資源簡介

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第二章 函數
一、選擇題
1．若函數f（x）＝在（﹣∞，0）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
2．函數f（x）＝+的定義域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，+∞） D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
3．已知f（﹣1）＝2x+，則f（x）＝（　　）
A．2x2+5x+3（x≥﹣1） B．2x2﹣5x+3（x≥﹣1）
C．2x2﹣5x+3 D．2x2+5x+3
4．德國數學家狄利克雷在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格或是其它形式．已知函數f（x）由下表給出，則的值為（　　）
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
5．冪函數y＝x﹣1與y＝x，x＝1，y＝1將平面直角坐標系的第一象限分成八個“卦限”（如圖所示），則冪函數f（x）＝的圖象經過的“卦限”是（　　）
A．⑤① B．③⑦ C．④⑧ D．⑥②
6．已知函數f（x）＝，對于任意x≥，下列說法正確的是（　　）
A．函數最小值為1 B．函數最小值為2
C．函數最大值為4 D．函數最大值為6
7．若函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（0，1） B．（1，2] C．（1，4] D．[2，4]
8．在數學研究性學習中，陳老師給出一個定義在全體實數上的函數f（x）．甲、乙、丙、丁四位同學各說出了這個函數的一條性質：
甲：函數f（x）的最小值不是f（0）；
乙：函數f（x）的圖象關于直線x＝3對稱；
丙：函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增；
丁：函數f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減．
如果甲、乙、丙、丁四位同學恰有一人說錯，那么你認為說錯的同學是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空題
9．已知冪函數y＝f（x）的圖象經過，則f（3）＝ 　 　 ．
10．已知函數f（x）＝，若f（x）＝，則該方程的解集為 　 　 ．
11．函數y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是 　 　 ．
12．定義在R上的奇函數f（x）在[0，+∞）上的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集是 　 　 ．
三、多選題
（多選）13．下列各組函數中，兩個函數是同一個函數的有（　　）
A．f（x）＝與g（x）＝
B．f（x）＝2x+1與g（x）＝
C．f（x）＝與g（x）＝
D．f（x）＝（x≥1）與g（x）＝
（多選）14．設函數f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論中正確的是（　　）
A．f（x）g（x）是偶函數 B．|f（x）|+g（x）是偶函數
C．f（x）|g（x）|是奇函數 D．f（x）﹣g（x）是奇函數
（多選）15．給出下列說法，其中不正確的是（　　）
A．若函數f（x）＝的定義域為R，則實數a的取值范圍是[0，3）
B．函數f（x）＝﹣的單調遞增區間是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定義在R上的函數f（x）在區間（﹣∞，1]上單調遞增，在區間（1，+∞）上也單調遞增，則f（x）在R上是單調增函數
D．x1是f（x）定義域內的任意的值，若f（x1+1）＞f（x1），則f（x）是增函數
（多選）16．若函數f（x）對于任意實數x，都有f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x）成立，并且當0≤x≤2時，f（x）＝x+2，則下列結論不正確的是（　　）
A．f（﹣）＝3
B．函數f（x）的最大值是
C．方程f（x）＝3的解集是{x|x＝2k+1，k∈Z}
D．函數f（x）的圖象關于直線x＝﹣1對稱
四、解答題
17．已知函數過點（2，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
18．已知函數f（x）是定義在R上的增函數，并且滿足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝2．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）若f（2x+3）﹣f（x）＜6，求x的取值范圍．
19．已知冪函數f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1的定義域為R．
（1）求實數a的值；
（2）若定義在[1，4]上的函數，求g（x）的最值．
20．在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設備年固定研發成本為50萬元，每生產一臺需另投入80元，設該公司一年內生產該設備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入G（x）（萬元）與年產量x（萬臺）滿足如下關系式：．
（1）寫出年利潤W（x）（萬元）關于年產量x（萬臺）的函數解析式；（利潤＝銷售收入﹣成本）
（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．
21．設函數y＝f（x）（x∈R，且x≠0）對任意非零實數x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且對任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求證：f（）＝﹣f（x）．
