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第1章 集合-第2章 常用邏輯用語
一、選擇題
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，則 UA＝（　?。?br/>A．{1，2，3，4，5} B．{2，4，5} C．{1，3} D．
2．下列各式中，錯誤的個數是（　　）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1}＝{（0，1）}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖所示的韋恩圖中，已知A，B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合．若A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，則A*B＝（　?。?br/>A．{x|x＞3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥3}
4．設a∈R，則“a＝﹣2”是“關于x的方程x2+x+a＝0有實數根”的（　?。?br/>A．充分條件
B．必要條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．集合，則集合A的元素有（　?。﹤€
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若集合A＝{x|x，k∈Z}，集合B＝{x|x，k∈Z}，則（　?。?br/>A．A＝B B．A B C．B A D．A∪B＝Z
二、填空題
7．已知集合{1，a}與{2，b}相等，則a+b＝　 　 ．
8．若“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”為真命題，則實數m的取值范圍是　 　 ．
9．對于數集M、N，定義M+N＝{x＝a+b，a∈M，b∈N}，M÷N＝{x，a∈M，b∈N}，若集合P＝{ 1，2 }，則集合（P+P）÷P中所有元素之和為 　 　 ．
10．已知集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x||x﹣3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為 　 　 ．
三、多選題
（多選）11．集合B A，則下列結論正確的是（　?。?br/>A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝B
（多選）12．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，則實數a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
（多選）13．下列命題是真命題的是（　　）
A．命題“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1＞0“
B． x∈R，x2+x+1＞0
C．“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分條件
D．“m＜0“是“關于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一負根”的充要條件
（多選）14．命題“已知y＝|x|﹣1，當m∈A時， x∈R都有m≤y恒成立，則集合A可以是（　?。?br/>A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
四、解答題
15．已知命題p：x∈[1，3]，命題q：x∈{x|a≤x≤a+1}，若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
16．設集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求實數m的取值范圍．
請從①A C，②A∩C≠ ，③C RA這三個條件中選一個填入②中橫線處，并完成第（2）問的解答．
17．已知方程x2+bx+c＝0有兩個不等的實根x1，x2，設C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若A∩C＝ ，C∩B＝C，試求b、c的值．
18．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在這樣的實數m，使得集合A有且僅有兩個子集？若存在，求出所有的m的值組成的集合M；若不存在，請說明理由．
第1章 集合-第2章 常用邏輯用語
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，則 UA＝（　　）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，4，5} C．{1，3} D．
【答案】B
【分析】進行補集的運算即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
∴ UA＝{2，4，5}．
故選：B．
【點評】本題考查了集合的列舉法的定義，補集及其運算，全集的定義，考查了計算能力，屬于基礎題．
2．下列各式中，錯誤的個數是（　?。?br/>①{0}∈{0，1，2}；②{0，1}＝{（0，1）}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據集合的表示和集合之間的關系逐一判斷即可．
【解答】解：對于①，”∈“符號用在元素與集合的關系中，應為{0} {0，1，2}，故①錯誤．
對于②，{0，1}表示含兩個元素的集合，而{（0，1）}表示含一個元素的集合，應為{0，1}≠{（0，1）}，
故②錯誤．
對于③，由于空集是任何集合的子集，所以 {0，1，2}正確，故③正確．
對于④， 表示不含任何元素的集合，而{0}表示含0一個元素的集合，所以應為 ≠{0}，故④錯誤．
所以錯誤的個數是3個，
故選：C．
【點評】本題考查了集合之間的關系，集合的含義與表示，屬于基礎題．
