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第24章 圓
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，點B，C，D在⊙O上，∠BDA＝30°，A是的中點，則∠BOC的度數是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．在剪紙活動中，軒軒想用一張矩形紙片剪出一個正六邊形，其中正六邊形的一條邊與矩形的一邊重合，如圖所示，則∠1的度數是（　　）
A．72° B．65° C．60° D．54°
3．在練習擲鉛球項目時，某同學擲出的鉛球直徑為10cm，在操場地上砸出一個深2cm的小坑，則該坑的直徑AB為（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如圖，在⊙O中，AB＝CD，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
5．如圖，一根排水管的截面是一個半徑為5的圓，管內水面寬AB＝8，則排水管水面高為（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
6．如圖，點A，B，E在以CD為直徑的⊙O上，AB⊥CD，若∠ACB＝80°，則∠BEC的度數為（　　）
A．100° B．125° C．130° D．150°
7．若正多邊形的一個頂點出發有15條對角線，則該正多邊形的邊數是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．一個正多邊形的內角和是1440°，則它的每個外角的度數是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
二．填空題（共8小題）
9．如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接AC，則∠ACD的度數為 　 　 °．
10．如圖，已知圓心角∠AOB的度數為100°，則圓周角∠ACB的度數是 　 　 ．
11．如圖，DA切⊙O于點A，AC是⊙O直徑，連接DC交⊙O于B，若∠ACB＝30°，OC＝3，則陰影部分的面積是　 　 ．
12．如圖，正八邊形ABCDEFGH的對角線AF與BH相交于點O，則∠1＝ 　 　 ．
13．如圖，點O是△ABC的內心，連接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，則點O到邊AB的距離為：　 　 ．
14．如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D．若AB＝6，CD＝2，則⊙O的半徑為 　 　 ．
15．如果一個正多邊形的內角和是540°，那么它的中心角是　 　 度．
16．為了測量一個光盤的直徑，小明把直尺、光盤和三角板按如圖所示放置于桌面上，其中光盤與直尺、三角板均相切，點A是三角板的一個頂點，B是光盤與直尺的切點．測量得AB＝6cm，則這張光盤的直徑是 　 　 cm．
三．解答題（共9小題）
17．如圖①是一個半徑為3厘米的半圓，AB是直徑．保持點A不動，將整個半圓逆時針旋轉60°，此時點B移動到點C，如圖②．則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）
18．壓路機的滾筒是圓柱體，它的長是1.5米，滾筒的半徑是0.55米，以每分鐘滾16周計算，每分鐘可壓路面多少平方米？
19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作AB的平行線交CA的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
20．如圖所示，PA，PB分別與⊙O相切于點A和點B，且∠AOB＝150°，求∠P 的度數．
21．如圖，AB是半圓O的直徑，點D是弦AC延長線上一點，連接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求證：BD是半圓O的切線；
（2）當BC＝2時，求陰影部分的面積（用含π的代數式表示）．
22．如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB＝90°，．
（1）求的長；
（2）求陰影部分拱形面積．（保留π）
23．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E，連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半徑．
24．如圖，在⊙O中，弦CD與直徑AB交于點G，CD平分∠ACB，CG＝CB，過點A作AF⊥CD，交CD于點E，連接AD，CF．
（1）求證：CF平分∠BCD；
（2）若CF與AB交于點H，連接EH，且⊙O的半徑是10，求EH的長．
25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點C作⊙O的切線CD交BA延長線于點D，點E為上一點，且．
（1）求證：DC∥AE；
（2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求陰影部分的面積．
第24章 圓
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，點B，C，D在⊙O上，∠BDA＝30°，A是的中點，則∠BOC的度數是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】D
【分析】先證明∠AOC＝∠AOB＝2∠BDA＝60°，從而可得答案．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵A是的中點，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠BDA＝60°，
∴∠BOC＝60°+60°＝120°，
故選：D．
