資源簡介

(共74張PPT)
2.2 充分條件、必要條件、充要條件
探究點一 充分條件、必要條件、充要條件的判斷
探究點二 充分條件、必要條件、充要條件的應用
探究點三 根據充要條件求參數
探究點四 判定定理、性質定理與充分、必要條件
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能結合具體命題理解充分條件、必要條件和充要條件的意義.
2.能結合典型數學命題理解判定定理與充分條件、性質定理與必
要條件、數學定義與充要條件的關系.
知識點一 充分條件與必要條件
1.一般地,當命題“若,則”為真命題時,我們就說“由可以推出 成立”,
記作_______,讀作“推出 ”；
如果命題“若,則”為假命題,就說“由不能推出 成立”,記作_______,
讀作“不能推出 ”.
2.定義：如果“”，那么稱是的__________，也稱是 的
___________.
充分條件
必要條件
【診斷分析】
判斷正誤.（在括號內打“√”或“×”）
（1）“”是“ ”的充分條件.( )
×
[解析] 當時,不能推出,所以“”不是“ ”
的充分條件.
（2）“”是“ ”的必要條件.( )
√
[解析] 當時,一定有,所以“”是“ ”的必要條件.
判斷正誤.（在括號內打“√”或“×”）
（3）“”是“ ”的充分條件.( )
×
[解析] 當時,不一定成立,如,但 ，
所以“”不是“ ”的充分條件.
（4）“或”是“ ”的必要條件.( )
√
[解析] 當時,可得或,
所以“或 ”是“ ”的必要條件.
知識點二 充要條件
1.定義：如果,且,那么稱是的充分且必要條件,簡稱為
是的______條件,也稱的充要條件是 .
充要
2.“”和“ ”的傳遞性
如果,,那么 ;
如果,,那么 .
【診斷分析】
判斷正誤.（在括號內打“√”或“×”）
（1）已知,,,則是 的既不充分又不必要條件.
( )
√
[解析] 因為,，且,,
所以 是 的既不充分又不必要條件.
（2）已知,,,則是 的充要條件.( )
√
[解析] 因為,,且 ,
,所以是 的充要條件.
知識點三 充分條件與判定定理、必要條件與性質定理的關系
判定定理都給出了相應數學結論成立的一個______條件.性質定理都
給出了相應數學結論成立的一個______條件.
充分
必要
探究點一 充分條件、必要條件、充要條件的判斷
例1 下列各題中，哪些是 的充分條件
（1）是完全平方式, ;
解：若是完全平方式,則,所以,
所以 不是 的充分條件.
（2）, ;
解：若,則且 ,
所以,所以,所以是 的充分條件.
例1 下列各題中，哪些是 的充分條件
（3）在中, ,在中， .
解：由三角形的內角和為 可知,若 ,則 ,
因此,所以是 的充分條件.
綜上,中是 的充分條件.
例2 下列各題中,哪些是 的必要條件
（1）, ;
解：當時,,所以,所以是 的必要條件.
（2）, ;
解：當時,成立,但是 不成立,
所以,所以不是 的必要條件.
（3）是自然數, 是正整數;
解：0是自然數,但是0不是正整數,所以,所以不是 的必要條件.
例2 下列各題中,哪些是 的必要條件
（4）三角形是等邊三角形, 三角形是等腰三角形.
解：等邊三角形一定是等腰三角形,所以,所以是 的必要條件.
綜上,中是 的必要條件.
變式 下列各題中,哪些是的充分條件 哪些是 的必要條件
（1）, ；
解：若,則,,不是的充分條件.
若 ,則,,是 的必要條件.
（2）四邊形是矩形, 四邊形的對角線相等.
解：由四邊形是矩形,可得四邊形的對角線相等,即,
是 的充分條件.
四邊形的對角線相等不能推出四邊形是矩形,即,
不是 的必要條件.
綜上,（2）中是的充分條件,（1）中是 的必要條件.
［素養小結］
充分條件或必要條件的判斷方法：
（1）若,則是的充分條件，是的必要條件.
（2）若對應的集合為,對應的集合為,,則是的充分條
件，是的必要條件.
探究點二 充分條件、必要條件、充要條件的應用
例3 下列“若,則”形式的命題中，分別是 的什么條件？
（用“充要條件”“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”或“既不充
分又不必要條件”回答）
（1）若，則 ；
解：當時，不一定成立，但當時， 一定成立，
所以是 的必要且不充分條件.
例3 下列“若,則”形式的命題中，分別是 的什么條件？
（用“充要條件”“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”或“既不充
分又不必要條件”回答）
（2）若,都為無理數，則 為無理數；
解：若,都為無理數，則不一定為無理數，例如 是無理數，但
是有理數.
當為無理數時，,不一定都為無理數，
即 是 的既不充分又不必要條件.
例3 下列“若,則”形式的命題中，分別是 的什么條件？
（用“充要條件”“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”或“既不充
分又不必要條件”回答）
（3）若，則 ；
解：若，則，即.
當 時，不一定成立，即是 的充分且不必要條件.
