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人教新版 八上 數(shù)學
同步課件
人教新版七上數(shù)學 小專題好題精練 講解課件
小專題（八）
整式中的規(guī)律探究
類型一　數(shù)式規(guī)律
1. 已知下列一組數(shù)：1， ， ， ， ，…，則第 n 個數(shù)為（　D　）
A. B.
C. D.
2. 觀察下列式子：①9×1＋0＝9；②9×2＋1＝19；③9×3＋2＝29；④9×4＋3＝
39，…，根據(jù)規(guī)律寫出第 n 個式子為 .
D
9 n ＋（ n －1）＝10 n －1　
3. 有一組多項式： a － b2， a2－ b5， a3－ b10， a4－ b17，…
（1）依照此規(guī)律，第15個多項式是什么？
解：第15個多項式為 a15－ b15×15＋1＝ a15－ b226.
（2）求第 n 個多項式，請你賦予 a ， b ， n 一組數(shù)值，并計算.
解：第 n 個多項式為 an － bn× n＋1＝ an － .
當 a ＝2， b ＝1， n ＝3時， an － ＝23－ ＝23－110＝8－1＝7.
（答案不唯一）
類型二　圖形規(guī)律
4. 將字母“C”“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，圖1可以用CH4表示，圖2可以用
C2H6表示，圖3可以用C3H8表示……根據(jù)這個規(guī)律，第 n 個圖形可以表示為
（　B　）
圖1
圖2
圖3
A. C n H n＋3 B. C n H2 n＋2
C. C n H2 n D. C n H2 n－2
B
5. 下列圖案由邊長相等的灰、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第10
個圖形中白色正方形的個數(shù)為 ，第 n 個圖形中白色正方形的個數(shù)為
.（用含 n 的式子表示）
32　
3 n ＋
2　
類型三　數(shù)陣規(guī)律
6. 如圖是2024年1月份的月歷，小張用長方形按如圖所示的方向從中任意框出四個
日期，若這四個日期的和為56，則 C 處的日期為2024年1月 日.
17　
7. 將連續(xù)偶數(shù)2，4，6，…按如圖所示排列，并用十字框框出5個數(shù).
（1）十字框框出的5個數(shù)分別與框中間的數(shù)32有什么關(guān)系？
解：十字框框出的5個數(shù)中，上面的數(shù)比中間的數(shù)小12，下面的數(shù)比中間的
數(shù)大12，左邊的數(shù)比中間的數(shù)小2，右邊的數(shù)比中間的數(shù)大2.
（2）十字框框出的5個數(shù)的和與32有什么關(guān)系？
解：5個數(shù)的和為20＋30＋32＋34＋44＝160.
因為160＝32×5，
所以十字框框出的5個數(shù)的和是32的5倍.
（3）設(shè)中間的數(shù)為 a ，用含 a 的式子表示十字框框出的5個數(shù)的和.
解：根據(jù)題意，得5個數(shù)的和為（ a －12）＋（ a －2）＋ a ＋（ a ＋2）＋
（ a ＋12）＝5 a .
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小專題（六）
與整式的化簡有關(guān)的說理題
1. 已知兩個整式 A ＝ x2－ x ， B ＝■ x ＋1，其中系數(shù)■被污染.
（1）若■是2，化簡2 A － B ；
解：當■＝2時，
2 A － B ＝2（ x2－ x ）－（2 x ＋1）＝2 x2－2 x －2 x －1＝2 x2－4 x －1.
（2）若 A － B 的結(jié)果不含 x 項，求■的值.
解：設(shè)■＝ m ，
則 A － B ＝ x2－ x －（ mx ＋1）＝ x2－ x － mx －1＝ x2－（1＋ m ） x －1.
因為不含 x 項，
所以－（1＋ m ）＝0，
所以 m ＝－1，所以■＝－1.
2. 已知 A ＝2 x2＋ mx － y ， B ＝ nx2－ x ＋6 y 是關(guān)于 x ， y 的多項式，其中 m ， n 為
常數(shù).
（1）若 m ＝1， n ＝－2，化簡 A ＋ B ；
解：當 m ＝1， n ＝－2時，
A ＝2 x2＋ x － y ， B ＝－2 x2－ x ＋6 y ，
所以 A ＋ B ＝2 x2＋ x － y ＋（－2 x2－ x ＋6 y ）
＝2 x2＋ x － y －2 x2－ x ＋6 y
＝5 y .
（2）若 A － B 的結(jié)果與 x 的取值無關(guān)，求（ m ＋ n ）2 024的值.
解： A － B ＝2 x2＋ mx － y －（ nx2－ x ＋6 y ）
＝（2－ n ） x2＋（ m ＋1） x －7 y .