【點評】本題考查的圓周角定理，弧與圓心角的關系，關鍵是根據圓周角定理解答．
2．在剪紙活動中，軒軒想用一張矩形紙片剪出一個正六邊形，其中正六邊形的一條邊與矩形的一邊重合，如圖所示，則∠1的度數是（　　）
A．72° B．65° C．60° D．54°
【答案】C
【分析】本題考查了求正多邊形的外角，由多邊形的外角和及正多邊形的性質得，即可求解．
【解答】解：∵正六邊形各外角相等，
∴∠160°，
故選：C．
【點評】本題考查正多邊形的性質，關鍵是掌握正多邊形的各外角相等．
3．在練習擲鉛球項目時，某同學擲出的鉛球直徑為10cm，在操場地上砸出一個深2cm的小坑，則該坑的直徑AB為（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【分析】根據勾股定理和垂徑定理求解．
【解答】解：如圖，
根據題意得，D在OE上，OE⊥AB，DE＝2cm，
∴AB＝2AD，
∵OA＝OE10＝5cm，
∴OD＝5﹣2＝3（cm），
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
∴52＝32+AD2，
∴AD＝4cm（負值已舍），
∴AB＝8cm，
故選：D．
【點評】本題考查的是垂徑定理的應用，熟知平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．
4．如圖，在⊙O中，AB＝CD，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
【答案】D
【分析】根據圓心角、弧、弦的關系得出，，AC＝BD，即可得出選項．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD，
∵和無法確定相等，
∴無法判斷AD＝BD，
故選：D．
【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，解此題的關鍵是熟練掌握圓心角、弧、弦的關系．
5．如圖，一根排水管的截面是一個半徑為5的圓，管內水面寬AB＝8，則排水管水面高為（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】C
【分析】根據垂徑定理可知ACAB＝4，再利用勾股定理求出OC，再根據線段的和差求解即可．
【解答】解：如圖，連接OA，
由題可知OD⊥AB，
∴ACAB＝4，
∴OC3，
∴排水管水面高為3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，
故選：C．
【點評】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵．
6．如圖，點A，B，E在以CD為直徑的⊙O上，AB⊥CD，若∠ACB＝80°，則∠BEC的度數為（　　）
A．100° B．125° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】先根據垂徑定理得到CD垂直平分AB，則AC＝BC，根據等腰三角形的性質求得∠BAC＝50°，然后根據圓內接四邊形的對角互補求解即可．
【解答】解：∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB（垂直于弦的直徑平分弦），
∴AC＝BC，
又∠ACB＝80°，
∴，
∵四邊形ACEB是⊙O的圓內接四邊形，
∴∠BEC＝180°﹣∠BAC＝130°，
故選：C．
【點評】本題考查垂徑定理，掌握線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及圓內接四邊形的性質是解題的關鍵．
7．若正多邊形的一個頂點出發有15條對角線，則該正多邊形的邊數是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】根據多邊形從一個頂點所畫對角線的條數的規律列方程求解即可．
【解答】解：設這個正多邊形為正n邊形，由題意得，
n﹣3＝15，
解得n＝18，
故選：D．
【點評】本題考查多邊形的對角線，理解多邊形對角線的定義，掌握多邊形對角線條數的計算方法是正確解答的關鍵．
8．一個正多邊形的內角和是1440°，則它的每個外角的度數是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】先設該多邊形是n邊形，根據多邊形內角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多邊形的邊數，再根據多邊形的外角和是360°，利用360除以邊數可得外角度數．
【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，則
（n﹣2）×180°＝1440°，
解得n＝10．
外角：360°÷10＝36°，
故選：B．
【點評】此題考查了多邊形的內角與外角，關鍵是根據多邊形的內角和公式（n﹣2） 180°和多邊形的外角和都是360°進行解答．
二．填空題（共8小題）
9．如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接AC，則∠ACD的度數為 　72　 °．
【答案】72．
【分析】由正五邊形的性質可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度數即可解決問題．
【解答】解：在正五邊形ABCDE中，∠B＝∠BCD（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．
故答案為：72．
【點評】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內角與外角的知識點，解答本題的關鍵是求出正五邊形的內角，此題基礎題，比較簡單．
10．如圖，已知圓心角∠AOB的度數為100°，則圓周角∠ACB的度數是 　130°　 ．
【答案】130°．
【分析】在優弧AB取D點，連接AD，BD，再進行解答即可．
【解答】解：如圖，在優弧AB上取D點，連接AD，BD，
∵點D在⊙O的圓周上，∠AOB的度數為100°，
