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2025-2026學(xué)年廣東省江門一中高二（上）開學(xué)考試
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則的虛部為( )
A. B. C. D.
2.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠該保險(xiǎn)公司對(duì)個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：
用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)不正確的( )
A. 丁險(xiǎn)種最受參保人青睞
B. 隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來(lái)越高
C. 周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的
D. 周歲參保人數(shù)最多
3.若圓錐的底面半徑為，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面積是( )
A. B. C. D.
4.某數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組名同學(xué)的初賽成績(jī)分別為：，，，，，則這組數(shù)據(jù)的( )
A. 眾數(shù)為 B. 平均數(shù)為 C. 方差為 D. 標(biāo)準(zhǔn)差為
5.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則( )
A. B. C. D.
6.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題中正確的是( )
A. 若，，且，則 B. 若，，且，則
C. 若，，且，則 D. 若，，且，則
7.如圖，欲測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，在，兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，，并測(cè)得，，則塔高為( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖象交于，兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)的最小正周期是
C. 函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對(duì)稱
D. 若圓的半徑為，則函數(shù)的解析式為
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量，，則( )
A. 當(dāng)時(shí)， B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為 D. 當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，
10.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則如下判斷正確的是( )
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形或直角三角形
C. 若，則是銳角三角形
D. 若，，，則符合條件的有兩個(gè)
11.如圖，正方體棱長(zhǎng)為，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是( )
A. 的最小值為
B. 當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，都有
C. 當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變
D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某機(jī)構(gòu)研究得出名肺炎病患者的潛伏期單位：天分別為，，，，，，，，，，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是______．
13.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的最小值為______．
14.在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑已知在鱉臑中，，平面，當(dāng)該鱉臑的外接球的表面積為時(shí)，則它的內(nèi)切球的半徑為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在平行四邊形中，，．
若，求的值；
若，，，求的值．
16.本小題分
某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將樣本的成績(jī)滿分分，成績(jī)均為不低于分的整數(shù)分成六組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
求頻率分布直方圖中的值與樣本成績(jī)的平均數(shù)；
在樣本答卷成績(jī)?yōu)椋娜M市民中，用分層抽樣的方法抽取人，則樣本的答卷成績(jī)?cè)谥械氖忻駪?yīng)抽取多少人？
若落在的平均成績(jī)是，方差是，落在的平均成績(jī)?yōu)椋讲钍牵筮@兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．
17.本小題分
已知函數(shù)．
設(shè)，，求的值；
若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18.本小題分
已知四棱錐的底面為是邊長(zhǎng)為的正方形，平面
求證：平面；
若，平面與平面的交線為，求直線與直線所成角的余弦值；
若為中點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
19.本小題分
已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，．
求的大小；
若，在的邊和上分別取點(diǎn)，，將沿線段折疊到平面后，頂點(diǎn)恰好落在邊上設(shè)為點(diǎn)設(shè)，，回答以下問題：
(ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；
(ⅱ)當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積．
參考答案
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14.
15.由題意得，，
，
結(jié)合，可得，，可得；
若，，，則，
因?yàn)椋?br/>所以
．
16.根據(jù)題意可得，解得；
所以樣本成績(jī)的平均數(shù)為：
；
因?yàn)椋M的頻率之比為：：：：，
所以樣本的答卷成績(jī)?cè)谥械氖忻駪?yīng)抽取人；
因?yàn)榕c的頻率之比為：：，
又落在的平均成績(jī)是，方差是，落在的平均成績(jī)?yōu)椋讲钍牵?br/>所以這兩組成績(jī)的總平均數(shù)為，
所以這兩組成績(jī)的總方差為．
17.函數(shù)，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕裕?br/>所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，即實(shí)數(shù)．
18.證明：連接、，
平面，平面，，
正方形中，，且、是平面內(nèi)的相交直線，
平面．
解：，平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
直線與所成的角等于直線與所成的角，即或其補(bǔ)角，
平面，平面，，
，、是平面內(nèi)的相交直線，
平面，結(jié)合平面，可得，
中，，可得，中，，可得，
直線與直線所成角的余弦值為．
解：在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，
將四棱錐補(bǔ)形成正四棱柱，平面即平面，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作于，連接，
平面，平面，，
又，、平面，
平面，是直線與平面所成的角，
取中點(diǎn)，連接、，
由是的中點(diǎn)，可得，
平面，平面，，
設(shè)，則，，則，
而，由直線與平面所成角的正弦值為，
得，
整理得，解得或，即或．
19.，
則，
化簡(jiǎn)得．
所以．
化簡(jiǎn)得：．
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
所以．
又因?yàn)椋裕瑒t，即．
因?yàn)椋芍允堑冗吶切危?br/>由折疊可知：，．
在中，根據(jù)余弦定理：．
已知，，則
解得．
故時(shí)，．
(ⅱ)在中，根據(jù)余弦定理：，
即，
則
令，則．
根據(jù)基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
對(duì)于，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．
此時(shí)取最小值，，，
的面積：，
則．
故取最小值時(shí)，的面積為．
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