由題意，得2－ n ＝0， m ＋1＝0，
所以 m ＝－1， n ＝2，
所以（ m ＋ n ）2 024＝（－1＋2）2 024＝1.
3. 有一道題目：當 a ＝2， b ＝－2時，求多項式3 a3 b3－ a2 b ＋ b －（4 a3 b3－ a2 b
－ b2）＋（ a3 b3＋ a2 b ）－（2 b2＋3）的值.甲同學做題時，把“ a ＝2”錯抄成
“ a ＝－2”；乙同學沒抄錯題，但他們做出來的結(jié)果一樣，你知道這是怎么回
事嗎？
解：原式＝3 a3 b3－ a2 b ＋ b －4 a3 b3＋ a2 b ＋ b2＋ a3 b3＋ a2 b －2 b2－3
＝－ b2＋ b －3.
因為此多項式化簡后的結(jié)果中不含字母 a ，
即多項式的值與字母 a 的取值無關(guān)，
所以甲同學把“ a ＝2”錯抄成“ a ＝－2”，乙同學沒抄錯題，但他們做出來的
結(jié)果一樣.
4. 已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字是 a ，個位上的數(shù)字是 b .
（1）這個兩位數(shù)是 ；（用含 a ， b 的式子表示）
10 a ＋ b 　
解：原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除.
理由如下：
這兩個數(shù)的和為（10 a ＋ b ）＋（10 b ＋ a ）＝11 a ＋11 b ＝11（ a ＋ b ）.
因為 a ， b 都是整數(shù)，所以 a ＋ b 也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的和能被11整除.
這兩個數(shù)的差為（10 a ＋ b ）－（10 b ＋ a ）＝10 a ＋ b －10 b － a ＝9 a －
9 b ＝9（ a － b ）.
因為 a ， b 都是整數(shù)，所以 a － b 也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的差一定是9的倍數(shù).
（2）若 a ≠ b ，把這個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，得到一個新的
兩位數(shù)，則原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除嗎？為什么？其差又一定
是哪個數(shù)的倍數(shù)？為什么？
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【人教七上數(shù)學小專題好題精練】第3-4章共4小專題
小專題（五）　整式的化簡求值
類型一　先化簡，再求值
1.先化簡，再求值：2（3a2b－ab2）－3（2a2b－ab2＋ab），其中a＝，b＝－2.
解：原式＝6a2b－2ab2－6a2b＋3ab2－3ab
＝（6a2b－6a2b）＋（－2ab2＋3ab2）－3ab
＝ab2－3ab.
當a＝，b＝－2時，
原式＝×（－2）2－3××（－2）＝2＋3＝5.
2.先化簡，再求值：a2b－[3ab2－2（ab2－3a2b）]，其中a＝1，b＝－.
解：原式＝a2b－3ab2＋2ab2－6a2b＝－5a2b－ab2.
當a＝1，b＝－時，原式＝－5×12×（ －）－1×（ －）2＝－＝.
類型二　整體代入求值
3.已知xy＝－13，x＋y＝11，求式子（3xy＋3y）＋[5x－（2xy＋2y＋4x）]的值.
解：原式＝3xy＋3y＋5x－2xy－2y－4x
＝xy＋x＋y.
當xy＝－13，x＋y＝11時，
原式＝－13＋11＝－2.
4.已知a2－a＝4，求4a2－2（a2－a＋3）－（a2－a－4）－4a的值.
解：原式＝4a2－2a2＋2a－6－a2＋a＋4－4a
＝a2－a－2.
因為a2－a＝4，
所以原式＝4－2＝2.
類型三　先求字母的值，再代入求值
5.已知（x－2）2＋｜y＋1｜＝0，求5xy2－[2x2y－（2x2y－3xy2）]的值.
解：原式＝5xy2－2x2y＋2x2y－3xy2＝2xy2.
由題意，得x－2＝0，y＋1＝0，
所以x＝2，y＝－1，
所以原式＝2×2×（－1）2＝4.
6.先化簡，再求值：5x＋13（x2－y）－5（3x2＋x－y）＋10y，其中｜x＋3｜＋｜y－2｜＝0.
解：原式＝5x＋13x2－13y－15x2－5x＋y＋10y
＝－2x2－2y.
由題意，得x＋3＝0，y－2＝0，
所以x＝－3，y＝2，
所以原式＝－2×（－3）2－2×2＝－2×9－4＝－18－4＝－22.
7.已知｜m＋n－2｜＋（mn＋3）2＝0，求9（m＋n）－2[mn＋（m＋n）]－3[2（m＋n）－3mn]的值.