∴．
∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．
故答案為：130°．
【點評】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，應在優弧AB上取D點，連接AD，BD，再進行解答即可．
11．如圖，DA切⊙O于點A，AC是⊙O直徑，連接DC交⊙O于B，若∠ACB＝30°，OC＝3，則陰影部分的面積是　π　 ．
【答案】見試題解答內容
【分析】連接OB、AB，根據扇形面積公式求出扇形AOB的面積，根據三角形的面積公式分別求出△BOC的面積和△CAD的面積，結合圖形計算，得到答案．
【解答】解：連接OB、AB，
由圓周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴扇形AOB的面積π，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴ABAC＝3，
由勾股定理得，BC3，
∴△ABC的面積3×3，
∵OA＝OC，
∴△BOC的面積，
∵DA切⊙ 于點A，
∴∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AD＝AC tan∠ACD＝2，
∴△CAD的面積26＝6，
∴陰影部分的面積＝6ππ，
故答案為：π．
【點評】本題考查的是切線的性質、三角形的面積計算、扇形面積計算，掌握切線的性質、扇形面積公式是解題的關鍵．
12．如圖，正八邊形ABCDEFGH的對角線AF與BH相交于點O，則∠1＝ 　67.5°　 ．
【答案】67.5°．
【分析】先根據正多邊形的性質得出AB＝AH，HG∥AF，∠BAH＝∠AHG＝135°，再根據等腰三角形的性質求出∠ABH＝∠AHB＝22.5°，根據平行線的性質求出∠HAF＝45°，再根據三角形外角的性質即可得解．
【解答】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，
∴AB＝AH，HG∥AF，∠BAH＝∠AHG135°，
∴∠ABH＝∠AHB22.5°，∠AHG+∠HAF＝180°，
∴∠HAF＝45°，
∴∠1＝∠AHB+∠HAF＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案為：67.5°．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握這些性質定理是解題的關鍵．
13．如圖，點O是△ABC的內心，連接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，則點O到邊AB的距離為：　3　 ．
【答案】3．
【分析】作OH⊥AB于點H，因為OD是△OCA的高，所以OD⊥AC于點D，由點O是△ABC的內心，證明AO平分∠BAC，所以OH＝OD＝3，于是得到問題的答案．
【解答】解：作OH⊥AB于點H，
∵OD是△OCA的高，
∴OD⊥AC于點D，
∵點O是△ABC的內心，
∴AO平分∠BAC，
∵點O在∠BAC的平分線上，且OH⊥AB于點H，OD⊥AC于點D，
∴OH＝OD＝3，
∴點O到邊AB的距離為3，
故答案為：3．
【點評】此題重點考查三角形的內切圓與內心、角平分線的性質等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．
14．如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點，OC交AB于點D．若AB＝6，CD＝2，則⊙O的半徑為 　　 ．
【答案】．
【分析】根據垂徑定理、勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如圖，連接OA，
∵AB是⊙O的弦，C是的中點，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝3，
在Rt△AOD中，設OA＝x，則OD＝OC﹣CD＝x﹣2，由勾股定理得，
OD2+AD2＝OA2，
即（x﹣2）2+32＝x2，
解得x，
即半徑為，
故答案為：．
【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓心角、弦、弧之間的關系，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的關鍵．
15．如果一個正多邊形的內角和是540°，那么它的中心角是　72　 度．
【答案】72．
【分析】根據正多邊形的內角和求出其邊數，即可求出這個正多邊形的中心角的度數．
【解答】解：設這個正多邊形的邊數為n，
則（n﹣2）×180°＝540°，
解得n＝5，
所以正五邊形的中心角是72°，
故答案為：72．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形中心角的求法是解題的關鍵．
16．為了測量一個光盤的直徑，小明把直尺、光盤和三角板按如圖所示放置于桌面上，其中光盤與直尺、三角板均相切，點A是三角板的一個頂點，B是光盤與直尺的切點．測量得AB＝6cm，則這張光盤的直徑是 　12　 cm．
【答案】見試題解答內容
【分析】設光盤所在圓的圓心為點O，光盤與三角板的切點為點C，連接OA、OB、OC，由切線的性質得∠ABO＝90°，由切線長定理得∠OAB＝∠OAC∠BAC＝60°，由tan60°，且AB＝6cm，求得2OB＝12cm，于是得到問題的答案．
【解答】解：設光盤所在圓的圓心為點O，光盤與三角板的切點為點C，連接OA、OB、OC，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAB＝∠OAC∠BAC＝60°，
∴tan60°，
∵AB＝6cm，
∴OBAB＝6cm，
∴2OB＝12cm，
∴這張光盤的直徑是12cm，
故答案為：12．
【點評】此題重點考查切線的性質定理、切線長定理、解直角三角形等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．
