資源簡介

4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
【課前預習】
知識點
u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√
【課中探究】
例1　(1)D　(2)B　(3)C　[解析] (1)∵a·b=0,∴l(xiāng) α或l∥α.
(2)如圖所示,以C1為原點,C1B1,C1D1,C1C所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),∴M,N,∴=.易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一個法向量,而·=-×0+0×a+×0=0,∴⊥,又MN 平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.
(3)由題知,當m·n=0時,l∥α或l α.A選項中,m·n=(1,0,0)·(-2,0,0)=-2;B選項中,m·n=(0,2,1)·(-1,0,1)=1;C選項中,m·n=(1,-1,3)·(0,3,1)=0-3+3=0;D選項中,m·n=(1,2,3)·(1,0,1)=1+0+3=4.故選C.
變式　(1)2　(2)3　[解析] (1)因為直線l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1),且l∥α,所以e⊥n,則e·n=1×2-2λ+(-2)×(-1)=0,解得λ=2.
(2)∵α∥β,∴m∥n,∴存在λ∈R,使得=λ,得λ=-,z=3.
例2　證明:(1)如圖所示,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),則=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則即
取z1=2,則n1=(0,-1,2).因為·n1=-2+2=0,所以⊥n1.又FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)由(1)知,=(0,2,1),=(2,0,0).設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,由n2⊥,n2⊥,得取z2=2,則n2=(0,-1,2).因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
變式　證明:∵=++=-++=-(-)++(+)=-+=-,∴與,共面,
∵MN 平面PBC,∴MN∥平面PBC.
拓展　解:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,連接DF,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中點,
又∵F為B1C1的中點,∴DF∥AA1且DF=AA1,
∴四邊形DFA1A是平行四邊形,∴A1F∥AD,
∵A1F 平面ADE,AD 平面ADE,∴A1F∥平面ADE.
(2)能在棱B1B上找到一點N,使得A1N∥平面ADE.證明如下:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵DF∥AA1,∴DF⊥AD,DF⊥DC,又∵AD⊥BC,∴DA,DC,DF兩兩垂直,以D為原點,DC所在直線為x軸,DA所在直線為y軸,DF所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設A1B1=2,AA1=2t,則A(0,,0),D(0,0,0),E(1,0,t),A1(0,,2t),則=(0,,0),=(1,0,t),又點N在棱B1B上,設BN=λBB1,0≤λ≤1,則N(-1,0,2λt),∴=(-1,-,2λt-2t).設平面ADE的法向量為n=(x,y,z),
則取z=1,得n=(-t,0,1),
∵A1N∥平面ADE,∴·n=t+0+2λt-2t=0,解得λ=,∴在棱B1B上存在一點N,且BN=BB1,使得A1N∥平面ADE.4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
1.A　[解析] 由m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),可得n=-2m,則n∥m,所以α∥β,故選A.
2.D　[解析] 若l∥α,則a·n=0.對于A,a·n=-2,不滿足題意;對于B,a·n=1+0+5=6,不滿足題意;對于C,a·n=-1,不滿足題意;對于D,a·n=0-3+3=0,滿足題意.故選D.
3.A　[解析] 設D(x0,y0,z0),∵=(-2,-6,-2),=(-3-x0,7-y0,-5-z0),=,∴-3-x0=-2,7-y0=-6,-5-z0=-2,解得x0=-1,y0=13,z0=-3,故點D的坐標為(-1,13,-3).故選A.
4.C　[解析] 在空間直角坐標系O-xyz中,易得平面xOy的一個法向量為n=(0,0,1),平面xOz的一個法向量為m=(0,1,0).因為點A(1,3,0),B(0,3,-1),所以=(-1,0,-1),易判斷=(-1,0,-1)與n=(0,0,1),m=(0,1,0)不平行,所以直線AB不垂直坐標平面xOy,也不垂直坐標平面xOz,故B,D錯誤;因為n·=0×(-1)+0×0+1×(-1)=-1,所以直線AB不平行坐標平面xOy,故A錯誤;因為m·=0×(-1)+0×1+(-1)×0=0,所以直線AB平行于坐標平面xOz,故C正確.故選C.
5.C　[解析] 設AC與BD相交于O點,連接OE,由AM∥平面BDE,且AM 平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,得AM∥EO,又O是正方形ABCD對角線的交點,∴M為EF的中點.在空間直角坐標系中,E(0,0,1),F(,,1),由中點坐標公式知,點M的坐標為.故選C.
