資源簡介

(共31張PPT)
3 拋物線
3.2 拋物線的簡單幾何性質
第2課時 拋物線的簡單幾何性質（二）
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.理解拋物線的簡單幾何特征.
2.能求與拋物線相關的軌跡問題.
知識點一 與拋物線有關的軌跡問題
求解與拋物線有關的軌跡的方程的常見方法：
（1）定義法：若動點 的運動規律符合拋物線的定義，則可先設出軌跡方
程，再根據已知條件解方程中的參數，即可求得軌跡方程.
（2）直接法：若動點的運動規律滿足的等量關系容易建立，則可用點
的坐標 表示該等量關系，即可求得軌跡方程.
（3）相關點法：若動點的運動是由另外一點的運動引發的，而點 的運動
規律已知（坐標滿足某已知的曲線方程），則用點的坐標表示出點 的
坐標，然后將點的坐標代入已知曲線方程，即可得到點 的軌跡方程.
（4）交軌消參法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩個動曲線交點的軌跡問
題，這類問題通常通過解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得到
所求的軌跡方程.
知識點二 拋物線中的最值問題
拋物線中的最值問題的求法大體歸結為“回歸定義法”“構造目標函數法”和
“數形結合法”三類.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）拋物線 上任意一點的橫坐標的最小值是0. ( )
√
（2）拋物線上任意一點到焦點的距離的最小值為 .( )
×
知識點三 拋物線的實際應用
與拋物線有關的實際問題，通過建立坐標系，利用坐標法，把實際問題轉化為
幾何問題.而建立坐標系的方法為：以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條
坐標軸建立平面直角坐標系.這樣可使得拋物線不僅具有對稱性，而且曲線過原
點，方程不含常數項，形式更為簡單.
【診斷分析】 一元二次函數的圖象與拋物線之間的關系是什么？
解：一元二次函數與拋物線是高中數學中的重要概念，它們在數學建模、物理
學和實際應用中有著廣泛的應用，一元二次函數的圖象是一條開口向上或向下
的拋物線，其對稱軸不一定是坐標軸，其頂點不一定在原點.
探究點一 與拋物線有關的軌跡問題
例1 已知動圓與直線相切，且與定圓 外切，那
么動圓圓心 的軌跡方程為__________.
[解析] 方法一：設，由題意知， ，
易知，所以，整理得 .
方法二：由題意知，動點到點的距離比到直線 的距離多1，
則動點到點的距離與到直線 的距離相等，
根據拋物線的定義可知,點的軌跡是以直線為準線,點 為焦點的拋物線，
設拋物線方程為，則，得
故動圓圓心的軌跡方程為 .
變式（1） 已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線平行于軸，且
與軸的交點為，點在直線上，動點的縱坐標與 的縱坐標相同，且
，求動點 的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.
解：由條件可知，直線的方程為，因此點的橫坐標為4.
設點 的坐標為，則點的坐標為，因此,.
因為 的充要條件是，所以，
即動點的軌跡方程為 .
從而可以看出，軌跡是開口向左的拋物線.
（2）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至 ，使得
，求動點 的軌跡方程.
解： 設動點的坐標為，點的坐標為，則 ，
， .
因為，所以， ，
可得，，代入得 ，
整理得 ，
所以動點的軌跡方程為 .
［素養小結］
解決與拋物線有關的軌跡問題的關鍵點：
①要深入理解求動點的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型.②求軌跡方程
時要注意檢驗，多余的點要除去，而遺漏的點要補上.③要明確拋物線的簡單幾
何性質，選相應的解題策略和擬定具體的解題方法.
探究點二 拋物線中的最值問題
例2（1） 已知定點，是拋物線上的動點，則 的最小值
為___.
1
[解析] 點是拋物線上的動點，
根據拋物線的對稱性可設點 的坐標為，，
點的坐標為 ，
，
又， 當，即時， 取得最小值1.