三．解答題（共9小題）
17．如圖①是一個半徑為3厘米的半圓，AB是直徑．保持點A不動，將整個半圓逆時針旋轉60°，此時點B移動到點C，如圖②．則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（π取3.14）
【答案】18.84平方厘米．
【分析】觀察圖形可知，AC左邊為半圓，右邊為扇形CAB，所以圖形總面積為半圓面積與扇形CAB面積之和，陰影部分面積為圖形總面積減去半圓面積即可解答．
【解答】解：由題意可得：AB＝6厘米，
∵S陰影＝S半圓+S扇形CAB﹣S半圓＝S扇形CAB，
∴平方厘米．
答：圖中陰影部分的面積是18.84平方厘米．
【點評】本題考查了圓的面積公式、扇形的面積公式等知識點，弄清圖形之間的關系成為解題的關鍵．
18．壓路機的滾筒是圓柱體，它的長是1.5米，滾筒的半徑是0.55米，以每分鐘滾16周計算，每分鐘可壓路面多少平方米？
【答案】26.4π平方米．
【分析】求前輪每分鐘滾動16周，壓過的路的面積是多少平方米，實際是求16倍的圓柱側面積，圓柱的側面積是S＝πdh，據此計算即可．
【解答】解：S側＝2πrh＝π×2×0.55×1.5＝1.65π（平方米），
1.65π×16＝26.4π（平方米），
答：每分鐘可壓路面是26.4π平方米．
【點評】本題考查圓柱的側面積，掌握圓柱的側面積公式是解題的關鍵．
19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作AB的平行線交CA的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析；
（2）5﹣π．
【分析】（1）如圖，連接BD，OD，AD，首先由直徑得到∠ADB＝90°，然后證明出AD＝DB，得到OD⊥AB，然后推出OD⊥ED，即可證明DE是⊙O的切線；
（2）如圖所示，過點A作ED垂線AF，首先證明出四邊形AODF為正方形，設圓半徑為R，利用勾股定理求出R＝2，得到，然后利用陰影面積＝S梯形AEDO﹣S扇形AOD代數求解即可．
【解答】解：（1）如圖，連接BD，OD，AD
由題意可得：∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠DCB，
∴AD＝DB，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵ED∥AB，
∴OD⊥ED，
∴ED為⊙O的切線；
（2）過點A作ED垂線AF，
∴AF⊥FD，
∵FD∥AO，
∴AF⊥AB，
∵OD⊥ED，
∴四邊形AODF為矩形，
又∵AO＝DO，
∴矩形AODF為正方形，
設圓半徑為R，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：AE2＝AF2+EF2，
∴，
解得：R＝2，（負值不符合題意，已經舍去），
∴，
∴陰影面積，
＝5﹣π．
【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正方形性質與判定，勾股定理，扇形面積公式等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．
20．如圖所示，PA，PB分別與⊙O相切于點A和點B，且∠AOB＝150°，求∠P 的度數．
【答案】∠P 的度數為30°．
【分析】根據切線長的性質以及四邊形的內角和定理即可得到結論．
【解答】解：∵PA，PB分別與⊙O相切于點A和點B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠QOB＝150°，
∴∠P＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO＝30°，
故∠P 的度數為30°．
【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．
21．如圖，AB是半圓O的直徑，點D是弦AC延長線上一點，連接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求證：BD是半圓O的切線；
（2）當BC＝2時，求陰影部分的面積（用含π的代數式表示）．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）根據直徑所對的圓周角得到∠ACB＝90°，進而根據三角形的內角和求出∠BAC＝30°，∠ABD＝90°，即可得證結論；
（2）根據30°角的直角三角形的性質與勾股定理求出AB＝2BC＝4，，根據S陰影＝S半圓O﹣SRt△ABC即可解答．
【解答】（1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴BD⊥AB，
∵AB是半圓O的直徑，
∴BD是半圓O的切線．
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
，
∴，
，
∵，
∴．
【點評】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，切線的判定，扇形的面積，熟知相關性質和計算公式是解題的關鍵．
22．如圖，在⊙O中，圓心角∠AOB＝90°，．
（1）求的長；
（2）求陰影部分拱形面積．（保留π）
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出半徑，再直接利用弧長公式求解即可；
（2）先求出扇形AOB的面積，再減去直角三角形AOB的面積即可．
【解答】解：（1）由題意可得：AO2+BO2＝2，且AO＝BO，
∴AO＝BO＝1，
∴的長為：；
（2）扇形AOB的面積為：，
直角三角形AOB的面積為：，
∴陰影部分拱形面積為：．
【點評】本題考查求弧長以及不規則圖形的面積，熟練掌握基本公式是解題關鍵．
23．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E，連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半徑．
【答案】（1）證明見解析；
