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第四章 對數運算與對數函數
一、選擇題
1．方程＝的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
2．函數的值域為（　　）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3] D．（0，3）
3．若loga3＝m，loga5＝n，則a2m+n的值是（　　）
A．15 B．75 C．45 D．225
4．函數f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上為減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（1，3]
5．已知實數a，b，c滿足1.5a＝3.1，5b＝0.1，c＝，則（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
6．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2023年全年投入研發資金160萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（　　）（參考數據：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
7．定義在R上的函數f（x）＝ln（x2+1）+|x|，若f（m）＞f（n），則m、n滿足（　　）
A．m＞n B．m＜n C．|m|＜|n| D．|m|＞|n|
二、填空題
8．函數y＝+log3（1+x）的定義域為 　 　 ．
9．滿足的實數x＝ 　 　 ．
10．據觀測統計，某濕地公園某種珍稀鳥類以平均每年4%的速度增加．按這個增長速度，大約經過 　 　 年以后，這種鳥類的個數達到現有個數的4倍或4倍以上（結果保留整數）（參考數據：lg2≈0.30，lg13≈1.11）．
11．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），設函數g（x）＝f2（x）+f（x2），則g（x）max﹣g（x）min＝ 　 　 ．
三、多選題
（多選）12．已知4a﹣3ab＝16，log2a＝，則下列結論正確的是（　　）
A．ab＝2a+1 B．a＝3 C．b＝log316 D．b＝log34
（多選）13．關于x的方程（log3x）2+log93x＝2的解可以為（　　）
A．3 B．1 C． D．
（多選）14．已知函數f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），則下列結論正確的是（　　）
A．f（x）在（﹣1，3）上單調遞增
B．y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱
C．y＝f（x）的圖象關于點（1，0）對稱
D．f（x）的值域為R
（多選）15．已知函數f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），則下列結論正確的是（　　）
A．若a＞2，則a＞b B．若a＞b，則a＞2
C．若a＞2，則 D．若a＞2，則
四、解答題
16．計算：
（1）log2（23×45）；
（2）log29 log38；
（3）．
17．（1）已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645．
18．已知函數f（x）＝log2（2x） log2．
（1）當x∈[1，4]時，求該函數的最值；
（2）若f（x）＜mlog2x對于x∈[1，4]恒成立，求實數m的取值范圍．
19．已知函數，a∈R．
（1）當a＝2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數在（﹣∞，3]內為增函數，求實數a的取值范圍．
20．研究表明：在一節40分鐘的網課中，學生的注意力指數y與聽課時間x（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示．
當x∈[0，16]時，曲線是二次函數圖象的一部分；當x∈[16，40]時，曲線是函數y＝log0.8（x+a）+80圖象的一部分，當學生的注意力指數不高于68時，稱學生處于“欠佳聽課狀態”．
（1）求函數y＝f（x）的解析式；
（2）在一節40分鐘的網課中，學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有多長？（精確到1分鐘）
21．已知函數f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）當x∈[1，4]時，求函數h（x）＝[f（x）+1] g（x）的值域；
（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求實數k的取值范圍．
第四章 對數運算與對數函數
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．方程＝的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【分析】根據指數式與對數式的互化可知， ，進而得到答案．
【解答】解：∵
∴
∴
故選：A．
【點評】本題主要考查指數式與對數式的相互轉化．
2．函數的值域為（　　）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3] D．（0，3）
【答案】A
【分析】分段函數的值域，先分別求出：當x＜1時，函數值y的范圍；當x≥1時，最后取它們的并集即可．
【解答】解：當x＜1時，0＜y＜31＝3；
當x≥1時，y＞0；
∴函數的值域為：y＞0．
故選：A．
【點評】本題考查了分段函數的值域，屬于基礎題，關鍵是先正確求出各段上的y的取值范圍，最后合并．
3．若loga3＝m，loga5＝n，則a2m+n的值是（　　）
A．15 B．75 C．45 D．225
【答案】C
【分析】由指數式和對數式的關系，將已知對數式化為指數式，再由指數的運算法則求解即可．
【解答】解：loga3＝m，loga5＝n，
所以am＝3，an＝5，
所以a2m+n＝a2man＝9×5＝45．
故選：C．
【點評】本題考查指數式和對數式的轉化、指數的運算法則，考查運算能力，屬于基礎題．