例3 下列“若,則”形式的命題中，分別是 的什么條件？
（用“充要條件”“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”或“既不充
分又不必要條件”回答）
（4）若，則且 .
解：若，則且不一定成立，
例如當 ，時，，但.
當，時， 一定成立，即是 的必要且不充分條件.
變式 下列各題中，試分別指出是 的什么條件.
（1）是自然數， 是整數；
解：若是自然數，則必是整數，但若是整數，不妨令 ，
則不是自然數，故是 的充分且不必要條件.
（2）,, ;
解：當,時，滿足，，但 ，
因此不是的充分條件；
當,時,滿足,但 ,,因此不是 的必要條件.
所以是 的既不充分又不必要條件.
變式 下列各題中，試分別指出是 的什么條件.
（3）內錯角相等, 兩直線平行;
解：由內錯角相等,可得到兩直線平行,反之,由兩直線平行,可得到內
錯角相等,故是 的充要條件.
（4）四邊形的兩條對角線相等, 四邊形是等腰梯形.
解：若四邊形的兩條對角線相等,則四邊形可能為等腰梯形，也可能
是矩形；若四邊形是等腰梯形,則兩條對角線相等.
故是 的必要且不充分條件.
［素養小結］
判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法
（1）定義法：直接判斷“若,則”以及“若,則”的真假.
（2）集合法：利用集合的包含關系判斷.
（3）傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由
,可得;充要條件也有傳遞性.
拓展 已知兩個關于的一元二次方程 和
,求兩方程的根都是整數的充要條件.
解：因為是一元二次方程,所以 ，
又另一個方程為 ,且兩方程都有實根,
所以解得 .
綜上可得且 .
因為兩方程的根都是整數,所以其根的和與積也為整數,所以
所以或或 或1.
當時，第一個方程可化為 ，該方程的根不是
整數，不符合題意；
當時,第一個方程可化為 ,該方程的根不是整數，
不符合題意；
當 時,第一個方程可化為，該方程的根不是整數，
不符合題意;
當 時,易知兩方程的根均為整數.
所以兩方程的根都是整數的充要條件是 .
探究點三 根據充要條件求參數
例4 ［2025·江蘇泰州二中高一月考］已知集合 ,
非空集合，是否存在實數 ，使得“
”是“ ”的________？
（1）把“充分且不必要條件”補充在上面問題中的橫線部分，若問題中
的實數存在，求出的取值范圍；若問題中的 不存在，請說明理由.
解：因為“”是“”的充分且不必要條件，
所以集合 是集合的真子集，
又， ，
所以解得，所以存在滿足題意的實數，且 的
取值范圍為 .
例4 ［2025·江蘇泰州二中高一月考］已知集合 ,
非空集合，是否存在實數 ，使得“
”是“ ”的________？
（2）把“必要且不充分條件”補充在上面問題中的橫線部分，若問題中
的實數存在，求出的取值范圍；若問題中的 不存在，請說明理由.
解：因為“”是“”的必要且不充分條件，所以集合 是集合
的真子集，
又 ，可得解得 .
變式（1）［2025·江蘇鹽城中學高一月考］已知 ，
，若是的充分且不必要條件，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由是 的充分且不必要條件，
得，則 ，故選B.
√
（2）［2025·江蘇揚大附中高一月考］設全集 ，已知集合
，.若 不是空集，
設；，且是的必要且不充分條件，則實數 的取
值范圍是______.
[解析] 因為不是空集，所以，則.
因為是 的必要且不充分條件，所以是的真子集，
即 且等號不能同時取得，解得，
經驗證當 時符合題意，則實數的取值范圍是 .
［素養小結］
利用充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，主要根據充分條件、
必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包
含關系，然后建立關于參數的不等式（組）進行求解，有時還需要
借助數軸解決問題.
探究點四 判定定理、性質定理與充分、必要條件
例5 指出下列定理是判定定理還是性質定理：
（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
解：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半為性質定理.
（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形；
解：有兩個角互余的三角形是直角三角形為判定定理.
（3）菱形的對角線互相垂直；
解：菱形的對角線互相垂直為性質定理.
例5 指出下列定理是判定定理還是性質定理：
（4）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
解：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似為判定定理.
（5）三邊對應成比例的兩個三角形相似；
解：三邊對應成比例的兩個三角形相似為判定定理.
（6）相似三角形的面積比等于相似比的平方.
解：相似三角形的面積比等于相似比的平方為性質定理.
變式 判斷下述命題是否可以看成判定定理或性質定理，如果可以，
寫出其中涉及的充分條件或必要條件：
（1）形如是常數 的函數是二次函數；
解：該命題可以看成一個判定定理，因此“形如
是常數 的函數”是“函數是二次函數”的充分條件.
（2）菱形的對角線互相平分.
解：該命題可以看成一個性質定理，因此“四邊形對角線互相平分”
是“四邊形是菱形”的必要條件.
［素養小結］
（1）區分一個定理是判定定理還是性質定理關鍵是看定理闡述了結
論成立的依據還是揭示了一個研究對象的某個特征，若定理闡述了
結論成立的依據，則是判定定理，否則是性質定理.