（2）5．
【分析】（1）根據同角的余角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．
【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠BCD+∠ACE＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：設⊙O的半徑為r，
∵EB＝2，
∴OE＝OB﹣EB＝r﹣2，
∵AB⊥CD，CD＝8，
∴，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5．
答：⊙O的半徑為5．
【點評】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力，關鍵是根據垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相解答．
24．如圖，在⊙O中，弦CD與直徑AB交于點G，CD平分∠ACB，CG＝CB，過點A作AF⊥CD，交CD于點E，連接AD，CF．
（1）求證：CF平分∠BCD；
（2）若CF與AB交于點H，連接EH，且⊙O的半徑是10，求EH的長．
【答案】（1）證明：∵CG＝CB，
∴∠B＝∠CGB．
∵∠CGB＝∠AGD，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠AGD，
∴AD＝AG，
∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠DAF＝∠DCF，∠BAF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD．
（2）．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得∠B＝∠CGB，從而得到∠D＝∠AGD，進而得到AD＝AG，繼而得到∠DAF＝∠BAF，即可求證；
（2）連接OD，BD，根據AB為直徑以及CD平分∠ACB，可得∠ACD＝∠BCD＝45°，再由圓周角定理可得∠BOD＝2∠BAD＝90°，從而得到，然后根據三角形中位線定理解答即可．
【解答】（1）證明：由條件可知∠B＝∠CGB．
∵∠CGB＝∠AGD，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠AGD，
∴AD＝AG，
∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠BAF，
由條件可知∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD．
（2）解：連接OD，BD．
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
由條件可知∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∴，
∵AD＝AG，AF⊥CD，
∴點E是DG的中點，
∵CG＝CB，∠DCF＝∠BCF，
∴點H是BG的中點，
∴．
【點評】本題主要查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形中位線定理：熟練掌握以上知識點是關鍵．
25．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點C作⊙O的切線CD交BA延長線于點D，點E為上一點，且．
（1）求證：DC∥AE；
（2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求陰影部分的面積．
【答案】（1）連接OC，BE，OC交AE于G，
∵⊙O的切線CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴OC⊥AE，
∴∠AGO＝90°，
∴∠AGO＝∠OCD＝90°，
∴DC∥AE（同位角相等，兩直線平行）；
（2）．
【分析】（1）連接OC，BE，OC交AE于G，由切線得到∠OCD＝90°，再由結合垂徑定理得到OC⊥AE，即∠AGO＝∠OCD＝90°，則DC∥AE；
（2）連結OE、BE，由EF垂直平分OB，得到OE＝BE＝OB，則△OEB為等邊三角形．∠BOE＝60°，推出∠OAE＝∠OEA＝∠D＝30°，得到OD＝2OC＝OA+AD，OC＝OA＝AD＝6，最后根據S陰影＝S扇形OAE﹣S△OAE計算即可．
【解答】（1）證明：連接OC，BE，OC交AE于G，
∵⊙O的切線CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴OC⊥AE，
∴∠AGO＝90°，
∴∠AGO＝∠OCD＝90°，
∴DC∥AE（同位角相等，兩直線平行）；
（2）解：連結OE、BE，
∵EF垂直平分OB，
∴OE＝BE（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等），
∵OE＝OB，
∴△OEB為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）．
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣60°＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°．
∵DC∥AE，
∴∠D＝∠OAE＝30°．
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝2OC＝OA+AD，
∵OA＝OC，DA＝6，
∴OC＝OA＝AD＝6，
∴AO＝OE＝OC＝6，，
∴，
∴．
【點評】本題考查切線的性質，圓周角定理，掌握線段垂直平分線的性質，扇形的面積是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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