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2026屆高考一輪復習專題4：基本不等式
一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知正數，滿足，則的最小值為( )
A. B. C. D.
2.正數，滿足，則的最小值是( )
A. B. C. D.
3.當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4. 若是正數，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.已知，，，則的最小值為 ( )
A. B. C. D.
6.若兩個正實數，滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍是( )
A. B. 或
C. D. 或
7.設，，則有( )
A. B. C. D.
8.若存在，且，使不等式能成立，則實數的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
9.已知，，，則的最大值為( )
A. B. C. D.
10.單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多因素相關假設某條道路一小時通過的車輛數滿足關系，其中為安全距離，為車速當安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為( )
A. B. C. D.
11.設常數，若對一切正實數成立，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
12.設，且恒成立，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共5小題，共30分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
13.已知正實數，滿足，則下列是真命題的為( )
A. 的最大值為 B. 的最小值為
C. 的最大值為 D. 的最小值為
14.已知，都是正實數，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
15.若非零實數，滿足，則下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
16.已知，，，則( )
A. 的最小值為 B. 的最大值為
C. 的最小值為 D. 的最小值為
17.幾何原本中的幾何代數法用幾何方法研究代數問題成了后世西方數學家處理問題的重要依據．根據這一方法，很多代數公理、定理都能夠通過圖形實現證明，并稱之為“無字證明”如圖所示，是半圓的直徑，點是上一點不同于，，，點在半圓上，且，于點設，，則該圖形可以完成的“無字證明”為 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
18.已知，，則的最小值為 ．
19.用籬笆圍成一個一邊靠墻面積為的矩形菜園，墻長，則至少需要籬笆
20.設實數，滿足，，則的取值范圍是
21.設，，，若，且，則的最大值為 ．
四、解答題：本題共3小題，共36分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
22.本小題分
某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側原有墻體，建造一間墻高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無須建造費用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米元，左右兩面新建墻體報價為每平方米元，屋頂和地面以及其他報價共計元．設屋子的左右兩側墻的長度均為米．
當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？
現有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能竟標成功，試求的取值范圍．
23.本小題分
比較與的大??；
證明：已知，且，求證：．
24.本小題分
問題：正數，滿足，求的最小值，其中一種解法是：，當且僅當，且時，即且時取等號，學習上述解法并解決下列問題；
若正實數，滿足，求的最小值；
若正實數，，，滿足，且，試比較和的大小，并說明理由；
利用的結論，求代數式的最小值，并求出使得取得最小值時的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因為，
所以
，
當且僅當時，取得等號．
故選：．
2.【答案】
【解析】正數，滿足，
，
，
當且僅當且，即時取等號，
，
即的最小值是，
故選C．
3.【答案】
【解析】當時，不等式恒成立，
對均成立．
由于，
當且僅當時取等號，
故的最小值等于，
，
則實數的取值范圍是．
故選：．
4.【答案】
【解析】當，“”不能得出“”；
當，“”能得出“”；
由于的取值不確定，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．
5.【答案】
【解析】因為，，，
則，
當且僅當 時，即當，且，等號成立，
故的最小值為．
故選B．
6.【答案】
【解析】不等式有解，
，
，
，
，當且僅當，等號成立，
，
，
，
實數的取值范圍是．
故選D．
7.【答案】
【解析】
，
．
故選：．
8.【答案】
【解析】因為能成立，
所以，
又因為，
所以，
所以
，
當且僅當，
即時等號成立，
所以，即，
解得或．
故實數的取值范圍是．
故選：．
9.【答案】
【解析】，，．
則
，
令，
則，
令，即，
可得，
由，
當且僅當，時上式取得等號，
可得，
則的最大值為，
故選：．
10.【答案】
【解析】由題意得，，
當且僅當，即時取“”，
所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為．
故選：．
11.【答案】
【解析】因為：，，
所以．
原不等式恒成立，
即可轉換為，解得．
所以的取值范圍為：．
故選A．
12.【答案】
【解析】因為，，所以，，，
要使恒成立，即恒成立，
因為
，
當且僅當，即時等號成立，
故，所以的最大值為．
故選C
13.【答案】
【解析】，當且僅當時取等，A正確
因為，所以，當且僅當時取等，B正確
結合選項，，當且僅當，C錯誤
因為，所以，當且僅當時取等，D錯誤．
故選：．
14.【答案】
【解析】因為，都是正實數，
對于、，當且僅當時取等號，故A正確；
對于、，當且僅當時取等號，故B正確；
對于、取，則，，此時，故C錯誤；
對于、因為，故，故D正確．
15.【答案】
【解析】當時，不成立
當時，不成立
因為，則 一定成立
因為符號不定，故不一定成立．
故選ABD．
16.【答案】
【解析】對于，因為，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為，故A正確
對于，由，
當且僅當時等號成立，得，
從而，所以的最大值為，故B正確
對于，因為，而，
所以無最小值，故C錯誤
對于，
令，，則，，
所以，
因為，且，，
所以
，
當且僅當，即，時，等號成立，
則，
故的最小值為，故D正確．
故選：．
17.【答案】
【解析】連接，，
由，
根據圖象，在中，由射影定理可知：，
即，
又，
，A正確；
同理，在中，由射影定理可知：，
即，
又，即，則，C正確；
對于、選項，無法由題中圖象證明得出，所以不選．
18.【答案】
【解析】，
，
當且僅當且，
即時取等號，
的最小值為，
故答案為：．
19.【答案】
【解析】由題意設矩形的長為，，則寬為，
可得籬笆長為，當且僅當，即時取等號，
所以籬笆長最小值為．
故答案為．
20.【答案】
【解析】，，
又，，，
，
，
即．
故答案為．
21.【答案】
【解析】由，得，
所以，
當且僅當，即，時等號成立，
又，，，得，，
所以，當且僅當，時等號成立，
所以的最大值為．
故答案為．
22.【解析】設甲工程隊的總造價為元，
則，，
，
當且僅當，即時等號成立，
當左右兩面墻的長度為米時，甲工程隊的報價最低為元
由題意可得，對任意的恒成立，
即有，
即在恒成立，
又，
當且僅當即時等號成立，
，
又，的取值范圍為．
23.【解析】作差可得：
，
當時，，故；
當時，，故；
當時，，故．
證明：因為，且，
所以，所以，
因為，所以，
取倒數得：，
由于，
所以，得證．
24.【解析】若正實數，滿足，即，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是；
正實數，，，滿足，且，
，
又，
當且僅當且，即時等號成立，
所以，
所以，當且僅當時等號成立；
由的結論可知，若正實數，，，滿足，且，
則，當且僅當時等號成立，
要使有意義，需滿足且，解得，
則，即，
所以，
當時，，
當時，
令，所以，即，此時，
所以由可得：
，即，
，，
當且僅當時等號成立，
由，得，
所以當時，取得最小值．
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