資源簡介

(共52張PPT)
2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1 全稱量詞命題與存在量詞命題
探究點一 全稱量詞命題和存在量詞命題
的判斷
探究點二 全稱量詞命題和存在量詞命題
的真假判斷
探究點三 利用全稱量詞命題與存在量詞
命題求參數的范圍
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.能結合具體命題理解全稱量詞與存在量詞的意義.
2.能識別日常生活和數學中的全稱量詞和存在量詞.
知識點一 量詞
1.全稱量詞
“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為______量詞，
通常用符號____表示“對任意 ”.
全稱
2.存在量詞
“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學中稱為
_______量詞,通常用符號____表示“存在 ”.
存在
知識點二 全稱量詞命題與存在量詞命題
1.定義：含有全稱量詞的命題稱為______________，含有存在量詞的
命題稱為存在量詞命題.
全稱量詞命題
2.表示：
全稱量詞命題：_____________；
存在量詞命題：____________.
其中，為給定的集合，是一個關于 的語句.
,
,
3.真假判斷：
要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到______元
素，使命題為真即可；否則命題為假.
要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定的集合中的________元
素，命題都為真；但要判定一個全稱量詞命題為假，只要在給定的
集合中找到______元素，使命題為假.
一個
每一個
一個
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）所有實數都有平方根.( )
×
[解析] 負數沒有平方根.
（2）“三角形內角和等于 ”是全稱量詞命題.( )
√
[解析] “三角形內角和等于 ”，即“所有的三角形內角和都等于
”,是全稱量詞命題.
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）“, ”是存在量詞命題.( )
√
[解析] “, ”含有存在量詞,所以是存在量詞命題.
（4）“有些整數只有兩個正因數”是存在量詞命題．( )
√
[解析] “有些整數只有兩個正因數”有存在量詞,所以是存在量詞命題.
（5）“至少有一個偶數是質數”是存在量詞命題且是真命題.( )
√
[解析] 因為偶數2是質數,所以“至少有一個偶數是質數”是存在量詞
命題且是真命題.
探究點一 全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷
例1 將下列命題用“ ”或“ ”表示.
（1）實數的平方是非負數;
解：, .
（2）方程 至少存在一個負根；
解：, .
（3）設,為兩個集合,滿足 ；
解：, .
（4）有些自然數，它的算術平方根是自然數.
解：, .
變式 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
（1）梯形的對角線相等;
解：命題完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”，
故為全稱量詞命題．
（2）存在一個四邊形有外接圓;
解：命題為存在量詞命題．
（3）所有的正方形都是矩形;
解：命題為全稱量詞命題．
變式 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
（4）凸多邊形的外角和等于 .
解：命題的完整表述應為“所有凸多邊形的外角和都等于 ”，
故為全稱量詞命題．
［素養小結］
（1）判斷一個命題是否為全稱量詞命題，主要看命題中是否有“所
有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等全稱量詞，有些命題的全
稱量詞是隱藏的，要仔細辨別.
（2）判斷一個命題是否為存在量詞命題，主要看命題中是否有“存
在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“有的”等存在量詞，有些命題
的存在量詞是隱藏的，要仔細辨別.
探究點二 全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷
例2 判斷下列命題的真假.
（1）菱形的對角線互相垂直；
解：是真命題.
（2）每一條線段的長度都能用正有理數表示；
解：是假命題.如邊長為1的正方形的對角線的長為 ，對角線的長
度不是正有理數．
（3）至少有一個整數,它既是3的倍數,也是5的倍數;
解：是真命題.存在整數15,它既是3的倍數,也是5的倍數.
例2 判斷下列命題的真假.
（4）存在，使得 .
解：是假命題.
對于方程 ，
因為，
所以關于的方程 無實數解，
所以“存在，使得 ”是假命題.
變式 （多選題）下列命題為真命題的是( )
A.有的無理數的平方是有理數
B.任何一個四邊形的內角和都是
C.四邊形都有外接圓
D.,，
[解析] 對于A，, 是無理數，2是有理數，故A是真命題；
對于B，平面四邊形的內角和是 ，故B是假命題；
對于C，只有對角互補的四邊形才有外接圓，故C是假命題；
對于D，當 , 時，，故D是真命題.
故選 .
√
√
［素養小結］
（1）全稱量詞命題的真假判斷
（2）存在量詞命題的真假判斷
探究點三 利用全稱量詞命題與存在量詞命題求參數的范圍
例3 已知集合 ，非空集合
.