（2）已知點是拋物線上的一點，過點作直線 的垂線，垂
足為，若，則 的最小值為( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 由拋物線可知其焦點坐標為，準線方程為 ,
記拋物線C的焦點為，連接， ，如圖，
所以，
當且僅當點 在線段上時等號成立，所以 的最小值為3.故選A.
變式（1） 已知，點為拋物線的焦點，直線 為拋物線的準線，
點在拋物線上移動，當取得最小值時，點 的坐標為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 在中，當時， ，所以點A在拋物線的內部.
作，垂足為B，設點到拋物線的準線 的距離為，準線的方程為 ，
所以，
當且僅當點 為線段與拋物線的交點時，取得最小值，
此時點的坐標為 .故選B.
（2）已知拋物線的焦點為，為原點，點是拋物線 的準線上
一動點，點在拋物線上，且，則 的最小值為______.
[解析] 由題知拋物線的準線方程為，因為，所以 ，
所以，所以，不妨取，如圖，
作關于準線的對稱點 ，則，連接，，
所以 ，當且僅當,,三點共線時取等號，
所以的最小值為 .
［素養小結］
解決與拋物線有關的最值問題，常結合拋物線的定義、幾何性質進行轉化構建函
數.其中構建函數是確定最值的一個重要的途徑，但一定要注意自變量的取值范圍.
拓展 設拋物線上一點到軸的距離為，點 為圓
上任意一點，則 的最小值為( )
C
A. B.2 C.3 D.4
[解析] 設拋物線的焦點為，則，準線方程為，連接 ，
則，即，所以.
連接， , 因為圓的圓心為，半徑 ，所以
，
當且僅當點，均在線段上時取等號，即 的最小值為3.故選C.
探究點三 拋物線的實際應用
例3 如圖所示，某橋是拋物線形拱橋，此時水面寬為
，經過一次暴雨后，水位上升了 ，水面寬為
，則暴雨后的水面離拱頂的距離為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在一個鉛垂平面內，以拱頂為坐標原點，
水平向右為軸正方向，豎直向上為 軸正方向，
建立如圖所示的平面直角坐標系.
設橋孔所在拋物線的方程為，
,， ，由題可得
解得，所以暴雨后的水面離拱頂的距離為 .故選C.
變式 已知某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，示意圖如圖所示.上部呈拋
物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米.現有一艘貨船欲過此
橋孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，
且該貨船在現有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線
就要上升0.04米.若不考慮水下深度，問：該貨船在現有狀況下能否直接或設法
通過該橋孔？為什么？
解：如圖所示，在一個鉛垂平面內，以拱頂為坐標原點，
過拱頂的水平直線為軸,過拱頂且垂直于水平直線的直線為軸，
建立平面直角坐標系.
因為拱頂距離水面6米，橋墩高出水面4米，所以.
設橋孔上部所在拋物線的方程是 ,則,所以，
所以拋物線的方程為，即 .
當時， ，所以若貨船沿正中央航行，
則當船體吃水線上部貨物的高度不超過 （米）時可正常通行.
又目前吃水線上部中央船體高5米，所以無法通行.
因為，， ，
所以若該貨船通過增加貨物通過橋孔，則至少要增加1050噸貨物，
而貨船最多還能裝1000噸貨物，所以貨船在現有狀況下不能通過該橋孔.
［素養小結］
求解拋物線的實際應用問題的步驟
1.求與拋物線有關的最值或取值范圍問題有以下兩種解法:
（1）代數法:將圓錐曲線中的最值或取值范圍問題轉化為函數問題（即根據條件
列出所求的目標函數）,再求這個函數的最值或取值范圍,常從以下五個方面考慮:
①利用判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍;
②利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是在每個參數之間建
立等量關系;
③利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍;
④利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍;
⑤用函數的值域的求法,確定參數的取值范圍.
（2）幾何法:若問題的條件和結論能明顯地體現曲線的幾何特征,則利用圖形的
性質和數形結合思想來解決最值或取值范圍問題.