解：原式＝9（m＋n）－2mn－2（m＋n）－6（m＋n）＋9mn
＝m＋n＋7mn.
由題意，得m＋n－2＝0，mn＋3＝0，
所以m＋n＝2，mn＝－3，
所以原式＝2＋7×（－3）＝－19.
小專題（六）　與整式的化簡有關(guān)的說理題
1.已知兩個整式A＝x2－x，B＝■x＋1，其中系數(shù)■被污染.
（1）若■是2，化簡2A－B；
（2）若A－B的結(jié)果不含x項，求■的值.
解：（1）當■＝2時，
2A－B＝2（x2－x）－（2x＋1）＝2x2－2x－2x－1＝2x2－4x－1.
（2）設(shè)■＝m，
則A－B＝x2－x－（mx＋1）＝x2－x－mx－1＝x2－（1＋m）x－1.
因為不含x項，
所以－（1＋m）＝0，
所以m＝－1，所以■＝－1.
2.已知A＝2x2＋mx－y，B＝nx2－x＋6y是關(guān)于x，y的多項式，其中m，n為常數(shù).
（1）若m＝1，n＝－2，化簡A＋B；
（2）若A－B的結(jié)果與x的取值無關(guān)，求（m＋n）2 024的值.
解：（1）當m＝1，n＝－2時，
A＝2x2＋x－y，B＝－2x2－x＋6y，
所以A＋B＝2x2＋x－y＋（－2x2－x＋6y）
＝2x2＋x－y－2x2－x＋6y
＝5y.
（2）A－B＝2x2＋mx－y－（nx2－x＋6y）
＝（2－n）x2＋（m＋1）x－7y.
由題意，得2－n＝0，m＋1＝0，
所以m＝－1，n＝2，
所以（m＋n）2 024＝（－1＋2）2 024＝1.
3.有一道題目：當a＝2，b＝－2時，求多項式3a3b3－a2b＋b－（4a3b3－a2b－b2）＋（a3b3＋a2b）－（2b2＋3）的值.甲同學做題時，把“a＝2”錯抄成“a＝－2”；乙同學沒抄錯題，但他們做出來的結(jié)果一樣，你知道這是怎么回事嗎？
解：原式＝3a3b3－a2b＋b－4a3b3＋a2b＋b2＋a3b3＋a2b－2b2－3
＝－b2＋b－3.
因為此多項式化簡后的結(jié)果中不含字母a，
即多項式的值與字母a的取值無關(guān)，
所以甲同學把“a＝2”錯抄成“a＝－2”，乙同學沒抄錯題，但他們做出來的結(jié)果一樣.
4.已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是b.
（1）這個兩位數(shù)是　　10a＋b　；（用含a，b的式子表示）
（2）若a≠b，把這個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，得到一個新的兩位數(shù)，則原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除嗎？為什么？其差又一定是哪個數(shù)的倍數(shù)？為什么？
解：原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除.
理由如下：
這兩個數(shù)的和為（10a＋b）＋（10b＋a）＝11a＋11b＝11（a＋b）.
因為a，b都是整數(shù)，所以a＋b也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的和能被11整除.
這兩個數(shù)的差為（10a＋b）－（10b＋a）＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9（a－b）.
因為a，b都是整數(shù)，所以a－b也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的差一定是9的倍數(shù).
小專題（七）　帶絕對值的整式的化簡
類型一　已知條件化簡絕對值
1.已知－2≤x≤3，化簡：2｜x＋2｜－3｜x－3｜.
解：因為－2≤x≤3，
所以x＋2≥0，x－3≤0，
所以原式＝2（x＋2）－3[－（x－3）]
＝2（x＋2）＋3（x－3）
＝2x＋4＋3x－9
＝5x－5.
2.已知y＜0，化簡：｜y｜＋｜1－2y｜－｜y－3｜＋｜3y－2｜.
解：原式＝－y＋1－2y－（3－y）＋（2－3y）
＝－y＋1－2y－3＋y＋2－3y
＝－5y.
3.已知a，b，c都是不為0的有理數(shù)，且｜－a｜＋a＝0，｜ab｜＝ab，｜c｜－c＝0，化簡：｜b｜－｜a＋b｜－｜c－b｜＋｜a－c｜.
解：由題意知a＜0，b＜0，c＞0，
所以a＋b＜0，c－b＞0，a－c＜0，
所以原式＝－b－[－（a＋b）]－（c－b）－（a－c）＝－b＋a＋b－c＋b－a＋c＝b.
類型二　運用數(shù)軸化簡絕對值
4.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，且｜a｜＝｜c｜.