（2）求不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集．
22．已知定義在x∈[﹣2，2]上的偶函數f（x）滿足：當x∈[0，2]時，f（x）＝﹣x+2．
（1）求函數f（x）在x∈[﹣2，2]上的解析式；
（2）設g（x）＝ax﹣2﹣a，（a＞0），若對于任意x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求實數a的取值范圍．
第二章 函數
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．若函數f（x）＝在（﹣∞，0）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
【答案】B
【分析】由已知結合反比例函數的性質即可求解．
【解答】解：因為函數f（x）＝在（﹣∞，0）上單調遞增，
所以a+1＜0，
所以a＜﹣1．
故選：B．
【點評】本題主要考查了反比例函數單調性的應用，屬于基礎題．
2．函數f（x）＝+的定義域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，+∞） D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
【答案】D
【分析】根據函數的解析式，列出使函數解析式有意義的不等式組，求出解集即可．
【解答】解：f（x）＝+，
則，解得x≥﹣2且x≠0，
故函數f（x）的定義域為[﹣2，0）∪（0，+∞）．
故選：D．
【點評】本題考查了求函數定義域的應用問題，解題的關鍵是列出使函數解析式有意義的不等式組，是基礎題目．
3．已知f（﹣1）＝2x+，則f（x）＝（　　）
A．2x2+5x+3（x≥﹣1） B．2x2﹣5x+3（x≥﹣1）
C．2x2﹣5x+3 D．2x2+5x+3
【答案】A
【分析】設t＝﹣1，則t≥﹣1，x＝（t+1）2，從而f（t）＝2（t+1）2+＝2（t+1）2+t+1＝2t2+5t+3，由此能求出結果．
【解答】解：f（﹣1）＝2x+，
設t＝﹣1，則t≥﹣1，x＝（t+1）2，
∴f（t）＝2（t+1）2+＝2（t+1）2+t+1＝2t2+5t+3，
∴f（x）＝2x2+5x+3（x≥﹣1）．
故選：A．
【點評】本題考查換元法求函數解析式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
4．德國數學家狄利克雷在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格或是其它形式．已知函數f（x）由下表給出，則的值為（　　）
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據題意，由函數的解析式求出f（）的值，進而計算可得答案．
【解答】解：根據題意，函數f（x）由下表給出，
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
若，則，則有，
故，
故選：D．
【點評】本題考查函數值的計算，涉及函數的定義，屬于基礎題．
5．冪函數y＝x﹣1與y＝x，x＝1，y＝1將平面直角坐標系的第一象限分成八個“卦限”（如圖所示），則冪函數f（x）＝的圖象經過的“卦限”是（　　）
A．⑤① B．③⑦ C．④⑧ D．⑥②
【答案】D
【分析】利用冪函數的圖象和性質求解．
【解答】解：∵冪函數f（x）＝是偶函數，過點（0，0），（1，1），
在（0，+∞）內f（x）增函數，
由偶函數的性質得：
f（x）的圖象關于y軸對稱，在（﹣∞，0）內f（x）是減函數，如圖：
∴冪函數f（x）＝的圖象經過的“卦限”是②⑥．
故選：D．
【點評】本題考查冪函數的圖象、性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
6．已知函數f（x）＝，對于任意x≥，下列說法正確的是（　　）
A．函數最小值為1 B．函數最小值為2
C．函數最大值為4 D．函數最大值為6
【答案】B
【分析】利用分子常數化，利用基本不等式以及對勾函數的性質進行求解判斷即可．
【解答】解：f（x）＝＝4x+﹣2＝4（x+）﹣2，
f（x）在（0，]上為減函數，在[，+∞）上為增函數，
∵x≥，
∴當x＝時，f（x）取得最小值為f（x）＝4×+2﹣2＝2，
故選：B．
【點評】本題主要考查函數最值的求解，根據分式的性質，利用分子常數化進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題．
7．若函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（0，1） B．（1，2] C．（1，4] D．[2，4]
【答案】B
【分析】根據題意，由函數單調性的定義可得關于a的不等式組，解可得答案．
【解答】解：根據題意，分段函數在R上單調遞增，
則有，解可得：1＜a≤2，
則a的取值范圍是（1，2]．
故選：B．
【點評】本題考查函數單調性的性質和應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題．
8．在數學研究性學習中，陳老師給出一個定義在全體實數上的函數f（x）．甲、乙、丙、丁四位同學各說出了這個函數的一條性質：
甲：函數f（x）的最小值不是f（0）；
乙：函數f（x）的圖象關于直線x＝3對稱；
丙：函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增；
丁：函數f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減．
如果甲、乙、丙、丁四位同學恰有一人說錯，那么你認為說錯的同學是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根據題意，先分析可得“乙和丙中必定有一個錯誤”，再假設“乙錯誤”，得到矛盾，可得“乙的說法正確”，即可得答案．
