資源簡介

(共30張PPT)
§4 向量在立體幾何中的應用
4.3 用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時 用向量方法研究立體幾何中的度量關系（一）
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.能用向量方法解決異面直線的夾角、直線與平面的夾角問題.
2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
知識點一 兩條直線的夾角
1.當兩條直線與 相交時，我們把兩條直線交角中范圍在______內的角叫作兩
條直線的夾角.
當兩條直線平行時，規定它們的夾角為___；
當兩條直線與是異面直線時，在空間任取一點，過點作直線和 ，使得
，，把，的夾角叫作異面直線與 的夾角.
0
2.若向量,分別為直線,的方向向量，則直線與的夾角 ______，且
________________.
知識點二 直線與平面的夾角
1.平面的一條斜線和它在平面內的投影所成的______就是這條直線與這個平面
的夾角；
當一條直線與一個平面平行或在這個平面內時，規定這條直線與這個平面的夾
角為___；
當一條直線與一個平面垂直時，規定這條直線與這個平面的夾角為__.
銳角
0
2.直線與平面的夾角和直線與平面的垂線的夾角______；
設向量為直線的一個方向向量，是平面 的一個法向量，則直線與平面
的夾角 ______，且______ .
互余
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）異面直線的夾角與其方向向量的夾角相等.( )
×
（2）直線與平面的夾角等于直線與平面的垂線的夾角.( )
×
（3）直線與平面夾角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦
值.( )
×
探究點一 兩條直線的夾角
例1（1） 已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是 的中
點，則異面直線, 夾角的余弦值為_ __.
[解析] 記底面的中心為 ，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正四棱錐的棱長為2，則， ，
， ，，
，
異面直線， 夾角的余弦值為 .
（2）在正三棱柱中，若，則異面直線與 夾
角的大小為____.
[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系，設 ，
則，，， .
可得 ，
， ，
即異面直線與夾角的大小為 .
（3）在三棱柱中，為等邊三角形， 平面 ，
，，分別是，的中點，則直線與 的夾角的余弦值
為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如圖所示，取的中點D，以D為原點，
以 ，，所在直線分別為軸、軸、 軸，
建立空間直角坐標系，不妨設，
則， ，，，
所以 ， ，
所以 ，故選C.
變式 在正方體中，動點在體對角線 上，記
.
（1）求證： ；
證明：如圖，連接， .
由已知可得， 平面， 平面 ，
所以，又四邊形是正方形，所以 ，
又 平面， 平面， ，
所以 平面 ，
又動點在體對角線上，所以 平面，所以 平面 ，
所以 .
（2）若異面直線與的夾角為，求 的值.
解：以為坐標原點，分別以，，所在直線為，， 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
設，則，，， ，
則，， .
由 ，可得，設點，則 ，
所以所以即 ，
所以 ，
.
又異面直線與的夾角為，所以, ，
即 ，
整理可得，
因為，所以，即點位于點 處時，滿足條件.
［素養小結］
若與分別為,的方向向量，用向量法求異面直線的夾角 時，空間兩條
直線的夾角 與兩個方向向量的夾角相等或互補，則, .
探究點二 直線與平面的夾角
例2（1） 如圖所示，在四棱錐中， 底面 ，四邊形
為正方形，且，為的重心，則與底面 夾角
的余弦值為_ ____.
[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，， ，
所以，
因為平面 的一個法向量為，
所以，
即與平面 的一個法向量夾角的余弦值為，
所以 與底面夾角的余弦值為 .
（2）[2024·河南洛陽高二期末] 如圖，在正三棱柱 中，
，，為側棱上的點，且，點，分別為，
的中點.
①求異面直線與 夾角的余弦值；
解：取的中點，連接， ，
由正三棱柱的性質可知 平面，
又 ，所以 平面 .
因為為正三角形，為的中點，所以 .
可得，， 兩兩垂直，
以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，， ，
所以， .
因為 ，
所以異面直線與夾角的余弦值為 .
②求直線與平面 夾角的正弦值．
解：易知平面的一個法向量為 ，
則 .
