資源簡介

第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
【課前預習】
知識點
　
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　(1)3　(2)A　[解析] (1)由題意,a-b=(0,6,-3),∴|a-b|===3.
(2)因為a⊥b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,則2a+b=2(2,-1,2)+(-4,2,5)=(0,0,9),所以|2a+b|=9.故選A.
變式　　[解析] 因為a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),所以a-b=(1+x,1-2x,0),所以|a-b|===,所以當x=時,|a-b|取得最小值,最小值為.
例2　(1)C　(2)D　[解析] (1)由題意得=(-1,1,0),=(0,3,3),故cos<,>==,所以與的夾角為60°.
(2)因為{i,j,k}是空間向量的一組標準正交基,所以=-i+j-k=(-1,1,-1),=2i+j+k=(2,1,1),設與的夾角為θ,θ∈[0,π],則cos θ===-.故選D.
變式　(1)C　(2)(-∞,0)　[解析] (1)由題意可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,即-|a|·|c|cos=-14cos=7,所以cos=-.又0≤≤π,所以=.故選C.
(2)因為向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),且a與b的夾角為鈍角,所以a·b=1×2+2×(-1)+t×1<0,解得t<0,又≠,所以a與b不共線,綜上可得實數t的取值范圍為(-∞,0).
例3　解:如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DS所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系D-xyz,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,G,=,=,=
(-a,0,0).
(1)||==.
(2)cos<,>===.
變式　銳角　[解析] 因為A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),所以=(-5,-1,-3),=(-2,3,-1),=(3,4,2),所以||==,||==,||==,所以在△ABC中,AB邊最長,內角C最大,所以·=(2,-3,1)·(-3,-4,-2)=-6+12-2=4>0,顯然,不共線,所以C為銳角,故△ABC為銳角三角形.
拓展　A　[解析] 如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,1,1).∵P是底面ABCD(含邊界)上一動點,∴可設P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),則=(x,y,-1).∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴y=1-x,∴||2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴當x=時,||2取得最小值,此時線段A1P的長度為,當x=0或x=1時,||2取得最大值2,此時線段A1P的長度為,故線段A1P長度的取值范圍是.故選A.第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
【學習目標】
　　掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式,并能運用這些知識解決一些相關問題.
◆ 知識點　空間向量的長度、夾角
若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
向量長度 |a|==　　　　　　　
向量夾角公式 cos==　　　　　　　　　　　　(a≠0,b≠0)
空間兩點間的距離公式:設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則=　　　　　　,P1P2=||=　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)||=|+|=||+||. (　 )
(2)a·b>0 為銳角. (　 )
(3)與非零向量a同方向的單位向量為. (　 )
◆ 探究點一　空間向量的長度
例1 (1)已知a=(1,2,-3),b=(1,-4,0),則|a-b|=　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)[2024·天津高二期中] 向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,則|2a+b|= (　 )
A.9 B.3 C.1 D.3
變式 已知x∈R,若a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),那么|a-b|的最小值為　　　　.
[素養小結]
求空間向量的長度要先找到空間向量的坐標,再根據公式求值,注意與空間兩點間的距離公式的聯系.
◆ 探究點二　空間向量的夾角
例2 (1)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則與的夾角是 (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
(2)已知{i,j,k}是空間向量的一組標準正交基,且=-i+j-k,=2i+j+k,則與夾角的余弦值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
變式 (1)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),若a與b的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍為　　　　.
[素養小結]
1.利用空間向量的坐標運算求夾角的一般步驟:
(1)建系:根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.
(3)論證、計算:結合公式進行論證、計算.
(4)轉化:轉化為夾角問題.
2.空間中兩向量的夾角的取值范圍為[0,π],空間中兩直線的夾角的取值范圍為.
◆ 探究點三　空間向量長度與夾角的綜合問題
例3 如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分別為AB,SC,SD的中點,AB=a,SD=b.
(1)求||;
(2)求cos<,>.
變式 若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),則△ABC的形狀是　　　　三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
[素養小結]
1.空間中兩直線的夾角α的取值范圍為,而空間中兩向量的夾角β的取值范圍為[0,π],故利用空間向量求兩直線的夾角時應注意cos α=|cos β|.