（2）判定定理可用充分條件的語言來表述，性質定理可用必要條件
的語言來表述.
1.對充分條件的理解
（1）“是的充分條件”的等價說法:①“若,則”為真命題; ;
是 的必要條件.
（2）充分條件是某一個結論成立應具備的條件,當具備此條件時,就
可以得出此結論;當不具備此條件時,結論也有可能成立.例如,
,但是,當時,也可以成立,故“ ”是“
”的充分條件.
2.對必要條件的理解
（1）“是的必要條件”的等價說法:①“若,則”為真命題; ;
是 的充分條件.
（2）必要條件是在充分條件的基礎上得出的.真命題的條件是結論成
立的充分條件,但不一定是結論成立的必要條件;假命題的條件不是結
論成立的充分條件,但有可能是結論成立的必要條件.
3.對充要條件的理解：利用集合間的包含關系判斷.設 滿足
，滿足
若，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是
的必要條件或是的充分條件；若且，即，則 是
的充要條件.
4.從概念的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件
（1）若，則稱是的充分條件，是 的必要條件.
（2）若，則是 的充要條件.
（3）若，但，則稱是 的充分且不必要條件.
（4）若，但，則稱是 的必要且不充分條件.
（5）若，且，則稱是 的既不充分又不必要條件.
5.從集合的角度去理解充分條件、必要條件、充要條件
若以集合的形式出現，以集合的形式出現，即 滿足
，滿足 .
（1）若，則是 的充分條件.
（2）若，則是 的必要條件.
（3）若，則是 的充要條件.
（4）若，則是 的充分且不必要條件.
（5）若，則是 的必要且不充分條件.
（6）若不包含于且不包含于，則是 的既不充分又不必要條件.
6.“ ”的傳遞性
若是的充要條件，是的充要條件，即， ，則有
，即是 的充要條件.
充要條件的證明與探求：
（1）充要條件的證明分充分性和必要性的證明，在證明時要注意兩
種敘述方式的區別.
①是的充要條件，則證的是充分性， 證的是必要性；
②的充要條件是，則證的是必要性， 證的是充分性.
（2）探求充要條件，也可先證出必要性，再證充分性；如果能保證
每一步的變形轉化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.
例1 求證：的內心與外心重合是 是正三角形的充要條件.
證明：充分性：如圖，設點既是 的外心，也是
的內心，，，的延長線分別交 ，
，于點，， .
由是的外心可得，，分別是，， 的中點，且
，所以.
由是的內心可得， 分別是，的平分線，
則 ,同理可得,則，
即 是正三角形，故充分性成立.
必要性：當 是正三角形時，角平分線所在直線和
三邊的中垂線所在直線重合，則其內心和外心必重合，
故必要性成立.
綜上，的內心與外心重合是 是正三角形的充要條件.
例2 ［2025·江蘇泰州高一期中］已知集合 ,
，, .
（1）當時，求 .
解：當時， ，
因為，所以 .
例2 ［2025·江蘇泰州高一期中］已知集合 ,
，, .
（2）在“充分條件”“必要條件”這兩個條件中任選一個，補充在下面
問題中并解答.是否存在正實數，使得“”是“ ”的____？
若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由.
解：方法一：選充分條件，有 ,
， ，
則解得，所以實數的取值范圍是 .
方法二：選必要條件，有, ，
，
則方程組無解，所以實數 不存在.
練習冊
1.若，則“”是“ ”的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.既不充分又不必要條件 D.充要條件
[解析] 由，得，所以充分性不成立；
由 ，得，所以必要性成立.
所以“”是“ ”的必要條件.
√
2.［2025·江蘇連云港高級中學高一月考］“”是“ ”
的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
[解析] 當時，一定有 ，充分性成立；
當時，如時，不滿足 ，即必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分且不必要條件.故選A.
√
3.［2024·天津河北區高一期中］“兩個三角形相似”是“兩個三角形的
三邊對應成比例”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
[解析] 由“兩個三角形相似”可得“兩個三角形的三邊對應成比例”，
即充分性成立；
反之，由“兩個三角形的三邊對應成比例”可得“兩個三角形相似”，
即必要性成立.
所以“兩個三角形相似”是“兩個三角形的三邊對應成比例”的充要條件.
故選C.
√
4.［2024·河南開封高一期中］已知集合, ,
,，則“”是“ ”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
[解析] 因為,,,，所以 ，
所以“”是“ ”的必要且不充分條件，故選B.
√
5.［2025·江蘇南京高一期中］已知命題，若命題 是命
題的必要條件，則命題 可以為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得，對照選項，當滿足 時，必滿足
.故選C.
√
6.［2024·江蘇常州一中高一期中］下列條件中，是“ ”的
必要且不充分條件的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，解得.對于A，“ ”是
“”的充要條件，A錯誤；
對于B，“ ”是“”的必要且不充分條件，B正確；
對于C，“ ”是“”的充分且不必要條件，C錯誤；
對于D，“ ”是“ ”的既不充分又不必要條件，D錯誤.