（1）填空：a＋b　　＜　0；c＋a　　＝　0；c－b　　＞　0；（均填“＞”“＜”或“＝”）
（2）化簡：｜a－b｜＋｜b＋c｜－｜c＋a｜－｜a－c｜.
解：原式＝a－b－b－c－0－a＋c＝－2b.
5.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示.
（1）化簡：｜b－c｜－｜b＋c｜＋｜a－c｜－｜a＋c｜－｜a＋b｜；
（2）若｜a｜＝3，b2＝1，c的倒數(shù)是－，求（1）中式子的值.
解：（1）由數(shù)軸可知a＜c＜0＜b，且｜a｜＞｜c｜＞｜b｜，
所以原式＝（b－c）－[－（b＋c）]＋[－（a－c）]－[－（a＋c）]－[－（a＋b）]
＝b－c＋b＋c－a＋c＋a＋c＋a＋b
＝a＋3b＋2c.
（2）由已知結(jié)合數(shù)軸可知a＝－3，b＝1，c＝－2，
所以原式＝a＋3b＋2c＝－3＋3×1＋2×（－2）＝－4.
6.已知a，b，c，d為有理數(shù)，若a，b，c，d在數(shù)軸上的位置如圖所示，且｜c｜＝｜d｜－7，先化簡下式，再求其值：｜c－a－b｜－｜a＋c－d｜－｜c－b｜.
解：由數(shù)軸知c－a－b＞0，a＋c－d＜0，c－b＞0，
所以原式＝（c－a－b）－[－（a＋c－d）]－（c－b）
＝c－a－b＋a＋c－d－c＋b
＝c－d.
因為｜c｜＝｜d｜－7，
所以c＝d－7，所以原式＝c－d＝－7.
小專題（八）　整式中的規(guī)律探究
類型一　數(shù)式規(guī)律
1.已知下列一組數(shù)：1，，，，，…，則第n個數(shù)為（　D　）
A. B.
C. D.
2.觀察下列式子：①9×1＋0＝9；②9×2＋1＝19；③9×3＋2＝29；④9×4＋3＝39，…，根據(jù)規(guī)律寫出第n個式子為　　9n＋（n－1）＝10n－1　.
3.有一組多項式：a－b2，a2－b5，a3－b10，a4－b17，…
（1）依照此規(guī)律，第15個多項式是什么？
（2）求第n個多項式，請你賦予a，b，n一組數(shù)值，并計算.
解：（1）第15個多項式為a15－b15×15＋1＝a15－b226.
（2）第n個多項式為an－bn×n＋1＝an－.
當a＝2，b＝1，n＝3時，an－＝23－＝23－110＝8－1＝7.（答案不唯一）
類型二　圖形規(guī)律
4.將字母“C”“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，圖1可以用CH4表示，圖2可以用C2H6表示，圖3可以用C3H8表示……根據(jù)這個規(guī)律，第n個圖形可以表示為（　B　）
圖1　圖2　圖3 …
A.CnHn＋3 B.CnH2n＋2
C.CnH2n D.CnH2n－2
5.下列圖案由邊長相等的灰、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第10個圖形中白色正方形的個數(shù)為　　32　，第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為　　3n＋2　.（用含n的式子表示）
類型三　數(shù)陣規(guī)律
6.如圖是2024年1月份的月歷，小張用長方形按如圖所示的方向從中任意框出四個日期，若這四個日期的和為56，則C處的日期為2024年1月　　17　日.
7.將連續(xù)偶數(shù)2，4，6，…按如圖所示排列，并用十字框框出5個數(shù).
（1）十字框框出的5個數(shù)分別與框中間的數(shù)32有什么關(guān)系？
（2）十字框框出的5個數(shù)的和與32有什么關(guān)系？
（3）設(shè)中間的數(shù)為a，用含a的式子表示十字框框出的5個數(shù)的和.
解：（1）十字框框出的5個數(shù)中，上面的數(shù)比中間的數(shù)小12，下面的數(shù)比中間的數(shù)大12，左邊的數(shù)比中間的數(shù)小2，右邊的數(shù)比中間的數(shù)大2.
（2）5個數(shù)的和為20＋30＋32＋34＋44＝160.
因為160＝32×5，
所以十字框框出的5個數(shù)的和是32的5倍.
（3）根據(jù)題意，得5個數(shù)的和為（a－12）＋（a－2）＋a＋（a＋2）＋（a＋12）＝5a.
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小專題（七）
帶絕對值的整式的化簡
類型一　已知條件化簡絕對值
1. 已知－2≤ x ≤3，化簡：2｜ x ＋2｜－3｜ x －3｜.