設直線與平面的夾角為 ，
則 ，
即直線與平面夾角的正弦值為 .
變式 [2024·浙江杭州高二期中] 如圖，在三棱錐
中， 平面，點，分別是和 的
中點，設, ，直線與直線
的夾角為 .
（1）求 的長；
解：由題意可知， 平面，且 ，
如圖，以為坐標原點，以,,所在直線分別為,, 軸建立空間直角坐標系.
設，則,,,, ，
可得, ，
由題意可得，，
解得 ，所以 .
（2）求直線與平面 的夾角的正弦值.
解：由（1）可得，，
設平面 的法向量為，則
令，則 ,可得，
則 ，
所以直線與平面的夾角的正弦值為 .
［素養小結］
向量法求線面角的一般步驟:
（1）分析所給的位置關系,建立空間直角坐標系;
（2）求出直線的方向向量和平面的法向量 ;
（3）求出夾角 ;
（4）判斷直線和平面的夾角 和的關系,求出角 .
若直線,的方向向量分別為,,平面 的法向量為 ,則有
（1）線線角:若,的夾角為,則 ;
（2）線面角:若與 的夾角為,則 .
注意:空間兩條直線的夾角的取值范圍與空間兩個向量夾角的取值范圍不同：兩
條直線的夾角的取值范圍為,兩個向量夾角的取值范圍為 .
例1 [2024·湖南郴州高二期末]如圖，在正方體
中，，分別是棱， 的中點，則
直線與平面 的夾角為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 以為坐標原點，以，， 所在直線分
別為，， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1,則,,, .
設平面的法向量為，則
即可得，
又 ，設直線與平面的夾角為 ，
故可得,
故直線與平面 的夾角為 .故選B.
例2 四邊形是邊長為2的正方形，和都與平面 垂直，且
，則直線與平面 夾角的正弦值為_ __.
[解析] 如圖所示，建立空間直角坐標系，則，， ，
，，.
設是平面 的一個法向量，
則
令得 ，
又，則直線與平面夾角的正弦值為 .
例3 如圖，在正四面體中，為棱 的中點，
則與平面 的夾角的正弦值為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 作 平面于點，則是 的中心，連接.
以為坐標原點，所在直線為軸， 所在直線為軸建立空間直角坐標系，
如圖所示.
設 ，則，，， ，
，.
易知是平面 的一個法向量，
， ，
與平面的夾角的正弦值為 .4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
【課前預習】
知識點一
1.　0　2.　|cos|=
知識點二
1.銳角　0　　2.互余　　sin θ
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
【課中探究】
例1　(1)　(2)90°　(3)C
[解析] (1)記底面ABCD的中心為O,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正四棱錐的棱長為2,則A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,),E,∴=,=(-1,-1,-),設AE與SD的夾角為θ,則cos θ=|cos<,>|==,∴異面直線AE,SD夾角的余弦值為.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,設BB1=1,則A(0,0,1),B1,C1(0,,0),B.可得=,=,∴·=--1=0,∴⊥,即異面直線AB1與C1B夾角的大小為90°.
(3)如圖所示,取AC的中點D,以D為原點,以BD,DC,DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,不妨設AC=2,則A(0,-1,0),M(0,0,2),B(-,0,0),N,所以=(0,1,2),=,所以cos<,>====,故選C.
變式　解:(1)證明:如圖,連接BC1,AD1.
由已知可得,AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,又四邊形BCC1B1是正方形,所以B1C⊥BC1,
又BC1 平面ABC1D1,AB 平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,
又動點P在體對角線BD1上,所以P∈平面ABC1D1,所以AP 平面ABC1D1,
所以AP⊥B1C.
(2)以C為坐標原點,分別以CD,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設CD=1,則B(0,1,0),D1(1,0,1),B1(0,1,1),A(1,1,0),
則=(-1,1,-1),=(-1,1,0),||=.
由=λ,可得=λ,設點P(x0,y0,z0),則=(x0-1,y0,z0-1),
所以所以即P(-λ+1,λ,-λ+1),所以=(-λ,λ-1,-λ+1),
||==.
