資源簡介

2025-2026學(xué)年重慶市巴蜀科學(xué)城中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若直線過點(diǎn)，，則此直線的傾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定，，，表示命中，表示不命中；再以三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：，據(jù)此估計，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. B. C. D.
3.已知直線：與直線：互相平行，則實(shí)數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
4.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在如圖分布形態(tài)中，，，分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直線與：相交于、兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為
A. B. C. 或 D. 或
6.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則的形狀為( )
A. 等腰或直角三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有( )
A. 條 B. 條 C. 條 D. 條
8.已知正四棱錐的所有棱長均為，點(diǎn)為正四棱錐的外接球球面上一動點(diǎn)，，則動點(diǎn)的軌跡長度為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識答題比賽，對參賽的名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是( )
A. 考生參賽成績的平均分約為分
B. 考生參賽成績的第百分位數(shù)約為分
C. 分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為
D. 用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，則成績在區(qū)間應(yīng)抽取人
10.在斜三角形中，角，，的對邊分別為，，若，則( )
A. 為銳角三角形 B. 若，則
C. 的最小值為 D.
11.已知點(diǎn)，為圓：上兩動點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線：上動點(diǎn)，則( )
A. 以，為直徑的圓與直線相離 B. 的最大值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.已知，則______．
13.已知非零向量與滿足，且，，點(diǎn)是的邊上的動點(diǎn)，則的最小值為______．
14.甲、乙兩人組成的“夢隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球和自主投籃兩個環(huán)節(jié)，其中任意一人在每個環(huán)節(jié)獲勝得分，失敗得分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響若甲在每個環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為的概率為，則的值為______，“夢隊(duì)”在比賽中得分不低于分的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知、、分別為內(nèi)角、、的對邊，．
求；
若的面積為，求的周長．
16.本小題分
在一次奧運(yùn)會男子乒乓球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽，決賽采取局勝制已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果互不影響．
求只需進(jìn)行四局比賽的概率；
已知前兩局比賽甲均告負(fù)，求甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍的概率．
17.本小題分
已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上．
求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的一般式方程；
點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．
18.本小題分
在中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．
求證：平面；
求與平面所成角的大小；
在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
19.本小題分
在平面四邊形中，，且．
中，設(shè)角、、的對邊分別為、、，若．
當(dāng)時，求的值；
當(dāng)時，求的最大值．
若，且，將沿翻折成，使得平面平面，在四面體中，任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為；任取兩個面，記它們互相垂直的概率為；任取一個面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為，試比較、、的大小．
參考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理及，知，
由余弦定理，知，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)榈拿娣e，所以，
由知，，
所以，
所以，
故的周長為．
16.設(shè)事件“甲第局都獲勝”，，，，，，，，
則，
只需進(jìn)行四局比賽包含兩種情況：
甲能勝四局：；乙連勝四局：，
設(shè)事件“只需進(jìn)行四局比賽”，則
；
設(shè)事件“前兩局比賽甲均告負(fù)，甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍”，
由于前兩局比賽甲均告負(fù)，所以接下來的比賽甲最多可以負(fù)一局，包含兩種情況：
甲接下來連勝四局：；
接下來五局比賽中甲勝負(fù)負(fù)的一局為第局中某一局：
，
所以
．
17.因?yàn)閳A心在軸上，
故可設(shè)圓心的坐標(biāo)為，
又圓與直線相切于點(diǎn)，記，則直線與直線垂直，
直線的斜率，可得直線的斜率，
即，解得，所以圓心，
圓的半徑，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，
由垂徑定理可得，
即，，，解得，
則直線的方程為，即，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離，
根據(jù)垂徑定理，滿足題意，
綜上，直線的一般式方程為或；
設(shè)，則，即，
的幾何意義是圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，即，
，
由圖形可得：的取值范圍是．
18.解：證明：因?yàn)樵谥校裕郑?br/>所以，，則折疊后，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，，且，都在面內(nèi)，
所以平面；
由，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可知，，故，
由幾何關(guān)系可知，，，，
故C，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
不妨令，則，，
所以，
設(shè)與平面所成角的大小為，
則有，
故，
即與平面所成角的大小為；
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面夾角余弦值為，
在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，
則
不妨令，則，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
不妨令，則，，
所以，
若平面與平面夾角余弦值為，
則滿足，
化簡得，
解得或，
即或，
故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面夾角余弦值為，此時的長度為或．
19.因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
當(dāng)時，，
；
當(dāng)時，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
故的最大值為；
由，，
由余弦定理得，
所以，則，，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又，平面，所以，，
所以在四面體中，任取兩條棱，共有種情況，其中相互垂直的棱有對：
，，，，，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以個面任選個面，共有種情況，其中相互垂直的面有對：
平面平面，平面平面，平面平面，
故，
任選個面和不在此面上的條棱，先從個平面任選個平面，共有種情況，
再從不在此面上的條棱中選條，有種情況，故共有種情況，其中滿足垂直關(guān)系的有種，
分別為平面和棱，平面和棱，故，
所以．
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