4．函數f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上為減函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（1，3]
【答案】B
【分析】由題意可得a＞0，故有t＝6﹣ax在[0，2]上是減函數，根據函數f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上是減函數，故有a＞1．再根據 ，求得a的范圍．
【解答】解：由題意可得a＞0，故有t＝6﹣ax在[0，2]上是減函數，
再根據函數f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上是減函數，故有a＞1．
再根據 ，求得1＜a＜3，
故選：B．
【點評】本題主要考查復合函數的單調性，對數函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．
5．已知實數a，b，c滿足1.5a＝3.1，5b＝0.1，c＝，則（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】先把指數式化為對數式，求出a，b，再利用對數函數的性質進行求解．
【解答】解：∵1.5a＝3.1，5b＝0.1，
∴a＝log1.53.1，b＝log50.1，
∵，∴a＞2，
∵log50.1＜log51＝0，∴b＜0，
∵c＝＝＝＝ln2，且ln1＜ln2＜lne，
∴0＜c＜1，
∴a＞c＞b，
故選：B．
【點評】本題主要考查了指數式與對數式的互化，考查了利用對數函數的性質進行比較大小，是基礎題．
6．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2023年全年投入研發資金160萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（　　）（參考數據：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
【答案】C
【分析】設從2023年后，第n年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，由題意可得160×（1+10%）n≥200，結合對數的運算性質求出n的取值范圍即可．
【解答】解：設從2023年后，第n年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，
則由題意可得，160×（1+10%）n≥200，
即1.1n≥，
兩邊取對數可得，nlg1.1，
所以n＝＝≈2.5，
又因為n∈N*，
即n＝3，
所以該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是2026年．
故選：C．
【點評】本題主要考查了函數的實際應用，考查了對數的運算性質，屬于基礎題．
7．定義在R上的函數f（x）＝ln（x2+1）+|x|，若f（m）＞f（n），則m、n滿足（　　）
A．m＞n B．m＜n C．|m|＜|n| D．|m|＞|n|
【答案】D
【分析】根據函數奇偶性的定義可得函數f（x）是偶函數，根據f（m）＞f（n）則f（|m|）＞f（|n|），再根據該函數在（0，+∞）上是增函數，從而得到結論．
【解答】解：∵f（x）＝ln（x2+1）+|x|，定義域為R，
∴f（﹣x）＝ln[（﹣x）2+1]+|﹣x|＝f（x），
∴函數f（x）是偶函數，
∵f（m）＞f（n），
∴f（|m|）＞f（|n|），
∵ln（x2+1）在（0，+∞）上是增函數，|x|在（0，+∞）上是增函數，
∴函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴|m|＞|n|．
故選：D．
【點評】本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，以及絕對值在處理偶函數中的作用，屬于中檔題．
二、填空題
8．函數y＝+log3（1+x）的定義域為 　（﹣1，2]　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據“讓解析式有意義”的原則來確定函數的定義域，偶次根式下大于等于0，對數的真數大于0，建立關系式，解之即可．
【解答】解：，
解得：x∈（﹣1，2]
故答案為：（﹣1，2]
【點評】本題主要考查了函數的定義域及其求解方法，解題的原則是讓解析式有意義，同時考查不等式組的求解，屬于基礎題．
9．滿足的實數x＝ 　3　 ．
【答案】3
【分析】利用指數與對數的互相轉換，即可解得x的值．
【解答】解：∵，
∴2x﹣1+4＝2x，
即2x﹣1＝4＝22，
∴x﹣1＝2，
解得x＝3．
故答案為：3
【點評】本題主要考查指數與對數的運算，屬于基礎題．
10．據觀測統計，某濕地公園某種珍稀鳥類以平均每年4%的速度增加．按這個增長速度，大約經過 　60　 年以后，這種鳥類的個數達到現有個數的4倍或4倍以上（結果保留整數）（參考數據：lg2≈0.30，lg13≈1.11）．
【答案】60．
【分析】寫出這種鳥類的數量與年數的函數關系式，利用函數解析式列出不等式求出對應的結論．
【解答】解：這種鳥類的數量與年數的函數關系式為y＝1.04x，x∈N．
令1.04x≥4，可得x≥，
因為＝＝＝＝60，
所以x≥60，
即約經過60年以后，這種鳥類的數量達到現有數量的4倍或4倍以上．
故答案為：60．
【點評】本題考查了指數函數與對數函數模型應用問題，也考查了轉化思想與計算能力，是中檔題．
11．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），設函數g（x）＝f2（x）+f（x2），則g（x）max﹣g（x）min＝ 　5　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】換元t＝log2x，求得0≤t≤1，化簡g（x）即為h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，求出對稱軸t＝﹣2，可得h（t）在[0，1]為增函數，計算即可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
∴，即1≤x≤2，
∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，
∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2
設t＝log2x，則h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，
