資源簡介

第3課時　空間中的距離問題
【學習目標】
　　1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.
　　2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
◆ 知識點一　點到平面的距離
1.點到平面的距離
點P到平面α的距離,等于點P與平面α內任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度,即d=　　　　.
2.直線到平面的距離和平面到平面的距離
(1)若一條直線平行一個平面,則該直線到這個平面的距離等于該直線上　　　　到這個平面的距離.
(2)若兩個平面平行,則這兩個平面間的距離等于其中一個平面上　　　　到另一個平面的距離,即線面距和面面距均可轉化為點面距.
3.用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟:
(1)確定平面的一個法向量;(2)選擇參考向量(已知點與平面內任意一點連線所得向量);(3)確定參考向量在法向量方向上的投影向量;(4)求投影向量的長度.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面α外一點A到平面α的距離,就是點A與平面α內一點B所成向量的長度. (　 )
(2)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離. (　 )
(3)若平面α∥平面β,則兩平面α,β間的距離可轉化為平面α內某條直線到平面β的距離,也可轉化為平面α內某點到平面β的距離. (　 )
◆ 知識點二　點到直線的距離
若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為d=.
【診斷分析】 1.如何求兩條相互平行的直線之間的距離
2.與已知直線的距離等于1的點的軌跡是什么圖形
◆ 探究點一　點到平面的距離
例1 如圖所示,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,求點B到平面CMN的距離.
變式 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E為BB1的中點,AB=CC1=2BC=2.
(1)求異面直線AE與CC1的夾角的余弦值;
(2)求點C到平面AEC1的距離.
[素養小結]
求點到平面的距離的主要方法:
(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.
(2)在三棱錐中用等體積法求解.
(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點,MA為過點A的斜線段).
◆ 探究點二　直線到平面的距離、平面與平面的距離
例2 (1)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則平面AB1D1與平面BDC1的距離為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a B.a
C.a D.a
(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱A1B1的中點,F為棱AB的中點,求直線FC到平面AEC1的距離.
[素養小結]
(1)求線面(線與面平行)距離可以轉化為求直線上任意一點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.
(2)求兩個平行平面的距離可以轉化為求點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.
◆ 探究點三　點到直線的距離
例3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,則點C1到直線CE的距離為　　　　.
變式 [2024·山西朔州高二期中] 如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,點O是CD的中點,求棱PB上的動點E到直線AO的距離的最小值.
[素養小結]
用向量法求點到直線的距離的一般步驟:
(1)建立空間直角坐標系;
(2)求直線的方向向量;
(3)計算所求點與直線上某一點所構成的向量的長度,及該向量在直線方向向量方向上的投影數量;
(4)利用勾股定理求距離.
另外,要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.第3課時　空間中的距離問題
一、選擇題
1.兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(1,2,3),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.3
2.已知A(0,0,1),B(3,0,0),C(0,2,0),則原點O到平面ABC的距離是 (　 )
A. B.
C.1 D.
3.已知直線l過定點A(2,3,1),且其一個方向向量為s=(0,1,1),則點P(4,3,2)到直線l的距離為 (　 )
A. B.
C. D.
4.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為 (　 )
A. B. C. D.
5.已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分別是A1B1,AD,CC1的中點,則直線AC到平面EMN的距離為 (　 )
A. B. C. D.
6.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,點P在側面A1ABB1上.若點P到直線AA1和CD的距離相等,則A1P的最小值是 (　 )
A. B. C.2 D.
7.(多選題)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為DD1的中點,F為BB1的中點,則 (　 )
A.點A1到直線B1E的距離為
B.直線AE到直線FC1的距離為2
C.點B到平面AB1E的距離為
D.直線FC1到平面AB1E的距離為
8.(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點E,O分別是A1B1,A1C1的中點,P在正方體內部且滿足=++,則下列說法正確的是 (　 )
A.點A到直線BE的距離是
B.點O到平面ABC1D1的距離為
C.平面A1BD與平面B1CD1間的距離為
D.點P到直線AB的距離為
二、填空題
9.已知點P(5,3,6),直線l過點A(2,3,1),且l的一個方向向量為l=(1,0,-1),則點P到直線l的距離為　　　　.
10.在正四棱錐P-ABCD中,=(1,-1,4),=(3,-2,2),則該正四棱錐的體積為　　　　.