（1）若，，且是真命題，求 的取值范圍；
解：因為是真命題，所以且 ，可得
解得 .
故的取值范圍為 .
例3 已知集合 ，非空集合
.
（2）若，，且是真命題，求 的取值范圍．
解：因為是真命題，所以 ，
又 ，即，即，
則，只需滿足 即可，即，
所以，故的取值范圍為 .
變式（1）若命題“，”是真命題，則實數 的值是___.
0
[解析] 當時，不等式顯然恒成立；
當時，由 得，不符合題意；
當時，由得 ，不符合題意.
綜上， .
（2）若命題“，”是真命題，則實數 的取值范
圍是______.
[解析] “，”是真命題， ，
.
［素養小結］
根據全稱量詞命題與存在量詞命題的真假等價轉化為關于集合間的
關系或函數的最值問題，再轉化為關于參數的不等式（組）求參數
的取值范圍.
1.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞是命題中常見的量詞,理解此類命題的關鍵是對量詞的
把握.
（2）存在性問題是數學中的一類重要問題,存在量詞是描述這一類問
題的關鍵詞語.
2.關于全稱量詞命題和存在量詞命題的理解
（1）全稱量詞命題強調命題的一般性,是對于某一個給定集合的所有
元素是否具有某種性質來說的.
（2）存在量詞命題強調命題的存在性,是對于某一個給定集合的某些
元素是否具有某種性質來說的.
（3）全稱量詞命題和存在量詞命題是具有相對性的,即滿足某種性質
的元素所對應的集合不同,可能導致命題的性質不同.
3.對于兩種命題符號表達的理解
（1）體現變量代表的是某給定集合 的所有元素還是指定元素.
（2）指出變量所滿足的性質 .
理解全稱量詞命題及存在量詞命題時應注意的問題
（1）全稱量詞命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命
題，常見的全稱量詞有“一切”“每一個”等，相應的詞語是“都”.
（2）有些命題省去了全稱量詞，但仍是全稱量詞命題，如“有理數
是實數”，就是“所有的有理數都是實數”.
（3）存在量詞命題就是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種
性質的命題，常見的存在量詞有“有的”“存在”等.
例1 ［2025·湖南長沙高一期中］判斷下列命題是全稱量詞命題還是
存在量詞命題，用量詞符號“ ”或“ ”表示下列命題,并判斷真假.
（1）對任意的實數，都有 ；
解：該命題為全稱量詞命題. ，.
當時，，顯然 ，因此該命題是假命題.
（2）存在實數，使得 ；
解：該命題為存在量詞命題.
，.當時，滿足 ，該命題是
真命題.
例1 ［2025·湖南長沙高一期中］判斷下列命題是全稱量詞命題還是
存在量詞命題，用量詞符號“ ”或“ ”表示下列命題,并判斷真假.
（3）至少有一個整數，既能被11整除，又能被9整除.
解：該命題是存在量詞命題.， 既能被11整除，又能被9整除.
99既能被11整除，又能被9整除，故該命題為真命題.
例2 ［2025·江蘇泰興中學高一月考］若“, ”為
真命題，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意知，方程 沒有實數根，
即,解得 .故選C.
√
練習冊
1.［2025·江蘇鹽城陳洋中學高一期中］下列命題中是存在量詞命題
的是( )
A.所有的素數都是奇數
B.，
C.對任意一個實數， 是正實數
D.有一個偶數是素數
√
[解析] 根據全稱量詞命題與存在量詞命題的定義可知，A中含有“所
有的”，是全稱量詞命題；
B中含有“ ”，是全稱量詞命題；
C中含有“任意一個”，是全稱量詞命題；
D中含有“有一個”，是存在量詞命題.
故選D.
2.將 改寫成全稱量詞命題是( )
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
[解析] 全稱量詞命題含有“ ”,故排除A，B;
等式 對全體實數都成立.
故選D.
√
3.命題“, ”的另一種寫法是( )
A.有一個,使得 B.有一些,使得
C.對任意的,都有 D.至少有一個,使得
[解析] “ ”表示“任意的”,故選C.
√
4.下列命題中是真命題且是全稱量詞命題的是( )
A.對任意的，，都有
B.菱形的兩條對角線相等
C.，
D.對于反比例函數，自變量越大，函數值越小
[解析] 選項A中的命題是全稱量詞命題,
因為 ,
所以選項A中的命題是真命題.其余命題都不合題意.
√
5.已知集合, ,則下列命題中為真命題的是
( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因為,,所以,
故“, ”為真命題.故選D.
