資源簡介

第2課時　二項分布的綜合應用
【學習目標】
　　1.掌握二項分布的均值與方差的公式.
　　2.能利用二項分布解決一些簡單的實際問題.
◆ 知識點　 二項分布的均值和方差
(1)均值:若隨機變量X~B(n,p),則EX=　　　　.
(2)方差:若隨機變量X~B(n,p),則DX=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲5次,則正面向上的次數的方差等于. (　 )
◆ 探究點一　二項分布的均值和方差
例1 已知一個箱子中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和3個白球.
(1)一次取出2個球,在已知它們顏色相同的情況下,求該顏色是紅色的概率;
(2)一次取出1個球,取出后記錄顏色并放回箱中,取球3次,求取到紅球的次數X的均值與方差.
變式 小明同學從家到學校要經過6個紅綠燈路口,假設他在各個路口遇到紅燈是相互獨立的,并且概率都是,則小明同學在上學途中遇到的紅燈次數X的均值為　　　　,方差為　　　　.
[素養(yǎng)小結]
(1)求二項分布的均值和方差的步驟:
①一是判斷隨機變量是否服從二項分布;
②二是代入二項分布的均值和方差公式計算均值和方差.
(2)若X服從參數為p的兩點分布,則DX=p(1-p);若X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則DX=np(1-p).
◆ 探究點二　已知二項分布的均值和方差求參　　　　　　　　　　　　　　　
例2 設隨機變量X~B(9,p),且EX=3,則p= (　 )
A. B. C. D.
變式 (1)設隨機變量X~B(n,p),如果EX=12,DX=4,那么n和p分別為 (　 )
A.18和 B.16和
C.20和 D.15和
(2)隨機變量X,Y滿足Y=3X-1,且X~B(3,p),若P(X≥1)=,則DY=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
一般求二項分布中n與p兩個參數時,會結合二項分布的均值與方差公式,通過方程的思想方法求解n或p.
◆ 探究點三　二項分布的實際應用
例3 已知一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8.
(1)問:每穴至少種幾粒種子,才能保證每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于98%
(2)若每穴種3粒種子,求恰好2粒種子發(fā)芽的概率.(參考數據:lg 2≈0.301 0)
變式 [2024·吉林汪清高二期末] 某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經過兩次燒制,當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平,經過第一次燒制,甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為0.5,0.6,0.4,經過第二次燒制,甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為0.6,0.5,0.75.
(1)求經過第一次燒制恰有一件產品合格的概率;
(2)經過先后兩次燒制,記合格產品的件數為ξ,求隨機變量ξ的分布列及數學期望.
[素養(yǎng)小結]
利用二項分布來解決實際問題的關鍵是在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否是n重伯努利試驗,隨機變量是否為在這n重伯努利試驗中某事件發(fā)生的次數,滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布.
拓展 高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計的用來研究隨機現象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當的空隙作為通道,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與各層小木塊碰撞,且等可能地向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的高爾頓板有7層小木塊,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2,…,7的球槽內.例如小球要掉入3號球槽,則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.
(1)若進行1次高爾頓板試驗,求這個小球掉入2號球槽的概率;
(2)若進行5次高爾頓板試驗,記小球掉入偶數號球槽的次數為X,求X的分布列與期望.(共28張PPT)
§4 二項分布與超幾何分布
4.1 二項分布
第2課時 二項分布的綜合應用
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 備用習題
【學習目標】
1.掌握二項分布的均值與方差的公式.
2.能利用二項分布解決一些簡單的實際問題.
知識點 二項分布的均值和方差
（1）均值:若隨機變量,則 ____.
（2）方差:若隨機變量,則 __________.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲5次,則正面向上的次數的方差等于 .( )
×
探究點一 二項分布的均值和方差
例1 已知一個箱子中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和3個白球.
（1）一次取出2個球，在已知它們顏色相同的情況下，求該顏色是紅色的概率；
解：在已知它們顏色相同的情況下，該顏色是紅色的概率 .
（2）一次取出1個球，取出后記錄顏色并放回箱中，取球3次，求取到紅球的次
數 的均值與方差.
解：由題意可知，一次取出1個球，取得紅球的概率為 ,取出后記錄顏色并放回
箱中，
取球3次，則的可能取值為0，1，2，3，且 ，
所以， .