【解答】解：根據題意，乙同學的說法和丙同學的說法是矛盾的，
若函數f（x）的圖象關于直線x＝3對稱，則函數f（x）在[0，+∞）不會單調，
反之，若函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，其函數圖象不會關于直線x＝3對稱，
故乙和丙中必定有一個錯誤，
若乙錯誤，則甲、丙、丁都正確，即函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增且在（﹣∞，0]上單調遞減，
則f（0）一定是f（x）的最小值，與甲的說法矛盾，此時不能成立，
故乙的說法正確，丙的說法錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查函數的單調性和對稱性，涉及合情推理的應用，屬于基礎題．
二、填空題
9．已知冪函數y＝f（x）的圖象經過，則f（3）＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】根據給定條件，求出冪函數解析式，再求出函數值即得．
【解答】解：依題意，設f（x）＝xα，由，得2α＝2﹣3，解得α＝﹣3，
即，所以．
故答案為：
【點評】本題考查冪函數的性質，屬于基礎題．
10．已知函數f（x）＝，若f（x）＝，則該方程的解集為 　　 ．
【答案】．
【分析】分x，﹣1和x＜﹣1三種情況討論，分別根據f（x）的解析式求解即可．
【解答】解：當時，f（x）＝2x，
由，得，
解得，
當時，f（x）＝﹣x2+2，
由，得，即，
解得或（舍去），
當x＜﹣1時，f（x）＝|x|，
由，得，
解得或（舍去），
綜上，方程的解集為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了分段函數的應用，屬于基礎題．
11．函數y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是 　[﹣1，8]　 ．
【答案】[﹣1，8]．
【分析】配方得y＝（x+1）2﹣1，根據二次函數的性質即可求解．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
故當x＝﹣1時，ymin＝﹣1；當x＝2時，，
故函數y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是[﹣1，8]．
故答案為：[﹣1，8]．
【點評】本題主要考查了二次函數性質在函數值域求解中的應用，屬于基礎題．
12．定義在R上的奇函數f（x）在[0，+∞）上的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集是 　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】由f（x）是奇函數得函數圖象關于原點對稱，可畫出y軸左側的圖象，利用兩因式異號相乘得負，得出f（x）的正負，由圖象可求出x的范圍得結果．
【解答】解：（1）x＞0時，f（x）＜0，∴x＞2，
（2）x＜0時，f（x）＞0，∴x＜﹣2，
∴不等式xf（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
【點評】本題主要考查函數奇偶性的性質以及函數圖象的應用．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱．
三、多選題
（多選）13．下列各組函數中，兩個函數是同一個函數的有（　　）
A．f（x）＝與g（x）＝
B．f（x）＝2x+1與g（x）＝
C．f（x）＝與g（x）＝
D．f（x）＝（x≥1）與g（x）＝
【答案】ACD
【分析】根據函數定義的三要素即可判斷．
【解答】解：因為函數，故選項A正確；
因為函數f（x）＝2x+1的定義域為R，函數的定義域為，故選項B錯誤；
因為函數＝，故選項C正確；
因為函數 的定義域為[1，+∞），
函數g（x）＝的定義域也為[1，+∞），故選項D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查函數定義域問題，屬于基礎題．
（多選）14．設函數f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論中正確的是（　　）
A．f（x）g（x）是偶函數 B．|f（x）|+g（x）是偶函數
C．f（x）|g（x）|是奇函數 D．f（x）﹣g（x）是奇函數
【答案】BC
【分析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性，綜合可得答案．
【解答】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，設F（x）＝f（x）g（x），
則F（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣F（x），
故F（x）為奇函數，A錯誤；
對于B，設F（x）＝|f（x）|+g（x），
則F（﹣x）＝|f（﹣x）|+g（x）＝|f（x）|+g（x）＝F（x），
故F（x）為偶函數，B正確；
對于C，設F（x）＝f（x）|g（x）|，
則F（﹣x）＝f（﹣x）|g（﹣x）|＝﹣f（x）|g（x）|＝﹣F（x），
故F（x）為奇函數，C正確；
對于D，設F（x）＝f（x）﹣g（x），
則F（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）≠±F（x），
故F（x）為非奇非偶函數，D錯誤．
故選：BC．
【點評】本題考查函數奇偶性的判斷，注意函數奇偶性的判斷方法，屬于基礎題．
（多選）15．給出下列說法，其中不正確的是（　　）
A．若函數f（x）＝的定義域為R，則實數a的取值范圍是[0，3）
B．函數f（x）＝﹣的單調遞增區間是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定義在R上的函數f（x）在區間（﹣∞，1]上單調遞增，在區間（1，+∞）上也單調遞增，則f（x）在R上是單調增函數