√
6.（多選題）下列命題中為真命題的是( )
A.存在，使
B.對于一切，都有
C.已知，，則存在，使得
D.已知，，， ，則
√
√
[解析] 易知A，B為真命題；
對于C， ，因為，所以，
則，即，所以不存在 ,使得,故C為假命題；
對于D，因為， ，，，
所以易知, ，因此D為假命題.
故選 .
7.下列命題中,全稱量詞命題是________;存在量詞命題是____.（填序號）
①正方形的四條邊相等;
②有兩個角相等的三角形是等腰三角形;
③正數的平方根不等于0;
④至少有一個正整數是偶數.
①②③
④
[解析] ①可表述為“每一個正方形的四條邊都相等”,是全稱量詞命題;
②可表述為“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”,是全稱量
詞命題;
③可表述為“所有正數的平方根都不等于0”,是全稱量詞命題;
④是存在量詞命題.
8.［2025·江蘇常州高一期末］若“， ”為假
命題，則實數 的取值范圍為________.
[解析] 由題意可知方程 無實數解，
所以，解得，
故實數 的取值范圍為 .
9.（13分）指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命
題,并判斷其真假.
（1）存在一個三角形沒有外接圓；
解：是存在量詞命題，因為所有的三角形都有外接圓，
所以該命題為假命題.
（2）每個二次函數的圖象都與 軸相交；
解：是全稱量詞命題.如函數的圖象與 軸不相交,
所以該命題為假命題.
9.（13分）指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命
題,并判斷其真假.
（3）, ；
解：是存在量詞命題.非負數有算術平方根,且算術平方根仍為非負數,
所以該命題為假命題.
（4）存在實數, .
解：是存在量詞命題.當時, ,所以該命題為真命題.
10.（13分）已知集合 ，
，且 .
（1）若,，且是真命題，求實數 的取值范圍；
解：因為是真命題，所以，所以
解得，故的取值范圍為 .
10.（13分）已知集合 ，
，且 .
（2）若,，且是真命題，求實數 的取值范圍.
解：因為 ，所以，解得 .
由為真命題，得 ，
當 時，或，解得 .
因為，所以當 時，，所以當
時，.故的取值范圍為 .
11.已知命題“存在,使得 成立”是假命題,
則實數 的取值范圍是( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] “存在,使得 成立”是假命題,即“存
在,使得成立”是假命題,所以或 ,解
得或,則實數的取值范圍是或 .故選A.
√
12.（多選題）已知，，且 是真命
題，則實數 的值可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.
[解析] 由，，得 ，
，所以.因此實數的值可以是0，1，.故選 .
√
√
√
13.已知，，， ，
若為真命題，為假命題，則實數 的取值范圍為________.
[解析] 因為為真命題，當時，,所以.
因為 為假命題，所以關于的方程 無解，則
，可得.
綜上，的取值范圍為 .
14.已知真分數滿足,,， .根
據上述性質，寫出一個全稱量詞命題為_________________________
_________________________.
對任意，,
，，都有
[解析] 真分數滿足,, ，
， 寫出的一個全稱量詞命題為“對任意， ，
，，都有 ”.
15.［2024·山東青島平度一中高一月考］“ ,
”是假命題的一個必要且不充分條件是( )
A. B. C. D.
[解析] “,”是假命題,
關于 的方程 沒有實數根,
, .
結合選項知,的一個必要且不充分條件是 ,故選B.
√
16.（15分）［2025·河北十堰一中高一月考］ 已知 函數
的圖象上存在點在軸上方； 有
兩個負根.
（1）若為真命題，求實數 的取值范圍；
解：若為真命題，則 ，
解得，故的取值范圍為 .
16.（15分）［2025·河北十堰一中高一月考］ 已知 函數
的圖象上存在點在軸上方； 有
兩個負根.
（2）若和有且只有一個是真命題，求實數 的取值范圍.
解：若為真命題，即一元二次方程 有兩個負根，則
解得 .
因為和有且只有一個是真命題，所以真假或假真，當真 假
時，則 ；
當假真時，則 .
綜上，的取值范圍為 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.全稱 2.存在
知識點二 1.全稱量詞命題 2., , 3.一個 每一個 一個
【診斷分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√ （5）√
課中探究 例1 （1）, （2）,
（3）, （4）,
變式 （1）全稱量詞命題 （2）存在量詞命題
（3）全稱量詞命題 （4）全稱量詞命題
例2 （1）真命題 （2）假命題 （3）真命題 （4）假命題
變式 AD 例3 （1）（2）
變式 （1）0 （2）
快速核答案（練習冊）
1.D 2.D 3.C 4.A 5.D 6.AB 7.①②③ ④ 8.