2.在求軌跡問題時常用的數學思想
（1）函數與方程的思想:求平面曲線的軌跡方程是將幾何條件（性質）表示為
動點的橫、縱坐標， 的方程及函數關系;
（2）數形結合的思想:由曲線的幾何性質求曲線方程是“數”與“形”的有機結合;
（3）等價轉化的思想:通過坐標系使“數”與“形”相互結合,在解決問題時又需要
相互轉化.
例1 過點且與 軸相切的圓的圓心的軌跡為( )
D
A.圓 B.橢圓 C.直線 D.拋物線
[解析] 設圓心坐標為，
因為圓過點且與 軸相切，所以，
整理得 ，所以圓心的軌跡為拋物線，故選D.
例2 已知為拋物線上任意一點，則點到軸的距離與點 到直線
的距離之和的最小值為___.
[解析] 拋物線的焦點為，準線 ，
拋物線上的點到軸的距離等于它到準線 的距離減去1.
連接，由拋物線定義知，，
令點 到直線的距離為，
則點到 軸的距離與點到直線 的距離之和為
.
過作于點，連接，過點作于點 ，
交拋物線于點 ，如圖.
顯然，，當點與點 不重合時，
有 ，
所以當點是過焦點的直線的垂線與拋物線的交點（即點與 重合）時，
點到軸的距離與點到直線 的距離之和取得最小值，
最小值為 .
例3 河上有拋物線形拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一小船寬4米，
高2米，載貨后船露出水面的部分高 米，問水面上漲到與拱頂相距多少米時，
小船開始不能通航？
解：建立如圖所示的平面直角坐標系，
設拋物線的方程為，，
由題意，將點 的坐標代入拋物線方程，得，
拋物線的方程為 .
小船寬4米， 設 ，
將點的坐標代入拋物線方程，得，得 .
設船不能通航時水面與拱頂相距 米，
載貨后船露出水面的部分高米， ，即當水面上漲到與拱頂
相距2米時，小船不能通航.第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
【課前預習】
知識點二
診斷分析 (1)√　(2)×
知識點三
診斷分析
解:一元二次函數與拋物線是高中數學中的重要概念,它們在數學建模、物理學和實際應用中有著廣泛的應用,一元二次函數的圖象是一條開口向上或向下的拋物線,其對稱軸不一定是坐標軸,其頂點不一定在原點.
【課中探究】
例1　x2=12y　[解析] 方法一:設M(x,y),由題意知,=|y+2|+1,易知y≥0,所以x2+y2-6y+9=y2+6y+9,整理得x2=12y.
方法二:由題意知,動點M到點C(0,3)的距離比到直線y=-2的距離多1,則動點M到點C(0,3)的距離與到直線y=-3的距離相等,根據拋物線的定義可知,點M的軌跡是以直線y=-3為準線,點(0,3)為焦點的拋物線,設拋物線方程為x2=2py(p>0),則=3,得p=6,故動圓圓心M的軌跡方程為x2=12y.
變式　解:(1)由條件可知,直線l的方程為x=4,因此點A的橫坐標為4.設點P的坐標為(x,y),則點A的坐標為(4,y),因此=(4,y),=(x,y).因為⊥的充要條件是·=0,所以4x+y2=0,即動點P的軌跡方程為y2=-4x.從而可以看出,軌跡是開口向左的拋物線.
(2)設動點Q的坐標為(x,y),點P的坐標為(x1,y1),則=(x-2,y),=(2-x1,-y1),y1=+1.
因為=2,所以x-2=2(2-x1),y=-2y1,
可得x1=,y1=-,代入y1=+1得-=+1,整理得y=-x2+6x-20,
所以動點Q的軌跡方程為y=-x2+6x-20.
例2　(1)1　(2)A　[解析] (1)∵點P是拋物線y2=8x上的動點,∴根據拋物線的對稱性可設點P的坐標為(x,2),x≥0,∵點Q的坐標為(1,0),∴|PQ|===,又x≥0,∴當x=0,即P(0,0)時,|PQ|取得最小值1.