D．x1是f（x）定義域內的任意的值，若f（x1+1）＞f（x1），則f（x）是增函數
【答案】BCD
【分析】根據題意，由函數的定義域分析A，由函數單調性、單調區間的定義分析B，舉出反例分析C、D，綜合可得答案．
【解答】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，若函數f（x）＝的定義域為R，
則ax2+2ax+3≥0恒成立，
當a＝0時，不等式為3≥0，恒成立，符合題意；
當a≠0時，必有，即可得0＜a≤3，
綜合可得：0≤a≤3，即a的取值范圍為[0，3]，A正確；
對于B，由函數單調性和單調區間的定義，數f（x）＝﹣的單調遞增區間是（﹣∞，0）、（0，+∞），B錯誤；
對于C，函數f（x）＝，在區間（﹣∞，1]上單調遞增，在區間（1，+∞）上也單調遞增，
但f（x）不是R上的單調增函數，C錯誤；
對于D，函數g（x）＝，滿足對于定義域內的任意的x1，都有f（x1+1）＞f（x1），
但f（x）不是增函數，D錯誤．
故選：BCD．
【點評】本題考查函數單調性的性質和應用，涉及函數的定義域，屬于中檔題．
（多選）16．若函數f（x）對于任意實數x，都有f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x）成立，并且當0≤x≤2時，f（x）＝x+2，則下列結論不正確的是（　　）
A．f（﹣）＝3
B．函數f（x）的最大值是
C．方程f（x）＝3的解集是{x|x＝2k+1，k∈Z}
D．函數f（x）的圖象關于直線x＝﹣1對稱
【答案】ABD
【分析】由已知可推斷函數f（x）是以4為周期的函數，再逐項判斷即可得解．
【解答】解：因為f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x），
所以f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x）＝f（x），
所以函數f（x）是以4為周期的周期函數．
因為當0≤x≤2時，f（x）＝x+2，
f（x）是定義在R上的偶函數，
所以當﹣2≤x≤0時，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x+2，
所以f（﹣）＝+2＝，故A錯誤；
當0≤x≤2時，f（x）＝x+2為增函數，所以最大值為f（2）＝4，
又f（x）為偶函數，所以當﹣2≤x≤2時，f（x）的最大值為4，
由函數f（x）是以4為周期的周期函數，所以函數f（x）的最大值是4，故B錯誤；
當0≤x≤2時，由f（x）＝3可得x＝1，
當﹣2≤x≤0時，由f（x）＝3可得x＝﹣1，
所以方程f（x）＝3的解集是{x|4k+1，k∈Z}∪{x|4k﹣1，k∈+1，k∈Z}，故C正確；
由分析作出圖象，如圖所示：
由圖象可知直線x＝﹣1不是函數f（x）的對稱軸．
故選：ABD．
【點評】本題主要考查抽象函數及其應用，考查函數的對稱性，考查轉化思想與數形結合思想，邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題．
四、解答題
17．已知函數過點（2，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
【答案】（1）；
（2）證明過程見解析．
【分析】（1）根據題意，將點的坐標代入函數的表達式，求出a的值，即可得答案；
（2）利用作差法證明即可．
【解答】解：（1）根據題意，函數過點（2，4），
則有，解得a＝﹣4，
所以f（x）的解析式為．
（2）由題意不妨設2＜x1＜x2，
所以，
因為2＜x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
【點評】本題考查函數單調性的證明，涉及函數解析式的求法，屬于基礎題．
18．已知函數f（x）是定義在R上的增函數，并且滿足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝2．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）若f（2x+3）﹣f（x）＜6，求x的取值范圍．
【答案】（1）f（0）＝0；
（2）f（x）為奇函數；
（3）x∈（﹣∞，0）．
【分析】（1）令x＝y＝0，即可得答案；
（2）令y＝﹣x，結合（1）的結論即可判斷；
（3）由題意可得f（1）＝2，f（3）＝6，則原不等式等價于f（x+3）＜f（3），由f（x）是定義在R上的增函數求解即可．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0；
（2）解：因為函數f（x）的定義域為R，
令y＝﹣x，
則有f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函數f（x）為奇函數，
∴f（x）為奇函數；
（3）解：因為f（1）＝2，
所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）+f（1）＝2+2＝4，
又因為f（3）＝f（2+1）＝f（2）+f（1）＝2+4＝6，
即有f（2x+3）﹣f（x）＜6 f（2x+3）﹣f（x）＜f（3），
即f（2x+3﹣x）＜f（3） f（x+3）＜f（3），
又因為f（x）為增函數，
所以x+3＜3，
解得x＜0，
故x的取值范圍為（﹣∞，0）．
【點評】本題考查了對函數奇偶性的判斷、利用單調性解不等式，屬于中檔題．
19．已知冪函數f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1的定義域為R．
（1）求實數a的值；
（2）若定義在[1，4]上的函數，求g（x）的最值．
【答案】（1）a＝2；
（2）．
【分析】（1）由冪函數的定義求解即可；
（2）由對勾函數的單調性即可得出答案．
【解答】解：（1）冪函數f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1需要滿足a2﹣3a+3＝1，解得a＝1或2，