9.（1）存在量詞命題，假命題 （2）全稱量詞命題，假命題.
（3）存在量詞命題，假命題 （4）存在量詞命題，真命題
10.（1）（2）
11.A 12.ABD 13.
14.對任意，,，，都有
15.B 16.（1）（2）2.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
【課前預習】
知識點一
1.全稱　 x　2.存在　 x
知識點二
1.全稱量詞命題　2. x∈M,p(x)　 x∈M,p(x)
3.一個　每一個　一個
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　[解析] (1)負數沒有平方根.
(2)“三角形內角和等于180°”,即“所有的三角形內角和都等于180°”,是全稱量詞命題.
(3)“ x∈R,x2-3x+2<0”含有存在量詞,所以是存在量詞命題.
(4)“有些整數只有兩個正因數”有存在量詞,所以是存在量詞命題.
(5)因為偶數2是質數,所以“至少有一個偶數是質數”是存在量詞命題且是真命題.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1) x∈R,x2≥0.
(2) x<0,ax2+2x+1=0(a<0).
(3) x∈A,x∈B.
(4) x∈N,∈N.
變式　解:(1)命題完整的表述應為“所有梯形的對角線相等”,故為全稱量詞命題.
(2)命題為存在量詞命題.
(3)命題為全稱量詞命題.
(4)命題的完整表述應為“所有凸多邊形的外角和都等于360°”,故為全稱量詞命題.
探究點二
例2　解:(1)是真命題.
(2)是假命題.如邊長為1的正方形的對角線的長為,對角線的長度不是正有理數.
(3)是真命題.存在整數15,它既是3的倍數,也是5的倍數.
(4)是假命題.對于方程2x2+x+1=0,因為Δ=1-4×2×1=-7<0,所以關于x的方程2x2+x+1=0無實數解,所以“存在x∈Q,使得2x2+x+1=0”是假命題.
變式　AD　[解析] 對于A,()2=2,是無理數,2是有理數,故A是真命題;對于B,平面四邊形的內角和是360°,故B是假命題;對于C,只有對角互補的四邊形才有外接圓,故C是假命題;對于D,當x=0,y=3時,x+y=3,故D是真命題.故選AD.
探究點三
例3　解:(1)因為p是真命題,所以B A且B≠ ,可得解得2≤m≤3.
故m的取值范圍為2≤m≤3.
(2)因為q是真命題,所以A∩B≠ ,又B≠ ,即m+1≤2m-1,即m≥2,則m+1≥3,只需滿足m+1≤5即可,
即m≤4,所以2≤m≤4,故m的取值范圍為2≤m≤4.
變式　(1)0　(2)a≤　[解析] (1)當a=0時,不等式顯然恒成立;當a>0時,由ax-2≤0得x≤,不符合題意;當a<0時,由ax-2≤0得x≥,不符合題意.綜上,a=0.
(2)∵“ x∈R,x2+x+a=0”是真命題,∴Δ=1-4a≥0,∴a≤.2.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
1.D　[解析] 根據全稱量詞命題與存在量詞命題的定義可知,A中含有“所有的”,是全稱量詞命題;B中含有“ ”,是全稱量詞命題;C中含有“任意一個”,是全稱量詞命題;D中含有“有一個”,是存在量詞命題.故選D.
2.D　[解析] 全稱量詞命題含有“ ”,故排除A,B;等式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)對全體實數都成立.故選D.
3.C　[解析] “ ”表示“任意的”,故選C.
4.A　[解析] 選項A中的命題是全稱量詞命題,因為a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以選項A中的命題是真命題.其余命題都不合題意.
5.D　[解析] 因為P={1,2,4,5,6},M={2,4,6},所以M P,故“ x∈P,x M”為真命題.故選D.
6.AB　[解析] 易知A,B為真命題;對于C,a-b=2n-3n=-n,因為n∈N*,所以-n<0,則a-b<0,即a7.①②③　④　[解析] ①可表述為“每一個正方形的四條邊都相等”,是全稱量詞命題;②可表述為“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”,是全稱量詞命題;③可表述為“所有正數的平方根都不等于0”,是全稱量詞命題;④是存在量詞命題.
8.　[解析] 由題意可知方程4x2-2x+m=0無實數解,所以Δ=(-2)2-4×4m<0,解得m>,故實數m的取值范圍為.