11.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內,若點P(-2,1,4)到平面α的距離為,則x=　　　　.
12.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中, E為BC的中點,點P在線段D1E上,則點P到直線 CC1的距離的最小值為　　　　.
三、解答題
13.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E為BB1的中點.
(1)求點D到平面AD1E的距離;
(2)求直線BC1到平面AD1E的距離.
14.如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BC的中點,F為棱CD的中點.
(1)求證:D1F∥平面A1EC1;
(2)求直線D1F到平面A1EC1的距離.
15.定義:和兩條異面直線都垂直相交的直線叫作兩條異面直線的公垂線,公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段,叫作這兩條異面直線的公垂線段,兩條異面直線的公垂線段的長度,叫作這兩條異面直線的距離.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AC與BC1之間的距離是 (　 )
A. B. C. D.
16.在空間直角坐標系中,定義:平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時為零),點P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=.則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中,底面中心O到側面的距離為　　　　. (共35張PPT)
§4 向量在立體幾何中的應用
4.3 用向量方法研究立體幾何中的度量關系
第3課時 空間中的距離問題
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的
平面的距離問題.
2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
知識點一 點到平面的距離
1.點到平面的距離
點到平面 的距離，等于點與平面 內任意一點連線所得向量 ，在平面
的單位法向量方向上所作投影向量的長度，即 _________.
2.直線到平面的距離和平面到平面的距離
（1）若一條直線平行一個平面，則該直線到這個平面的距離等于該直線上
__________到這個平面的距離.
（2）若兩個平面平行，則這兩個平面間的距離等于其中一個平面上________
___到另一個平面的距離，即線面距和面面距均可轉化為點面距.
任意一點
任意一點
3.用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟：
（1）確定平面的一個法向量；（2）選擇參考向量（已知點與平面內任意一點
連線所得向量）；（3）確定參考向量在法向量方向上的投影向量；（4）求投
影向量的長度.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）平面 外一點到平面 的距離,就是點與平面 內一點所成向量 的
長度.( )
×
（2）若直線平面 ,則直線到平面 的距離就是直線上的點到平面 的距
離.( )
√
（3）若平面平面 ,則兩平面 , 間的距離可轉化為平面 內某條直線到
平面 的距離,也可轉化為平面 內某點到平面 的距離.( )
√
知識點二 點到直線的距離
若點是直線外一點，是直線的單位方向向量，點是直線 上任意一點，則
點到直線的距離為 .
【診斷分析】1 如何求兩條相互平行的直線之間的距離？
解:可以將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.與已知直線的距離等于1的點的軌跡是什么圖形？
解:以該直線為軸，與直線距離為1的直線旋轉而成的圓柱面.
探究點一 點到平面的距離
例1 如圖所示，在三棱錐中， 是邊長為4的正三角形，平面
平面，，，分別為，的中點，求點 到
平面 的距離.
解：取的中點，連接， .
，，，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 .
又 平面， .
又為正三角形，為的中點， .
如圖所示，以為原點，以，，所在直線分別為軸，
軸，軸建立空間直角坐標系，
則 ，，，，
，
，， .
設為平面 的法向量，則
取 ，則，，可得 ，
點到平面的距離 .
變式 如圖，在直三棱柱中，，為 的中點，
.
（1）求異面直線與 的夾角的余弦值；
解：由題意可得，，又 ，
所以以為坐標原點，以，， 所在直線分別為
，， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
由，，可得 ，
則有，， ，
所以， ，
所以，
所以異面直線與 的夾角的余弦值為 .
（2）求點到平面 的距離.
解：設平面的法向量為，
由（1）知 ，，
則 取，可得,,，
又 ，則點到平面的距離 .
［素養小結］
求點到平面的距離的主要方法：
（1）作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.
（2）在三棱錐中用等體積法求解.
（3）向量法：（為平面的法向量，為平面上一點，為過點 的
斜線段）.
探究點二 直線到平面的距離、平面與平面的距離
例2（1） 已知正方體的棱長為，則平面與平面
的距離為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 以D為坐標原點，，， 所在直線分別
為軸、軸、 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
易證平面平面，
且平面 的一個法向量為，
由 ，，得，
則平面 與平面的距離 .