∵對稱軸t＝﹣2，h（t）在[0，1]為增函數，
∴g（x）的最小值為h（0）＝2，最大值為h（1）＝7
則g（x）max﹣g（x）min＝7﹣2＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查函數的最值的求法，注意運用換元法轉化為二次函數求值域問題，注意自變量的范圍，同時考查對數函數的單調性的運用，屬于中檔題和易錯題．
三、多選題
（多選）12．已知4a﹣3ab＝16，log2a＝，則下列結論正確的是（　　）
A．ab＝2a+1 B．a＝3 C．b＝log316 D．b＝log34
【答案】ABC
【分析】先將已知等式log2a＝適當變形，再利用等式4a﹣3ab＝16，即可逐項判斷．
【解答】解：∵，∴，∴ab＝2a+1，
∵4a﹣3a6＝16，4a﹣3 2a+1＝16，∴4a﹣6 2a﹣16＝0，
∴2a＝8，∴a＝3，∴3b＝24＝16，解得b＝log316．
故選：ABC．
【點評】本題考查對數函數的性質，屬于中檔題．
（多選）13．關于x的方程（log3x）2+log93x＝2的解可以為（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】AC
【分析】由已知結合對數的運算性質進行化簡，即可求解．
【解答】解：（log3x）2+log93x＝2可化為（log3x）2+（+log3x）＝2，
即（log3x）2+log3x﹣＝0，
解得，log3x＝1或log3x＝﹣，
所以x＝3或x＝．
故選：AC．
【點評】本題主要考查了對數的運算性質的應用，屬于基礎題．
（多選）14．已知函數f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），則下列結論正確的是（　　）
A．f（x）在（﹣1，3）上單調遞增
B．y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱
C．y＝f（x）的圖象關于點（1，0）對稱
D．f（x）的值域為R
【答案】ACD
【分析】根據題意，先分析函數的定義域，再結合對數函數的性質依次分析選項，綜合可得答案．
【解答】解：根據題意，函數f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），
有，解可得﹣1＜x＜3，即函數的定義域為（﹣1，3），
依次分析選項：
對于A，函數y＝ln（1+x）在（﹣1，3）上遞增，y＝（3﹣x）在（﹣1，3）上遞減，
則函數f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）在（﹣1，3）上遞增，A正確；
對于B和C，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），
f（2﹣x）＝f（1+2﹣x）﹣ln（3﹣2+x）＝ln（3﹣x）﹣ln（1+x）＝﹣f（x），
則f（x）為圖象關于點（1，0）對稱，故B錯誤，C正確；
對于D，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）＝ln，x∈（﹣1，3），
設t＝，則t＝，
當x∈（﹣1，3）時，t∈（0，+∞），故f（x）在值域為R，D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查復合函數的性質，涉及函數的單調性和值域，屬于基礎題．
（多選）15．已知函數f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），則下列結論正確的是（　　）
A．若a＞2，則a＞b B．若a＞b，則a＞2
C．若a＞2，則 D．若a＞2，則
【答案】ABC
【分析】先根據函數解析式作出其圖象，利用圖象特征進行逐一判斷，即得A，B項，對于C，D項，則必須結合圖象分類考慮，并求解不等式f（a）＞f（b）即得
【解答】解：依題意作出函數f（x）的圖象，如圖，
因f（x）在（2，+∞）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，觀察圖形易判斷A，B項正確；
對于C，D項，當a＞2時，若b≥2，則成立；
若1＜b＜2，則由f（a）＞f（b） |ln（a﹣1）|＞|ln（b﹣1）| ln（a﹣1）＞﹣ln（b﹣1），即ln[（a﹣1）（b﹣1）]＞0，
故得：ab﹣a﹣b+1＞1，則成立，故C項正確，D項錯誤．
故選：ABC．
【點評】本題主要考查對數函數的單調性，屬于基礎題．
四、解答題
16．計算：
（1）log2（23×45）；
（2）log29 log38；
（3）．
【答案】（1）13；（2）6；（3）．
【分析】根據對數的運算性質計算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝（2log23） （3log32）＝2×3＝6；
（3）原式＝．
【點評】本題考查了對數的運算性質，是基礎題．
17．（1）已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）結合對數的換底公式進行化簡即可求解；
（2）結合對數的換底公式及對數運算性質即可求解．
【解答】解：（1）∵log23＝a，則，
又∵log37＝b，
∴．
（2）∵log189＝a，18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，
∴．
【點評】本題主要考查了對數運算性質及對數換底公式的應用，屬于基礎題．
18．已知函數f（x）＝log2（2x） log2．
（1）當x∈[1，4]時，求該函數的最值；
（2）若f（x）＜mlog2x對于x∈[1，4]恒成立，求實數m的取值范圍．
【答案】（1）當x＝時，函數f（x）取得最小值﹣；當x＝4時，函數f（x）取得最大值0；
（2）（0，+∞）．
【分析】（1）由對數的運算性質和換元法，結合二次函數的最值求法，可得所求最值；
（2）由題意可得x﹣（m+1）log2x﹣2＜0，x∈[1，4]恒成立，運用換元法和參數分離，以及二次函數的圖象和性質，解不等式可得所求范圍．
【解答】解：（1）f（x）＝log2（2x） log2＝（1+log2x）（log2x﹣2）＝x﹣log2x﹣2，
令log2x＝t，則函數化為y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]，
因此當t＝時，y＝t2﹣t﹣2取得最小值﹣，
當t＝2時，y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]取得最大值0，