變式 小明同學從家到學校要經過6個紅綠燈路口，假設他在各個路口遇到紅
燈是相互獨立的，并且概率都是，則小明同學在上學途中遇到的紅燈次數 的
均值為___，方差為__.
2
[解析] 由題意可得，,，， .
［素養(yǎng)小結］
（1）求二項分布的均值和方差的步驟:
①一是判斷隨機變量是否服從二項分布;
②二是代入二項分布的均值和方差公式計算均值和方差.
（2）若服從參數為的兩點分布,則;若服從參數為, 的二項
分布,即,則 .
探究點二 已知二項分布的均值和方差求參
例2 設隨機變量，且，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為隨機變量，且，所以 ，
所以 ,故選A.
變式（1） 設隨機變量，如果，，那么和 分別
為( )
A
A.18和 B.16和 C.20和 D.15和
[解析] 由解得 故選A.
（2）隨機變量,滿足，且，若 ，則
___．
[解析] 因為，所以 ，
又，所以 ，
故 ，
所以 ．
［素養(yǎng)小結］
一般求二項分布中與 兩個參數時，會結合二項分布的均值與方差公式，通過
方程的思想方法求解或 .
探究點三 二項分布的實際應用
例3 已知一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8.
（1）問：每穴至少種幾粒種子，才能保證每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于
？
解：設每穴種 粒種子，
則每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率為 ，
可得 ，
故 的最小值為3，
即每穴至少種3粒種子才能使每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于 ．
（2）若每穴種3粒種子，求恰好2粒種子發(fā)芽的概率.（參考數據：
）
解：若每穴種3粒種子，則恰好2粒種子發(fā)芽的概率為 ．
變式 [2024·吉林汪清高二期末] 某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工
藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次
燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制，
甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為，， ，經過第二次燒制，甲、
乙、丙三件產品合格的概率分別為，， ．
（1）求經過第一次燒制恰有一件產品合格的概率；
解：經過第一次燒制恰有一件產品合格的概率
．
（2）經過先后兩次燒制，記合格產品的件數為 ，求隨機變量 的分布列及數
學期望．
解：經過先后兩次燒制，甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為
，， ．
所以，則隨機變量 的所有可能取值為0,1,2,3, 且
可得 ，
，
，
.
0 1 2 3
隨機變量 的數學期望 ．
所以隨機變量 的分布列為
［素養(yǎng)小結］
利用二項分布來解決實際問題的關鍵是在實際問題中建立二項分布的模型,也就
是看它是否是重伯努利試驗,隨機變量是否為在這 重伯努利試驗中某事件發(fā)生
的次數,滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布.
拓展 高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計的用來研究隨
機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開
的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面
擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小
球在下落的過程中與各層小木塊碰撞，且等可能地向左或向右
滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小
球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以 的概率向左或向右滾下，
依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2， ，7的球槽內.例如小球要掉
入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.
（1）若進行1次高爾頓板試驗，求這個小球掉入2號球槽的概率；
解：設 表示“這個小球掉入2號球槽”，這個小球掉入2號球槽，需要在6次碰撞
中1次向右5次向左滾下，
所以 ，
故這個小球掉入2號球槽的概率為 .
（2）若進行5次高爾頓板試驗，記小球掉入偶數號球槽的次數為，求 的分布
列與期望.
解：進行1次高爾頓板試驗，小球掉入偶數號球槽的概率為
.
由題意可得，，的可能取值為0，1，2，3，4，5，
， ，1，2，3，4，5，故 的分布列為
0 1 2 3 4 5
故 .
例1 [2024·重慶萬州一中高二月考] 某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨
機變量 ,其概率分布如下表，
0 3 6
已知數學期望 .
（1）求和 的值；
解：因為，所以 ，
即 .
又，所以 .
聯立①②解得， .
（2）某同學連續(xù)玩三次該智力游戲，各次游戲結果互不影響，記積分 大于0的
次數為，求 的分布列與數學期望.
解：，依題意知 ，
則， ，
， .
故 的分布列為
0 1 2 3
數學期望 .
例2 已知隨機變量，且，則 ____.
[解析] 方法一：由題知，，解得，所以 ，
所以 .