故選B.
√
7.［2025·江蘇海安中學高一月考］已知為實數，則“ ”是“
”的______________條件.（請填“充分且不必要”“必要且不充
分”“充要”“既不充分又不必要”中的一個）
充分且不必要
[解析] 由可以推出；
由可得 ，不能推出.
故“”是“ ”的充分且不必要條件.
8.拋物線關于直線對稱的充要條件是 ____.
[解析] 由拋物線關于直線對稱,可得 ;
反之也成立.
所以拋物線關于直線 對稱的充要條件是 .
9.（13分）下列各題中，分別判斷是 的什么條件.
（1）， ；
解：因為，但，
所以是 的必要且不充分條件.
（2）是直角三角形， 是等腰三角形；
解：因為是直角三角形是等腰三角形， 是等腰
三角形是直角三角形，所以是 的既不充分又不必要條件.
9.（13分）下列各題中，分別判斷是 的什么條件.
（3）四邊形的對角線互相平分， 四邊形是矩形；
解：因為四邊形的對角線互相平分 四邊形是矩形，但四邊形是矩
形 四邊形的對角線互相平分，所以是 的必要且不充分條件.
（4）, ;
解：因為,所以是 的充要條件.
9.（13分）下列各題中，分別判斷是 的什么條件.
（5）有兩個不等的實數根, .
解：由 有兩個不等的實數根,
知且,得且,則 ;
反之,當時,方程只有一個實數根,即,
所以是 的充分且不必要條件.
10.（13分）［2024·江蘇無錫高一期中］ 已知非空集合
， .
（1）若，求 ；
解：當時，，所以或 ，
又，
所以 或 .
10.（13分）［2024·江蘇無錫高一期中］ 已知非空集合
， .
（2）若“”是“”的充分且不必要條件，求實數 的取值范圍.
解：因為“”是“”的充分且不必要條件，所以，
又 是非空集合，所以且
（等號不同時成立），解得 ，
所以實數的取值范圍為 .
11.［2024·重慶八中高一月考］已知是的充分條件，是 的充分且
不必要條件，是的必要條件，是 的必要條件，現有下列命題：
是的必要且不充分條件；是的充分且不必要條件；是
的充分且不必要條件；是 的充要條件.其中所有的真命題是
( )
A.①④ B.②③ C.③ D.④
√
[解析] 因為是的充分條件，所以.因為是 的充分且不必要
條件，所以，.因為是的必要條件，所以.因為 是
的必要條件，所以.
由,,可得 ,則是的充要條件,①為假命題；
是 的充要條件，②為假命題；
因為，，所以，，故是 的充分且不必要條
件，③為真命題；
易得，，所以是 的必要且不充分條件，④為假命題.
故選C.
12.已知集合,, 不是空
集，若“”是“”的充分且不必要條件，則實數 的取值范圍
為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由“”是“”的充分且不必要條件，得是 的非空真
子集，則（其中與 的等號不同時
成立），可得
當時，符合題意，所以實數 的取值范圍為 .
故選C.
13.（多選題）下列選項中，是 的充要條件的是( )
A.，
B.，
C.，關于的方程 有實數根
D.或，
√
√
[解析] 對于A，易知或，且，則 ，
所以不是的充要條件;
對于B，由知，, 要么同為正數,要么同為負數,
要么至少有一個為零,均滿足,故是 的充要條件;
對于C，因為關于的方程 有實數根,
所以,即,所以是的充要條件;
對于D，因為 , 所以不是的充要條件.
故選 .
14.［2024·福州一中高一期中］已知方程 至少有
一個負實根，若為真命題的一個必要且不充分條件為 ，
則實數 的取值范圍是_______.
[解析] 方程至少有一個負實根，若 為真命題，
則當時，由,得，符合題意.
當 時，，設方程的兩個實根分
別為， ，則,，則此時方程
有一個正根和一個負根，符合題意.
當時，若 ，則 ，此時方程為
,解得 ，符合題意；
若，則，設方程 的兩個實
根分別為，，則, ，則此時方
程有兩個負根，符合題意.
綜上所述，當 為真命題時，的取值范圍是.
因為 為真命題的一個必要且不充分條件為,所以,
解得 .
15.已知集合點不在第一、三象限， ，集
合，若“”是“”的必要條件，則實數 的
取值范圍是__________.
[解析] 由“”是“”的必要條件，得.又 中元素為整數，
故只可能為，，.由點 不在第一、三象限，
得或 則或.
當時,①無解,由②得 ，此時，，
故，則；
當 時，，則，滿足題意；
當 時，②無解，由①得，此時,，
因為， ，所以.
綜上，實數的取值范圍是 .
16.（15分）設，，分別是的內角,， 所對的邊，且
，則“為直角三角形”的充要條件是“ ”.試
用邊長，，探究 為銳角三角形的一個充要條件，并證明.
解：為銳角三角形的充要條件為 .
證明：充分性：若，則 不是直角三角形.
假設為鈍角三角形，則 ，
過作的延長線的垂線，垂足為 （如圖①），由勾股定理知
，與 矛盾，故假設不成立， 為銳角三角形，充分性成立.