6.C　[解析] 如圖所示,以A為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則B(1,0,0),E,A1(0,0,1),所以=(-1,0,1),=.設n=(x,y,z)是平面A1BE的一個法向量,則即取z=2,得n=(2,1,2).由=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1).又B1(1,0,1),所以=(λ-1,1,0).由B1F∥平面A1BE,得·n=0,即2(λ-1)+1=0,解得λ=.
7.CD　[解析] 對于A,因為l∥α,所以a·b=2×2+1×+2m=0,解得m=-,故選項A錯誤;對于B,因為直線l的一個方向向量為a=(0,1,-1),平面α的一個法向量為n=(1,-1,-1),所以a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,故直線l與α平行或直線l在α內,故選項B錯誤;對于C,因為兩個不同的平面α,β的一個法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),所以n2=-2n1,故n2∥n1,所以α∥β,故選項C正確;對于D,因為A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),又n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,所以即解得故選項D正確.故選CD.
8.BC　[解析] 對于A選項,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,則A(2,0,1),B(1,2,0),C(0,2,1),M(2,2,2),N(0,1,2),所以=(-1,2,-1),=(-2,2,0),=(2,1,0),設平面ABC的法向量為n=(a,b,c),則令a=1,得b=1,c=1,則n=(1,1,1),顯然·n=2+1+0=3≠0,即與n不垂直,故直線MN與平面ABC不平行,故A錯誤;
對于B選項,如圖所示,取側棱的中點D,連接AD,BD,CD,由正方體的特征可知AD∥BC,所以平面ABC即為平面ABCD,易知MN∥BD,MN 平面ABCD,BD 平面ABCD,所以直線MN∥平面ABC,故B正確;
對于C選項,由正方體的特征易知平面ABC∥側面MN,又MN 側面MN,所以直線MN∥平面ABC,故C正確;對于D選項,如圖所示,取正方體一棱的中點G,連接CG,MG,BN,由正方體的特征可知AC∥MN,AB∥GM,BN∥CG,易知A,C,G,M,N,B六點共面,故D錯誤.故選BC.
9.-2　[解析] 因為l∥平面α,所以m⊥n,則m·n=2t+4=0,解得t=-2.
10.充分不必要　[解析] 由a∥α可以推出v⊥m;由v⊥m,可得a∥α或a α.∴“a∥α”是“v⊥m”的充分不必要條件.
11.　[解析] 由題意知即解得所以a=.
12.平行　[解析] 以D為原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則D(0,0,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E,F,可得=,=(0,1,0),=(1,0,1).設平面A1B1CD的法向量為n=(x,y,z),則取x=1,得n=(1,0,-1),則·n=0,又EF 平面A1B1CD,所以EF∥平面A1B1CD.
13.證明:(1)以D為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為2,則A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).由正方體的性質,知AD⊥平面CC1D1D,所以=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個法向量.易知=(0,1,-1),則·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥.又MN 平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由(1)知=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個法向量,易知=(0,2,0),=(0,1,-1),可得·=0,·=0,所以=(2,0,0)也是平面MNP的一個法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.
14.解:存在滿足題意的點N,證明如下.
如圖,以D為原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則D(0,0,0), D1(0,0,1), C(0,2,0),M,所以=(0,2,0),=,=(0,-2,1).假設在線段CD1上存在點N,使MN∥平面ADD1A1,并設=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)(0≤λ≤1),則=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ),所以=-=.由題意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一個法向量,所以⊥, 即2(1-2λ)=0,解得λ=.因為MN 平面ADD1A1,所以當N為CD1的中點時,MN∥平面ADD1A1.
下面有兩種方法確定點F的位置.
方法一:由已知得,點F在直線BB1上,=,由直線BB1與z軸平行,可設F(1,2,t),t∈R,又點F在平面DMN內,所以存在實數(shù)k,μ,使得=k+μ,即(1,2,t)=k+μ,整理得(1,2,t)=,則解得所以F,故F是線段BB1上靠近點B的三等分點.
方法二:由已知得,點F在直線BB1上,由直線BB1與z軸平行,可設F(1,2,t), t∈R,設平面DMN的法向量為n=(x,y,z),則得取z=3,得y=-,x=2,所以平面DMN的一個法向量為n=.在平面DMN內任取一點,不妨取點D,且=(1,2,t),則·n=0,即2×1+×2+3t=0,解得t=,所以F,故F是線段BB1上靠近點B的三等分點.因為F是線段BB1上靠近點B的三等分點,所以BF=.