（2）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點， 為
棱的中點，求直線到平面 的距離.
解：以為原點，，，所在直線分別為 軸、
軸、軸建立空間直角坐標系（如圖所示），
則 ，，，， ，
，， ，
.， ，
平面， 平面，平面，
直線到平面 的距離即為點到平面的距離.
，
又,,，
點到平面 的距離為 .
［素養小結］
（1）求線面（線與面平行）距離可以轉化為求直線上任意一點到平面的距離,
利用求點到平面的距離的方法求解即可.
（2）求兩個平行平面的距離可以轉化為求點到平面的距離,利用求點到平面的
距離的方法求解即可.
探究點三 點到直線的距離
例3 在棱長為1的正方體中，為的中點，則點 到直
線 的距離為_ __.
[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 ，，，
所以 ，，
所以在 方向上的投影數量為，
所以點到直線 的距離 .
變式 [2024·山西朔州高二期中] 如圖，在四棱錐中，平面
平面，底面是矩形，，，，點
是的中點，求棱上的動點到直線 的距離的最小值.
解：取的中點，連接，， ，
因為，為的中點，所以 ，
又平面 平面，平面 平面 ，
平面，所以 平面，
因為 平面，所以，
又底面 是矩形，所以.
以為原點，以，， 所在直線分別為，， 軸
建立空間直角坐標系，如圖所示.
由，，，得，
所以， ，，則.
設，則 ，
則， ，
，
因此點到直線 的距離
，
故當 時，取得最小值，即棱上的動點到直線的距離的最小值為 .
［素養小結］
用向量法求點到直線的距離的一般步驟:
（1）建立空間直角坐標系;
（2）求直線的方向向量;
（3）計算所求點與直線上某一點所構成的向量的長度，及該向量在直線方向向
量方向上的投影數量;
（4）利用勾股定理求距離.
另外,要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
1.四種類型的距離求法
距離類型 求解（轉化）方法
點到直線 的距離 已知直線外一點,直線過點,直線的單位方向向量為,設 ,
則點到直線的距離
點到平面 的距離 已知平面 外一點,為平面 上一點,且 的一個法向量為 ,則點
到平面 的距離
線面距離 線面距離可以轉化為點面距離求解
面面距離 面面距離可以轉化為點面距離求解
2.用空間向量解決立體幾何問題可以用兩種方法
（1）向量法:可具體表示為“設基——巧運算——譯結果”,其中設不共面的三個
向量為基,并把相關向量用基表示出來是關鍵.
（2）坐標法:可具體表示為“建系設點——巧運算——譯結果”,其中建立適當的
空間直角坐標系,并確定相關點的坐標是關鍵.
例1 正方體的棱長為1，，分別為， 的中點，試
求點到平面 的距離.
解：連接，以為原點，，，所在直線分別為
軸、軸、 軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，， ，
， .
設平面的法向量為 ，則即
取，得 .
又 ， 點到平面的距離 .
例2 如圖，在四棱錐中，底面 是矩形，
，為棱的中點，且 ，
，若點到平面的距離為,則實數 的值為 __．
[解析] 過點作，交于點，
， 為的中點，，
又 ，且，， 平面，
平面， 平面，，
則易得 ，，兩兩垂直.
以為原點，，， 所在直線分別為，， 軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
，為的中點，，
則， ，，，
,, ,
又，.
設平面 的法向量為，則
令，則
點到平面的距離,，得 .
例3 如圖，在正方體中，為
的中點.
（1）求證：平面 ；
證明：， ，
四邊形為平行四邊形， ，
平面， 平面 ，
平面 .
（2）求直線到平面 的距離.
解：如圖建立空間直角坐標系 ，
設正方體的棱長為2，
則，，， ，
可得，， .
平面，
直線到平面 的距離即為點到平面 的距離.
設平面的法向量為 ，
則取，得 .
點到平面的距離 ，
直線到平面的距離為 .第3課時　空間中的距離問題
【課前預習】
知識點一
1.|·n0|
2.(1)任意一點　(2)任意一點
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)√
知識點二
診斷分析
1.解:可以將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.解:以該直線為軸,與直線距離為1的直線旋轉而成的圓柱面.
【課中探究】
例1　解:取AC的中點O,連接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC,∴SO⊥BO.
