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第三章 指數運算與指數函數
一、選擇題
1．已知函數f（x）＝，若f（1）＝f（﹣1），則實數a的值等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．＝（　　）
A．108 B．110 C．81 D．112
3．已知f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），則f（x）的最大值為（　　）
A．1 B．27 C．9 D．81
4．設，則a，b，c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．函數的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函數在[1，+∞）上是增函數，則實數m的取值范圍是（　　）
A．m≤3 B．m≤﹣3 C．m≥3 D．m≥﹣3
7．果農采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果的新鮮度F與其采摘后時間t（單位：天）近似滿足的函數關系式為F＝1﹣m at，若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%．若要這種水果的新鮮度不能低于60%，則采摘下來的這種水果最多可以保存的天數為（　　）
A．32 B．30 C．35 D．28
8．如圖，面積為8的平行四邊形OABC，對角線AC⊥OC，AC與BO交于點E，某指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象經過點E，B，則a＝（　　）
A． B． C．2 D．3
二、填空題
9．計算：+＝ 　 　 ．
10．設0＜a＜1，則關于x的不等式的解集是 　 　 ．
11．函數f（x）在定義域（﹣1，1）上是減函數，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），則實數a的取值范圍為 　 　 ．
12．已知函數，設a＞b≥0，若f（a）＝f（b），則b的取值范圍是 　 　 ．
三、多選題
（多選）13．下列各式正確的有（　　）
A． B．
C． D．
（多選）14．設指數函數f（x）＝ax（a＞0且a≠1），則下列等式正確的是（　　）
A．f（x+y）＝f（x） f（y）
B．f（x﹣y）＝
C．f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
D．[f（xy）]n＝[f（x）]n [f（y）]n（n∈N*）
（多選）15．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的函數關系式為y＝at，則下列說法中錯誤的是（　　）
A．第5個月時，浮萍面積就會超過50m2
B．浮萍面積每月的增長率不相等
C．浮萍每月增加的面積都相等
D．若浮萍面積為2m2，3m2，6m2時所對應的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2＝t3
（多選）16．已知函數f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0，且a≠1），則下列結論正確的是（　　）
A．函數f（x）的圖象關于原點對稱
B．函數f（x）在R上不具有單調性
C．函數f（|x|）的圖象關于y軸對稱
D．當0＜a＜1時，函數f（|x|）的最大值是0
四、解答題
17．化簡：．
18．求下列函數的定義域與值域：
（1）y＝；
（2）y＝（a＞0且a≠1）．
19．求下列函數的單調區間：
（1）y＝|x2+2x﹣3|；
（2）y＝﹣x2+2|x|+1．
20．已知函數f（x）＝ax（a＞0，a≠1）．
（1）若f（﹣1）＝2，求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）若函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的差為，求實數a的值．
21．某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）
第三章 指數運算與指數函數
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．已知函數f（x）＝，若f（1）＝f（﹣1），則實數a的值等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用分段函數的性質求解．
【解答】解：∵f（x）＝，f（1）＝f（﹣1），
∴a＝1﹣（﹣1）＝2．
故選：A．
【點評】本題考查實數的值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分段函數的性質的合理運用．
2．＝（　　）
A．108 B．110 C．81 D．112
【答案】A
【分析】由已知結合指數冪的運算性質即可求解．
【解答】解：＝×
＝22×33＝4×27＝108．
故選：A．
【點評】本題主要考查了指數冪的運算性質，屬于基礎題．