必要性：過點作邊的垂線，垂足為 （如圖②），
由勾股定理知，
.故必要性成立.
故 為銳角三角形的充要條件為 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1. 2.充分條件 必要條件【診斷分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√
知識點二 1.充要 【診斷分析】 （1）√ （2）√ 知識點三 充分 必要
課中探究 例1 中是的充分條件 例2 中是的必要條件
變式 （2）中是的充分條件,（1）中是的必要條件
例3 （1）必要且不充分條件（2）既不充分又不必要條件（3）充分且不必要條件 （4）必要且不充分條件
變式 （1）充分且不必要條件. （2）既不充分又不必要條件 （3）充要條件 （4）必要且不充分條件
拓展 兩方程的根都是整數的充要條件是/m>
例4 （1） （2） 變式 （1）B （2）
探究點四 判定定理、性質定理與充分、必要條件
例5 （1）性質定理 （2）判定定理 （3）性質定理 （4）判定定理
（5）判定定理 （6）性質定理
變式 （1）解：該命題可以看成一個判定定理，因此“形如是常數的函數”是“函數是二次函
數”的充分條件.
（2）該命題可以看成一個性質定理，因此“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是菱形”的必要條件.
快速核答案（練習冊）
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.充分且不必要 8.
9.（1）必要且不充分條件 （2）既不充分又不必要條件
（3）必要且不充分條件 （4）充要條件 （5）充分且不必要條件
10.（1） 或 （2）
11.C 12.C 13.BC 14.
15.
16.為銳角三角形的充要條件為.證明略2.2　充分條件、必要條件、充要條件
【課前預習】
知識點一
1.p q　p / q　2.充分條件　必要條件
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)當x=y<0時,不能推出=,所以“x=y”不是“=”的充分條件.
(2)當b=0時,一定有ab=0,所以“ab=0”是“b=0”的必要條件.
(3)當x2>1時,x>1不一定成立,如(-2)2>1,但-2<1,所以“x2>1”不是“x>1”的充分條件.
(4)當x2-3x+2=0時,可得x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要條件.
知識點二
1.充要
診斷分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)因為x>0,y>0 / xy<0,且xy<0 / x>0,y>0,所以p是q的既不充分又不必要條件.
(2)因為x=0,y=0 x2+y2=0,且x2+y2=0 x=0,y=0,所以p是q的充要條件.
知識點三
充分　必要
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,則m=±12,所以p / q,所以p不是q的充分條件.
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,則x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p q,所以p是q的充分條件.
(3)由三角形的內角和為180°可知,若A+B=90°,則C=90°,因此p q,所以p是q的充分條件.
綜上,(2)(3)中p是q的充分條件.
例2　解:(1)當x=1時,x-1==0,所以p q,所以q是p的必要條件.
(2)當x=-2時,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p / q,所以q不是p的必要條件.
(3)0是自然數,但是0不是正整數,所以p / q,所以q不是p的必要條件.
(4)等邊三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要條件.綜上,(1)(4)中q是p的必要條件.
變式　解:(1)若A∩B=A,則A B,∴p / q,∴p不是q的充分條件.若A B,則A∩B=A,∴q p,∴p是q的必要條件.
(2)由四邊形是矩形,可得四邊形的對角線相等,即p q,∴p是q的充分條件.∵四邊形的對角線相等不能推出四邊形是矩形,即q / p,∴p不是q的必要條件.
綜上,(2)中p是q的充分條件,(1)中p是q的必要條件.
探究點二
例3　解:(1)當x2=1時,x=1不一定成立,但當x=1時,x2=1一定成立,所以p是q的必要且不充分條件.
(2)若x,y都為無理數,則xy不一定為無理數,例如是無理數,但×=2是有理數.當xy為無理數時,x,y不一定都為無理數,即p是q的既不充分又不必要條件.
(3)若a2+b2=0,則a=b=0,即a+b=0.當a+b=0時,a2+b2=0不一定成立,即p是q的充分且不必要條件.
(4)若a+b>4,則a>2且b>2不一定成立,例如當a=1,b=8時,a+b>4,但a<2.當a>2,b>2時,a+b>4一定成立,即p是q的必要且不充分條件.
變式　解:(1)若x是自然數,則x必是整數,但若x是整數,不妨令x=-1,則x不是自然數,故p是q的充分且不必要條件.
(2)當x=-2,y=-3時,滿足x<1,y<1,但xy=6>1,因此p不是q的充分條件;當x=2,y=-3時,滿足xy<1,但x>1,y<1,因此p不是q的必要條件.
所以p是q的既不充分又不必要條件.
(3)由內錯角相等,可得到兩直線平行,反之,由兩直線平行,可得到內錯角相等,故p是q的充要條件.
(4)若四邊形的兩條對角線相等,則四邊形可能為等腰梯形,也可能是矩形;若四邊形是等腰梯形,則兩條對角線相等.
故p是q的必要且不充分條件.