又異面直線AP與D1B1的夾角為,所以|cos<,>|=cos=,即|cos<,>|====,整理可得λ2=1,因為0≤λ≤1,所以λ=1,即點P位于點B處時,滿足條件.
例2　(1)　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G,=,因為平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,即與平面ABCD的一個法向量夾角的余弦值為-,所以PG與底面ABCD夾角的余弦值為=.
(2)解:①取A1B1的中點D,連接MD,MC,由正三棱柱的性質可知AA1⊥平面ABC,又AA1∥MD,
所以MD⊥平面ABC.
因為△ABC為正三角形,M為AB的中點,所以MC⊥AB.
可得MB,MC,MD兩兩垂直,
以M為原點,MB,MC,MD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則M(0,0,0),N,C1(0,,3),Q(-1,0,2),
所以=,=(1,,1).
因為cos<,>===,
所以異面直線MN與QC1夾角的余弦值為.
②易知平面AA1B1B的一個法向量為n=(0,1,0),
則cos<,n>===.
設直線MN與平面AA1B1B的夾角為θ,
則sin θ=|cos<,n>|=,
即直線MN與平面AA1B1B夾角的正弦值為.
變式　解:(1)由題意可知,SC⊥平面ABC,且∠ACB=90°,
如圖,以C為坐標原點,以AC,BC,SC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
設SC=2a,則A(1,0,0),C(0,0,0),S(0,0,2a),M(0,1,a),P(0,0,a),可得=(-1,1,a),=(0,0,2a),由題意可得,|cos<,>|=
==,解得a=,
所以SC=2a=.
(2)由(1)可得,=,=(0,1,0),=,設平面AMP的法向量為n=(x,y,z),則令x=,則y=0,z=,可得n=(,0,),則cos===,所以直線CM與平面AMP的夾角的正弦值為.4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
1.C　[解析] ∵異面直線a,b的一個方向向量分別是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),∴cos====-,∵異面直線a,b的夾角的取值范圍為,∴a,b的夾角是,故選C.
2.C　[解析] 依題意知x軸的一個方向向量為m=(1,0,0),設x軸與平面α的夾角為θ,則sin θ===,因為θ∈,所以θ=,故選C.
3.D　[解析] 設直三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為2,以A為原點,AC所在直線為y軸,AA1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A1(0,0,2),M(,1,1),B(,1,0),N(0,1,0), 則=(,1,-1),=(-,0,0).設異面直線A1M與BN的夾角為θ,則cos θ===,∴sin θ==,∴異面直線A1M與BN的夾角的正弦值為.故選D.
4.B　[解析] 如圖,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz,則D(0,0,0),C(0,3,0),B(2,3,0),F(0,1,2),∴=(0,3,0),=(-2,-2,2),∴cos<,>===-,∴異面直線CD與BF夾角的余弦值為.故選B.
5.A　[解析] 以A為原點,以AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,則=(0,0,-2),=,=.設平面DEF的法向量為n=(x,y,z),則得取z=1,則n=(2,0,1).設直線PA與平面DEF的夾角為θ,則
sin θ=|cos|==,故直線PA與平面DEF的夾角的正弦值為.故選A.
6.C　[解析] 取CD的中點M,連接AM,AC,因為四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以△ABC,△ADC均為等邊三角形,又因為M是CD的中點,所以AM⊥CD,又因為AB∥CD,所以AM⊥AB,以A為坐標原點,以AB,AM,AS所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設AB=SA=1,則A(0,0,0),S(0,0,1),E,C,D,設m=,則m=,所以F,所以=,又=,所以|cos<,>|===,化簡可得16m2-8m+1=0,所以m=,所以=,所以=4,所以λ=4.故選C.
