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第1章 集合-第4章 指數與對數
一、選擇題
1．設集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，則A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4）
2．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
3．log5（log3（log2x））＝0，則等于（　　）
A． B． C． D．
4．在R上定義運算：a*b＝ab+b，則不等式x*（x﹣2）＜0的解集為（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
5．已知
①若x＞0，y＞0，則；
②若a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，則（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2；
③若x＞0，y＞0，且，則3x+y的最小值為．
上面不等式中正確的個數為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．當x∈A時，若有x﹣1 A且x+1 A，則稱x是集合A的一個“孤元”，由A的所有孤元組成的集合稱為A的“孤星集”，若集合M＝{1，2，3}的孤星集是M'，集合P＝{1，3，4} }的孤星集是P'，則M'∩P'＝（　　）
A．{1，3} B．{2，3} C．{1} D．
7．已知a＞b且關于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集為{x|x}，則 的最小值為（　　）
A． B．2 C．4 D．2
二、填空題
8．若命題“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”為真命題，則實數m的取值范圍為 　 　 ．
9．已知關于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，則a的值為 　 　 ．
10．已知實數x，y滿足x＞y≥0，則的最小值是 　 　 ．
三、多選題
（多選）11．設集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，則實數a的值可以為（　　）
A． B．0 C．1 D．3
（多選）12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n}，其中m＞0，則以下選項正確的有（　　）
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2+bx+a＜0的解集為
D．cx2+bx+a＜0的解集為或
（多選）13．下列運算中正確的是（　　）
A．
B．當a＞0時，
C．若a+a﹣1＝14，則3
D．
（多選）14．若a，b，c都是正數，且4a＝6b＝9c，那么（　　）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C． D．
四、解答題
15．已知A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，B＝{x||x﹣m|≤2}．
（1）若“ x∈A，使得x∈B”為真命題，求m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使“x∈A”是“x∈B”必要不充分條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
16．（1）求值；
（2）設a＞0，b＞0，化簡．
17．已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+1﹣a＝0}．
（1）若﹣4∈B，求實數a的取值；
（2）若集合B是集合A的真子集，求實數a的取值組成的集合．
18．（1）已知log23＝a，log37＝b，試用a，b表示log1456；
（2）若a，b分別是方程（lgx）2﹣lgx20的兩個實根，求lg（ab） （logab+logba）的值．
19．（1）若關于x的不等式x2+ax+b﹣a＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求實數a，b的值；
（2）若a＝2，求當不等式x2+ax+b﹣a＞b2﹣3b對任意的實數x都成立時實數b的取值范圍．
第1章 集合-第4章 指數與對數
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．設集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，則A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4）
【答案】D
【分析】可求出集合A，B，然后進行交集的運算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞0}，
∴A∩B＝（0，4）．
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，對數函數的定義域，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎題．