(2)由拋物線C:x2=12y可知其焦點坐標為(0,3),準線方程為y=-3,記拋物線C的焦點為F(0,3),連接PF,FG,如圖,所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2≥|FG|-2=-2=3,當且僅當點P在線段FG上時等號成立,所以|PG|+|PM|的最小值為3.故選A.
變式　(1)B　(2)　[解析] (1)在y2=2x中,當x=3時,|y|=>2,所以點A在拋物線的內部.作AB⊥l,垂足為B,設點P到拋物線的準線l的距離為d,準線的方程為x=-,所以|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AB|=3+=,當且僅當點P為線段AB與拋物線的交點時,|PA|+|PF|取得最小值,此時點P的坐標為(2,2).故選B.
(2)由題知拋物線的準線方程為y=-1,因為|AF|=2,所以yA+1=2,所以yA=1,所以xA=±2,不妨取A(2,1),如圖,作A關于準線的對稱點B,則B(2,-3),連接OB,MB,所以|MA|+|MO|=|MB|+|MO|≥|OB|,當且僅當O,M,B三點共線時取等號,所以|MA|+|MO|的最小值為=.
拓展　C　[解析] 設拋物線的焦點為F,則F(0,1),準線方程為y=-1,連接PF,則d+1=|PF|,即d=|PF|-1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|.連接FE,FQ,因為圓E:(x-4)2+(y+2)2=1的圓心為E(4,-2),半徑r=1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|≥|FQ|-1≥|FE|-r-1=-1-1=3,當且僅當點P,Q均在線段EF上時取等號,即d+|PQ|的最小值為3.故選C.
例3　C　[解析] 在一個鉛垂平面內,以拱頂為坐標原點,水平向右為x軸正方向,豎直向上為y軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系.設橋孔所在拋物線的方程為x2=-2py(p>0),A,B(2,t-1),由題可得
解得t=-,所以暴雨后的水面離拱頂的距離為 m.故選C.
變式　解:如圖所示,在一個鉛垂平面內,以拱頂為坐標原點,過拱頂的水平直線為x軸,過拱頂且垂直于水平直線的直線為y軸,建立平面直角坐標系.因為拱頂距離水面6米,橋墩高出水面4米,所以A(10,-2).設橋孔上部所在拋物線的方程是x2=-2py(p>0),則102=-2p×(-2),所以p=25,所以拋物線的方程為x2=-50y,即y=-x2.當x=8時,y=-×82=-1.28,所以若貨船沿正中央航行,則當船體吃水線上部貨物的高度不超過6+(-1.28)=4.72(米)時可正常通行.
又目前吃水線上部中央船體高5米,所以無法通行.
因為5-4.72=0.28,0.28÷0.04=7,150×7=1050,所以若該貨船通過增加貨物通過橋孔,則至少要增加1050噸貨物,而貨船最多還能裝1000噸貨物,所以貨船在現有狀況下不能通過該橋孔.第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
1.A　[解析] 由題意知,將點P(2,2)的坐標代入方程y2=2px,得8=4p,解得p=2,則拋物線C的焦點為F(1,0).當點M的坐標為(1,0)時,點M與拋物線的焦點重合,由拋物線的定義知必有d=|PM|.當d=|PM|時,連接PF,則d=|PF|,所以|PF|=|PM|,則點M與點F重合或△PFM為等腰三角形,所以點M的坐標不一定為(1,0).因此“點M的坐標為(1,0)”是“d=|PM|”的充分不必要條件.故選A.
2.B　[解析] 如圖所示,建立平面直角坐標系,設拋物線的方程為y2=2px(p>0),A(0.7,2.8),將點A的坐標代入y2=2px,得2.82=1.4p,解得p=5.6,所以該拋物線的焦點到頂點的距離為=2.8(m).故選B.
3.B　[解析] 如圖,過點A,B分別作準線的垂線,
垂足分別為H,M',由題知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-,F.由拋物線的定義可知|BF|=|BM'|,∴△ABF的周長為|AB|+|AF|+|BF|=|BA|+|BM'|+|AF|≥|AH|+|AF|=4+,當且僅當點B在線段AH上時取等號.∵|AH|=3+,|AF|==,∴3++=4+,∴p=2.故選B.