解：因為－2≤ x ≤3，
所以 x ＋2≥0， x －3≤0，
所以原式＝2（ x ＋2）－3[－（ x －3）]
＝2（ x ＋2）＋3（ x －3）
＝2 x ＋4＋3 x －9
＝5 x －5.
2. 已知 y ＜0，化簡：｜ y ｜＋｜1－2 y ｜－｜ y －3｜＋｜3 y －2｜.
解：原式＝－ y ＋1－2 y －（3－ y ）＋（2－3 y ）
＝－ y ＋1－2 y －3＋ y ＋2－3 y
＝－5 y .
3. 已知 a ， b ， c 都是不為0的有理數(shù)，且｜－ a ｜＋ a ＝0，｜ ab ｜＝ ab ，｜ c ｜
－ c ＝0，化簡：｜ b ｜－｜ a ＋ b ｜－｜ c － b ｜＋｜ a － c ｜.
解：由題意知 a ＜0， b ＜0， c ＞0，
所以 a ＋ b ＜0， c － b ＞0， a － c ＜0，
所以原式＝－ b －[－（ a ＋ b ）]－（ c － b ）－（ a － c ）＝－ b ＋ a ＋ b － c ＋ b
－ a ＋ c ＝ b .
類型二　運用數(shù)軸化簡絕對值
4. 已知有理數(shù) a ， b ， c 在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，且｜ a ｜＝｜ c ｜.
（1）填空： a ＋ b 0； c ＋ a 0； c － b 0；（均填
“＞”“＜”或“＝”）
（2）化簡：｜ a － b ｜＋｜ b ＋ c ｜－｜ c ＋ a ｜－｜ a － c ｜.
解：原式＝ a － b － b － c －0－ a ＋ c ＝－2 b .
＜　
＝　
＞　
5. 已知有理數(shù) a ， b ， c 在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示.
（1）化簡：｜ b － c ｜－｜ b ＋ c ｜＋｜ a － c ｜－｜ a ＋ c ｜－｜ a ＋ b ｜；
解：由數(shù)軸可知 a ＜ c ＜0＜ b ，且｜ a ｜＞｜ c ｜＞｜ b ｜，
所以原式＝（ b － c ）－[－（ b ＋ c ）]＋[－（ a － c ）]－[－（ a ＋ c ）]－
[－（ a ＋ b ）]
＝ b － c ＋ b ＋ c － a ＋ c ＋ a ＋ c ＋ a ＋ b
＝ a ＋3 b ＋2 c .
（2）若｜ a ｜＝3， b2＝1， c 的倒數(shù)是－ ，求（1）中式子的值.
解：由已知結(jié)合數(shù)軸可知 a ＝－3， b ＝1， c ＝－2，
所以原式＝ a ＋3 b ＋2 c ＝－3＋3×1＋2×（－2）＝－4.
6. 已知 a ， b ， c ， d 為有理數(shù)，若 a ， b ， c ， d 在數(shù)軸上的位置如圖所示，且｜
c ｜＝｜ d ｜－7，先化簡下式，再求其值：｜ c － a － b ｜－｜ a ＋ c － d ｜－｜
c － b ｜.
解：由數(shù)軸知 c － a － b ＞0， a ＋ c － d ＜0， c － b ＞0，
所以原式＝（ c － a － b ）－[－（ a ＋ c － d ）]－（ c － b ）
＝ c － a － b ＋ a ＋ c － d － c ＋ b
＝ c － d .
因為｜ c ｜＝｜ d ｜－7，
所以 c ＝ d －7，所以原式＝ c － d ＝－7.
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人教新版 八上 數(shù)學
同步課件
人教新版七上數(shù)學 小專題好題精練 講解課件
小專題（五）
整式的化簡求值
類型一　先化簡，再求值
1. 先化簡，再求值：2（3 a2 b － ab2）－3（2 a2 b － ab2＋ ab ），其中 a ＝ ， b ＝
－2.
解：原式＝6 a2 b －2 ab2－6 a2 b ＋3 ab2－3 ab
＝（6 a2 b －6 a2 b ）＋（－2 ab2＋3 ab2）－3 ab
＝ ab2－3 ab .
當 a ＝ ， b ＝－2時，
原式＝ ×（－2）2－3× ×（－2）＝2＋3＝5.
2. 先化簡，再求值： a2 b －[3 ab2－2（ ab2－3 a2 b ）]，其中 a ＝1， b ＝－ .
解：原式＝ a2 b －3 ab2＋2 ab2－6 a2 b ＝－5 a2 b － ab2.
當 a ＝1， b ＝－ 時，原式＝－5×12×（ － ）－1×（ － ）2＝ － ＝ .