3．已知f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），則f（x）的最大值為（　　）
A．1 B．27 C．9 D．81
【答案】C
【分析】由已知點的坐標先求出f（x），然后結合指數函數單調性即可求解．
【解答】解：因為f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b為常數）的圖象經過點（2，1），
所以32﹣b＝1，即b＝2，
所以f（x）＝3x﹣2，
因為2≤x≤4，
所以0≤x﹣2≤2，
所以1≤3x﹣2≤9，即f（x）的最大值為9．
故選：C．
【點評】本題主要考查了待定系數法求解函數解析式，還考查了指數函數的單調性在函數最值求解中的應用，屬于基礎題．
4．設，則a，b，c的大小關系為（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】對a，b，c變形，再結合指數函數的單調性，即可求解．
【解答】解：a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝，
y＝2x在R上單調遞增，
故a＞c＞b．
故選：B．
【點評】本題主要考查指數函數的單調性，屬于基礎題．
5．函數的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函數的奇偶性排除選項，結合函數的零點以及變換趨勢判斷即可．
【解答】解：函數是偶函數，排除選項D；
函數有兩個零點，排除選項B；
當x→+∞時，f（x）→﹣∞，當時變化緩慢，排除C；
故選：A．
【點評】本題考查函數的圖象的判斷，函數的奇偶性以及函數的零點，是常用方法，是基礎題．
6．已知函數在[1，+∞）上是增函數，則實數m的取值范圍是（　　）
A．m≤3 B．m≤﹣3 C．m≥3 D．m≥﹣3
【答案】A
【分析】求f（x）的導數，利用f′（x）≥0，f（x）是增函數，求得m的取值范圍．
【解答】解：∵，
∴f′（x）＝2x+1﹣＝；
設g（x）＝2x3+x2﹣m，∵g′（x）＝6x2+2x，
當x∈[1，+∞）時，g′（x）＞0，
∴g（x）是增函數，∴g（x）min＝g（1）＝3﹣m；
∴f′（x）在x∈[1，+∞）時，有f′（x）min＝g（x）min＝3﹣m≥0，f（x）是增函數，
解得m≤3，
∴m的取值范圍是{m|m≤3}；
故選：A．
【點評】本題考查了利用導數判定函數的單調性問題，是中檔題．
7．果農采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果的新鮮度F與其采摘后時間t（單位：天）近似滿足的函數關系式為F＝1﹣m at，若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%．若要這種水果的新鮮度不能低于60%，則采摘下來的這種水果最多可以保存的天數為（　　）
A．32 B．30 C．35 D．28
【答案】B
【分析】由題意列方程組，求出m和a，再列不等式求解即可．
【解答】解：由題意知，，解得m＝0.05，a＝；
所以1﹣0.05×≥60%，解得≤8，即t≤30，
所以最多可以保存30天．
故選：B．
【點評】本題考查了指數函數模型應用問題，是基礎題．
8．如圖，面積為8的平行四邊形OABC，對角線AC⊥OC，AC與BO交于點E，某指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象經過點E，B，則a＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先設點E（t，at），則點B坐標為（2t，2at），又因為2at＝a2t，所以at＝2；然后根據平行四邊形的面積是8，求出t的值，代入at＝2，求出a的值即可．
【解答】解：設點E（t，at），則點B坐標為（2t，2at），
又因為2at＝a2t，
所以at＝2；
因為平行四邊形OABC的面積S＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四邊形OABC的面積為8
所以4t＝8，t＝2，
所以a2＝2，
即a＝
故選：A．
【點評】本題主要考查了指數函數的圖象和性質，屬于基礎題．
二、填空題
9．計算：+＝ 　3　 ．
【答案】3．
【分析】利用有理指數冪的運算性質求解即可．
【解答】解：＝．
故答案為：3．
【點評】本題考查了有理指數冪的化簡求值，是基礎題．
10．設0＜a＜1，則關于x的不等式的解集是 　（﹣1，3）　 ．
【答案】（﹣1，3）．
【分析】由指數不等式的解法求解即可．
【解答】解：因為0＜a＜1，
所以不等式等價于x2﹣2x+3＜6，
解得﹣1＜x＜3，
即不等式的解集為（﹣1，3）．
故答案為：（﹣1，3）．
【點評】本題主要考查指數不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎題．
11．函數f（x）在定義域（﹣1，1）上是減函數，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），則實數a的取值范圍為 　（0，）　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】利用函數的定義域和單調性，可得 ，由此求得實數a的取值范圍．