15.A　[解析] 根據(jù)正四棱柱的特點,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖所示.∵AB=4,AA1=6,F是棱B1C1的中點,點E在棱BB1上,且=,∴A(4,0,0),E(4,4,4),F(2,4,6),則=(-2,0,2),由題意可設G(0,0,a),則=(-4,0,a).在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1CB∥平面D1A1AD,EF 平面B1C1CB,則EF∥平面D1A1AD.∵平面α∩平面D1A1AD=AG,EF 平面α,∴EF∥AG.設=λ(λ∈R),則(-2,0,2)=λ(-4,0,a),∴可得a=4,∴DG=4,又DD1=6,∴=,故選A.
16.　[解析] 如圖所示,建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(1,1,0),設M(x,0,x),N(0,y,1-y),0≤x≤1,0≤y≤1,則=(-x,y,1-x-y).連接BD,易知是平面A1ACC1的一個法向量,=(1,1,0).因為MN∥平面A1ACC1,所以·=-x+y=0,即x=y,所以||====,因為0≤x≤1,所以||≥.(共32張PPT)
§4 向量在立體幾何中的應用
4.2 用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時 用向量方法研究立體幾何中的平行關系
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.
2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行的判定定理.
知識點 用空間向量描述空間線面的平行關系
設不重合的直線,的方向向量分別為,,不重合的平面 , 的法向量分別
為, ,則
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線線平行 與 _________________________________________________ ________
, _____
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線面平行 與 ___________________________________________________ ________
___
面面平行 與 ___________________________________________ _________
, ____
0
續(xù)表
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.( )
√
（2）若一條直線的方向向量與一個平面的法向量垂直,則該直線與平面平行. ( )
×
（3）若兩條不同的直線,的方向向量分別為, ,則
.( )
√
（4）若兩個平面平行,則這兩個平面的法向量一定平行.( )
√
探究點一 空間向量與平行關系
例1（1） 設直線的方向向量為，平面 的法向量為，若 ，則 ( )
D
A. B. C. D. 或
[解析] ， 或 .
（2）如圖，正方體的棱長為 ，
，分別為，的中點，則與平面 的
位置關系是( )
B
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定
[解析] 如圖所示，以為原點，，，
所在直線分別為軸,軸, 軸建立空間直角坐標系，
則，，， ，
，， .
易知是平面 的一個法向量，
而 ，
，又 平面，平面 .
（3）若直線的一個方向向量為，平面 的一個法向量為，則可能使
的是( )
C
A., B.,
C., D.,
[解析] 由題知，當時， 或 .
A選項中，；
B選項中， ；
C選項中， ；
D選項中， .
故選C.
變式（1） 已知直線的方向向量，平面 的法向量
.若 ，則 ___.
2
[解析] 因為直線的方向向量,平面 的法向量 ,且,
所以，則，解得 .
（2）若平面 的一個法向量為，平面 的一個法向量為
， ，則實數(shù) ___.
[解析] ，， 存在，使得 ，
得， .
［素養(yǎng)小結］
利用空間向量判斷立體幾何中的平行關系的解題思路.
（1）判斷兩直線平行：找到兩直線的方向向量,,判斷是否存在實數(shù) ,使得
.
（2）判斷線面平行:找到直線的方向向量和平面的法向量 ，判斷這兩個向量
是否垂直，即判斷 是否為0.
（3）判斷面面平行：找到兩個平面的法向量, ,判斷這兩個向量是否平行，即
判斷是否存在實數(shù) ,使得 .
探究點二 利用空間向量證明平行關系
例2 如圖所示,已知正方體的棱長為2,,分別是, 的
中點.
（1）求證：平面 ;
證明:如圖所示,以為原點，，， 所在直線分
別為軸，軸， 軸，建立空間直角坐標系,
則, ,,,, ,
則,, .
設是平面的法向量,則
即 取,則 .
因為,所以.又 平面,所以平面 .
（2）求證：平面平面 .
證明： 由（1）知,,.
設是平面 的法向量,
由,,得
取 ,則.
因為,所以平面平面 .
變式 如圖，已知點是正方形 所在平面外
一點，點，分別是和 上的點，且
.求證：直線 平面
.
，
與 共面，
平面，平面 .
［素養(yǎng)小結］
空間平行關系的解題策略
幾何法 向量法
線線 平行 對于直線,,和平面 , , （1）若,,則 ; （2）若 , ,則 ; （3）若 , ,,則 若直線, 的方向向量
共線,則
線面 平行 對于直線,和平面 , （1）若 ,, ,則 ; （2）若 , ,,則 若直線 的方向向量與
平面 的法向量垂直
且 ,則
幾何法 向量法
面面 平行 對于直線,和平面 , , （1）若 , , , ,且 ,則 ; （2）若 , ,則 若平面 , 的法向量
共線,則
續(xù)表
拓展 如圖，在直三棱柱中，， 為
的中點，，分別是棱，上的點，且 .