拓展　解:因為mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0,
又另一個方程為x2-4mx+4m2-4m-5=0,且兩方程都有實根,所以解得-≤m≤1.綜上可得-≤m≤1且m≠0.
因為兩方程的根都是整數,所以其根的和與積也為整數,所以所以m=-1或-或或1.
當m=-時,第一個方程可化為x2+8x-8=0,該方程的根不是整數,不符合題意;當m=時,第一個方程可化為x2-8x+8=0,該方程的根不是整數,不符合題意;當m=-1時,第一個方程可化為x2+4x-4=0,該方程的根不是整數,不符合題意;當m=1時,易知兩方程的根均為整數.
所以兩方程的根都是整數的充要條件是m=1.
探究點三
例4　解:(1)因為“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要條件,所以集合A是集合B的真子集,又A={x|-3(2)因為“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分條件,所以集合B是集合A的真子集,
又B≠ ,可得解得≤m<2.
變式　(1)B　(2)[2,3]　[解析] (1)由p是q的充分且不必要條件,得{x|-1≤x<2} {x|x(2)因為B不是空集,所以m+1≤2m-1,則m≥2.因為p是q的必要且不充分條件,所以B是A的真子集,即且等號不能同時取得,解得-3≤m≤3,經驗證當m=3時符合題意,則實數m的取值范圍是[2,3].
探究點四
例5　解:(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半為性質定理.
(2)有兩個角互余的三角形是直角三角形為判定定理.
(3)菱形的對角線互相垂直為性質定理.
(4)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似為判定定理.
(5)三邊對應成比例的兩個三角形相似為判定定理.
(6)相似三角形的面積比等于相似比的平方為性質定理.
變式　解:(1)該命題可以看成一個判定定理,因此“形如y=x2+bx(b是常數)的函數”是“函數是二次函數”的充分條件.
(2)該命題可以看成一個性質定理,因此“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是菱形”的必要條件.2.2　充分條件、必要條件、充要條件
1.B　[解析] 由a2=1,得a=±1,所以充分性不成立;由a=1,得a2=1,所以必要性成立.所以“a2=1”是“a=1”的必要條件.
2.A　[解析] 當03.C　[解析] 由“兩個三角形相似”可得“兩個三角形的三邊對應成比例”,即充分性成立;反之,由“兩個三角形的三邊對應成比例”可得“兩個三角形相似”,即必要性成立.所以“兩個三角形相似”是“兩個三角形的三邊對應成比例”的充要條件.故選C.
4.B　[解析] 因為A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},所以B A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分條件,故選B.
5.C　[解析] 由題意得q p,對照選項,當x滿足-36.B　[解析] 由|x-1|<2,解得-17.充分且不必要　[解析] 由x=2可以推出x2=4;由x2=4可得x=±2,不能推出x=2.故“x=2”是“x2=4”的充分且不必要條件.
8.-2　[解析] 由拋物線y=x2+mx+1關于直線x=1對稱,可得m=-2;反之也成立.所以拋物線y=x2+mx+1關于直線x=1對稱的充要條件是m=-2.
9.解:(1)因為|x|=|y| / x=y,但x=y |x|=|y|,所以p是q的必要且不充分條件.
(2)因為△ABC是直角三角形 / △ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形 / △ABC是直角三角形,所以p是q的既不充分又不必要條件.
(3)因為四邊形的對角線互相平分 / 四邊形是矩形,但四邊形是矩形 四邊形的對角線互相平分,所以p是q的必要且不充分條件.
(4)因為A∪B=A A∩B=B,所以p是q的充要條件.
(5)由ax2+2x-1=0有兩個不等的實數根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,則p q;反之,當a=0時,方程ax2+2x-1=0只有一個實數根,即q / p,所以p是q的充分且不必要條件.
10.解:(1)當a=3時,A={x|2≤x≤4},所以 RA={x|x<2或x>4},又B={x|-2≤x≤5},所以( RA)∩B={x|-2≤x<2或4(2)因為“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要條件,所以A B,又A是非空集合,所以a-1≤6a-14且
(等號不同時成立),解得≤a≤,
所以實數a的取值范圍為≤a≤.
11.C　[解析] 因為p是r的充分條件,所以p r.因為q是r的充分且不必要條件,所以q r,r / q.因為s是r的必要條件,所以r s.因為p是s的必要條件,所以s p.由p r,r s,s p可得p r s,則r是p的充要條件,①為假命題;r是s的充要條件,②為假命題;因為q r,r / q,所以q p,p / q,故q是p的充分且不必要條件,③為真命題;易得s / q,q s,所以s是q的必要且不充分條件,④為假命題.故選C.
12.C　[解析] 由“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要條件,得B是A的非空真子集,則(其中-m+3≥1與2m≤4的等號不同時成立),可得當m=1時,B={2}符合題意,所以實數m的取值范圍為1≤m<2.故選C.
13.BC　[解析] 對于A,易知p:a=0或b=0,q:a=0且b=0,則p /q,所以p不是q的充要條件;對于B,由|x|+|y|=|x+y|知,x,y要么同為正數,要么同為負數,要么至少有一個為零,均滿足xy≥0,故p是q的充要條件;對于C,因為關于x的方程x2-x-m=0有實數根,所以Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以p是q的充要條件;對于D,因為p /q,所以p不是q的充要條件,故選BC.
