將x=1代入y2=4x,得y=±2,所以點A的坐標為(1,2)或(1,-2).
(2)設(shè)A(x1,y1),則x1≥0,=4x1,
則|AB|===
≥2,當且僅當x1=2時,等號成立,
此時|AB|取得最小值,且最小值為2.
14.解:(1)因為拋物線E的頂點在原點,焦點為F(2,0),所以拋物線的方程為y2=8x.
(2)若k>0,不妨設(shè)|QF|=a,則|PF|=2a,設(shè)拋物線的準線為l,過點P作PH⊥l,垂足為H,過點Q作QG⊥PH,垂足為G,過點Q作QM⊥l,垂足為M.由拋物線的定義可得|PH|=|PF|=2a,|QM|=|QF|=a,所以|PG|=a,在Rt△PQG中,|PG|=a,|PQ|=3a,所以由勾股定理可得|QG|=2a,所以k=tan∠QPG==2.
同理當k<0時,k=-2.綜上,k=±2.
15.C　[解析] 因為△MFK為等腰三角形,所以若|KF|=|MF|,則滿足條件的點M有2個;若|MK|=|MF|,則滿足條件的點M不存在;若|MK|=|FK|,則滿足條件的點M有2個.所以使得△MFK為等腰三角形的點M有且僅有4個,故A中說法正確.在△MFK中,若∠MFK為直角,則滿足條件的點M有2個;若∠MKF為直角,則滿足條件的點M不存在;若∠FMK為直角,則滿足條件的點M有2個.所以使得△MFK為直角三角形的點M有且僅有4個,故B中說法正確.若∠MKF=,則當點M在第一象限時,可得直線MK的方程為y=x+,設(shè)M,將其坐標代入拋物線的方程,整理可得x2-px+=0,解得x=,滿足條件的點M只有1個,當點M在第四象限時,由對稱性可得滿足條件的點M只有1個,所以使得∠MKF=的點M有且只有2個,故C中說法錯誤.若∠MKF=,則當點M在第一象限時,可得直線MK的方程為y=,設(shè)M,將其坐標代入拋物線的方程,整理得x2-5px+=0,Δ=25p2-p2=24p2>0,可得滿足條件的點M有2個,當點M在第四象限時,由對稱性可得滿足條件的點M也有2個,所以使得∠MKF=的點M有且只有4個,故D中說法正確.故選C.
16.2　[解析] 由雙曲線方程知,漸近線方程為y=±x,由拋物線方程知,準線方程為x=-,由得y=-,∴|AB|=.∵雙曲線的離心率e===2,∴=,則|AB|=p,∴S△AOB=|AB|·=p2=2,得p=2.3.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一)
【學(xué)習目標】
　　1.了解拋物線的簡單幾何特征.
　　2.了解拋物線標準方程中p的幾何意義.
◆ 知識點　拋物線的幾何性質(zhì)
標準 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
圖象
焦點坐標
準線方程 x=- x= y=- y=
(續(xù)表)
標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
開口方向 　　 　　 　　 　　
范圍 　　　, y∈R 　　　, y∈R 　　　, x∈R 　　　, x∈R
對稱性 關(guān)于　　　對稱 關(guān)于　　　對稱
頂點坐標 　　
離心率 　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋物線關(guān)于原點對稱. (　 )
(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心. (　 )
(3)拋物線的標準方程雖然各不相同,但是其離心率都相同. (　 )
2.(1)從形狀上看,拋物線有點像雙曲線的一支,它們有區(qū)別嗎
(2)如何把握拋物線的簡單幾何性質(zhì)
◆ 探究點一　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
例1 (1)一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2=ax(a≠0)上(除原點外),另一個頂點是坐標原點,如果這個三角形的面積為36,那么a=　　　　.
(2)求下列拋物線的頂點坐標、對稱軸、焦點坐標和準線方程.
①y2=2x;②x2=32y;③y=-8x2;④x=-y2.
變式 在同一直角坐標系中,方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1(mn≠0)表示的曲線大致是 (　 )
A B C D
[素養(yǎng)小結(jié)]
確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)要把握三個要點:
(1)開口:由拋物線的標準方程看曲線的開口方向,關(guān)鍵是看準一次項是x還是y,一次項的系數(shù)是正還是負.