又∵△ABC為正三角形,O為AC的中點,∴AO⊥BO.
如圖所示,以O為原點,以OA,OB,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,),
∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).
設n=(x,y,z)為平面CMN的法向量,
則取z=1,
則x=,y=-,可得n=(,-,1),
∴點B到平面CMN的距離d==.
變式　解:(1)由題意可得CC1⊥CA,CC1⊥CB,又AC⊥BC,所以以C為坐標原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC=,則有A(,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),所以=(-,1,1),=(0,0,2),所以cos<,>==,所以異面直線AE與CC1的夾角的余弦值為.
(2)設平面AEC1的法向量為m=(x,y,z),由(1)知=(-,1,1),=(-,0,2),則
取x=2,可得m=(2,,),又=(,0,0),
則點C到平面AEC1的距離d==.
例2　(1)D　[解析] 以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,易證平面AB1D1∥平面BDC1,且平面AB1D1的一個法向量為n=(1,-1,1),由A(a,0,0),B(a,a,0),得=(0,-a,0),則平面AB1D1與平面BDC1的距離d===a.
(2)解:以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖所示),則A(1,0,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,∴=,=,=,=.∵==,∴FC∥EC1,∵FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴直線FC到平面AEC1的距離即為點F到平面AEC1的距離.設平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則∴取z=1,則x=1,y=2,∴n=(1,2,1),又=,∴點F到平面AEC1的距離為==.
例3　　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以在方向上的投影數量為==-,所以點C1到直線EC的距離d===.
變式　解:取AB的中點O',連接PO,OO',AE,因為PC=PD,O為CD的中點,所以PO⊥CD,又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,PO 平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,因為OO' 平面ABCD,所以PO⊥OO',又底面ABCD是矩形,所以OO'⊥CD.以O為原點,以OO',OC,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3,所以A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3),則=(-3,3,0).設=λ(0≤λ≤1),則E(3-3λ,3-3λ,3λ),則=(-3λ,6-3λ,3λ),||=,==
==3,因此點E到直線AO的距離d===,故當λ=時,d取得最小值,即棱PB上的動點E到直線AO的距離的最小值為.第3課時　空間中的距離問題
1.A　[解析] ∵兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(1,2,3),∴=(1,2,3),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),∴兩平面間的距離d===.故選A.
2.B　[解析] 由題知,=(3,0,-1),=(0,2,-1),設m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,∴令y=1,則m=.易知=(0,0,1),設原點到平面ABC的距離為d,則d===,故選B.
3.A　[解析] 因為A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1),||=,則=,所以點P到直線l的距離d==,故選A.
4.B　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0).設平面A1C1D的法向量為m=(x,y,z),則即取z=1,則m=(1,1,1).易知平面AB1C∥平面A1C1D,所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d==.
5.B　[解析] 如圖,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1),所以=(1,1,2),=(-1,2,1),=(-2,2,0).設平面EMN的法向量為m=(x,y,z),則令x=1,可得y=1,z=-1,所以m=(1,1,-1).因為·m=-2×1+2×1-1×0=0,所以⊥m,又AC 平面EMN,所以AC∥平面EMN,故點A到平面EMN的距離即為直線AC到平面EMN的距離,又=(1,0,0),所以點A到平面EMN的距離為==,即直線AC到平面EMN的距離為.故選B.
6.B　[解析] 以D為坐標原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設P(1,m,n),其中m,n∈[0,2],A1(1,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0),則點P到直線AA1的距離為m,點P(1,m,n)到直線CD的距離為=
=,故m=,則||===,因為n∈[0,2],所以當n=1,m=時,A1P取得最小值,最小值為.故選B.
7.AD　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(0,0,1),F(2,2,1),C1(0,2,2),A(2,0,0),B(2,2,0).易知=(-2,-2,-1),=(0,2,0),設u1==,則·u1=-,所以點A1到直線B1E的距離為==,故A正確;因為=(-2,0,1),=(-2,0,1),所以∥,即AE∥FC1,所以點F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離,設u2==,又=(0,2,1),則=5,·u2=,所以直線FC1到直線AE的距離為=,故B錯誤;設平面AB1E的一個法向量為n=(x,y,z),易知=(0,2,2),=(-2,0,1),=(0,-2,0),由令z=2,則y=-2,x=1,即n=(1,-2,2),設點B到平面AB1E的距離為d,則d==,即點B到平面AB1E的距離為,故C錯誤;因為AE∥FC1,FC1 平面AB1E,AE 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直線FC1到平面AB1E的距離等于點C1到平面AB1E的距離,易知=(2,0,0),由C選項得平面AB1E的一個法向量為n=(1,-2,2),所以點C1到平面AB1E的距離為=,所以直線FC1到平面AB1E的距離為,故D正確.故選AD.
