資源簡介

2.2　排列數公式
第1課時　排列數公式
1.C　[解析] =4×3×2=24,故選C.
2.A　[解析] 因為=2,所以m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m(m-1)(m-2),即(m-3)(m-4)=2,可得m=5,故選A.
3.D　[解析] 由題意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=.故選D.
4.D　[解析] 8名學生站成兩排,前排3人,后排5人,等價于8人去站已排好的8個位置,無任何條件限制,所以不同站法的種數為.故選D.
5.C　[解析] 在5個位置中選2個安排其他2個節目,還有3個位置按順序安排甲、乙、丙3個節目,方法種數為=20.故選C.
6.C　[解析] 利用間接法:第一個節目不排小品類,共有=600(種)不同的排法,第一個節目不排小品類且2個歌唱類節目相鄰,共有=192(種)不同的排法,所以第一個節目不排小品類,2個歌唱類節目不相鄰共有600-192=408(種)不同的排法,故選C.
7.AC　[解析] 對于A,=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!,故A符合題意;對于B,m!=m!n(n-1)(n-2)…(n-m+1)≠n!,故B不符合題意;對于C,==n!,故C符合題意;對于D,==≠n!,故D不符合題意.故選AC.
8.ABC　[解析] 由排列數公式逐一驗證,可知A,B,C中等式均成立,D中等式不成立.故選ABC.
9.　[解析] ====.
10.6　[解析] 由=10×9×…×5,得10×9×8×…×(10-m+1)=10×9×…×5,則11-m=5,解得m=6.
11.60　[解析] 從5本不同的書中選3本送給3名同學,每人各1本,有=5×4×3=60(種)不同的送法.
12.24　[解析] 先不考慮“不在同一條對角線上”這一限制條件,將三顆棋子分別放入3×3方格圖中的三個方格內,且任意兩顆棋子不同行、不同列,第一顆棋子有3×3=9(種)放法,第二顆棋子有2×2=4(種)放法,第三顆棋子有1種放法,則任意兩顆棋子不同行、不同列的放法有9×4×1=36(種).其中在正方形的同一條對角線上的放法有2×=12(種),所以滿足題意的放法有36-12=24(種).
13.解:(1)==1.
(2)==1.
14.解:由題可知,當首位排5或3時,末位可排2或4,中間三個數位的排列情況有種,此時共有2×2×=24(個)符合條件的五位偶數;當首位排2,末位排4或首位排4,末位排2時,中間三個數位的排列情況有種,此時共有2×1×=12(個)符合條件的五位偶數.所以由分類加法計數原理可得所有符合條件的五位偶數共有24+12=36(個).
15.BC　[解析] ∵=(n-1)(n-2)=n2-3n+2,n≥3,n∈N*,∴-n=n2-4n+2,∴原不等式可化為n2-4n-5<0,n≥3,n∈N*,可得3≤n<5,n∈N*,即n=3或4,故選BC.
16.解:因為不小于5的自然數的階乘的尾數為0,5p的尾數為5,所以m,n≤4,而1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,所以可得(m,n,p)=(1,4,2)或(4,1,2).(共19張PPT)
2 排列問題
2.2 排列數公式
第1課時 排列數公式
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備課素材
◆ 備用習題
【學習目標】
1.能利用計數原理推導排列數公式.
2.能利用排列數公式進行計算和證明,能解決簡單的排列問題.
3.通過對排列數概念的理解,培養學生數學抽象的核心素養,通過對排列數公
式的計算及應用,提高學生數學運算的核心素養.
知識點 排列數公式
________________________________.
當時，，記作!,讀作： 的階乘.
規定：， .
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
√
（3） .( )
√
探究點一 排列數公式
例1 計算： .
解： .
變式（1） 可以表示為( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，故選C.
（2） 的值為_____.
696
[解析] 由題意得可得, .
［素養小結］
排列數的計算主要利用排列數公式進行.連續正整數的積可以寫成某個排列數,其
中最大的正整數是排列元素的總個數,而正整數（因式）的個數是選取元素的個
數,這是排列數公式的逆用.
探究點二 排列數公式的化簡和證明
例2 證明 !，并用它來化簡
!．
解： !，等式得證.
.
變式 求證： .
證明： ，故原等式成立．
［素養小結］
應用排列數公式可以對含有排列數的式子進行化簡和證明,化簡的過程中要能靈
活對排列數進行變形,并要熟悉排列數之間的內在聯系.
常用的變形公式如下:
!， ，
!， .
探究點三 排列數公式的簡單應用
例3 將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數
是( )
D
A.1260 B.120 C.240 D.720
[解析] 由題意知，有 （種）不同的分法．故選D.
變式 有6個人想在某風景區門口站成前后兩排（每排各3人）照相，共有多少
種不同的排法？
解：先從6人中選出3人排在前排，有 （種）排法，
再把剩余的3人排在后排，有（種）排法，
則共有 （種）排法.
［素養小結］
求解排列問題時要特別注意是把哪個對象進行排列.多排問題也可以使用直排法求解.
1.排列數公式的右邊是若干個數的連乘積,其特點是:第一個因數是 （下標）,后
面的每一個因數都比它前面的因數少1,最后一個因數為 （下標-上標
）,共有 （上標）個連續自然數相乘.