方法二：由題知，，解得，所以 ，
所以 .
例3 已知隨機變量 , 滿足，且,，則 , 的
值分別是( )
B
A.5，3 B.5，6 C.8，3 D.8，6
[解析] 由已知得，所以，所以 .
又由得，
所以 ， .
故選B.
例4 某校為了解本校高一年級學生將來高
考選考政治科目的情況，隨機選取了100名高
一年級學生，將他們某次的政治科目測試成
績（單位：分，滿分100分）按照
， ， 分成5組，
（1）求圖中 的值并估計這100名學生本次政治科目測試成績的中位數
（結果精確到 ）.
制成如圖所示的頻率分布直方圖．
解：由頻率分布直方圖知， ，
解得 ．
因為， ，
所以中位數在 內，
所以中位數的估計值為 ．
（2）根據調查，本次政治科目測試成績不低于70分的學生，高考將選考政治科
目；成績低于70分的學生，高考將不選考政治科目．以樣本中的頻率作為概率，
若從該校高一年級的學生中任選4人，記4人中高考將選考政治科目的人數為 ，
求及 的數學期望．
解：由統計圖得，高一年級學生本次政治科目測試成績不低于70分的概率為 ，
由題意知，則, ．第2課時　二項分布的綜合應用
【課前預習】
知識點
(1)np　(2)np(1-p)
診斷分析 ×
【課中探究】
例1　解:(1)在已知它們顏色相同的情況下,該顏色是紅色的概率P==.
(2)由題意可知,一次取出1個球,取得紅球的概率為,取出后記錄顏色并放回箱中,取球3次,則X的可能取值為0,1,2,3,且X~B,所以EX=np=3×=,DX=np(1-p)=3××=.
變式　2　　[解析] 由題意可得,X~B,∴EX=6×=2,DX=6××=.
例2　A　[解析] 因為隨機變量X~B(9,p),且EX=3,所以EX=np=9p=3,所以p=,故選A.
變式　(1)A　(2)6　[解析] (1)由解得故選A.
(2)因為P(X≥1)=,所以P(X=0)=1-P(X≥1)=,又P(X=0)=p0(1-p)3=,所以p=,故DX=np(1-p)=3××=,所以DY=D(3X-1)=32DX=9×=6.
例3　解:(1)設每穴種n(n∈N*)粒種子,則每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率為1-0.2n>0.98,
可得n>log0.20.02=≈≈2.43,
故n的最小值為3,即每穴至少種3粒種子才能使每穴至少有一粒種子發(fā)芽的概率大于98%.
(2)若每穴種3粒種子,則恰好2粒種子發(fā)芽的概率為×0.82×0.2=0.384.
變式　解:(1)經過第一次燒制恰有一件產品合格的概率p=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.
(2)經過先后兩次燒制,甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為
p1=0.5×0.6=0.3,p2=0.6×0.5=0.3,p3=0.4×0.75=0.3.所以p1=p2=p3=0.3,則隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2,3,且ξ~B(3,0.3).可得P(ξ=0)=(1-0.3)3=,P(ξ=1)=×0.3×(1-0.3)2=,P(ξ=2)=×0.32×(1-0.3)=,P(ξ=3)=0.33=.所以隨機變量ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
隨機變量ξ的數學期望Eξ=3×0.3=0.9.
拓展　解:(1)設A表示“這個小球掉入2號球槽”,這個小球掉入2號球槽,需要在6次碰撞中1次向右5次向左滾下,所以P(A)=××=,故這個小球掉入2號球槽的概率為.
(2)進行1次高爾頓板試驗,小球掉入偶數號球槽的概率為××+××+××=.由題意可得,X~B,X的可能取值為0,1,2,3,4,5,P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,5,故X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5
P
故EX=5×=.第2課時　二項分布的綜合應用
1.A　[解析] 因為隨機變量X服從二項分布B,所以P(X=2)=××=.故選A.
2.D　[解析] 因為X~B(20,p),所以EX=20p=6,得p=0.3,故DX=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故選D.
3.B　[解析] 因為X~B(n,p),所以EX=np,DX=np(1-p),因為Y=3X+1,所以EY=3EX+1=3np+1=7,解得np=2,又DY=9DX=9np(1-p)=12,所以18(1-p)=12,解得p=.故選B.