2.在利用夾角公式判斷銳角或鈍角時,一定要注意特殊角:0°和180°.
3.在利用空間向量解決立體幾何問題時,需要建立恰當的坐標系,將幾何問題轉化為坐標的運算問題.
拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動點,滿足A1P⊥AC1,則線段A1P長度的取值范圍是 (　 )
A. B.
C.[1,] D.[,]第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
一、選擇題
1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),則|3a+b|=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.4
C.5 D.
2.若向量a=(1,λ,0),b=(2,-1,2),且a與b的夾角的余弦值為,則實數λ等于 (　 )
A.0 B.-
C.0或- D.0或
3.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),向量a=(m,-1,n),且向量a與,都垂直,則|a|= (　 )
A.4 B.2
C.2 D.
4.若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),則△ABC的形狀是 (　 )
A.不等邊的銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.等邊三角形
5.定義a b=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b為單位向量,則a b的取值范圍是 (　 )
A.[0,6] B.[6,12]
C.[-1,5] D.[0,12]
6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD為邊長為2的正方形,E為BC的中點,則異面直線BD與PE夾角的余弦值為 (　 )
A. B. C. D.
7.(多選題)已知空間中三點A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),則 (　 )
A.||=2
B.方向上的單位向量坐標是
C.在方向上的投影數量為
D.與夾角的余弦值是
8.(多選題)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在底面ABCD上移動,且滿足B1P⊥D1E,則下列結論正確的是 (　 )
A.線段B1P的長度的最大值為3
B.線段B1P的長度的最小值為
C.線段B1P的長度的最大值為2
D.線段B1P的長度的最小值為
二、填空題
9.與空間向量a=(2,2,-1)同方向的單位向量的坐標是　　　　　　.
10.在空間直角坐標系中,向量a滿足|a|=3,且與向量b=(1,1,1)的夾角的余弦值為,則向量a的一個坐標為　　　　.
11.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,則=　　　　.
12.已知空間向量a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos=-,若向量a+kb與2a+b的夾角為鈍角,則實數k的取值范圍是　　　　.
三、解答題
13.[2024·天津武清區高二期中] 已知點A(1,0,2),B(-2,1,3),O為坐標原點,向量a=,b=.
(1)求與向量a同方向的單位向量a0;
(2)求|a-2b|;
(3)求cos.
14.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點.
(1)求線段BM,BN的長;
(2)求△BMN的面積.
15.已知a,b是空間中相互垂直的兩個單位向量,且|c|=5,c·a=c·b=2,則|c-ma-nb|的最小值是　　　　.
16.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且EF⊥A1E.若AB=2,AD=1,AA1=3,則B1F的最小值為　　　　. (共26張PPT)
§3 空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
3.2 空間向量運算的坐標表示及應用
第2課時 空間向量長度與夾角的坐標表示
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式,并能運用這些知識解決
一些相關問題.
知識點 空間向量的長度、夾角
若向量, ,則
向量長度
向量夾角公 式
空間兩點間的距離公式:設,是空間中任意兩點,則
_______________________,
__________________________________.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） 為銳角.( )
×
（3）與非零向量同方向的單位向量為 .( )
√
探究點一 空間向量的長度
例1（1） 已知，，則 _____.
[解析] 由題意， ，
.
（2）[2024·天津高二期中]向量，， ，則
( )
A
A.9 B.3 C.1 D.
[解析] 因為，所以，解得 ，
則，所以 .故選A.
變式 已知，若，，那么 的最小值為
_ ____.
[解析] 因為，，所以 ，
所以 ，
所以當時，取得最小值，最小值為 .
［素養小結］
求空間向量的長度要先找到空間向量的坐標，再根據公式求值，注意與空間兩
點間的距離公式的聯系.
探究點二 空間向量的夾角
例2（1） 已知,,,則與 的夾角是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由題意得,,故 ，
所以與的夾角為 .
（2）已知{,,}是空間向量的一組標準正交基，且 ，
，則與 夾角的余弦值為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為{,, }是空間向量的一組標準正交基，
所以，，
設與 的夾角為 ，，則 .故選D.