9.解:(1)是存在量詞命題,因為所有的三角形都有外接圓,所以該命題為假命題.
(2)是全稱量詞命題.如函數y=x2+1的圖象與x軸不相交,所以該命題為假命題.
(3)是存在量詞命題.非負數有算術平方根,且算術平方根仍為非負數,所以該命題為假命題.
(4)是存在量詞命題.當x<0時,=-x,所以該命題為真命題.
10.解:(1)因為p是真命題,所以A B,所以
解得m≥4,故m的取值范圍為[4,+∞).
(2)因為B≠ ,所以-3m+4≤2m-1,解得m≥1.
由q為真命題,得A∩B≠ ,
當A∩B= 時,-3m+4>7或2m-1<2,解得m<.
因為m≥1,所以當A∩B= 時,1≤m<,所以當A∩B≠ 時,m≥.故m的取值范圍為.
11.A　[解析] “存在x∈{x|012.ABD　[解析] 由 x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,得 x∈{x|1≤x≤3},x≥a,所以a≤1.因此實數a的值可以是0,1,-2.故選ABD.
13.[1,+∞)　[解析] 因為p為真命題,當x∈R時,-x2+1≤1,所以a≥1.因為q為假命題,所以關于x的方程x2+x+2a-1=0無解,則Δ=1-4(2a-1)<0,可得a>.綜上,a的取值范圍為[1,+∞).
14.對任意b>a>0,m>n,m,n∈N*,都有>
[解析] ∵真分數(b>a>0)滿足>,>,>,…,∴寫出的一個全稱量詞命題為“對任意b>a>0,m>n,m,n∈N*,都有>”.
15.B　[解析] ∵“ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命題,∴關于x的方程4x2+(a-2)x+=0沒有實數根,∴Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a=a(a-4)<0,∴016.解:(1)若p為真命題,則Δ=4-4a2>0,
解得-1(2)若q為真命題,即一元二次方程x2+ax+2=0有兩個負根,則解得a≥2.
因為p和q有且只有一個是真命題,所以p真q假或p假q真,當p真q假時,則-1當p假q真時,則a≥2.
綜上,a的取值范圍為(-1,1)∪[2,+∞).2.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
【學習目標】
　　1.能結合具體命題理解全稱量詞與存在量詞的意義.
　　2.能識別日常生活和數學中的全稱量詞和存在量詞.
◆ 知識點一　量詞
1.全稱量詞
“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為　　　　量詞,通常用符號
　　　　表示“對任意x”.
2.存在量詞
“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學中稱為 　　　　量詞,通常用符號　　　　表示“存在x”.
◆ 知識點二　全稱量詞命題與存在量詞命題
1.定義:含有全稱量詞的命題稱為　　　　　,含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題.
2.表示:
全稱量詞命題:　　　　　　　　　;
存在量詞命題:　　　　　　　　　.
其中,M為給定的集合,p(x)是一個關于x的語句.
3.真假判斷:
要判定一個存在量詞命題為真,只要在給定的集合中找到　　　　元素,使命題為真即可;否則命題為假.
要判定一個全稱量詞命題為真,必須對給定的集合中的　　　　元素,命題都為真;但要判定一個全稱量詞命題為假,只要在給定的集合中找到　　　　元素,使命題為假.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)所有實數都有平方根. (　 )
(2)“三角形內角和等于180°”是全稱量詞命題. (　 )
(3)“ x∈R,x2-3x+2<0”是存在量詞命題. (　 )
(4)“有些整數只有兩個正因數”是存在量詞命題. (　 )
(5)“至少有一個偶數是質數”是存在量詞命題且是真命題.(　 )
◆ 探究點一　全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷
例1 將下列命題用“ ”或“ ”表示.
(1)實數的平方是非負數;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一個負根;
(3)設A,B為兩個集合,滿足A B;
(4)有些自然數,它的算術平方根是自然數.
變式 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(1)梯形的對角線相等;
(2)存在一個四邊形有外接圓;
(3)所有的正方形都是矩形;
(4)凸多邊形的外角和等于360°.
[素養小結]
(1)判斷一個命題是否為全稱量詞命題,主要看命題中是否有“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等全稱量詞,有些命題的全稱量詞是隱藏的,要仔細辨別.
(2)判斷一個命題是否為存在量詞命題,主要看命題中是否有“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“有的”等存在量詞,有些命題的存在量詞是隱藏的,要仔細辨別.
◆ 探究點二　全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷
例2 判斷下列命題的真假.