類型二　整體代入求值
3. 已知 xy ＝－13， x ＋ y ＝11，求式子（3 xy ＋3 y ）＋[5 x －（2 xy ＋2 y ＋
4 x ）]的值.
解：原式＝3 xy ＋3 y ＋5 x －2 xy －2 y －4 x
＝ xy ＋ x ＋ y .
當 xy ＝－13， x ＋ y ＝11時，
原式＝－13＋11＝－2.
4. 已知 a2－ a ＝4，求4 a2－2（ a2－ a ＋3）－（ a2－ a －4）－4 a 的值.
解：原式＝4 a2－2 a2＋2 a －6－ a2＋ a ＋4－4 a
＝ a2－ a －2.
因為 a2－ a ＝4，
所以原式＝4－2＝2.
類型三　先求字母的值，再代入求值
5. 已知（ x －2）2＋｜ y ＋1｜＝0，求5 xy2－[2 x2 y －（2 x2 y －3 xy2）]的值.
解：原式＝5 xy2－2 x2 y ＋2 x2 y －3 xy2＝2 xy2.
由題意，得 x －2＝0， y ＋1＝0，
所以 x ＝2， y ＝－1，
所以原式＝2×2×（－1）2＝4.
6. 先化簡，再求值：5 x ＋13（ x2－ y ）－5（3 x2＋ x － y ）＋10 y ，其中｜ x ＋3｜
＋｜ y －2｜＝0.
解：原式＝5 x ＋13 x2－13 y －15 x2－5 x ＋ y ＋10 y
＝－2 x2－2 y .
由題意，得 x ＋3＝0， y －2＝0，
所以 x ＝－3， y ＝2，
所以原式＝－2×（－3）2－2×2＝－2×9－4＝－18－4＝－22.
7. 已知｜ m ＋ n －2｜＋（ mn ＋3）2＝0，求9（ m ＋ n ）－2[ mn ＋（ m ＋ n ）]－
3[2（ m ＋ n ）－3 mn ]的值.
解：原式＝9（ m ＋ n ）－2 mn －2（ m ＋ n ）－6（ m ＋ n ）＋9 mn
＝ m ＋ n ＋7 mn .
由題意，得 m ＋ n －2＝0， mn ＋3＝0，
所以 m ＋ n ＝2， mn ＝－3，
所以原式＝2＋7×（－3）＝－19.
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【人教七上數(shù)學小專題好題精練】第3-4章共4小專題
小專題（五）　整式的化簡求值
類型一　先化簡，再求值
1.先化簡，再求值：2（3a2b－ab2）－3（2a2b－ab2＋ab），其中a＝，b＝－2.
解：原式＝6a2b－2ab2－6a2b＋3ab2－3ab
＝（6a2b－6a2b）＋（－2ab2＋3ab2）－3ab
＝ab2－3ab.
當a＝，b＝－2時，
原式＝×（－2）2－3××（－2）＝2＋3＝5.
2.先化簡，再求值：a2b－[3ab2－2（ab2－3a2b）]，其中a＝1，b＝－.
解：原式＝a2b－3ab2＋2ab2－6a2b＝－5a2b－ab2.
當a＝1，b＝－時，原式＝－5×12×（ －）－1×（ －）2＝－＝.
類型二　整體代入求值
3.已知xy＝－13，x＋y＝11，求式子（3xy＋3y）＋[5x－（2xy＋2y＋4x）]的值.
解：原式＝3xy＋3y＋5x－2xy－2y－4x
＝xy＋x＋y.
當xy＝－13，x＋y＝11時，
原式＝－13＋11＝－2.
4.已知a2－a＝4，求4a2－2（a2－a＋3）－（a2－a－4）－4a的值.
解：原式＝4a2－2a2＋2a－6－a2＋a＋4－4a
＝a2－a－2.
因為a2－a＝4，
所以原式＝4－2＝2.
類型三　先求字母的值，再代入求值
5.已知（x－2）2＋｜y＋1｜＝0，求5xy2－[2x2y－（2x2y－3xy2）]的值.
解：原式＝5xy2－2x2y＋2x2y－3xy2＝2xy2.
由題意，得x－2＝0，y＋1＝0，
所以x＝2，y＝－1，
所以原式＝2×2×（－1）2＝4.
6.先化簡，再求值：5x＋13（x2－y）－5（3x2＋x－y）＋10y，其中｜x＋3｜＋｜y－2｜＝0.
解：原式＝5x＋13x2－13y－15x2－5x＋y＋10y
＝－2x2－2y.
由題意，得x＋3＝0，y－2＝0，
所以x＝－3，y＝2，
所以原式＝－2×（－3）2－2×2＝－2×9－4＝－18－4＝－22.