變式（1） 已知向量，， ，若
，則與 的夾角為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由題意可得，且.
又 ，所以，即，
所以 .
又 ，所以 .故選C.
（2）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數
的取值范圍為_________.
[解析] 因為向量，，且與 的夾角為鈍角，
所以，解得，
又，所以與 不共線，綜上可得實數的取值范圍為 .
［素養小結］
1.利用空間向量的坐標運算求夾角的一般步驟:
（1）建系:根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
（2）求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.
（3）論證、計算:結合公式進行論證、計算.
（4）轉化:轉化為夾角問題.
2.空間中兩向量的夾角的取值范圍為 ,空間中兩直線的夾角的取值范圍為
.
探究點三 空間向量長度與夾角的綜合問題
例3 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱 底面
，，，分別為，，的中點，， .
解：如圖，以為坐標原點，，， 所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標系 ，
則，， ，，
.
所以 .
（1）求 ；
（2）求 .
解： .
變式 若，，，則 的形狀是______三角形.
（填“銳角”“直角”或“鈍角”）
銳角
[解析] 因為，，，
所以 ，，，
所以 ，，
，
所以在中， 邊最長，內角 最大，
所以，
顯然， 不共線，
所以為銳角，故 為銳角三角形.
［素養小結］
1.空間中兩直線的夾角 的取值范圍為,而空間中兩向量的夾角 的取值范
圍為,故利用空間向量求兩直線的夾角時應注意 .
2.在利用夾角公式判斷銳角或鈍角時，一定要注意特殊角： 和 .
3.在利用空間向量解決立體幾何問題時，需要建立恰當的坐標系，將幾何問題
轉化為坐標的運算問題.
拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱長為1的正方體中，
是底面（含邊界）上一動點，滿足，則線段 長度的取值范
圍是( )
A
A. B. C. D.，
[解析] 如圖，建立空間直角坐標系，則 ，
，，
是底面 （含邊界）上一動點，
可設 ，
則 ，
， ，
，
當時，取得最小值 ，此時線段的長度為，
當或時， 取得最大值2，
此時線段的長度為，故線段 長度的取值范圍是 .故選A.
1.平面向量到空間向量的推廣
平面向量的長度公式和夾角公式均可推廣到空間向量，在運算時注意平面向量
為二元運算，空間向量為三元運算.
2.兩向量夾角為銳角是兩向量數量積為正值的充分不必要條件，兩向量夾角為
鈍角是兩向量數量積為負值的充分不必要條件.在考慮此問題時一定要注意特殊
情況：夾角為0或 .
例1 已知空間三點,, .
（1）求以和 為鄰邊的平行四邊形的面積;
解：由題中條件可知,, ,
所以 .
則, ，
故以和 為鄰邊的平行四邊形的面積 .
（2）若,且分別與,垂直,求向量 的坐標.
解：設,由題意得
解得或
故的坐標為或 .
例2 在空間直角坐標系中，，，分別是軸、軸、 軸正方向上
的單位向量，設為非零向量，且 ， ，則 ( )
C
A. B. C. 或 D. 或
[解析] 設，則由，， ，
得，， ，
，，
又 ， 或 .故選C.第2課時　空間向量長度與夾角的坐標表示
1.D　[解析] 3a+b=(3,3,0)+(-1,0,2)=(2,3,2),故|3a+b|==.
2.C　[解析] 由題意得a·b=2-λ=|a||b|cos=××,解得λ=0或λ=-.故選C.
3.D　[解析] =(-2,-1,3),=(1,-3,2).因為a=(m,-1,n)與,都垂直,所以解得所以a=(-1,-1,-1),所以|a|==.故選D.
4.A　[解析] =(-5,-1,-3),=(-2,3,-1),=(3,4,2),由·=10-3+3=10>0,可得A為銳角,同理可得B,C也為銳角.||==,||=,||=,∴△ABC為不等邊的銳角三角形.故選A.
5.B　[解析] 由題意可得|a|==3,|b|=1,設=θ,則a b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,因為θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],所以a b∈[6,12].故選B.