4.D　[解析] 依題意,拋物線E的頂點坐標為,則拋物線的頂點到焦點F的距離為=+,p>0,得p=4,所以拋物線E的方程為x2=-8y+4,由y=0,得x=±2,即拋物線E與x軸的交點為M(2,0),N(-2,0),因為|MF|=|NF|==,所以礦石落點的最遠處到點F的距離為.故選D.
5.C　[解析] 設P(m,n),則m≥0,4m=n2,所以====.當m=0時,=1;當m>0時,=,且1>≥=,當且僅當m=,即m=2時取等號,所以≤<1.故≤≤1.由以上分析可知,取最小值時,P(2,±2),所以|OP|==2.故選C.
6.C　[解析] 拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),連接PF,∵直線x=-1是拋物線y2=4x的準線,∴P到直線x=-1的距離等于|PF|.如圖,過P作PQ⊥l1于 Q,則P到直線l1和直線l2的距離之和為|PF|+|PQ|.過F作FQ1⊥l1于Q1,線段FQ1和拋物線交于點P1,則|PF|+|PQ|≥|FQ1|(當點P在P1處時取等號),∴點P到直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1的距離之和的最小值就是F(1,0)到直線4x-3y+6=0的距離,即最小值為|FQ1| ==2.故選C.
7.AD　[解析] 選項A中,因為曲線C上任意一點到直線x=-4的距離比它到點F(2,0)的距離大2,所以曲線C上任意一點到直線x=-2的距離與它到點F(2,0)的距離相等,根據拋物線的定義可知曲線C的方程為y2=8x,故A正確;選項B中,由題意得|AF|=4,則點A到直線x=-2的距離為4,故xA=2,代入=8xA可得yA=±4,故B錯誤;選項C中,由曲線C上的兩點M,N到點F的距離之和為10,可得xM+xN+4=10,得xM+xN=6,故線段MN中點的橫坐標是3,故C錯誤;選項D中,如圖,由拋物線的定義知|PF|即為點P到直線x=-2的距離,故|PB|+|PF|的最小值即為點B到直線x=-2的距離,即為5,故D正確.故選AD.
8.ABD　[解析] 由題知,拋物線C:x2=4y的焦點為F(0,1),準線方程為y=-1,A選項正確.若|AF|=4,則根據拋物線的定義可知yA=4-1=3,將y=3代入x2=4y,得x2=4×3=12,得x=±2,即xA=±2,B選項正確.若|AF|+|BF|=8,則根據拋物線的定義可知,線段AB的中點到x軸的距離為-1=3,C選項錯誤.設E是線段AF的中點,則yE=,根據拋物線的定義可知|AF|=yA+1,所以yE=|AF|,所以以線段AF為直徑的圓與x軸相切,D選項正確.故選ABD.
9.4　[解析] 依題意可知點A(2,0)為該拋物線的焦點,則有=2,得p=4.
10.5　[解析] 設P(x,y),則=(2-x,-y),=(3-x,-y),所以·=(3-x)(2-x)+y2=x2-5x+6+y2.因為點P在拋物線C上,所以y2=3x,所以·=x2-5x+6+3x=x2-2x+6=(x-1)2+5,又x≥0,所以·=(x-1)2+5≥5,即·的最小值為5.
11.y2=4x　[解析] 設Q(x,y),連接QF,因為線段PF的垂直平分線經過點Q,所以|QF|=|QP|,又因為PQ⊥y軸,所以|QP|表示點Q到直線x=-1的距離,且|QF|表示點Q到點F的距離,由拋物線的定義可知,點Q的軌跡是以F為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線.設點Q的軌跡方程為y2=2px(p>0),所以=1,所以p=2,所以點Q的軌跡方程為y2=4x.