8.BC　[解析] 如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,所以=(-1,0,0),=.設∠ABE=θ,則cos θ==,sin θ==,故點A到直線BE的距離d1=||sin θ=1×=,故A錯誤.易知=,平面ABC1D1的一個法向量為=(0,-1,1),則點O到平面ABC1D1的距離d2===,故B正確.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以點D1到平面A1BD的距離d3===,因為平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離,所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為,故C正確.因為=++,所以=,又=(1,0,0),所以=,所以點P到直線AB的距離d4===,故D錯誤.故選BC.
9.4　[解析] 由題知=(3,0,5),∴|cos<,l>|===,故sin<,l>=,∴P到直線l的距離為||·sin<,l>=×=4.
10.24　[解析] ∵在正四棱錐P-ABCD中,=(1,-1,4),=(3,-2,2),∴AB=||==3,AP=||==5,∴正方形ABCD對角線長的一半為×3×=3,∴該正四棱錐的高為=4,∴該正四棱錐的體積為×3×3×4=24.
11.-1或-11　[解析] 由題意得=(x+2,2,-4),則點P到平面α的距離d==,即=,解得x=-1或-11.
12.　[解析] 點P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1的距離.以點D為原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.則D1(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),∴=(1,2,-2),=(0,0,2).設n=(x,y,z),n⊥,n⊥,則取y=-1,則x=2,z=0,即n=(2,-1,0),又=(1,0,0),∴異面直線D1E與CC1的距離d==.
13.解:(1)以D為原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖,則A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1), 所以=(0,2,1),=(-2,0,2).設平面AD1E的一個法向量為n=(x,y,z),則令z=2,得x=2,y=-1,所以平面AD1E的一個法向量為n=(2,-1,2),又 =(0,0,2), 所以點D到平面AD1E的距離d===.
(2)由(1)可得平面AD1E的一個法向量為n=(2,-1,2),因為B(2,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,0,2),所以·n=2×(-2)+(-1)×0+2×2=0,所以⊥n,所以BC1∥平面AD1E,所以直線BC1到平面AD1E的距離可以轉化為點B到平面AD1E的距離.因為=(0,2,0),所以直線BC1到平面AD1E的距離d1===.
14.解:(1)證明:以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,可得D1(0,2,2),F(1,2,0),A1(0,0,2),E(2,1,0),C1(2,2,2),則=(1,0,-2),=(2,1,-2),=(2,2,0).設平面A1EC1的法向量為n=(x,y,z),
則取x=2,則n=(2,-2,1).易知·n=0,又D1F 平面A1EC1,所以D1F∥平面A1EC1.
(2)結合(1)可知直線D1F到平面A1EC1的距離等于點D1到平面A1EC1的距離.可得=(2,0,0),所以點D1到平面A1EC1的距離d==,所以直線D1F到平面A1EC1的距離為.
15.B　[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),所以=(-1,1,0),=(0,1,0),=(-1,0,1).設=λ,=μ,0≤λ≤1,0≤μ≤1,連接MN,所以=++=-++=-λ++μ=(λ-μ,1-λ,μ).設⊥且⊥,則易知MN的長即為直線AC與BC1之間的距離.由⊥,得·=0,所以(λ-μ,1-λ,μ)·(-1,0,1)=0,即λ=2μ,則=(μ,1-2μ,μ).由⊥,得·=0,所以-μ+1-2μ=0,解得μ=,所以MN=||=,即直線AC與BC1之間的距離是,故選B.
16.　[解析] 作出正四棱錐P-A'B'C'D',以底面中心O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).設平面PA'B'的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時為零),將以上3個坐標代入,計算得A=0,B=-D,C=-D,所以平面PA'B'的一般方程為-Dy-Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以點O到側面的距離d==.

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