7.BC　[解析] 如圖,以A為坐標原點建立空間直角坐標系,設AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),D(0,1,2),E(1,0,1).對于選項A,=(1,-1,-1),=(-2,2,-2),因為=≠,所以與不平行,所以DE與B1C不平行,故A錯誤;對于選項B,=(2,0,-2),=(-2,2,0),設平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則y=z=1,可得n=(1,1,1),則cos===-,所以直線DE與平面A1BC的夾角的正弦值為,故B正確;對于選項C,平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),則cos===,所以平面A1BC與平面ABC的夾角的余弦值為,故C正確;對于選項D,因為=(0,0,2),所以cos<,>===-,則直線DE與AA1的夾角的余弦值為,所以直線DE與AA1的夾角不為,故D錯誤.故選BC.
8.AB　[解析] 對于A選項,==··B1C1=××2×1×2=,為定值,故A正確.對于B選項,因為EF∥C1D1,所以∠B1D1C1為異面直線B1D1與EF的夾角,因為∠B1D1C1=45°,所以異面直線B1D1與EF的夾角為45°,故B正確.如圖,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz,則A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),對于D選項,連接A1D,B1C,易知平面B1EF即平面A1B1CD,可得=(-2,-2,0),=(0,2,0),=(2,0,2),設平面A1B1CD的法向量為n=(x,y,z),則即取x=1,得n=(1,0,-1),設直線B1D1與平面B1EF的夾角為θ,則sin θ=|cos<,n>|==,所以θ=30°,故D錯誤.對于C選項,由D選項可知直線B1D1與平面B1EF的夾角為30°,故C錯誤.故選AB.
9.　[解析] 以A為原點,以AB,AA1所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設D為A1B1的中點,連接AD,則A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),∴=(1,,2),=(1,0,2).易知∠C1AD為直線AC1與側面ABB1A1的夾角,
則cos∠C1AD==,∴∠C1AD=.
10.　[解析] 如圖所示,分別取BC,B1C1的中點O,O1,連接OO1,AO,由正三棱柱的性質可得AO,BO,OO1兩兩垂直,建立空間直角坐標系O-xyz.∵三棱柱的棱長都為1,∴A,B,B1,C1,∴=,=(0,-1,1),∴cos<,>===,∴異面直線AB1與C1B夾角的余弦值為.
11.　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,因為AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1),所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0).設平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則即令x=2,得y=1,z=2,則n=(2,1,2).設D1C1與平面A1BC1的夾角為θ,則sin θ=|cos<,n>|===,即D1C1與平面A1BC1夾角的正弦值為.
12.　[解析] 以點D為原點,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖所示,所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,3,0),B1(2,3,2),D1(0,0,2),故=(2,3,0),=(0,3,2),=(-2,0,2).設=λ=(2λ,3λ,0)(0≤λ≤1),則P(2λ,3λ,0),所以=(2λ-2,3λ,0).設平面AB1D1的法向量為n=(x,y,z),則可得取z=3,則n=(3,-2,3).設直線AP與平面AB1D1的夾角為θ,則sin θ=|cos<,n>|==,當λ=時,直線AP與平面AB1D1夾角的正弦值取得最大值,此時=.
13.解:(1)證明:連接BD,交AC于O,連接PO,如圖所示,
因為底面ABCD為正方形,
所以AC⊥BD,
因為PB⊥平面ABCD,
AC 平面ABCD,
所以AC⊥PB,
因為BD∩PB=B,BD,
PB 平面PBD,
所以AC⊥平面PBD,
又PD 平面PBD,
所以AC⊥PD.
(2)因為底面ABCD為正方形,
且PB⊥平面ABCD,
所以BA,BC,BP兩兩垂直,則以B為原點,建立空間直角坐標系B-xyz,如圖所示,
所以C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1),
所以=(1,0,0),=(0,1,-2),=(-1,-1,1).
設平面PCD的法向量為n=(x,y,z),
則即
令z=1,則n=(0,2,1).
設直線DE與平面PCD的夾角為α,
則sin α=|cos|=
==,
即直線DE與平面PCD夾角的正弦值為.
14.解:(1)證明:如圖,以A為原點,以AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,則M(0,0,1),B(2,0,0),C(0,4,0),N(1,2,0),D(0,0,2),E(0,2,2),
則=(1,2,-1),=(2,0,-2),=(0,2,0).