12.5a萬元　[解析] 根據題意可知,要求從點M到A,B修建公路的最低費用,只需求|MA|+|MB|的最小值,設點M到公路L的距離為d,則d=|MA|,∴只需求d+|MB|的最小值,易知d+|MB|的最小值為點B到公路L的距離.∵B地在A地北偏東60°方向2千米處,∴點B到點A的水平距離為3千米,∴B到公路L的距離為3+2=5(千米),∴修建這兩條公路的總費用最低為5a萬元.
13.解:(1)方法一:設M(x,y),由題意知+1=|x-3|,當x≥3時,方程可化為=x-4,整理得y2=-12(x-1)(舍去),當x<3時,方程可化為=2-x,整理得y2=-8x(x≤0),故點M的軌跡方程為y2=-8x.
方法二:由題可知,點M到點F(-2,0)的距離與到直線x=2的距離相等,所以動點M的軌跡是以F(-2,0)為焦點,直線x=2為準線的拋物線,
故點M的軌跡方程為y2=-8x.
(2)設Q(x,y),M(x0,y0),則所以又=-8x0,所以(2y)2=-8(2x+2),
即y2=-4(x+1),故點Q的軌跡方程為y2=-4(x+1).
14.解:(1)設拋物線的準線為l,由拋物線y2=4x知焦點F(1,0),準線l:x=-1.過A作AH⊥l,垂足為H,過點P作PH'⊥l,垂足為H',P(4,1),由拋物線的定義得|AP|+|AF|=|AP|+|AH|≥|PH'|=4+1=5,
當且僅當A,P,H三點共線時取等號,此時A,
所以|AP|+|AF|的最小值為5.
(2)由焦點F是△AOB的垂心,得OF⊥AB,即A,B關于x軸對稱,且AF⊥OB.設A,則B,由AF⊥OB得kAF·kOB=-1,則·=-1,化簡得-4=16,解得y1=±2,所以A(5,2),B(5,-2)或A(5,-2),B(5,2).
15.BCD　[解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設點A在第一象限,如圖.對于選項A,由題意可知=1,則p=2,故A錯誤;對于選項C,由題意可知拋物線C:y2=4x的準線l:x=-1,且|AB|=x1+x2+2,則以AB為直徑的圓的半徑r=+1,又線段AB的中點坐標為,所以線段AB的中點到準線l的距離為+1=r,所以以AB為直徑的圓與準線l相切,故C正確;對于選項B,因為D為l上的點,且AD⊥BD,所以以AB為直徑的圓與準線l相切于點D,設線段AB的中點為E,連接DE,則DE⊥l,所以AB的中點的縱坐標為1,即線段AB的中點到x軸的距離為1,故B正確;對于選項D,由對選項B的分析可知y1+y2=2,所以直線AB的斜率為===2,故D正確.故選BCD.
16.x=0　　[解析] 設P(x,y),由題意可得|PF|+|y+1|=3,即+|y+1|=3.當|y+1|>3,即y>2或y<-4時,方程無解;當-1≤y≤2時,=2-y,則x2=-2y+3,此時曲線C的對稱軸的方程是x=0,|PF|==2-y≥2-=,即此時|PF|的最小值是;當-4≤y<-1時,=y+4,則x2=10y+15,此時曲線C的對稱軸的方程是x=0,|PF|==y+4≥4-=,即此時|PF|的最小值是.綜上,曲線C的對稱軸的方程是x=0,|PF|的最小值是.第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
【學習目標】
　　1.理解拋物線的簡單幾何特征.
　　2.能求與拋物線相關的軌跡問題.
◆ 知識點一　與拋物線有關的軌跡問題
求解與拋物線有關的軌跡的方程的常見方法:
(1)定義法:若動點P(x,y)的運動規律符合拋物線的定義,則可先設出軌跡方程,再根據已知條件解方程中的參數,即可求得軌跡方程.
(2)直接法:若動點P(x,y)的運動規律滿足的等量關系容易建立,則可用點P的坐標(x,y)表示該等量關系,即可求得軌跡方程.
(3)相關點法:若動點P的運動是由另外一點P'的運動引發的,而點P'的運動規律已知(坐標滿足某已知的曲線方程),則用點P的坐標(x,y)表示出點P'的坐標,然后將點P'的坐標代入已知曲線方程,即可得到點P的軌跡方程.