7.已知｜m＋n－2｜＋（mn＋3）2＝0，求9（m＋n）－2[mn＋（m＋n）]－3[2（m＋n）－3mn]的值.
解：原式＝9（m＋n）－2mn－2（m＋n）－6（m＋n）＋9mn
＝m＋n＋7mn.
由題意，得m＋n－2＝0，mn＋3＝0，
所以m＋n＝2，mn＝－3，
所以原式＝2＋7×（－3）＝－19.
小專題（六）　與整式的化簡有關(guān)的說理題
1.已知兩個整式A＝x2－x，B＝■x＋1，其中系數(shù)■被污染.
（1）若■是2，化簡2A－B；
（2）若A－B的結(jié)果不含x項，求■的值.
解：（1）當■＝2時，
2A－B＝2（x2－x）－（2x＋1）＝2x2－2x－2x－1＝2x2－4x－1.
（2）設(shè)■＝m，
則A－B＝x2－x－（mx＋1）＝x2－x－mx－1＝x2－（1＋m）x－1.
因為不含x項，
所以－（1＋m）＝0，
所以m＝－1，所以■＝－1.
2.已知A＝2x2＋mx－y，B＝nx2－x＋6y是關(guān)于x，y的多項式，其中m，n為常數(shù).
（1）若m＝1，n＝－2，化簡A＋B；
（2）若A－B的結(jié)果與x的取值無關(guān)，求（m＋n）2 024的值.
解：（1）當m＝1，n＝－2時，
A＝2x2＋x－y，B＝－2x2－x＋6y，
所以A＋B＝2x2＋x－y＋（－2x2－x＋6y）
＝2x2＋x－y－2x2－x＋6y
＝5y.
（2）A－B＝2x2＋mx－y－（nx2－x＋6y）
＝（2－n）x2＋（m＋1）x－7y.
由題意，得2－n＝0，m＋1＝0，
所以m＝－1，n＝2，
所以（m＋n）2 024＝（－1＋2）2 024＝1.
3.有一道題目：當a＝2，b＝－2時，求多項式3a3b3－a2b＋b－（4a3b3－a2b－b2）＋（a3b3＋a2b）－（2b2＋3）的值.甲同學做題時，把“a＝2”錯抄成“a＝－2”；乙同學沒抄錯題，但他們做出來的結(jié)果一樣，你知道這是怎么回事嗎？
解：原式＝3a3b3－a2b＋b－4a3b3＋a2b＋b2＋a3b3＋a2b－2b2－3
＝－b2＋b－3.
因為此多項式化簡后的結(jié)果中不含字母a，
即多項式的值與字母a的取值無關(guān)，
所以甲同學把“a＝2”錯抄成“a＝－2”，乙同學沒抄錯題，但他們做出來的結(jié)果一樣.
4.已知一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是b.
（1）這個兩位數(shù)是　　10a＋b　；（用含a，b的式子表示）
（2）若a≠b，把這個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，得到一個新的兩位數(shù)，則原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除嗎？為什么？其差又一定是哪個數(shù)的倍數(shù)？為什么？
解：原兩位數(shù)與新兩位數(shù)的和能被11整除.
理由如下：
這兩個數(shù)的和為（10a＋b）＋（10b＋a）＝11a＋11b＝11（a＋b）.
因為a，b都是整數(shù)，所以a＋b也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的和能被11整除.
這兩個數(shù)的差為（10a＋b）－（10b＋a）＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9（a－b）.
因為a，b都是整數(shù)，所以a－b也是整數(shù)，
所以這兩個數(shù)的差一定是9的倍數(shù).
小專題（七）　帶絕對值的整式的化簡
類型一　已知條件化簡絕對值
1.已知－2≤x≤3，化簡：2｜x＋2｜－3｜x－3｜.
解：因為－2≤x≤3，
所以x＋2≥0，x－3≤0，
所以原式＝2（x＋2）－3[－（x－3）]
＝2（x＋2）＋3（x－3）
＝2x＋4＋3x－9
＝5x－5.
2.已知y＜0，化簡：｜y｜＋｜1－2y｜－｜y－3｜＋｜3y－2｜.
解：原式＝－y＋1－2y－（3－y）＋（2－3y）
＝－y＋1－2y－3＋y＋2－3y
＝－5y.
3.已知a，b，c都是不為0的有理數(shù)，且｜－a｜＋a＝0，｜ab｜＝ab，｜c｜－c＝0，化簡：｜b｜－｜a＋b｜－｜c－b｜＋｜a－c｜.
解：由題意知a＜0，b＜0，c＞0，
所以a＋b＜0，c－b＞0，a－c＜0，
所以原式＝－b－[－（a＋b）]－（c－b）－（a－c）＝－b＋a＋b－c＋b－a＋c＝b.