2．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
【答案】B
【分析】根據已知條件，結合不等式的性質，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：對于A，若|b|＜|c|，則b2＜c2，選項不成立，故A錯誤；
對于B，a2＝a2，b＞c，
由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正確．
對于C、D，若a＝0，則選項不成立，故C、D錯誤．
故選：B．
【點評】本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題．
3．log5（log3（log2x））＝0，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用對數的運算性質化簡得出x，再利用指數運算性質即可得出．
【解答】解：∵log5（log3（log2x））＝0，
∴log3（log2x）＝1，
∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，
∴．
故選：C．
【點評】本題考查了指數與對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
4．在R上定義運算：a*b＝ab+b，則不等式x*（x﹣2）＜0的解集為（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【答案】D
【分析】根據題意解不等式x2﹣x﹣2＜0即可．
【解答】解：依題意，x*（x﹣2）＜0即為x（x﹣2）+x﹣2＝x2﹣x﹣2＜0，即（x﹣2）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜2，
即該不等式的解集為{x|﹣1＜x＜2}．
故選：D．
【點評】本題以新定義為載體，旨在考查一元二次不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎題．
5．已知
①若x＞0，y＞0，則；
②若a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，則（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2；
③若x＞0，y＞0，且，則3x+y的最小值為．
上面不等式中正確的個數為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①利用基本不等式計算的最小值，即可；
②采用作差法，即可得解；
③將3x+y整理成3x+y＝（x+1）+（2x+y）﹣1，再利用“乘1法”，得解．
【解答】解：①因為x＞0，y＞0，所以2，當且僅當x＝y時，等號成立，
所以，即①正確；
②（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣b2d2﹣2abcd＝a2d2+b2c2﹣2abcd＝（ad﹣bc）2≥0，即②錯誤；
③3x+y＝（x+1）+（2x+y）﹣1＝[（x+1）+（2x+y）] （）﹣1＝12﹣1≥2+2，
當且僅當，即2（x+1）2＝（2x+y）2時，等號成立，即③正確，
所以正確的有2個．
故選：C．
【點評】本題考查基本不等式的應用，不等式的大小比較，熟練掌握“乘1法”，作差法是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．
6．當x∈A時，若有x﹣1 A且x+1 A，則稱x是集合A的一個“孤元”，由A的所有孤元組成的集合稱為A的“孤星集”，若集合M＝{1，2，3}的孤星集是M'，集合P＝{1，3，4} }的孤星集是P'，則M'∩P'＝（　　）
A．{1，3} B．{2，3} C．{1} D．
【答案】D
【分析】先根據“孤元”及“孤星集”的定義，分別求出集合M′，P′，然后再求并集即可得解．
【解答】解：根據“孤元”的定義可得M＝{1，2，3}中沒有“孤元”，
∴M的孤星集M′＝ ，
同理P＝{1，3，4}的“孤元”有1，4，
∴P的孤星集P′＝{1，4}，
∴M′∩P′＝ ，
故選：D．
【點評】本題考查新定義，集合的交集運算，屬基礎題．
7．已知a＞b且關于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集為{x|x}，則 的最小值為（　　）
A． B．2 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由題意可得，進而可得ab＝1，a＞b，a﹣b＞0，即有（a﹣b），再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因為關于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集為{x|x}，
所以，即a＞0，ab＝1，a＞b，a﹣b＞0，
所以（a﹣b）22，
當且僅當a﹣b，即a，b時，等號成立．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的應用，難點是得出ab＝1，屬于中檔題．
二、填空題
8．若命題“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”為真命題，則實數m的取值范圍為 　m＜1　 ．
【答案】m＜1
【分析】根據特稱命題為真命題得到判別式Δ＞0，即可得到結論．
【解答】解：若命題“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”是真命題，