（1）求證：直線平面 .
證明：在直三棱柱中，連接 ，
，，是 的中點，
又為的中點，且 ，
四邊形是平行四邊形， ，
平面， 平面，平面 .
（2）若是正三角形，為的中點，能否在棱上找到一點 ，使得
平面 ？若存在，確定該點的位置；若不存在，請說明理由.
解：能在棱上找到一點，使得平面 .證明如下：
在直三棱柱中，， ，，
又，，，兩兩垂直，
以 為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
,,,，
則，,
又點 在棱上，設，，則 ，
.
設平面 的法向量為，則
取 ，得，平面，
，解得 ，
在棱上存在一點，且，使得平面 .
空間平行關系的向量表示
（1）線線平行
設不重合的兩直線,的方向向量分別為, ,則
且,使得,, .
（2）線面平行
設平面 外的直線的方向向量為,平面 的法向量為
,則 .
（3）面面平行
設不重合的兩平面 , 的法向量分別為, ,則
,使得,, .
注：零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量，這是因為直線的方向向
量與平面的法向量分別用來描述空間直線和平面的位置，而零向量的方向是任
意的，無法用零向量來描述空間直線與平面的位置.
例1 若直線的方向向量為，平面 的法向量為 ，則能使 的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由題意得，若 ，則 ，即.
對于A， ，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C， ，故C錯誤；
對于D， ，故D正確.
故選D.
例2 若平面 的一個法向量為，平面 的一個法向量為
，且 ，則 ____.
[解析] 因為 ，所以，所以，所以， ，
則 .
例3 如圖,在直三棱柱中,,,,,點 是
的中點.求證:平面 .
證明：由題得為直角三角形, .
所以,, 兩兩垂直.
如圖,以為坐標原點,直線,,所在直線分別為
軸，軸，軸建立空間直角坐標系,則, ,
,,, .
連接,設與的交點為,連接,則 ,, ,
所以,即 .
因為 平面, 平面 ,
所以平面 .
例4 如圖①,在平面內,四邊形、四邊形和四邊形 都是邊長
為2的正方形.將正方形，分別沿,折起,使與 重合于點
,直線過點且垂直于正方形所在的平面,點是直線 上的一個動點,且與
點位于平面同側,如圖②.設，當時,在線段 上是否
存在點,使平面平面 若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
解:由題知，，兩兩垂直，
以為原點,,,所在直線分別為 軸、軸、 軸,建立空間直角坐標系,
則,,,，, .
假設在線段上存在滿足題意的點,
設 ,則 ,
解得,, ,
即 ,
所以 .
設平面的法向量為,由題得, ,
由得,由得 ,
由得
令,則,所以 .
因為平面平面,， 平面， ,
所以，,
由題得，則 成立，
由，即,可得 ,
所以在線段上存在點,使平面平面,此時 .4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
【學習目標】
　　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.
　　2.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行的判定定理.
◆ 知識點　用空間向量描述空間線面的平行
關系
設不重合的直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線線 平行 l1與l2 l1∥l2 　　　　 λ∈R,u1=　
(續(xù)表)
平行關系 對應線面 圖形 滿足條件
線面平行 l1與α(l1 α) l1∥α 　　　　 u1·n1=　　　　
面面平行 α與β α∥β 　　　　 λ∈R,n1=　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反. (　 )
(2)若一條直線的方向向量與一個平面的法向量垂直,則該直線與平面平行. (　 )
(3)若兩條不同的直線l1,l2的方向向量分別為a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),則l1∥l2. (　 )
(4)若兩個平面平行,則這兩個平面的法向量一定平行. (　 )
◆ 探究點一　空間向量與平行關系
例1 (1)設直線l的方向向量為a,平面α的法向量為b,若a·b=0,則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
(2)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N分別為A1B,AC的中點,
則MN與平面BB1C1C的位置關系是 (　 )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能確定
(3)若直線l的一個方向向量為m,平面α的一個法向量為n,則可能使l∥α的是 (　 )
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)
C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D.m=(1,2,3),n=(1,0,1)
變式 (1)已知直線l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,則λ=　　　　.
(2)若平面α的一個法向量為m=,平面β的一個法向量為n=,α∥β,則實數(shù)z=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
利用空間向量判斷立體幾何中的平行關系的解題思路.