(1)菱形的對角線互相垂直;
(2)每一條線段的長度都能用正有理數表示;
(3)至少有一個整數,它既是3的倍數,也是5的倍數;
(4)存在x∈Q,使得2x2+x+1=0.
變式 (多選題)下列命題為真命題的是 (　 )
A.有的無理數的平方是有理數
B.任何一個四邊形的內角和都是180°
C.四邊形都有外接圓
D. x,y∈Z,x+y=3
[素養小結]
(1)全稱量詞命題的真假判斷
(2)存在量詞命題的真假判斷
◆ 探究點三　利用全稱量詞命題與存在量詞命題求參數的范圍
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若p: x∈B,x∈A,且p是真命題,求m的取值范圍;
(2)若q: x∈A,x∈B,且q是真命題,求m的取值范圍.
變式 (1)若命題“ x∈R,ax-2≤0”是真命題,則實數a的值是　　　　.
(2)若命題“ x∈R,x2+x+a=0”是真命題,則實數a的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
根據全稱量詞命題與存在量詞命題的真假等價轉化為關于集合間的關系或函數的最值問題,再轉化為關于參數的不等式(組)求參數的取值范圍.2.3　全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.1　全稱量詞命題與存在量詞命題
1.[2025·江蘇鹽城陳洋中學高一期中] 下列命題中是存在量詞命題的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.所有的素數都是奇數
B. x∈R,|x|+1≥1
C.對任意一個實數x,|x|是正實數
D.有一個偶數是素數
2.將a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)改寫成全稱量詞命題是 (　 )
A. a,b∈R,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
B. a<0,b>0,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
C. a>0,b>0,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
D. a,b∈R,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
3.命題“ x∈R,x2>3”的另一種寫法是 (　 )
A.有一個x∈R,使得x2>3
B.有一些x∈R,使得x2>3
C.對任意的x∈R,都有x2>3
D.至少有一個x∈R,使得x2>3
4.下列命題中是真命題且是全稱量詞命題的是 (　 )
A.對任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2≥0
B.菱形的兩條對角線相等
C. x∈R,=x
D.對于反比例函數,自變量越大,函數值越小
5.已知集合P={1,2,4,5,6},M={2,4,6},則下列命題中為真命題的是 (　 )
A. x∈P,x∈M B. x∈P,x M
C. x∈M,x P D. x∈P,x M
6.(多選題)下列命題中為真命題的是 (　 )
A.存在x<0,使|x|>x
B.對于一切x<0,都有|x|>x
C.已知a=2n,b=3n,則存在n∈N*,使得a=b
D.已知A={a|a=2n,n∈N*},B={b|b=3n,n∈N*},則A∩B=
7.下列命題中,全稱量詞命題是　　　　;存在量詞命題是　　　　.(填序號)
①正方形的四條邊相等;
②有兩個角相等的三角形是等腰三角形;
③正數的平方根不等于0;
④至少有一個正整數是偶數.
8.[2025·江蘇常州高一期末] 若“ x∈R,4x2-2x+m=0”為假命題,則實數m的取值范圍為　　　　.
9.(13分)指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷其真假.
(1)存在一個三角形沒有外接圓;
(2)每個二次函數的圖象都與x軸相交;
(3) x∈R,<0;
(4)存在實數x,=-x.
10.(13分)已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|-3m+4≤x≤2m-1},且B≠ .
(1)若p: x∈A,x∈B,且p是真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若q: x∈B,x∈A,且q是真命題,求實數m的取值范圍.
11.已知命題“存在x∈{x|0A.m≤0或m≥6
B.m<0或m>6
C.m<0或m≥6
D.m≤0或m>6
12.(多選題)已知p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,且p是真命題,則實數a的值可以是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.-2
13.已知p: x∈R,a≥-x2+1,q: x∈R,x2+x+2a-1=0,若p為真命題,q為假命題,則實數a的取值范圍為　.
14.已知真分數(b>a>0)滿足>,>,>,….根據上述性質,寫出一個全稱量詞命題為
　　　　　　　　　　.
15.[2024·山東青島平度一中高一月考] “ x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命題的一個必要且不充分條件是 (　 )
A.a<0 B.0≤a≤4
C.a≥4 D.016.(15分)[2025·河北十堰一中高一月考] 已知p:函數y=-x2+2x-a2的圖象上存在點在x軸上方;q:x2+ax+2=0有兩個負根.
(1)若p為真命題,求實數a的取值范圍;
(2)若p和q有且只有一個是真命題,求實數a的取值范圍.

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