(2)關(guān)系:頂點位于焦點與準線中間,準線垂直于對稱軸.
(3)定值:焦點到準線的距離為p;過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離心率恒等于1.
◆ 探究點二　拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程:
(1)焦點F關(guān)于準線的對稱點為M(0,-9);
(2)關(guān)于y軸對稱,與直線y=-12相交所得線段的長為12;
(3)關(guān)于x軸對稱,以焦點和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形.
變式 (1)“米”是象形字,數(shù)學(xué)探究課上,某同學(xué)在直角坐標系中用拋物線C1:=-2px(p>0)和C2:=2px構(gòu)造了一個類似“米”字圖案,如圖所示.拋物線C1,C2的焦點分別為F1,F2,點P在拋物線C1上,過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q,若|PF1|=3|PQ|=6,則p= (　 )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)已知F為拋物線C:y2=12x的焦點,直線x=1與拋物線交于A,B兩點,則∠AFB的大小為 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(3)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,O為坐標原點,P為拋物線C上一點,且滿足|PF|=3,則△POF的面積為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程的步驟:
拓展 已知拋物線C: y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,點P(1,y0)在C上,過P作l的垂線,垂足為Q,若∠FPQ=120°,則F到y(tǒng)軸的距離為 (　 )
A.3 B.4 C.6 D.123.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(zhì)(一)
一、選擇題
1.拋物線x2=4y的對稱軸是直線 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.x=-2 B.y=2
C.y=0 D.x=0
2.在下列拋物線中,開口最小的是 (　 )
A.y2=x B.y2=x
C.y2=2x D.y2=4x
3.若點(m,n)在拋物線y2=-13x上,則下列點中一定在該拋物線上的是 (　 )
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
4.若坐標原點到拋物線y=mx2 的準線的距離為2,則m= (　 )
A.± B.±
C.±4 D.±8
5.已知O是坐標原點,F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,P(x0,4)是C上一點,且|PF|=4,則△POF的面積為 (　 )
A.8 B.6
C.4 D.2
6.如圖所示,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A,B,C.若|BC|=2|BF|,且|AF|=8,則拋物線的方程為 (　 )
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=2x D.y2=x
7.(多選題)關(guān)于拋物線y2=-2x,下列說法正確的是 (　 )
A.開口向左
B.焦點坐標為(-1,0)
C.準線方程為x=1
D.對稱軸為x軸
8.(多選題) 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,A為C上一點,以F為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點.若∠ABD=90°,且△ABF的面積為9,則 (　 )
A.△ABF是等邊三角形
B.|BF|=3
C.點F到準線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2=6x
二、填空題
9.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點F到準線的距離為1,若點M在拋物線上,且|MF|=5,則點M的縱坐標為　　　　.
10.[2024·上饒高二期末] 已知拋物線y2=2px(p>0)的準線過雙曲線-y2=1的一個焦點,則p= 　　　　.
11.設(shè)O為坐標原點,A,B是拋物線C:x2=2py(p>0)與圓E:x2+(y-8)2=r2(r>0)關(guān)于y軸對稱的兩個交點,若|AB|=|OA|=r,則p=　　　　.
12.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,PF交C于M,N兩點,且滿足=2,則|NF|=　　　　.
三、解答題
13.[2024·浙江臺州高二期中] 已知A為拋物線C:y2=4x上的一個動點,F為C的焦點.
(1)當|AF|=2時,求點A的坐標;
(2)若點B的坐標為(4,0),求|AB|的最小值.
14.已知拋物線E的頂點在原點,焦點為F(2,0),過焦點且斜率為k的直線交拋物線于P,Q兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)若|FP|=2|FQ|,求k的值.
15.已知點F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,點K為點F關(guān)于原點的對稱點,點M在拋物線C上,則下列說法錯誤的是 (　 )
A.使得△MFK為等腰三角形的點M有且僅有4個
B.使得△MFK為直角三角形的點M有且僅有4個
C.使得∠MKF=的點M有且僅有4個
D.使得∠MKF=的點M有且僅有4個
16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別相交于點A,B,O為坐標原點,若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為2,則p=　　　　.

展開更多......

收起↑