則判別式Δ＞0，即Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案為：m＜1
【點評】本題主要考查特稱命題的應用，利用一元二次不等式與判別式△之間的關系是解決本題的關鍵．
9．已知關于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，則a的值為 　　 ．
【答案】．
【分析】由不等式的解集得出對應方程的實數根，結合題意利用根與系數的關系即可求出a的值．
【解答】解：關于x 的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集為{x|x1＜x＜x2}，
所以x1和x2是方程x2﹣2ax﹣8a2＝0的兩個實數根，
所以，
因為x2﹣x1＝15，所以4x1x2＝4a2+32a2＝225，
即a2，解得a＝±，所以a．
故答案為：．
【點評】本題考查了不等式與對應方程的關系應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．
10．已知實數x，y滿足x＞y≥0，則的最小值是 　5　 ．
【答案】5
【分析】化簡4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），代入，再利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：∵x＞y＞0，∴x+y＞0，x﹣y＞0，
4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），
∴323＝5，
當且僅當，即y＝0時取等號，
∴的最小值是5．
【點評】本題考查了基本不等式的應用，考查了計算能力，屬于基礎題．
三、多選題
（多選）11．設集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，則實數a的值可以為（　　）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】ABC
【分析】解方程可求得集合A，根據交集結果可知B A，分別在a＝0和a≠0的情況下討論即可求得a所有可能的取值．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0得：x＝1或x＝2，即A＝{1，2}，
∵A∩B＝B，∴B A，
當a＝0時，B＝ ，滿足題意；
當a≠0時，，則或，解得：a＝1或；
綜上所述：實數a的取值集合為．
故選：ABC．
【點評】本題主要考查了集合的包含關系，屬于基礎題．
（多選）12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n}，其中m＞0，則以下選項正確的有（　　）
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2+bx+a＜0的解集為
D．cx2+bx+a＜0的解集為或
【答案】AD
【分析】由題可得m，n是方程ax2+bx+c＝0的兩個根，且a＜0，利用韋達定理表示出b，c，即可求解不等式．
【解答】解：因為不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|m＜x＜n}，
所以m，n是方程ax2+bx+c＝0的兩個根，且a＜0，故A正確；
則，即b＝﹣（m+n）a，c＝mna，
因為m＞0，則n＞0，所以c＝mna＜0，故錯誤；
不等式cx2+bx+a＜0化為mnax2﹣（m+n）ax+a＜0，
即mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，
因為0＜m＜n，所以，則不等式的解集為或，故C錯誤，D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查了一元二次不等式的解與二次方程根的關系以及一元二次不等式的解法，屬于中檔題．
（多選）13．下列運算中正確的是（　　）
A．
B．當a＞0時，
C．若a+a﹣1＝14，則3
D．
【答案】BD
【分析】利用指數和對數運算公式即可直接解出．
【解答】解：對于A選項，，故A選項錯誤；
對于B選項，，故B選項正確；
對于C選項，令，則m2＝a+a﹣1+2＝16，故m≠3，選項C錯誤；
對于D選項，7，故選項D正確；
故選：BD．
【點評】本題考查了指數和對數的運算，學生的數學運算能力屬于基礎題．
（多選）14．若a，b，c都是正數，且4a＝6b＝9c，那么（　　）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C． D．
【答案】AD
【分析】將指數式化為對數式，根據選項中的 運算分別驗證即可．
【解答】解：依題意設4a＝6b＝9c＝k，k＞0，則a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
對于A，ab+bc＝2ac即 2，因為 log69+log64＝log636＝2，故A正確B錯誤；
對于C，2logk4+logk6＝logk962logk9＝logk81，故C錯誤；
對于D，2logk6﹣logk4＝logklogk9，故D正確；
故選：AD．
【點評】本題考查了對數運算律與運算性質，主要考查計算能力，屬于中檔題．
四、解答題
15．已知A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，B＝{x||x﹣m|≤2}．