【解答】解：∵函數f（x）在定義域（﹣1，1）上是減函數，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），
∴，求得0＜a＜，
故答案為：（0，）．
【點評】本題主要考查函數的定義域和單調性，屬于基礎題．
12．已知函數，設a＞b≥0，若f（a）＝f（b），則b的取值范圍是 　　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】作函數的圖象，從而利用數形結合知2﹣≤b+1＜2，從而解得．
【解答】解：作函數的圖象如下，
，
結合圖象可知，
2﹣≤b+1＜2，
∴≤b＜1，
故答案為：．
【點評】本題考查了數形結合的思想應用及方程的根與函數的圖象的交點的關系應用．
三、多選題
（多選）13．下列各式正確的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】運用根式的化簡方法直接求解即可．
【解答】解：∵∴A項錯誤；
∵，
∴B項正確；
∵，∴C項正確；
∵，∴D項正確．
故選：BCD．
【點評】本題主要考查了根式的化簡，屬于基礎題．
（多選）14．設指數函數f（x）＝ax（a＞0且a≠1），則下列等式正確的是（　　）
A．f（x+y）＝f（x） f（y）
B．f（x﹣y）＝
C．f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
D．[f（xy）]n＝[f（x）]n [f（y）]n（n∈N*）
【答案】ABC
【分析】利用指數冪的運算性質逐個分析各個選項即可．
【解答】解：對于選項A：f（x+y）＝ax+y＝ax ay＝f（x）f（y），故選項A正確，
對于選項B：f（x﹣y）＝ax﹣y＝＝，故選項B正確，
對于選項C：f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故選項C正確，
對于選項D：[f（xy）]n＝（axy）n，[f（x）]n [f（y）]n＝（ax）n （ay）n＝a（x+y）n≠（axy）n，故選項D錯誤，
故選：ABC．
【點評】本題主要考查了指數冪的運算性質，是基礎題．
（多選）15．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的函數關系式為y＝at，則下列說法中錯誤的是（　　）
A．第5個月時，浮萍面積就會超過50m2
B．浮萍面積每月的增長率不相等
C．浮萍每月增加的面積都相等
D．若浮萍面積為2m2，3m2，6m2時所對應的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2＝t3
【答案】ABC
【分析】由函數過點（1，2），可得y＝2t，再結合增長率公式與指數式的運算，即可判斷出答案．
【解答】解：由圖可知，y＝at過點（1，2），則2＝a1，即a＝2，
所以池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關系為y＝2t，
當t＝5時，y＝25＝32＜50，故A錯誤；
浮萍面積每月增長率為＝1，故B不正確；
當t＝1時，y＝2，當t＝2時，y＝22＝4，當t＝3時，y＝23＝8，
所以第一個月浮萍增加的面積為2m2，第二個月浮萍增加的面積為4﹣2＝2m2，第三個月浮萍增加的面積為8﹣4＝4m2，故C錯誤；
因為＝2，＝3，＝6，
所以 ＝，即t1+t2＝t3，故D正確．
故選：ABC．
【點評】本題主要考查函數模型及其應用，指數函數的應用等知識，屬于基礎題．
（多選）16．已知函數f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0，且a≠1），則下列結論正確的是（　　）
A．函數f（x）的圖象關于原點對稱
B．函數f（x）在R上不具有單調性
C．函數f（|x|）的圖象關于y軸對稱
D．當0＜a＜1時，函數f（|x|）的最大值是0
【答案】ACD
【分析】由已知結合函數奇偶性的定義及性質檢驗選項A，C，結合指數函數的單調性檢驗選項B，結合單調性與函數的最值關系檢驗選項D．
【解答】解：∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）為奇函數，f（x）的圖象關于原點對稱，故A選項正確；
當a＞1時，f（x）在R上為增函數，當0＜a＜1時，f（x）在R上為減函數，故B選項錯誤；
y＝f（|x|）是偶函數，其圖象關于y軸對稱，故C選項正確；
當0＜a＜1時，y＝f（|x|）在（﹣∞，0]上為增函數，在[0，+∞）上為減函數，
∴當x＝0時，y＝f（|x|）取得最大值，最大值為0，故D選項正確．
故選：ACD．
【點評】本題主要考查了指數函數的性質及函數單調性及奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．
四、解答題
17．化簡：．
【答案】．
【分析】利用有理數指數冪及根式化簡運算求值．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【點評】本題考查有理數指數冪及根式化簡運算等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