14.m>0　[解析] p:方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根,若p為真命題,則當a=0時,由2x+1=0,得x=-,符合題意.當a<0時,Δ=4-4a>0,設方程ax2+2x+1=0的兩個實根分別為x1,x2,則x1+x2=->0,x1x2=<0,則此時方程ax2+2x+1=0有一個正根和一個負根,符合題意.當a>0時,若Δ=4-4a=0,則a=1,此時方程為x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1,符合題意;若Δ=4-4a>0,則00,則此時方程ax2+2x+1=0有兩個負根,符合題意.綜上所述,當p為真命題時,a的取值范圍是a≤1.因為p為真命題的一個必要且不充分條件為a≤m+1,所以m+1>1,解得m>0.
15.0則①或②.當a<1時,①無解,由②得a≤x≤1,此時A={x|a≤x≤1,x∈Z},故A={1},則01時,②無解,由①得1≤x≤a,此時A={x|1≤x≤a,x∈Z},因為1∈A,3 A,所以116.解:△ABC為銳角三角形的充要條件為a2+b2>c2.
證明:充分性:若a2+b2>c2,則△ABC不是直角三角形.
假設△ABC為鈍角三角形,則∠C>90°,
過B作AC的延長線的垂線,垂足為D(如圖①),由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+2·CD·b=a2+b2+2·CD·b>a2+b2,與a2+b2>c2矛盾,
故假設不成立,△ABC為銳角三角形,充分性成立.
必要性:過點A作邊BC的垂線,垂足為D(如圖②),
由勾股定理知,c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2-CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·ac2.2.2　充分條件、必要條件、充要條件
【學習目標】
　　1.能結合具體命題理解充分條件、必要條件和充要條件的意義.
　　2.能結合典型數學命題理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.
◆ 知識點一　充分條件與必要條件
1.一般地,當命題“若p,則q”為真命題時,我們就說“由p可以推出q成立”,記作　　　　,讀作“p推出q”;
如果命題“若p,則q”為假命題,就說“由p不能推出q成立”,記作　　　　,讀作“p不能推出q”.
2.定義:如果“p q”,那么稱p是q的　　　,也稱q是p的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(在括號內打“√”或“×”)
(1)“x=y”是“=”的充分條件. (　 )
(2)“ab=0”是“b=0”的必要條件. (　 )
(3)“x2>1”是“x>1”的充分條件. (　 )
(4)“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要條件. (　 )
◆ 知識點二　充要條件
1.定義:如果 p q,且q p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱為p是q的　　　　條件,也稱q的充要條件是p.
2.“ ”和“ ”的傳遞性
如果p q,q s,那么p s;
如果p q,q s,那么p s.
【診斷分析】 判斷正誤.(在括號內打“√”或“×”)
(1)已知p:x>0,y>0,q:xy<0,則p是q的既不充分又不必要條件. (　 )
(2)已知p:x=0,y=0,q:x2+y2=0,則p是q的充要條件. (　 )
◆ 知識點三　充分條件與判定定理、必要條件與性質定理的關系
判定定理都給出了相應數學結論成立的一個　　　　條件.性質定理都給出了相應數學結論成立的一個　　　　條件.
◆ 探究點一　充分條件、必要條件、充要條件的判斷
例1 下列各題中,哪些p是q的充分條件
(1)p:4x2-mx+9是完全平方式,q:m=12;
(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0;
(3)p:在△ABC中,A+B=90°,q:在△ABC中,C=90°.
例2 下列各題中,哪些q是p的必要條件
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5;
(3)p:a是自然數,q:a是正整數;
(4)p:三角形是等邊三角形,q:三角形是等腰三角形.
變式 下列各題中,哪些p是q的充分條件 哪些p是q的必要條件
(1)p:A∩B=A,q:A B;
(2)p:四邊形是矩形,q:四邊形的對角線相等.
[素養小結]
充分條件或必要條件的判斷方法:
(1)若p q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
(2)若p對應的集合為A,q對應的集合為B,A B,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
◆ 探究點二　充分條件、必要條件、充要條件的應用
例3 下列“若p,則q”形式的命題中,p分別是q的什么條件 (用“充要條件”“充分且不必要條件”“必要且不充分條件”或“既不充分又不必要條件”回答)
(1)若x2=1,則x=1;
(2)若x,y都為無理數,則xy為無理數;
(3)若a2+b2=0,則a+b=0;
(4)若a+b>4,則a>2且b>2.
變式 下列各題中,試分別指出p是q的什么條件.
(1)p:x是自然數,q:x是整數;
(2)p:x<1,y<1,q:xy<1;
(3)p:內錯角相等,q:兩直線平行;
(4)p:四邊形的兩條對角線相等,q:四邊形是等腰梯形.
[素養小結]
判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法
(1)定義法:直接判斷“若p,則q”以及“若q,則p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含關系判斷.
