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2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市扎蘭屯一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.直線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
2.已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為( )
A. B. C. D.
3.已知數(shù)列滿足，則( )
A. B. C. D.
4.已知空間四邊形，，分別是，的中點，且，，，用，，表示向量為( )
A. B.
C. D.
5.若直線：和圓：沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為( )
A. 個 B. 至多有一個 C. 個 D. 個
6.圓與圓的公共弦長為( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)滿足，且有，，則( )
A. B. C. D.
8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是的左支上一點，過作角平分線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是( )
A. B.
C. D.
10.已知圓：直線：，，則( )
A. 直線恒過定點
B. 存在實數(shù)，使得直線與圓沒有公共點
C. 當(dāng)時，圓上恰有兩個點到直線的距離等于
D. 圓與圓只有一條公切線
11.如圖，在棱長為的正方體中，點在線段包括端點上運動，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 異面直線與所成角的取值范圍是
B. 平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是
C. 三棱錐的體積為定值
D. 當(dāng)為的中點時，到的距離為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，，則最小值為______．
13.已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若，則的值為______．
14.已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項和若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數(shù)．
求導(dǎo)函數(shù)；
若曲線在點處的切線方程為，求，的值．
16.本小題分
已知，兩點的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差為，記點的軌跡為曲線．
求曲線的方程；
將曲線向上平移個單位得到曲線，已知直線：與曲線有兩個不同的交點，，求．
17.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，側(cè)面為正方形，，，分別為，的中點．
求證：平面；
求點到平面的距離．
18.本小題分
已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和，．
求數(shù)列的通項公式；
設(shè)，若稱使數(shù)列的前項和為整數(shù)的正整數(shù)為“優(yōu)化數(shù)”，試求區(qū)間內(nèi)所有“優(yōu)化數(shù)”的和．
19.本小題分
定義：若橢圓上的兩個點，滿足，則稱，為該橢圓的一個“共軛點對”，即點關(guān)于的一個共軛點為，已知橢圓的離心率為，且橢圓過點．
求橢圓的方程；
求點關(guān)于的所有共軛點的坐標(biāo)；
設(shè)點，在上，且，求點關(guān)于的所有共軛點和點，所圍成封閉圖形面積的最大值．
參考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
得
；
切點既在曲線上，又在切線上，
將代入切線方程，得，
將代入曲線方程，得，則，
將代入導(dǎo)函數(shù)，
可得，即．
，．
16.
17.證明：連接，
在中，因為，分別為，的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面；
解：在直三棱柱中，，
則，，兩兩垂直，
如圖，以為坐標(biāo)原點，，，為，，軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
則有，即
令，則，，
所以為平面的一個法向量，
設(shè)點到平面的距離，又，
則，
所以點到平面的距離為．
18.解：由知，
當(dāng)時，，，即，
因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以；
當(dāng)時，，
整理得，
因為，所以有，
所以數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，
數(shù)列的通項公式為．
由知，，
數(shù)列的前項和為
，
令，則有，，
由，知，，故且，
所以區(qū)間內(nèi)所有“優(yōu)化數(shù)”的和為
．
19.
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