4.C　[解析] 設此人上班途中遇到紅燈的次數為X,則X~B(3,0.4),所以DX=3×0.4×0.6=0.72.故選C.
5.B　[解析] 每個坑需要補種的概率為=,故9個坑需要補種的個數Y~B,所以EY=9×=,又X=12Y,故EX=12×=4.故選B.
6.D　[解析] 由題意知p2(1-p)·p=,所以p=,所以每局比賽甲勝的概率為,乙勝的概率為.由題意知,隨機變量X~B,所以DX=6××=.
7.ACD　[解析] ∵隨機變量X~B,∴P(X=1)=××=,故A正確;P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=2)≠P(X=3),故B錯誤;X的數學期望EX=4×=,故C正確;X的方差DX=4××=,故D正確.故選ACD.
8.AC　[解析] 對于A選項,由題意知,3次取球后的總得分X等于3次取球后取得白球的個數,因為每次取球的結果只有2個,且每次取球后都放回,所以X服從二項分布,故A正確;對于B選項,由A選項的分析及題意知X~B,所以P(X=1)=××=,故B錯誤;對于C選項,因為X~B,所以EX=3×=,故C正確;對于D選項,因為X~B,所以DX=3××=,所以D(2X)=4DX=,故D錯誤.故選AC.
9.15　[解析] 由題意可得隨機變量X~B(25,0.6),則EX=25×0.6=15.
10.　[解析] 因為EX=np=3,且p=,所以n=21,所以DX=np(1-p)=21××=.
11.　[解析] 因為EX+DX=,所以4p+4p(1-p)=,解得p=或p=(舍去),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.
12.8　[解析] 由題意可得,獲得一等獎的概率為=,n∈N*,令≤1%=,則2n-1≥100,可得n≥8,故n的最小值為8.
13.解:記A表示“拋擲兩枚質地均勻的骰子,至少有一枚出現5點或至少有一枚出現6點”,則P(A)=1-×=.用X表示10次試驗中成功的次數,則X~B,故EX=10×=.
14.解:(1)設事件A表示“該運動員在本次運動會上至少能打破2項世界紀錄”,事件B表示“該運動員在本次運動會上能打破2項世界紀錄”,事件C表示“該運動員在本次運動會上能打破3項世界紀錄”,則P(A)=P(B)+P(C)=××+×=.
(2)由題意可知X~B,則P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×+1×+2×+3×=2.
15.B　[解析] 由題意可得X~B(100,0.8),則EX=100×0.8=80,DX=100×0.8×(1-0.8)=16,所以E(2X+1)=2EX+1=161,D(2X+1)=4DX=64,故A,C錯誤;由二項分布的概率公式得P(X=30)=×(0.8)30×(0.2)70,故B正確;P(X=k)=·(0.8)k·(0.2)100-k,P(X=100-k)=·(0.8)100-k·(0.2)k,假設存在k≠50,使得P(X=k)=P(X=100-k),則·(0.8)k·(0.2)100-k=·(0.8)100-k·(0.2)k,化簡得(0.8)2k-100=(0.2)2k-100,解得k=50,與k≠50矛盾,故假設不成立,D錯誤.故選B.
16.解:(1)在不開箱檢驗的情況下,一箱產品中正品的價格期望值Eξ=100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8500>8400,∴在不開箱檢驗的情況下,可以購買.
(2)(i)由題可知,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=×0.20×0.82=0.64,P(X=1)=×0.21×0.81=0.32,P(X=2)=×0.22×0.80=0.04,∴X的分布列為
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
∴EX=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
(ii)設事件A表示“在抽取檢驗的2件產品中,恰有一件是廢品”,則P(A)=×0.2×0.8×0.5+×0.1×0.9×0.5=0.25.
設一箱產品的價格的期望值為η,則η=8000,9000.