類型二　運用數(shù)軸化簡絕對值
4.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，且｜a｜＝｜c｜.
（1）填空：a＋b　　＜　0；c＋a　　＝　0；c－b　　＞　0；（均填“＞”“＜”或“＝”）
（2）化簡：｜a－b｜＋｜b＋c｜－｜c＋a｜－｜a－c｜.
解：原式＝a－b－b－c－0－a＋c＝－2b.
5.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示.
（1）化簡：｜b－c｜－｜b＋c｜＋｜a－c｜－｜a＋c｜－｜a＋b｜；
（2）若｜a｜＝3，b2＝1，c的倒數(shù)是－，求（1）中式子的值.
解：（1）由數(shù)軸可知a＜c＜0＜b，且｜a｜＞｜c｜＞｜b｜，
所以原式＝（b－c）－[－（b＋c）]＋[－（a－c）]－[－（a＋c）]－[－（a＋b）]
＝b－c＋b＋c－a＋c＋a＋c＋a＋b
＝a＋3b＋2c.
（2）由已知結(jié)合數(shù)軸可知a＝－3，b＝1，c＝－2，
所以原式＝a＋3b＋2c＝－3＋3×1＋2×（－2）＝－4.
6.已知a，b，c，d為有理數(shù)，若a，b，c，d在數(shù)軸上的位置如圖所示，且｜c｜＝｜d｜－7，先化簡下式，再求其值：｜c－a－b｜－｜a＋c－d｜－｜c－b｜.
解：由數(shù)軸知c－a－b＞0，a＋c－d＜0，c－b＞0，
所以原式＝（c－a－b）－[－（a＋c－d）]－（c－b）
＝c－a－b＋a＋c－d－c＋b
＝c－d.
因為｜c｜＝｜d｜－7，
所以c＝d－7，所以原式＝c－d＝－7.
小專題（八）　整式中的規(guī)律探究
類型一　數(shù)式規(guī)律
1.已知下列一組數(shù)：1，，，，，…，則第n個數(shù)為（　D　）
A. B.
C. D.
2.觀察下列式子：①9×1＋0＝9；②9×2＋1＝19；③9×3＋2＝29；④9×4＋3＝39，…，根據(jù)規(guī)律寫出第n個式子為　　9n＋（n－1）＝10n－1　.
3.有一組多項式：a－b2，a2－b5，a3－b10，a4－b17，…
（1）依照此規(guī)律，第15個多項式是什么？
（2）求第n個多項式，請你賦予a，b，n一組數(shù)值，并計算.
解：（1）第15個多項式為a15－b15×15＋1＝a15－b226.
（2）第n個多項式為an－bn×n＋1＝an－.
當a＝2，b＝1，n＝3時，an－＝23－＝23－110＝8－1＝7.（答案不唯一）
類型二　圖形規(guī)律
4.將字母“C”“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，圖1可以用CH4表示，圖2可以用C2H6表示，圖3可以用C3H8表示……根據(jù)這個規(guī)律，第n個圖形可以表示為（　B　）
圖1　圖2　圖3 …
A.CnHn＋3 B.CnH2n＋2
C.CnH2n D.CnH2n－2
5.下列圖案由邊長相等的灰、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第10個圖形中白色正方形的個數(shù)為　　32　，第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為　　3n＋2　.（用含n的式子表示）
類型三　數(shù)陣規(guī)律
6.如圖是2024年1月份的月歷，小張用長方形按如圖所示的方向從中任意框出四個日期，若這四個日期的和為56，則C處的日期為2024年1月　　17　日.
7.將連續(xù)偶數(shù)2，4，6，…按如圖所示排列，并用十字框框出5個數(shù).
（1）十字框框出的5個數(shù)分別與框中間的數(shù)32有什么關(guān)系？
（2）十字框框出的5個數(shù)的和與32有什么關(guān)系？
（3）設(shè)中間的數(shù)為a，用含a的式子表示十字框框出的5個數(shù)的和.
解：（1）十字框框出的5個數(shù)中，上面的數(shù)比中間的數(shù)小12，下面的數(shù)比中間的數(shù)大12，左邊的數(shù)比中間的數(shù)小2，右邊的數(shù)比中間的數(shù)大2.
（2）5個數(shù)的和為20＋30＋32＋34＋44＝160.
因為160＝32×5，
所以十字框框出的5個數(shù)的和是32的5倍.
（3）根據(jù)題意，得5個數(shù)的和為（a－12）＋（a－2）＋a＋（a＋2）＋（a＋12）＝5a.
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