(3)傳遞法:充分條件和必要條件具有傳遞性,即由p1 p2 … p,可得p1 p;充要條件也有傳遞性.
拓展 已知兩個關于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求兩方程的根都是整數的充要條件.
◆ 探究點三　根據充要條件求參數
例4 [2025·江蘇泰州二中高一月考] 已知集合A={x|-3(1)把“充分且不必要條件”補充在上面問題中的橫線部分,若問題中的實數m存在,求出m的取值范圍;若問題中的m不存在,請說明理由.
(2)把“必要且不充分條件”補充在上面問題中的橫線部分,若問題中的實數m存在,求出m的取值范圍;若問題中的m不存在,請說明理由.
變式 (1)[2025·江蘇鹽城中學高一月考] 已知p:-1≤x<2,q:xA.a<2 B.a≥2
C.a>-1 D.-1(2)[2025·江蘇揚大附中高一月考] 設全集U=R,已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B不是空集,設p:x∈A;q:x∈B,且p是q的必要且不充分條件,則實數m的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
利用充分條件、必要條件求參數的取值范圍時,主要根據充分條件、必要條件與集合間的關系,將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系,然后建立關于參數的不等式(組)進行求解,有時還需要借助數軸解決問題.
◆ 探究點四　判定定理、性質定理與充分、必要條件
例5 指出下列定理是判定定理還是性質定理:
(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;
(2)有兩個角互余的三角形是直角三角形;
(3)菱形的對角線互相垂直;
(4)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;
(5)三邊對應成比例的兩個三角形相似;
(6)相似三角形的面積比等于相似比的平方.
變式 判斷下述命題是否可以看成判定定理或性質定理,如果可以,寫出其中涉及的充分條件或必要條件:
(1)形如y=x2+bx(b是常數)的函數是二次函數;
(2)菱形的對角線互相平分.
[素養小結]
(1)區分一個定理是判定定理還是性質定理關鍵是看定理闡述了結論成立的依據還是揭示了一個研究對象的某個特征,若定理闡述了結論成立的依據,則是判定定理,否則是性質定理.
(2)判定定理可用充分條件的語言來表述,性質定理可用必要條件的語言來表述.2.2　充分條件、必要條件、充要條件
1.若a∈R,則“a2=1”是“a=1”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分條件
B.必要條件
C.既不充分又不必要條件
D.充要條件
2.[2025·江蘇連云港高級中學高一月考] “0A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3.[2024·天津河北區高一期中] “兩個三角形相似”是“兩個三角形的三邊對應成比例”的 (　 )
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
4.[2024·河南開封高一期中] 已知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},則“x∈A”是“x∈B”的 (　 )
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
5.[2025·江蘇南京高一期中] 已知命題p:-3A.-3≤x≤1 B.x<1
C.-36.[2024·江蘇常州一中高一期中] 下列條件中,是“|x-1|<2”的必要且不充分條件的是 (　 )
A.-1C.07.[2025·江蘇海安中學高一月考] 已知x為實數,則“x=2”是“x2=4”的　　　　　　　　條件.(請填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一個)
8.拋物線y=x2+mx+1關于直線x=1對稱的充要條件是m=　　　　.
9.(13分)下列各題中,分別判斷p是q的什么條件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;
(3)p:四邊形的對角線互相平分,q:四邊形是矩形;
(4) p:A∪B=A, q:A∩B=B;
(5)p:ax2+2x-1=0有兩個不等的實數根,q:a>-1.
10.(13分)[2024·江蘇無錫高一期中] 已知非空集合A={x|a-1≤x≤6a-14},B={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RA)∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要條件,求實數a的取值范圍.
11.[2024·重慶八中高一月考] 已知p是r的充分條件,q是r的充分且不必要條件,s是r的必要條件,p是s的必要條件,現有下列命題:①r是p的必要且不充分條件;②r是s的充分且不必要條件;③q是p的充分且不必要條件;④s是q的充要條件.其中所有的真命題是 (　 )
A.①④ B.②③
C.③ D.④
12.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|-m+3≤x≤2m},B不是空集,若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要條件,則實數m的取值范圍為 (　 )
A.m<2 B.m≤2
C.1≤m<2 D.1≤m≤2
13.(多選題)下列選項中,p是q的充要條件的是 (　 )
A.p:ab=0,q:a2+b2=0
B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|
C.p:m≥-,q:關于x的方程x2-x-m=0有實數根
D.p:x>2或x<-1,q:x<-1
14.[2024·福州一中高一期中] 已知p:方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根,若p為真命題的一個必要且不充分條件為a≤m+1,則實數m的取值范圍是　　　　.
15.已知集合A={x|點(x-1,x-a)不在第一、三象限,x∈Z},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要條件,則實數a的取值范圍是　　　　　.
16.(15分)設a,b,c分別是△ABC的內角A,B,C所對的邊,且a≤b≤c,則“△ABC為直角三角形”的充要條件是“a2+b2=c2”.試用邊長a,b,c探究△ABC為銳角三角形的一個充要條件,并證明.

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