設事件B1表示“抽到的廢品來自廢品率為20%的一箱”,則P(η=8000)=P(B1|A)===0.64,事件B2表示“抽到的廢品來自廢品率為10%的一箱”,則P(η=9000)=P(B2|A)===0.36,∴Eη=8000×0.64+9000×0.36=8360<8400,∴在抽取檢驗的2件產品中,恰有一件是廢品時,不可以購買.第2課時　二項分布的綜合應用
一、選擇題
1.已知隨機變量X服從二項分布B,則P(X=2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知隨機變量X~B(20,p),且EX=6,則DX= (　 )
A.1.8 B.6
C.2.1 D.4.2
3.[2024·黑龍江牡丹江三中高二期末] 已知隨機變量X~B(n,p),隨機變量Y=3X+1,若EY=7,DY=12,則p= (　 )
A. B.
C. D.
4.某人從家乘車到單位,途中經過3個路口.假設在各路口遇到紅燈的事件是相互獨立的,且事件發(fā)生的概率都是0.4,則此人上班途中遇到紅燈的次數的方差為 (　 )
A.0.48 B.1.2
C.0.72 D.0.6
5.把27粒種子分別種在9個坑內,每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為.若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種1次,每補種一個坑需12元,若補種費用為X元,則X的數學期望為 (　 )
A.3 B.4 C.12 D.24
6.甲、乙兩名運動員進行羽毛球比賽,已知每局比賽甲勝的概率為p,乙勝的概率為1-p,且各局比賽結果相互獨立.當比賽采取5局3勝制時,甲用4局贏得比賽的概率為.現甲、乙進行6局比賽,設甲勝的局數為X,則DX= (　 )
A. B. C. D.
7.(多選題)設隨機變量X~B,則下列結論正確的有 (　 )
A.P(X=1)=
B.P(X=2)=P(X=3)
C.X的數學期望EX=
D.X的方差DX=
8.(多選題)一個盒子中裝有3個黑球和1個白球,現從該盒子中有放回地隨機取球3次,每次取1個球,取到白球記1分,取到黑球記0分,記3次取球后的總得分為X,則 (　 )
A.X服從二項分布
B.P(X=1)=
C.EX=
D.D(2X)=
二、填空題
9.已知某同學每次投籃投中的概率均為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立.該同學投了25次,X表示投中的次數,則EX=　　　　.
10.若隨機變量X服從二項分布B(n,p),EX=3,p=,則DX=　　　　.
11.已知隨機變量X~B(4,p),若EX+DX=,則P(X≥1)=　　　　.
12.某商場進行抽獎促銷活動,抽獎規(guī)則中規(guī)定,拋擲一枚質地均勻的硬幣n次,若正面向上的次數為0或n,則獲得一等獎.為使顧客獲得一等獎的概率不超過1%,則n的最小值為　　　　.
三、解答題
13.投擲兩枚質地均勻的骰子,當至少有一枚出現5點或至少有一枚出現6點時,就說這次試驗成功,求在10次試驗中成功次數的均值.
14.在一次國際大型體育運動會上,某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動員在這3個項目中,每個項目能打破世界紀錄的概率都是,且各項目能否打破世界紀錄互不影響.
(1)求該運動員在本次運動會上至少能打破2項世界紀錄的概率;
(2)若該運動員在本次運動會上能打破世界紀錄的項目個數為X,求X的分布列及期望.
15.[2024·遼寧五校高二聯考] 已知某種疾病采取某種療法的治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法,且每位患者治愈與否相互獨立,設其中被治愈的人數為X,則下列選項中正確的是 (　 )
A.E(2X+1)=160
B. P(X=30)=×(0.8)30×(0.2)70
C.D(2X+1)=32
D.存在k≠50,使得P(X=k)=P(X=100-k)成立
16.某企業(yè)打算處理一批產品,這些產品每箱100件,以箱為單位銷售.已知這批產品中每箱的廢品率有10%或者20%兩種可能,兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產品的正品每件的市場價格為100元,廢品不值錢.現處理價格為每箱8400元,遇到廢品不予更換.以一箱產品中正品的價格期望值作為決策依據.
(1)在不開箱檢驗的情況下,判斷是否可以購買.
(2)現允許開箱,有放回地隨機從一箱中抽取2件產品進行檢驗.
(i)若此箱的廢品率為20%,記抽到的廢品件數為X,求X的分布列和期望.
(ii)若已發(fā)現在抽取檢驗的2件產品中,恰有一件是廢品,請判斷是否可以購買 并說明理由.

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