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24級高二數學限時練習
（2025.9.13）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下列關于空間向量的說法中錯誤的是（ ）
A. 平行于同一個平面的向量叫做共面向量
B. 直線可以由其上一點和它的方向向量確定
C. 空間任意三個向量都可以構成空間的一個基底
D. 任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量
2. 已知直線的方向向量與平面的法向量分別為，，則（ ）
A. ∥ B.
C. ∥或 D. ，相交但不垂直
3. 如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（ ）
A. B.
C. D.
4. 若向量則（ ）
A. B. 3 C. D.
5. 在空間直角坐標系中，向量，，下列結論正確是（ ）
A 若，則 B. 若，則
C. 若為鈍角，則 D. 若在上的投影向量為，則
6. 如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖所示，已知在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個面內垂直于的線段，且，，，則的長為（ ）
A. B. C. D.
8. 教材44頁第17題：在空間直角坐標系中，已知向量，點，點．（1）若直線l經過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：；（2）若平面經過點，且以為法向量，P是平面內的任意一點，求證：．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（本題共4個小題，每小題5分，共20分.四個選項至少有2項是符合要求，選不全得2分，選錯得0分）
9. 關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 若構成空間的一個基底，則，，必共面
B. 若空間中任意一點，有，則P，A，B，C四點共面
C. 若空間向量、滿足，則與夾角為鈍角
D. 點關于平面對稱的點的坐標是
10. 在三棱錐中，，則（ ）
A.
B. 向量與夾角的余弦值為
C. 向量是平面的一個法向量
D. 與平面所成角的正弦值為
11. 如圖，點是棱長為1正方體的側面上的一個動點（包含邊界），則下列結論正確的是（ ）
A. 當時，點一定在線段上
B. 當為中點時，三棱錐的外接球的表面積為
C. 當點在棱上運動時，的最小值為
D. 線段上存在點，使異面直線與所成角的正切值為
三、填空題（共3小題）
12. 已知點，，，，若A，B，C，D四點共面，則__________.
13. 已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為.若，則實數λ的值為______.
14. 已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是__________________
四、 解答題（共5 小題）
15. 如圖，在平行六面體中，，，，點為的中點，.
（1）求的值；
（2）求與所成的角的余弦值.
16. 如圖，在三棱柱中，平面，，，，點、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
17. 如圖，在棱長為2的正方體中，P為棱的中點，Q為棱所在直線上一點，且（）.
（1）若，求直線與所成角的余弦值；
（2）若直線與平面所成角為45°，求實數的值.
18. 如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，，．
（1）證明：平面平面；
（2）若為棱中點，求直線與平面所成角的余弦值．
19. 在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
24級高二數學限時練習
（2025.9.13）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
【1題答案】
【答案】C
【2題答案】
【答案】C
【3題答案】
【答案】A
【4題答案】
【答案】D
【5題答案】
【答案】D
【6題答案】
【答案】B
【7題答案】
【答案】A
【8題答案】
【答案】A
二、多選題（本題共4個小題，每小題5分，共20分.四個選項至少有2項是符合要求，選不全得2分，選錯得0分）
【9題答案】
【答案】ABD
【10題答案】
【答案】ACD
【11題答案】
【答案】ABD
三、填空題（共3小題）
【12題答案】
【答案】
【13題答案】
【答案】##2.5
【14題答案】
【答案】##-0.5
四、 解答題（共5 小題）
【15題答案】
【答案】（1）
（2）
【16題答案】
【答案】（1）證明見解析；（2）
【17題答案】
【答案】（1）
（2）
【18題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【19題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，

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