3．如圖所示的韋恩圖中，已知A，B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合．若A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，則A*B＝（　?。?br/>A．{x|x＞3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥3}
【答案】D
【分析】由已知先求出A∩B，然后結合韋恩圖即可求解．
【解答】解：因為A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，
所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，
陰影部分的集合為從集合B中去除A∩B，
則A*B＝{x|x≥3}．
故選：D．
【點評】本題主要考查集合的基本運算，根據圖象確定集合關系是解決本題的關鍵，比較基礎．
4．設a∈R，則“a＝﹣2”是“關于x的方程x2+x+a＝0有實數根”的（　　）
A．充分條件
B．必要條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先求出方程有實根的充要條件，然后根據四個條件的定義即可判斷求解．
【解答】解：若關于x的方程x2+x+a＝0有實數根，
則Δ＝12﹣4a≥0，解得a，
而﹣2，
所以“a＝﹣2”是“關于x的方程x2+x+a＝0有實數根”的充分條件，
故選：A．
【點評】本題考查了四個條件的應用，涉及到方程有實根的條件，屬于基礎題．
5．集合，則集合A的元素有（　　）個
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】由已知求出12的正整數約數即可求解．
【解答】解：因為集合，
則當5﹣n＝1，2，3，4，6，12，解得n＝4，3，2，1，﹣1，﹣7滿足題意，
故選：C．
【點評】本題考查了集合與元素的關系的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．
6．若集合A＝{x|x，k∈Z}，集合B＝{x|x，k∈Z}，則（　?。?br/>A．A＝B B．A B C．B A D．A∪B＝Z
【答案】B
【分析】分別得出集合A，B中的分子表示的數集，由此即可判斷集合A，B的關系．
【解答】解：集合A：當k∈Z時，2k﹣1表示奇數，
集合B：當k∈Z時，k+2表示整數，
所以A B，
故選：B．
【點評】本題考查了集合的表示法以及集合的包含關系，屬于基礎題．
二、填空題
7．已知集合{1，a}與{2，b}相等，則a+b＝　3　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由已知結合集合相等的條件即可求解．
【解答】解：因為集合{1，a}與{2，b}相等，
所以a＝2，b＝1，
所以a+b＝3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查了集合相等條件的應用，屬于基礎題．
8．若“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”為真命題，則實數m的取值范圍是　[1，+∞）　 ．
【答案】[1，+∞）．
【分析】直接利用特稱命題和全稱命題的應用建立不等式，進一步求出結果．
【解答】解：“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”為真命題，
則Δ＝4﹣4m≤0，解得m≥1．
故m的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．
【點評】本題考查的知識要點：特稱命題和全稱命題的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．
9．對于數集M、N，定義M+N＝{x＝a+b，a∈M，b∈N}，M÷N＝{x，a∈M，b∈N}，若集合P＝{ 1，2 }，則集合（P+P）÷P中所有元素之和為 　　 ．
【答案】．
【分析】根據定義分別求出（P+P）÷P中對應的集合的元素即可得到結論．
【解答】解：∵P＝{1，2}，
∴a＝1或2，
∴P+P＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈P}＝{2，3，4}，
∴（P+P）÷P＝{x|x＝2，3，4，1，}，
∴元素之和為2+3+4+1，
故答案為：．
【點評】本題主要考查集合元素的確定，根據定義分別求出對應集合的元素是解決本題的關鍵．
10．已知集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x||x﹣3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為 　5　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由A∩B＝A可得A B，解出集合B后結合集合的關系計算即可得．
【解答】解：由A∩B＝A，故A B，
由|x﹣3|≤m，得﹣m+3≤x≤m+3，
故有，即，即m≥5，
即m的最小值為5．
故答案為：5．
【點評】本題考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
三、多選題
（多選）11．集合B A，則下列結論正確的是（　?。?br/>A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝B
【答案】BD
【分析】根據集合間的關系與集合的運算，即可求解．
【解答】解：對A選項，∵A∪B＝B A B，∴A選項錯誤；
對B選項，∵A∪B＝A B A，∴B選項正確；
對C選項，∵A∩B＝A A B，∴C選項錯誤；
對D選項，∵A∩B＝B B A，∴D選項正確．
故選：BD．
【點評】本題考查集合間的關系與集合的運算，屬基礎題．
（多選）12．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，則實數a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】根據B A，可得2∈A，，列出不等式求得a≤1，能求出實數a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B A，
∴2∈A，，
∴，解得a≤1．
故選：AB．
【點評】本題考查集合的運算，考查子集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