2.全排列：把 個不同的元素全部取出的一個排列
3.利用排列與排列數求解排列應用題的基本思路
例1 計算 __.
[解析] .
例2 6個人站成前、中、后三排，每排2人，則不同的排法有_____種．
720
[解析] 6個人站成前、中、后三排，每排2人，
不同的排法有 （種）．
例3（1） 解方程： ；
解：由原方程知應滿足 解得,且 .
由排列數公式知,原方程可化為
,
,,，
①式兩邊同時除以 ,得 ,
即,解得或 （舍去）， 原方程的解為 .
（2）解不等式： .
解： 原不等式可化為 （其中， ）,
即,或 .
又,,,,故 ,4,5,6,7，
原不等式的解集為 .2.2　排列數公式
第1課時　排列數公式
【課前預習】
知識點
n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)√
【課中探究】
例1　解:=
==1.
變式　(1)C　(2)696　[解析] (1)89×90×91×…×100=,故選C.
(2)由題意得可得n=3,∴-=6!-4!=696.
例2　解:(n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=(n+1-1)·n!=n·n!,等式得證.1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!=(2!-1!)+(3!-2!)+…+(11!-10!)=11!-1!=11!-1.
變式　證明:·=·(n-m)!=n!=,故原等式成立.
例3　D　[解析] 由題意知,有=720(種)不同的分法.故選D.
變式　解:先從6人中選出3人排在前排,有=120(種)排法,再把剩余的3人排在后排,有=6(種)排法,則共有120×6=720(種)排法.2.2　排列數公式
第1課時　排列數公式
【學習目標】
　　1.能利用計數原理推導排列數公式.
　　2.能利用排列數公式進行計算和證明,能解決簡單的排列問題.
　　3.通過對排列數概念的理解,培養學生數學抽象的核心素養,通過對排列數公式的計算及應用,提高學生數學運算的核心素養.
◆ 知識點　排列數公式
=　　　　　　　　　　　　.
當m=n時,=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1,記作n!,讀作:n的階乘.規定:=1,0!=1.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)=1. (　 )
(2)1!=1. (　 )
(3)=. (　 )
◆ 探究點一　排列數公式
例1 計算:.
變式 (1)89×90×91×…×100可以表示為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)-(n∈N*)的值為　　　　.
[素養小結]
排列數的計算主要利用排列數公式進行.連續正整數的積可以寫成某個排列數,其中最大的正整數是排列元素的總個數,而正整數(因式)的個數是選取元素的個數,這是排列數公式的逆用.
◆ 探究點二　排列數公式的化簡和證明
例2 證明(n+1)!-n!=n·n!,并用它來化簡1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!.
變式 求證: =·.
[素養小結]
應用排列數公式可以對含有排列數的式子進行化簡和證明,化簡的過程中要能靈活對排列數進行變形,并要熟悉排列數之間的內在聯系.
常用的變形公式如下:
①n!=n(n-1)!,②=n,
③n·n!=(n+1)!-n!,④=-.
◆ 探究點三　排列數公式的簡單應用
例3 將3張不同的電影票全部分給10個人,每人至多一張,則不同的分法種數是 (　 )
A.1260 B.120
C.240 D.720
變式 有6個人想在某風景區門口站成前后兩排(每排各3人)照相,共有多少種不同的排法
[素養小結]
求解排列問題時要特別注意是把哪個對象進行排列.多排問題也可以使用直排法求解.2.2　排列數公式
第1課時　排列數公式
一、選擇題
1.= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.12
C.24 D.8
2.若=2,則m的值為 (　 )
A.5 B.8
C.6 D.7
3.4×5×6×…×(n-1)×n等于 (　 )
A. B.
C.n!-4! D.
4.8名學生站成兩排,前排3人,后排5人,則不同站法的種數為 (　 )
A. B.+
C.+ D.
5.某次演出有5個節目,若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定,則不同的排法有 (　 )
A.120種 B.80種
C.20種 D.48種
6.某校一場小型文藝晚會有6個節目,其中2個舞蹈類、2個歌唱類、1個小品類、1個相聲類.現確定節目的演出順序,要求第一個節目不排小品類,2個歌唱類節目不相鄰,則不同的排法有 (　 )
A.336種 B.360種
C.408種 D.480種
7.(多選題)下列各式的運算結果中,等于n!的有 (　 )
A. B.m! C. D.
8.(多選題)給出下列四個等式,其中成立的是 (　 )
A.n!= B.=n C.= D.=
二、填空題
9.計算:=　　　　.
10.已知=10×9×…×5,那么m=　　　　.
11.從5本不同的書中選3本送給3名同學,每人各1本,共有 　　　　種不同的送法.
12.將紅、黃、藍三種顏色的三顆棋子分別放入3×3方格圖中的三個方格內,如圖所示,要求任意兩顆棋子不同行、不同列,且不在3×3方格圖所在正方形的同一條對角線上,則不同的放法共有　　　　種.
三、解答題
13.計算:
(1);
(2).
14.求用數字1,2,3,4,5組成的沒有重復數字且比20 000大的五位偶數的個數.
15.(多選題)滿足不等式-n<7的n的值可以為 (　 )
A.5 B.4 C.3 D.2
16.已知m,n,p均為正整數,寫出滿足m!+n!=5p的一組解(m,n,p)的值.

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