(4)交軌消參法:在求動點軌跡時,有時會出現要求兩個動曲線交點的軌跡問題,這類問題通常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標,再消去參數得到所求的軌跡方程.
◆ 知識點二　拋物線中的最值問題
拋物線中的最值問題的求法大體歸結為“回歸定義法”“構造目標函數法”和“數形結合法”三類.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋物線y2=2px(p>0)上任意一點的橫坐標的最小值是0. (　 )
(2)拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點的距離的最小值為p. (　 )
◆ 知識點三　拋物線的實際應用
與拋物線有關的實際問題,通過建立坐標系,利用坐標法,把實際問題轉化為幾何問題.而建立坐標系的方法為:以拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為一條坐標軸建立平面直角坐標系.這樣可使得拋物線不僅具有對稱性,而且曲線過原點,方程不含常數項,形式更為簡單.
【診斷分析】 一元二次函數的圖象與拋物線之間的關系是什么
◆ 探究點一　與拋物線有關的軌跡問題
例1 已知動圓M與直線y=-2相切,且與定圓C:x2+(y-3)2=1外切,那么動圓圓心M的軌跡方程為　　　　.
變式 (1)已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,直線l平行于y軸,且l與x軸的交點為(4,0),點A在直線l上,動點P的縱坐標與A的縱坐標相同,且⊥,求動點P的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.
(2)已知點P是曲線y=x2+1上任意一點,A(2,0),連接PA并延長至Q,使得=2,求動點Q的軌跡方程.
[素養小結]
解決與拋物線有關的軌跡問題的關鍵點:
①要深入理解求動點的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型.②求軌跡方程時要注意檢驗,多余的點要除去,而遺漏的點要補上.③要明確拋物線的簡單幾何性質,選相應的解題策略和擬定具體的解題方法.
◆ 探究點二　拋物線中的最值問題
例2 (1)已知定點Q(1,0),P是拋物線y2=8x上的動點,則|PQ|的最小值為　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知點P是拋物線C:x2=12y上的一點,過點P作直線y=-1的垂線,垂足為M,若G(4,0),則|PG|+|PM|的最小值為 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
變式 (1)已知A(3,2),點F為拋物線y2=2x的焦點,直線l為拋物線的準線,點P在拋物線上移動,當|PA|+|PF|取得最小值時,點P的坐標為 (　 )
A.(0,0) B.(2,2)
C.(1,) D.
(2)已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,O為原點,點M是拋物線C的準線上一動點,點A在拋物線C上,且|AF|=2,則|MA|+|MO|的最小值為　　　　.
[素養小結]
解決與拋物線有關的最值問題,常結合拋物線的定義、幾何性質進行轉化構建函數.其中構建函數是確定最值的一個重要的途徑,但一定要注意自變量的取值范圍.
拓展 設拋物線x2=4y上一點P到x軸的距離為d,點Q為圓E:(x-4)2+(y+2)2=1上任意一點,則d+|PQ|的最小值為 (　 )
A.2-1 B.2
C.3 D.4
◆ 探究點三　拋物線的實際應用
例3 如圖所示,某橋是拋物線形拱橋,此時水面寬為4 m,經過一次暴雨后,水位上升了1 m,水面寬為3 m,則暴雨后的水面離拱頂的距離為 (　 )
A. m B. m
C. m D. m
變式 已知某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔,示意圖如圖所示.上部呈拋物線形,跨度為20米,拱頂距水面6米,橋墩高出水面4米.現有一艘貨船欲過此橋孔,該貨船水下寬度不超過18米,目前吃水線上部中央船體高5米,寬16米,且該貨船在現有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨物,船體吃水線就要上升0.04米.若不考慮水下深度,問:該貨船在現有狀況下能否直接或設法通過該橋孔 為什么
[素養小結]
求解拋物線的實際應用問題的步驟第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
一、選擇題
1.已知點P(2,2)是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,且點P到拋物線C的準線的距離為d,M是x軸上一點,則“點M的坐標為(1,0)”是“d=|PM|”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.某學習小組研究一種衛星天線(如圖①所示),發現其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入衛星天線,經反射后聚焦到一點,該點為拋物線的焦點(如圖②所示).已知衛星天線的口徑(邊沿直徑)為5.6 m,深度為0.7 m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為 (　 )
A.2.1 m B.2.8 m
C.4.2 m D.5.6 m
3.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(3,1)在C的內部,若點B是拋物線C上的一個動點,且△ABF的周長的最小值為4+,則p= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.礦山爆破時,在爆破點處炸開的礦石的運動軌跡可看作是不同的拋物線,根據地質、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍,這個范圍的邊界可以看作一條拋物線,叫作“安全拋物線”,如圖所示.已知某次礦山爆破時的安全拋物線E:x2=-2py+4(p>0)的焦點為F,則這次爆破時礦石落點的最遠處到點F的距離為 (　 )
A. B.2
C.2 D.