(1)判斷兩直線平行:找到兩直線的方向向量a,b,判斷是否存在實數(shù)λ,使得b=λa.
(2)判斷線面平行:找到直線的方向向量a和平面的法向量b,判斷這兩個向量是否垂直,即判斷a·b是否為0.
(3)判斷面面平行:找到兩個平面的法向量i,j,判斷這兩個向量是否平行,即判斷是否存在實數(shù)λ,使得i=λj.
◆ 探究點二　利用空間向量證明平行關系
例2 如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點.
(1)求證:FC1∥平面ADE;
(2)求證:平面ADE∥平面B1C1F.
變式 如圖,已知點P是正方形ABCD所在平面外一點,點M,N分別是PA和BD上的點,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求證:直線MN∥平面PBC.
[素養(yǎng)小結]
空間平行關系的解題策略
幾何法 向量法
線線 平行 對于直線l,m,n和平面α,β, (1)若l∥m,l∥n,則m∥n; (2)若l⊥α,m⊥α,則l∥m; (3)若l∥α,l β,α∩β=m,則l∥m 若直線l,m的方向向量共線,則l∥m
線面 平行 對于直線m,n和平面α, (1)若m⊥α,m⊥n,n α,則n∥α; (2)若m α,n α,m∥n,則m∥α 若直線l的方向向量與平面α的法向量垂直且l α,則l∥α
面面 平行 對于直線l,m和平面α,β, (1)若l α,m α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,則α∥β; (2)若l⊥α,l⊥β,則α∥β 若平面α,β的法向量共線,則α∥β
拓展 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F為B1C1的中點,D,E分別是棱BC,CC1上的點,且AD⊥BC.
(1)求證:直線A1F∥平面ADE.
(2)若△ABC是正三角形,E為C1C的中點,能否在棱B1B上找到一點N,使得A1N∥平面ADE 若存在,確定該點的位置;若不存在,請說明理由.4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的平行關系
一、選擇題
1.已知平面α和平面β不重合,α,β的法向量分別為m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.α∥β
B.α⊥β
C.α與β相交但不垂直
D.以上都不正確
2.已知直線l 平面α,若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則下列向量中能使l∥α的是 (　 )
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
3.若四邊形ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-5),則頂點D的坐標為 (　 )
A.(-1,13,-3) B.(2,3,1)
C.(-3,1,5) D.
4.在空間直角坐標系O-xyz中,點A(1,3,0),B(0,3,-1),則 (　 )
A.直線AB∥坐標平面xOy
B.直線AB⊥坐標平面xOy
C.直線AB∥坐標平面xOz
D.直線AB⊥坐標平面xOz
5.[2024·云南文山高二期中] 如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則M點的坐標為 (　 )
A.(1,1,1) B.
C. D.
6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點,點F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,則λ= (　 )
A. B. C. D.
7.(多選題)以下說法正確的是 (　 )
A.已知直線l的一個方向向量為a=(2,1,m),平面α的一個法向量為b=,若l∥α,則m=
B.若直線l的一個方向向量為a=(0,1,-1),平面α的一個法向量為n=(1,-1,-1),則l∥α
C.若兩個不同的平面α,β的一個法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),則α∥β
D.若平面α經過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一個法向量,則u=1,t=0
8.(多選題)如圖,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則直線MN∥平面ABC的是 (　 )
A B C D
二、填空題
9.已知平面α的一個法向量為n=(2,-1,0),直線l的一個方向向量為m=(t,-4,t+1),且l∥平面α,則t=　　　　.
10.直線a的一個方向向量為v,平面α的一個法向量為m,則“a∥α”是“v⊥m”的
　　　　　　　條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
11.若a=是平面α的一個法向量,且b=(-1,2,1),c=均與平面α平行,則向量a=　　　　　　.
12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B上的點,F是AC上的點,且A1E=2EB,CF=2AF,則EF與平面A1B1CD的位置關系為　　　　.
三、解答題
13.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD,B1C的中點,利用向量法求證:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
14.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,M分別是BC,AE的中點,AD=AA1=1,AB=2.試問在線段CD1上是否存在一點N,使MN∥平面ADD1A1 若存在,確定N的位置及直線BB1與平面DMN的交點F的位置,并求BF的長; 若不存在,請說明理由.
15.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=6,F是棱B1C1的中點,點E在棱BB1上,且=.若過點A,E,F的平面α與直線DD1交于點G,則= (　 )
A. B. C. D.
16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在面對角線A1D,CD1上分別取點M,N,使得平行于平面A1ACC1,則||的最小值為　　　　.

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