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2025-2026學年湖南省湖湘名校聯盟高二（上）入學數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如果，那么下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知單位向量滿足，則( )
A. B. C. D.
5.若函數的圖象關于軸對稱，則( )
A. B. C. D.
6.已知，都是銳角，，則( )
A. B. C. D.
7.已知，為樣本空間中的兩個隨機事件，其中，，，，則( )
A. 事件與互斥 B. C. 事件與相互獨立 D.
8.如圖，棱長為的正方體中，，，均為頂點，為所在棱的中點，若平面，且，均在平面內，則平面截正方體所得圖形的外接圓面積為( )
A.
B.
C.
D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，則( )
A. 的定義域為 B. 為奇函數
C. 為上的減函數 D. 無最值
10.已知球為球心為正方體的內切球，且球的表面積為，則( )
A. 線段的長為
B. 直線與球相切
C. 的面積為
D. 直線與底面所成角的正弦值為
11.設樣本數據，，，的平均數為，方差為設，，，，，樣本數據，，，的平均數為，方差為，則( )
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一個底面半徑為的圓錐側面展開圖形的面積是其底面面積的倍，則該圓錐的母線長為______．
13.在矩形中，，點為中點，，則 ______．
14.設函數的定義域為，且對于任意的正數，，都有，若，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數，函數滿足，且．
求的值域；
求函數的最大值與最小值．
16.本小題分
已知復數，．
求；
求的最小值；
若的實部大于，求的取值范圍．
17.本小題分
暑假過后，長沙橘子洲頭旅游景區為了更好地提升旅游品質，以便給游客帶來更好的旅游體驗感，相關工作人員隨機選擇名游客對景區進行滿意度評分滿分分，將評分繪制成如圖頻率分布直方圖．
求圖中的值；
估計這名游客對景區滿意度評分的中位數；
若工作人員從這名游客中隨機抽取了名，其中評分在內的有人，評分在內的有人現再從這人中隨機抽取人做進一步了解，求抽取的人評分均在內的概率．
18.本小題分
如圖，三棱柱中，，，分別為線段，的中點，且平面．
證明：；
證明：為二面角的平面角；
若，且，求二面角的大小．
19.本小題分
在中，，且．
求；
求面積的最大值；
若是邊上的一點，且，證明，并求的最小值提示：函數在區間上單調遞減．
參考答案
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13.
14.
15.由，且，
可得，即，
當時，，符合題意；
當時，，不符合題意，舍去．
綜上所述，，
結合，可知，即函數的值域為；
由的結論，可得，
所以，其中銳角滿足，
當時，即時，取得最大值，
當時，即時，取得最小值．
16.因為，所以，所以，
所以；
因為，，
所以，
所以，
當時，原式取得最小值．
因為，，
所以，
因為的實部大于，則，即，
所以的取值范圍為．
17.由圖知：，解得；
由，，
所以中位數在之間，且為；
設評分在中抽取的人分別為，，在中抽取的人分別為，，，
則從這人中隨機抽取人所得樣本空間為：，，，，，，，，，，共有個樣本點，
設選取的人評分均在內為事件，則，，，共有個樣本點，
所以．
18.證明：由三棱柱性質，四邊形為平行四邊形，故BC，
又，分別為線段，的中點，則易有，
即四邊形為平行四邊形，則，
又由三棱柱性質有，
故AD；
證明：由于平面，平面，故A，又，
由三棱柱性質知≌，則，
又為線段的中點，故EF，
由于，，且，，平面，
故EF平面，
由可知，即點在平面內，又，
則四邊形為平行四邊形，且平面，
又平面，故EF，
由于平面與平面的交線滿足，，
故為二面角的平面角．
由于平面，，
故BC平面，
連接，同理可證為二面角的平面角，
由于，且為線段的中點，故AE，
又，故為等邊三角形，
不妨設，則，
由于，，
故為等腰直角三角形，故，即，
則，
又由圖有，故，
則．
19.在中，由，
得，
解得或，
又，所以，
所以；
由得，當且僅當時等號成立，
所以，
所以面積的最大值為；
在中，記角，，所對的邊分別為，，，因為，
所以是的平分線，
因為，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以，
設，
在，中，由正弦定理得，
則，
令
在中，由余弦定理可得，
解得，
所以
則，
令，
由題意可得函數在區間上單調遞減，
則，
所以的最小值為．
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