設平面BDE的法向量為n=(x,y,z),
則取x=1,得n=(1,0,1).
∵·n=0,∴MN∥平面BDE.
(2)設AH=t,且t∈[0,4],則H(0,0,t),由(1)知=(-1,-2,t),=(-2,2,2),
則|cos<,>|===,整理得4t2-9t+2=0,
解得t=或t=2,所以線段AH的長為或2.
15.　[解析] 連接OP,由題可得MO⊥☉O所在的平面,則∠MPO即為MP與底面的夾角,如圖,以O為原點,OB,OS所在直線分別為y,z軸,在圓O所在平面內,過O且垂直于AB的直線為x軸,建立空間直角坐標系,則A(0,-1,0),M,設P(x,y,0),x2+y2≤1,則=,=.由AM⊥MP,得·=0,即y=,則0≤x2≤1-y2=,故OP==∈.由于PM2=OM2+OP2,則PM∈,所以MP與底面夾角的正弦值為=∈.
16.解:(1)證明:在直角梯形ABCD中,因為BC=AD,且E為AD的中點,所以BC=DE,又BC∥AD,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE∥CD,又CD 平面PCD,BE 平面PCD,所以BE∥平面PCD,
又BE 平面BEGF,平面BEGF∩平面PCD=GF,所以BE∥GF.因為∠ADC=90°,BE∥CD,所以BE⊥AD,
因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BE 平面ABCD,
所以BE⊥平面PAD,所以GF⊥平面PAD,
又PA 平面PAD,所以GF⊥PA.
(2)連接PE,由PA=PD=,E為AD的中點,得PE⊥AD,由(1)可得,BE⊥PE,BE⊥AD,以E為坐標原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,則P(0,0,1),B(0,1,0),E(0,0,0),D(-1,0,0),則=(0,1,-1),=(0,-1,0),=(1,0,1).設=λ(0≤λ≤1),可得G(λ-1,0,λ),則=(λ-1,0,λ).假設存在點G滿足題意.設平面BEGF的法向量為n=(x,y,z),則即令x=λ,得n=(λ,0,1-λ).設直線PB與平面BEGF的夾角為α,則sin α=|cos|===,解得λ=或λ=-1(舍去),所以存在點G,使得直線PB與平面BEGF夾角的正弦值為.4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
【學習目標】
　　1.能用向量方法解決異面直線的夾角、直線與平面的夾角問題.
　　2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
◆ 知識點一　兩條直線的夾角
1.當兩條直線a與b相交時,我們把兩條直線交角中范圍在　　　　內的角叫作兩條直線的夾角.
當兩條直線平行時,規定它們的夾角為　　　;
當兩條直線a與b是異面直線時,在空間任取一點O,過點O作直線a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'的夾角叫作異面直線a與b的夾角.
2.若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b的夾角θ∈ 　　　　,
且cos θ=　　　　　　　　.
◆ 知識點二　直線與平面的夾角
1.平面的一條斜線和它在平面內的投影所成的　　　　就是這條直線與這個平面的夾角;
當一條直線與一個平面平行或在這個平面內時,規定這條直線與這個平面的夾角為　　　　;
當一條直線與一個平面垂直時,規定這條直線與這個平面的夾角為　　　　.
2.直線與平面的夾角和直線與平面的垂線的夾角　　　　;
設向量l為直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,則直線l與平面α的夾角θ∈　　　　,且　　　　=|cos|=.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)異面直線的夾角與其方向向量的夾角相等. (　 )
(2)直線與平面的夾角等于直線與平面的垂線的夾角. (　 )
(3)直線與平面夾角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值. (　 )
◆ 探究點一　兩條直線的夾角
例1 (1)已知正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長都相等,E是SB的中點,則異面直線AE,SD夾角的余弦值為　　　　.
(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,則異面直線AB1與C1B夾角的大小為　　　　.
(3)在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等邊三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=AB,N,M分別是A1B1,A1C1的中點,則直線AM與BN的夾角的余弦值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
變式 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,動點P在體對角線BD1上,記=λ(0≤λ≤1).