6.A　[解析] 因為PA⊥底面ABCD,AB,AD 底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,所以PA,AB,AD兩兩垂直,以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,2),B(2,0,0),E(2,1,0),D(0,2,0),=(2,1,-2),=(-2,2,0).設異面直線BD與PE的夾角為θ,θ∈,則cos θ===,所以異面直線BD與PE夾角的余弦值為.故選A.
7.BD　[解析] 因為A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),所以=(2,1,0),=(0,-1,-1),=(2,0,-1).由=(0,-1,-1),得||=,A錯誤;方向上的單位向量為=,B正確;由=(2,0,-1),得在方向上的投影數量為||cos<,>===,C錯誤;由=(2,1,0),=(2,0,-1),得cos<,>===,D正確.故選BD.
8.AD　[解析] 以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D1(0,0,2),E(1,2,0),B1(2,2,2),設P(a,b,0),0≤a≤2,0≤b≤2,則=(1,2,-2),=(a-2,b-2,-2),由B1P⊥D1E,可得·=0,即a-2+2(b-2)+4=0,即a+2b-2=0,即a=2-2b,∴點P的軌跡是一條線段.當a=0時,b=1;當b=0時,a=2.∴0≤a≤2,0≤b≤1.設棱CD的中點為F,連接AF,故點P的軌跡為線段AF,||2=(a-2)2+(b-2)2+4=(-2b)2+(b-2)2+4=5b2-4b+8,易知二次函數y=5x2-4x+8的圖象的對稱軸為直線x=,又0≤b≤1,∴當b=時,||2取得最小值,即線段B1P的長度的最小值為,當b=1,即P為棱CD的中點時,||2取得最大值9,即線段B1P的長度的最大值為3.故選AD.
9.　[解析] ∵a=(2,2,-1),∴|a|===3,∴與空間向量a同方向的單位向量為=.
10.(1,2,2)(答案不唯一)　[解析] 設a=(x,y,z),則由題意得得
則向量a的一個坐標為(1,2,2).
11.　[解析] 由題得,(2a+b)·c=2a·c+b·c=8+b·c=(0,-5,10)·(1,-2,-2)=-10,∴b·c=-18,又c=(1,-2,-2),|b|=12,∴cos===-,又∈[0,π],∴=.
12.(-∞,-1)　[解析] 因為a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos=-,所以cos===-,解得m=-1,所以b=(-1,0,2),所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).因為向量a+kb與2a+b的夾角為鈍角,所以(a+kb)·(2a+b)=1-k+2+4k<0,解得k<-1.若向量a+kb與2a+b共線,則==,解得k=,顯然 (-∞,-1).綜上可得k的取值范圍為(-∞,-1).
13.解:(1)由題意得a=(1,0,2),則|a|==,
因此a0==.
(2)因為a=(1,0,2),b=(-2,1,3),
所以a-2b=(1,0,2)-2(-2,1,3)=(5,-2,-4),
則|a-2b|==3.
(3)因為a=(1,0,2),b=(-2,1,3),所以|a|==,|b|==, 則cos===.
14.解:以C為原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
則B(0,1,0),M(1,0,1),N.
(1)=(1,-1,1),=,所以||==,||==,故線段BM的長為,線段BN的長為.
(2)cos∠MBN=cos<,>===,所以sin∠MBN==,故S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN=×××=,即△BMN的面積為.
15.3　[解析] 因為a,b是空間中相互垂直的兩個單位向量,所以可設a=(1,0,0),b=(0,1,0),再設c=(x,y,z),因為c·a=c·b=2,所以x=y=2,則c=(2,2,z),又|c|==5,所以z2=9,所以|c-ma-nb|==≥3,當且僅當m=n=2時,等號成立,所以|c-ma-nb|的最小值是3.
16.2　[解析] 以點C1為坐標原點,C1D1,C1B1,C1C所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C1-xyz,則A1(2,1,0),設E(2,0,m),F(0,1,n),0≤m≤3,0≤n≤3,則=(0,-1,m),=(-2,1,n-m).因為EF⊥A1E,所以·=0,即-1+m(n-m)=0,化簡得mn=1+m2,當m=0時,顯然不成立,所以0

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