（多選）13．下列命題是真命題的是（　　）
A．命題“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1＞0“
B． x∈R，x2+x+1＞0
C．“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分條件
D．“m＜0“是“關于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一負根”的充要條件
【答案】BCD
【分析】對于A，結合命題否定的定義，即可求解，
對于B，結合配方法，即可求解，
對于C，解出方程x2﹣x＝0的解，即可求解，
對于D，結合韋達定理，以及二次函數的判別式，即可求解．
【解答】解：對于A，“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1≥0“，故A錯誤，
對于B，x2+x+10，故B正確，
對于C，x2﹣x＝0，解得x＝0或x＝1，
故“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分條件，故C正確，
對于D，關于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一負根，
則，解得m＜0，
故“m＜0“是“關于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一負根”的充要條件，故D正確．
故選：BCD．
【點評】本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查轉化能力，屬于基礎題．
（多選）14．命題“已知y＝|x|﹣1，當m∈A時， x∈R都有m≤y恒成立，則集合A可以是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】BD
【分析】直接利用不等式的解法和函數的恒成立問題的應用求出結果．
【解答】解：由已知y＝|x|﹣1，得y≥﹣1，
要使 x∈R，都有m≤y成立，
只需m≤﹣1，
由于選項D為選項B的子集，
故選：BD．
【點評】本題考查的知識要點：函數的恒成立問題，不等式的解法，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．
四、解答題
15．已知命題p：x∈[1，3]，命題q：x∈{x|a≤x≤a+1}，若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
【答案】實數a的取值范圍是[1，2]．
【分析】根據題意，p是q的必要不充分條件，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，則a≥1且a+1≤3，得1≤a≤2，再分別驗證即可．
【解答】解：根據題意，p是q的必要不充分條件，
{x|a≤x≤a+1} [1，3]，則a≥1且a+1≤3，得1≤a≤2．
當a＝1時，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，滿足題意；
當a＝2時，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，滿足題意．
所以，實數a的取值范圍是[1，2]．
【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
16．設集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求實數m的取值范圍．
請從①A C，②A∩C≠ ，③C RA這三個條件中選一個填入②中橫線處，并完成第（2）問的解答．
【答案】（1）A∪B＝{x|x＞﹣1}；（2）選①：（﹣∞，1]，②：（﹣∞，5），③：[5，+∞）．
【分析】（1）根據并集的定義即可求解；（2）選①：根據集合的包含關系建立不等式關系即可求解；選②：根據交集與空集的性質建立不等式關系即可求解；選③：先求出集合A的補集，再根據集合的包含關系建立不等式關系即可求解．
【解答】解：（1）因為集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
所以A∪B＝{x|x＞﹣1}；
（2）①若A C，則m﹣2≤﹣1，即m≤1，
所以實數m的取值范圍為（﹣∞，1]，
②若A∩C≠ ，則m﹣2＜3，即m＜5，
所以實數m的取值范圍為（﹣∞，5），
③若C RA，因為 RA＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
則m﹣2≥3，即m≥5，
所以實數m的取值范圍為[5，+∞）．
【點評】本題考查了集合的運算關系以及求解參數取值范圍問題，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．
17．已知方程x2+bx+c＝0有兩個不等的實根x1，x2，設C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若A∩C＝ ，C∩B＝C，試求b、c的值．
【答案】見試題解答內容
【分析】根據A∩C＝ ，C∩B＝C，求出集合C，得到關于a，b的方程組，解出即可．
【解答】解：若C∩B＝C，則C B，
又A∩C＝ ，
∴C＝{4，10}，
∴，
解得．
【點評】本題考查了集合的包含關系，考查解方程組問題，是一道基礎題．
18．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在這樣的實數m，使得集合A有且僅有兩個子集？若存在，求出所有的m的值組成的集合M；若不存在，請說明理由．
【答案】存在，M＝{1}．
【分析】由題意知集合A有且僅有一個元素，再轉化為方程x2+2x+m＝0有兩個相同的根，利用判別式Δ＝22﹣4m＝0求解．
【解答】解：存在實數m滿足條件，理由如下：
若集合A有且僅有兩個子集，則A有且僅有一個元素，
即方程x2+2x+m＝0有兩個相同的根，
∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1．
∴所有的m的值組成的集合M＝{1}．
【點評】本題考查了集合性質及二次方程解的個數判斷，屬于基礎題．
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