(1)求證:AP⊥B1C;
(2)若異面直線AP與D1B1的夾角為,求λ的值.
[素養小結]
若與分別為a,b的方向向量,用向量法求異面直線的夾角θ時,空間兩條直線的夾角θ與兩個方向向量的夾角相等或互補,則cos θ=,θ∈.
◆ 探究點二　直線與平面的夾角
例2 (1)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且PD=AB=1,G為△ABC的重心,則PG與底面ABCD夾角的余弦值為　　　　.
(2)[2024·河南洛陽高二期末] 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=3,AB=2,Q為側棱AA1上的點,且AQ=2,點M,N分別為AB,A1C1的中點.
①求異面直線MN與QC1夾角的余弦值;
②求直線MN與平面AA1B1B夾角的正弦值.
變式 [2024·浙江杭州高二期中] 如圖,在三棱錐S-ABC中,SC⊥平面ABC,點P,M分別是SC和SB的中點,設PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC的夾角為60°.
(1)求SC的長;
(2)求直線CM與平面AMP的夾角的正弦值.
[素養小結]
向量法求線面角的一般步驟:
(1)分析所給的位置關系,建立空間直角坐標系;
(2)求出直線的方向向量s和平面的法向量n;
(3)求出夾角;
(4)判斷直線和平面的夾角θ和的關系,求出角θ.4.3　用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第1課時　用向量方法研究立體幾何中的度量關系(一)
一、選擇題
1.已知異面直線a,b的一個方向向量分別是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),則a,b的夾角是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.在空間直角坐標系中,已知平面α的一個法向量為n=(1,-1,0),則x軸與平面α夾角的大小為 (　 )
A. B.
C. D.
3.在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中點,N是AC的中點,則異面直線A1M與BN的夾角的正弦值為 (　 )
A. B.1
C. D.
4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,點F在棱C1D1上,且D1F=1,則異面直線CD與BF夾角的余弦值為 (　 )
A. B.
C. D.
5.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF的夾角的正弦值為 (　 )
A. B. 　C.- D.-
6.在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,SA=AB,E是BC的中點,F是棱SD上一點(不含端點),滿足=λ.若異面直線AE與CF的夾角的余弦值為,則λ的值為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.(多選題)[2024·安徽黃山高二期中] 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°,D,E分別為A1C1,A1B的中點,則下列結論正確的是 (　 )
A.DE∥B1C
B.直線DE與平面A1BC的夾角的正弦值為
C.平面A1BC與平面ABC的夾角的余弦值為
D.直線DE與AA1的夾角為
8.(多選題)如圖所示,設E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD上的兩點,且AB=2,EF=1,則下列說法正確的是 (　 )
A.三棱錐D1-B1EF的體積為定值
B.異面直線B1D1與EF的夾角為45°
C.B1D1⊥平面B1EF
D.直線B1D1與平面B1EF的夾角為45°
二、填空題
9.如圖,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為2,則直線AC1與側面ABB1A1的夾角為　　　　.
10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為1,則AB1與C1B夾角的余弦值為　　　　.
11.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1夾角的正弦值為　　　　.
12.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,P為線段BD上的動點,當直線AP與平面AB1D1夾角的正弦值取最大值時,=　　　　.
三、解答題
13.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PB⊥平面ABCD,E為線段PB的中點.
(1)證明:AC⊥PD;
(2)若PB=2AB=2,求直線DE與平面PCD夾角的正弦值.
14.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE.
(2)若點H在棱PA上,且直線NH與直線BE的夾角的余弦值為,求線段AH的長.
15.如圖,圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形,O為底面圓的圓心,M為SO的中點,動點P在圓錐底面內(包括圓周),若AM⊥MP,則MP與底面夾角的正弦值的取值范圍是　　　　　　.
16.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,E為AD的中點,過BE的平面與PD,PC分別交于點G,F.
(1)求證:GF⊥PA.
(2)若PA=PD=,則棱PD上是否存在點G,使得直線PB與平面BEGF夾角的正弦值為 若存在,請確定點G的位置;若不存在,請說明理由.

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