（1）若“ x∈A，使得x∈B”為真命題，求m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使“x∈A”是“x∈B”必要不充分條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）[﹣4，12]；（2）存在，[0，8]．
【分析】（1）根據題意轉化為集合A、B存在公共元素，求出A、B無公共元素時，實數m的取值范圍，取補集即可．
（2）由題意轉化為B A，再根據集合的包含關系可得或，解不等式組即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}＝{x|（x﹣10）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤10}，B＝{x||x﹣m|≤2}＝{x|﹣2≤x﹣m≤2}＝{x|m﹣2≤x≤m+2}，
（1）若“ x∈A，使得x∈B”為真命題，即集合A、B存在公共元素，
假設A、B無公共元素，則m﹣2＞10或m+2＜﹣2，
解得m＞12或m＜﹣4．
則集合A、B存在公共元素時，實數m的取值范圍[﹣4，12]．
（2）存在實數m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，
若“x∈A”是“X∈B”必要不充分條件，
則B A，所以或，解得0≤m≤8，
所以m的取值范圍為[0，8]．
【點評】本題考查了充分條件、必要條件的集合思想，考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．
16．（1）求值；
（2）設a＞0，b＞0，化簡．
【答案】（1）7．
（2）．
【分析】（1）利用對數運算法則及對數換底公式能求出結果；
（2）把根式轉化為分數指數冪，能求出結果．
【解答】解：（1）
1
＝4+2+1＝7．
（2）∵a＞0，b＞0，
∴．
【點評】本題考查對數的運算法則、換底公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
17．已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+1﹣a＝0}．
（1）若﹣4∈B，求實數a的取值；
（2）若集合B是集合A的真子集，求實數a的取值組成的集合．
【答案】（1）1；（2）（﹣3，0）．
【分析】（1）因為﹣4∈B，所以﹣4是一元二次方程x2+2（a+1）x+1﹣a＝0的根，代入一元二次方程可求得a的值；（2）若集合B是集合A的真子集，則B＝ 或B＝{﹣4}或B＝{0}，分情況討論可得實數a的取值組成的集合．
【解答】解：（1）∵﹣4∈B，
∴﹣4是一元二次方程x2+2（a+1）x+1﹣a＝0的根，
∴（﹣4）2﹣8（a+1）+1﹣a＝0，
∴a＝1，
故實數a的取值為1；
（2）由x2+4x＝0得x＝0或x＝﹣4，
∴A＝{﹣4，0}，
∵集合B是集合A的真子集，
∴B＝ 或B＝{﹣4}或B＝{0}，
當B＝ 時，Δ＝4（a+1）2﹣4（1﹣a）＝4a（a+3）＜0，
∴﹣3＜a＜0，
當B＝{﹣4}時，有42﹣8（a+1）+1﹣a＝9﹣9a＝0，
得a＝1，
經檢驗，此時B＝{x|x2+4x＝0}＝A，不符合題意，
當B＝{0}時，1﹣a＝0，
∴a＝1，不符合題意，
綜上：實數a的取值組成的集合為（﹣3，0）．
【點評】本題主要考查了元素與集合的關系，子集與真子集的關系，屬于基礎題．
18．（1）已知log23＝a，log37＝b，試用a，b表示log1456；
（2）若a，b分別是方程（lgx）2﹣lgx20的兩個實根，求lg（ab） （logab+logba）的值．
【答案】（1）；
（2）12．
【分析】（1）結合對數的換底公式及對數運算性質可求；
（2）結合方程的根與系數關系及對數運算性質可求．
【解答】解：（1）因為log23＝a，log37＝b，
所以log1456；
（2）由題意得（lga）2﹣2lga0，（lgb）2﹣2lgb0，
所以lga+lgb＝2，lgalgb，
所以lg（ab） （logab+logba）＝（lga+lgb）（）＝2[]＝4（4﹣1）＝12．
【點評】本題主要考查了對數的運算性質及對數換底公式的應用，屬于基礎題．
19．（1）若關于x的不等式x2+ax+b﹣a＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求實數a，b的值；
（2）若a＝2，求當不等式x2+ax+b﹣a＞b2﹣3b對任意的實數x都成立時實數b的取值范圍．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝﹣5．
（2）（1，3）．
【分析】（1）利用不等式的解集，列出方程求解即可．
（2）利用不等式恒成立，轉化求解即可．
【解答】解：（1）因為不等式f（x）＝x2+ax+b﹣a＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
所以由題意得﹣1，3為函數x2+ax+b﹣a＝0的兩個根，
所以，解得a＝﹣2，b＝﹣5．
（2）當a＝2時，x2+2x+b﹣2＞b2﹣3b恒成立，即x2+2x﹣2＞b2﹣4b恒成立．
因為x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3≥﹣3，所以b2﹣4b＜﹣3，
解之得1＜b＜3，所以實數b的取值范圍為1＜b＜3．
所以b∈（1，3）．
【點評】本題考查不等式的解法，不等式恒成立條件的轉化，考查計算能力，是中檔題．
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