即當x＝時，函數f（x）取得最小值﹣；當x＝4時，函數f（x）取得最大值0．
（2）f（x）＜mlog2x，x∈[1，4]恒成立，
即x﹣（m+1）log2x﹣2＜0，x∈[1，4]恒成立，
令log2x＝t，則t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[0，2]恒成立，
令g（t）＝t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[0，2]，
則，即，
解得m＞0，
所以實數m的取值范圍為（0，+∞）．
【點評】本題考查函數的最值求法，以及不等式恒成立問題解法，考查轉化思想和換元法、運算能力和推理能力，屬于中檔題．
19．已知函數，a∈R．
（1）當a＝2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數在（﹣∞，3]內為增函數，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）f（x）的遞增區間是（﹣∞，﹣1），遞減區間是（2，+∞）；
（2） ．
【分析】（1）把a＝2代入，求出函數f（x）的定義域，再利用復合函數單調性求出單調區間．
（2）利用給定的遞增區間結合對數函數的定義確定，再利用二次函數單調性求出a的范圍．
【解答】解：（1）根據題意，當a＝2時，函數，
由2x2﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣1或x＞2，則函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
令u＝2x2﹣2x﹣4，
顯然函數u＝2x2﹣2x﹣4在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
而在（0，+∞）上單調遞減，
所以函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，﹣1），遞減區間是（2，+∞）．
（2）依題意，函數f（x）在（﹣∞，3]上有意義，必有a×32﹣2×3﹣4＞0，解得，
令t＝ax2﹣2x﹣4，顯然函數在（0，+∞）上單調遞減，
而函數f（x）在（﹣∞，3]內為增函數，則二次函數t＝ax2﹣2x﹣4在（﹣∞，3]上單調遞減，
且 x∈（﹣∞，3]，ax2﹣2x﹣4＞0恒成立，因此，且，無解，
所以實數a的取值范圍是 ．
【點評】本題考查復合函數的單調性，涉及對數函數的性質，屬于基礎題．
20．研究表明：在一節40分鐘的網課中，學生的注意力指數y與聽課時間x（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示．
當x∈[0，16]時，曲線是二次函數圖象的一部分；當x∈[16，40]時，曲線是函數y＝log0.8（x+a）+80圖象的一部分，當學生的注意力指數不高于68時，稱學生處于“欠佳聽課狀態”．
（1）求函數y＝f（x）的解析式；
（2）在一節40分鐘的網課中，學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有多長？（精確到1分鐘）
【答案】（1）；
（2）14分鐘．
【分析】（1）利用待定系數法設出對應的函數解析式，再利用圖象上的特殊點，即可求得答案；
（2）根據（1）中的解析式，分兩種情況分別列出不等式，求解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）當x∈[0，16]時，設f（x）＝b（x﹣12）2+84，（b＜0），
所以f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，解得，
所以，
當x∈[16，40]時，f（x）＝log0.8（x+a）+80，由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，
所以f（x）＝log0.8（x﹣15）+80，
綜上可得，；
（2）當x∈[0，16]時，令＜68，解得x∈[0，4]，
當x∈[16，40]時，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，解得x∈[30，40]，
故在一節40分鐘的網課中，學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有4+10＝14分鐘．
【點評】本題考查了函數解析式的求解及常用方法，涉及了分段函數解析式的求解，要掌握求解析式的常用方法：待定系數法、換元法、方程組法、配湊法等．
21．已知函數f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）當x∈[1，4]時，求函數h（x）＝[f（x）+1] g（x）的值域；
（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求實數k的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）利用配方法化簡函數，根據函數的定義域，即確定函數的值域；
（2）利用換元法化簡函數，再對新變元分類討論，同時結合分離參數法，利用基本不等式，即可求得結論．
【解答】解：（1）…（2分）
因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，…（4分）
故函數h（x）的值域為[0，2]…（6分）
（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k log2x
令t＝log2x，因為x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]
所以（3﹣4t）（3﹣t）＞k t對一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°當t＝0時，k∈R；…（9分）
2°當t∈（0，2]時，恒成立，即…（11分）
因為，當且僅當，即時取等號…（12分）
所以的最小值為﹣3…（13分）
綜上，k∈（﹣∞，﹣3）…（14分）
【點評】本題考查函數的值域，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，利用基本不等式求最值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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