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2025-2026學年安徽省淮南二中高二（上）開學數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.在復平面內，為虛數單位，若復數，則( )
A. B. C. D.
3.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則( )
A. 兩人都中靶的概率為 B. 兩人都不中靶的概率為
C. 恰有一人中靶的概率為 D. 至少一人中靶的概率為
4.已知函數的圖象恒過定點，且點在直線上，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知向量為單位向量，向量在上的投影向量為，則( )
A. B. C. D.
6.如圖，為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，為上一點，當平面時，( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函數有且僅有一個零點，則正數的取值范圍為( )
A. B. ， C. D.
8.通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數對表示向量類似的，我們可以把有序復數對看作一個向量，記，則稱為復向量類比平面向量的相關運算法則，對于，，、、、，，我們有如下運算法則：；；；則下列結論正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，則
C.
D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知事件，滿足，，則下列說法正確的是( )
A. 若，則
B. 若，互斥，則
C. 若，互斥，則
D. 若，相互獨立，則
10.已知，為銳角，，，則( )
A. B.
C. D.
11.如圖，正方體的棱長為，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是( )
A. 直線與直線所成角的正切值為
B. 當時，截面的形狀為等腰梯形
C. 當時，與交于點，則
D. 當時，直線與平面的夾角正弦值的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則 ______．
13.已知命題：，：，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______．
14.高一某班有名男生和名女生，某次數學測試中，男生的平均分與女生的平均分之差為，若男生分數的方差為，全班分數的方差為，則女生分數的方差為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了名工人某天生產該產品的數量，得到頻率分布直方圖如圖所示．
求頻率分布直方圖中的值．
求這名工人一天生產該產品的數量的眾數，分位數和平均數．
16.本小題分
如圖，在邊長為的正方形中，點是的中點，點是的中點，將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于點．
求證；
求三棱錐的體積．
求點到平面的距離．
17.本小題分
已知向量，，函數．
求的最小正周期及單調遞增區間；
若在區間上的值域為，求實數的取值范圍．
18.本小題分
已知．
判斷并證明函數的奇偶性；
令，寫出的單調區間只需寫出結論；
在的條件下，問：是否存在實數，且，使得函數在區間上的值域為？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由．
19.本小題分
在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且點在上，滿足且．
求角；
求證：；
求面積的取值范圍．
參考答案
1.
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14.
15.由頻率分別直方圖的性質，
可得，
解得；
由頻率分布直方圖，可得眾數為；
由頻率分布直方圖可得：
，
所以這名工人一天生產該產品的數量的平均數為；
因為前組的頻率和為，
前組的頻率和為，
所以分位數在第組，設分位數為，
則，解得，
所以分位數為．
16.證明：由題意，折疊前，，
則折疊后，，
因為，、平面，
故A平面，
因為平面，故A；
解：由問可知，平面，
所以三棱錐的高，
又因為折疊前為，點，分別為，的中點，
所以，
所以；
解：由題意，，
設點到平面的距離為，
則有，解得，
即點到平面的距離為．
17.依題意，得
；
函數的最小正周期；
由，得，
所以的單調遞增區間為；
由知，，，
當時，，
因為在上的值域為，
所以，
解得，
所以實數的取值范圍是．
18.解：為奇函數．證明如下：
由，解得或，
即的定義域為，關于原點對稱，
又，
為奇函數．
，
由，解得或，
即的定義域為，
又函數在，上單調遞增，
當時，在，上單調遞增，
當時，在，上單調遞減，
綜上，當時，的增區間為、，無減區間；
當時，的減區間為、，無增區間．
由，，得，
又，，得，，．
在上單調遞減，則在上的值域為，
得，即，
，是方程即在的兩個不同的根，
則，解得．
存在滿足題意的，，此時的取值范圍為．
19.解：根據，結合余弦定理得，
兩側同乘，可得，整理得，
所以，結合，可得；
證明：根據，可得，化簡得，
兩邊平方得，即則，
而，所以，化簡得，原命題得證；
解：由的結論，可得，即，
因為是銳角三角形，所以，，
結合余弦定理解得，，
我們先求解，此時代入，
得到，即，解得，即，
同理，由，可推導出，可得，
設，，
由，平方得，結合，可得，
化簡得，可得，且，
所以，
根據三角形面積公式，可得，
令，則，
由對勾函數性質得在上單調遞增，可得在上單調遞減，
當時，，當時，，故，
則，故面積的取值范圍為．
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