5.已知拋物線C:y2=4x,P為C上一點,A(-2,0),B(2,0),當最小時,點P到坐標原點O的距離為 (　 )
A.2 B.3
C.2 D.8
6.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,則拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 (　 )
A. B.
C.2 D.
7.(多選題)已知曲線C上任意一點到直線x=-4的距離比它到點F(2,0)的距離大2,則下列結論正確的是 (　 )
A.曲線C的方程為y2=8x
B.若曲線C上的一點A到點F的距離為4,則點A的縱坐標是4
C.若曲線C上的兩點M,N到點F的距離之和為10,則線段MN中點的橫坐標是5
D.若B(3,2),P是曲線C上的動點,則|PB|+|PF|的最小值為5
8.(多選題)[2024·江西景德鎮高二期末] 已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,點A,B是C上不同的兩點,則 (　 )
A.拋物線C的準線方程為y=-1
B.若|AF|=4,則點A的橫坐標為±2
C.若|AF|+|BF|=8,則線段AB的中點到x軸的距離為4
D.以線段AF為直徑的圓與x軸相切
二、填空題
9.根據拋物線的光學性質可知,從拋物線的焦點發出的光線經該拋物線反射后與其對稱軸平行.如圖所示,沿直線y=-2發出的光線經拋物線y2=2px(p>0)反射后,與x軸相交于點A(2,0),則p=　　　　.
10.已知M(2,0),N(3,0),點P在拋物線C:y2=3x上,則·的最小值是　　　　.
11.已知點F(1,0),點P在直線x=-1上,過動點P作與y軸垂直的直線,該直線與線段PF的垂直平分線交于點Q,則點Q的軌跡方程為　　　　　　.
12.如圖,已知南北方向的公路L,O為公路L上一點,A地在點O的正東方向2千米處,B地在A北偏東60°方向2千米處,河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路L和到A地的距離相等.現要在曲線PQ上M處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物,經測算,從點M到A,B修建公路的費用都為a萬元/千米,那么修建這兩條公路的總費用最低是　　　　.
三、解答題
13.已知點M到點F(-2,0)的距離比點M到直線x=3的距離小1.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)求線段MF的中點Q的軌跡方程.
14.[2024·上海寶山區高二期中] 已知F是拋物線y2=4x的焦點,A,B是該拋物線上的動點,O為坐標原點.
(1)設P(4,1),求|AP|+|AF|的最小值;
(2)若焦點F是△AOB的垂心,求點A,B的坐標.
15.(多選題)已知F(1,0)是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,直線l為拋物線C的準線,過F的直線與C交于A,B兩點,點D(-1,1),且AD⊥BD,則 (　 )
A.p=4
B.線段AB的中點到x軸的距離為1
C.以AB為直徑的圓與準線l相切
D.直線AB的斜率為2
16.已知曲線C是平面內到定點F(0,1)和定直線l:y=-1的距離之和等于3的動點P的軌跡,則曲線C的對稱軸的方程是　　　　,|PF|的最小值是　　　　.

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