18．求下列函數的定義域與值域：
（1）y＝；
（2）y＝（a＞0且a≠1）．
【答案】（1）定義域為[，+∞），值域為[1，+∞）；
（2）定義域為R，值域為（﹣1，1）．
【分析】根據定義域和值域的求法，逐一求解即可．
【解答】解：（1）5x﹣1≥0，解得x≥，故該函數定義域為[，+∞），
≥0，≥1，故該函數的值域為[1，+∞）；
（2）∵1+ax＞1恒成立，
∴函數的定義域為R，
∵y＝＝1﹣，1+ax＞1，
∴0＜＜2，則﹣2＜﹣＜0，
﹣1＜1﹣＜1，
即函數的值域為（﹣1，1）．
【點評】本題考查函數的定義域與值域，屬于基礎題．
19．求下列函數的單調區間：
（1）y＝|x2+2x﹣3|；
（2）y＝﹣x2+2|x|+1．
【答案】（1）函數的單調遞減區間為（﹣∞，﹣3）和（﹣1，1），單調遞增區間為（﹣3，﹣1）和（1，+∞）；
（2）函數的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1）和（0，1），單調遞減區間為（﹣1，0）和（1，+∞）．
【分析】將函數f（x）寫成分段函數的形式，作出函數的草圖，結合圖象分析可得函數的單調區間．
【解答】解：（1）y＝|x2+2x﹣3|＝，
畫出圖象如圖所示：
由圖象得，函數的單調遞減區間為（﹣∞，﹣3）和（﹣1，1），
單調遞增區間為（﹣3，﹣1）和（1，+∞）．
（2）y＝﹣x2+2|x|+1＝，
畫出函數的圖象，如圖所示：
由圖象得，函數的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1）和（0，1），
單調遞減區間為（﹣1，0）和（1，+∞）．
【點評】本題考查函數單調性的判斷，考查數形結合思想與運算求解能力，屬于基礎題．
20．已知函數f（x）＝ax（a＞0，a≠1）．
（1）若f（﹣1）＝2，求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）若函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的差為，求實數a的值．
【答案】（1）f（2）+f（﹣2）＝；
（2）a的值為3或．
【分析】（1）利用f（﹣1）＝2，求出a，繼而可求得f（2）+f（﹣2）的值；
（2）分a＞1與0＜a＜1兩類討論，分析f（x）＝ax在[﹣1，1]上單調性，利用函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的差為，列式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因為f（x）＝ax，f（﹣1）＝＝2，故a＝，
當a＝時，f（x）＝，f（2）+f（﹣2）＝+＝，
故f（2）+f（﹣2）＝；
（Ⅱ）①當a＞1時，f（x）＝ax在[﹣1，1]上單調遞增，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（1）﹣f（﹣1）＝a﹣＝，
化簡得3a2﹣8a﹣3＝0，
解得：a＝3或a＝﹣（舍去）；
②當0＜a＜1時，f（x）＝ax在[﹣1，1]上單調遞減，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（﹣1）﹣f（1）＝﹣a＝，
化簡得3a2+8a﹣3＝0．
解得：a＝或a＝﹣3（舍去）．
綜上，實數a的值為3或．
【點評】本題考查函數的最值及其幾何意義，考查轉化化歸思想與方程思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．
21．某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由圖象知，0≤t＜1時函數的解析式是一個線段，再結合函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）即可得到函數的解析式；
（2）根據（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式計算出第二次吃藥的時間即可；
（3）根據所求出的函數解析式分別計算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．
【解答】解：（1）當0≤t＜1時，y＝8t；
當t≥1時，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故
（2）設第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，則，解得t＝5，即第一次服藥后5h后服第二次藥，也即上午11：00服藥；
（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：
含第二次服藥量為：
所以此時兩次服藥剩余的量為
故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg
【點評】本題考查指數函數在實際中的應用，解答的關鍵是將實際問題對應的函數模型建立起來，進而通過代數計算得出實際問題的解決方案
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