當a＝1時，f（x）＝x0，其定義域為{x|x≠0}，不符合題意，
當a＝2時，f（x）＝x，符合題意，則a＝2；
（2）由（1）得，
且易知g（x）在上單調遞減，上單調遞增，
又因為，g（1）＝3，，
則x∈[1，4]時，g（x）的最小值為，最大值為．
【點評】本題主要考查了冪函數定義的應用，還考查了函數單調性在最值求解中的應用，屬于中檔題．
20．在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設備年固定研發成本為50萬元，每生產一臺需另投入80元，設該公司一年內生產該設備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入G（x）（萬元）與年產量x（萬臺）滿足如下關系式：．
（1）寫出年利潤W（x）（萬元）關于年產量x（萬臺）的函數解析式；（利潤＝銷售收入﹣成本）
（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意可得W（x）＝xG（x）﹣80x﹣50，進而求出W（x）（萬元）關于年產量x（萬臺）的函數解析式；
（2）問題轉化為求函數W（x）的最大值，分別求兩段的最大值，再比較大小即可得函數W（x）的最大值．
【解答】解：（1）．
（2）當0＜x 20時，W（x）＝﹣2x2+100x﹣50＝﹣2（x﹣25）2+1200，
∴W（x）max＝W（20）＝1150，
當x＞20時，，
當且僅當，即x＝29時等號成立，
∴W（x）max＝W（29）＝1360，
∵1360＞1150，
當年產量為29萬臺時，該公司獲得的利潤最大為1360萬元．
【點評】本題考查函數的實際應用，考查基本不等式的實際應用，考查數學建模和數學運算的核心素養，屬于中檔題．
21．設函數y＝f（x）（x∈R，且x≠0）對任意非零實數x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且對任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求證：f（）＝﹣f（x）．
（2）求不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集．
【答案】（1）詳見解答過程；
（2）．
【分析】（1）由已知關系合理的進行賦值即可證明；
（2）先判斷函數的單調性及奇偶性，然后結合單調性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】證明：（1）因為對任意非零實數x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），
令x1＝x2＝1，則f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0，
則，
即；
解：（2）令x1＝x2＝﹣1，則f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1），
所以f（﹣1）＝0，
令x1＝﹣1，x2＝x，則f（﹣x）＝f（x），
又函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
所以f（x）是偶函數，
任取x1+x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則，
由題設知，
所以＝，
所以f（x2）＞f（x1），
即函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
又因為f（x）是偶函數，f（x）+f（x﹣1）≥0可轉化為f[x（x﹣1）]≥f（1），
所以|x（x﹣1）|≥1，即x2﹣x≥1或x2﹣x≤﹣1，解得或，
所以不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集為．
【點評】本題主要考查了抽象函數賦值法的應用，還考查了函數單調性及奇偶性的判斷及應用，屬于中檔題．
22．已知定義在x∈[﹣2，2]上的偶函數f（x）滿足：當x∈[0，2]時，f（x）＝﹣x+2．
（1）求函數f（x）在x∈[﹣2，2]上的解析式；
（2）設g（x）＝ax﹣2﹣a，（a＞0），若對于任意x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求實數a的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）設x∈[﹣2，0]，則﹣x∈[0，2]，結合函數的奇偶性，從而求出函數的解析式；
（2）由題意得g（x）max＜f（x）min，分別求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，得到關于a的不等式，從而求出a的范圍．
【解答】解：（1）設x∈[﹣2，0]，則﹣x∈[0，2]，
∵f（x）定義x∈[﹣2，2]是偶函數，
∴f（﹣x）＝x+2，
∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x+2，
∴f（x）＝；
（2）因為對任意x1，x2∈[﹣2．，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，
所以g（x）max＜f（x）min，
又因為f（x）是定義在[﹣2，2]上的偶函數，
∴f（x）在區間[﹣2，0]和區間[0，2]上的值域相同．
當x∈[﹣2，0]時：f（x）＝x+2，
設t＝，則t∈[1，]，
函數化為：y＝t2+2t﹣3，t∈[1，]，
則f（x）min＝﹣1，
又g（x）max＝g（2）＝a﹣2，
∴a﹣2＜﹣1，∴a＜1，
故a的范圍是：0＜a＜2．
【點評】本題考查了求函數的解析式問題，考查函數的奇偶性、函數恒成立問題，是一道中檔題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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