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2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題
2.3.2 全稱量詞命題與存在量詞命題
的否定
探究點(diǎn)一 全稱量詞命題的否定
探究點(diǎn)二 存在量詞命題的否定
探究點(diǎn)三 全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用
◆
◆
◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
備課素材
練習(xí)冊(cè)
答案核查【導(dǎo)】
答案核查【練】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定.
2.能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.
知識(shí)點(diǎn)一 全稱量詞命題的否定
命題名稱 語(yǔ)言表示 符號(hào)表示 命題的否定
全稱量詞命 題 對(duì)中任意一個(gè) ， 有 成立 _____________ ，____
_________
常見全稱量詞的否定：“任意”的否定是“存在”，“所有”的否定是“不都”.
，
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“所有的矩形都不是平
行四邊形”.( )
×
[解析] “所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“有些矩形不是平行四
邊形”.
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（2）“實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是“有些實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”.( )
√
[解析] “實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是“有些（或存在）實(shí)數(shù)的平方不
是正數(shù)”.
（3）“,”的否定是“, ”.
( )
×
[解析] 量詞改變,結(jié)論否定，但條件不能變.
知識(shí)點(diǎn)二 存在量詞命題的否定
命題名稱 語(yǔ)言表示 符號(hào)表示 命題的否定
存在量詞 命題 存在中的一個(gè) ， 使 成立 ， ，
常見存在量詞的否定：“存在”的否定是“任意”，“有”的否定是“所有”.
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是“, ”.( )
√
[解析] 由詞語(yǔ)“有些”知原命題為存在量詞命題,故其否定為全稱量詞
命題,而命題的否定只否定結(jié)論.
（2）“，”與“， ”的真假性相反.( )
√
[解析] 存在量詞命題與其否定一真一假.
（3）從存在量詞命題的否定看,是對(duì)“量詞”和“ ”同時(shí)否定.( )
×
[解析] 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,只是對(duì)“ ”進(jìn)行否定,
而將“存在量詞”調(diào)整為“全稱量詞”,不能將其理解為“同時(shí)否定”.
探究點(diǎn)一 全稱量詞命題的否定
例1 寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假.
（1）所有能被7整除的整數(shù)都是奇數(shù);
解：該命題的否定:存在一個(gè)能被7整除的整數(shù)不是奇數(shù).真命題.
（2）每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都共圓；
解：該命題的否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓．真命題.
（3）對(duì)任意， 的個(gè)位數(shù)字都不等于1;
解：該命題的否定：存在， 的個(gè)位數(shù)字等于1.真命題.
例1 寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假.
（4）對(duì)任意的，一元二次方程 都有實(shí)數(shù)根.
解：該命題的否定：存在，使一元二次方程 沒有
實(shí)數(shù)根.
因?yàn)椋裕詫?duì)任意的 ，一元
二次方程 都有實(shí)數(shù)根，所以原命題的否定為假命題.
變式 判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
（1）三角形的內(nèi)角和為 ；
解：真命題.命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為 ，即存在一
個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于 .
（2）每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向下；
解：假命題.命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口不向下.
（3）對(duì)任意的,一元二次方程 都必有實(shí)數(shù)根.
解：真命題.命題的否定:存在,使一元二次方程
無實(shí)數(shù)根.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，
沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞；②對(duì)原命題
的結(jié)論進(jìn)行否定.
（2）判定全稱量詞命題“，”是真命題，需要對(duì)集合中
的每個(gè)元素，證明成立；要判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題，
只要舉出集合中的一個(gè)特殊值，使不成立即可.要判定存在量
詞命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少能找到一個(gè)，使成立
即可，否則就是假命題.
探究點(diǎn)二 存在量詞命題的否定
例2 寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假.
（1）， ;
解：該命題的否定:，.
因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以為假命題.
（2）， ；
解：該命題的否定：，.
因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ，所以為假命題.
例2 寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假.
（3）有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).
解：該命題的否定:一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).為真命題.
變式 寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假.
（1）存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù);
解：該命題的否定: 任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù).假命題.
（2）有些三角形是等邊三角形；
解：該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形.假命題.
（3）， .
解：該命題的否定：， .真命題.
［素養(yǎng)小結(jié)］
存在量詞命題的否定，是在否定結(jié)論的同時(shí)，改變量詞的屬性，
即將存在量詞改為全稱量詞.
探究點(diǎn)三 全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用
例3 已知，， ，
.
（1）若為假命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：若為假命題，則為真命題，即在 上恒成立，所
以在 上恒成立，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
例3 已知，， ，
.
（2）若和均為真命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：當(dāng)為真命題時(shí)，， ，
所以，解得或，
因?yàn)?為真命題，所以.
由（1）可知，當(dāng)為真命題時(shí)， .
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式（1）若“，”為假命題，則 的值可以是
( )
A.5 B.3 C.1 D.
[解析] 由題意可得， 為真命題，
則，且，所以，所以 的取值可以是5，故選A.
√
（2）［2025·北京延慶一中高一月考］已知 ，
，若為假命題，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
因?yàn)?為假命題，所以方程不存在正實(shí)數(shù)根，
于是有，得 ，故選D.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）與的否定只能一真一假，解決問題時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化.
（2）在求參數(shù)范圍的問題中，往往分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值
問題.
1.對(duì)全稱量詞命題與存在量詞命題關(guān)系的認(rèn)識(shí)
（1）結(jié)構(gòu)關(guān)系的認(rèn)識(shí):全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)
所有對(duì)象都具備某一性質(zhì),無一例外.而存在量詞命題中的存在量詞卻
表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外,兩者正好構(gòu)成了相反意義的表述,所以
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量
詞命題.
（2）真假性的認(rèn)識(shí):全稱量詞命題的否定與全稱量詞命題的真假性
相反,存在量詞命題的否定與存在量詞命題的真假性相反.
2.關(guān)鍵量詞的否定
詞語(yǔ) 是 都是 大于 小于 且
詞語(yǔ)的否定 不是 不都是 小于或等 于 大于或等 于 或
詞語(yǔ) 必有一 個(gè) 至少有 個(gè) 至多有一 個(gè) 所有 成立 所有 不成
立
詞語(yǔ)的否定 一個(gè)也 沒有 至多有 個(gè) 至少有兩 個(gè) 存在一個(gè) 不成立 存在一個(gè)
成立
1.含有一個(gè)量詞的命題的否定要注意的問題:
（1）確定命題類型,是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
（2）改變量詞:把全稱量詞改為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~;把存在量詞改為恰
當(dāng)?shù)娜Q量詞.
（3）否定結(jié)論:原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”
“不存在”“不成立”等.
2.含量詞命題的真假問題,直接判斷含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題
（存在量詞命題）的真假較為困難時(shí),可借助全稱量詞命題與存在量
詞命題的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為判斷其否定的真假性問題,達(dá)到化難為易的目的.
例
（1）［2025·江蘇灌南高級(jí)中學(xué)高一月考］若“, ”
是假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是________.
[解析] 因?yàn)椤?”是假命題，
所以“ ,”是真命題.
又，所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
（2）［2025·廣東廣州白云藝術(shù)中學(xué)高一月考］寫出這些命題的否
定，并判斷其否定命題的真假：
①, ；
解：, ，為假命題.
②三角形的三個(gè)內(nèi)角都為 ；
解：存在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角不都為 ，為真命題.
③存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 .
解：， ，為假命題.
練習(xí)冊(cè)
1.若“存在實(shí)數(shù)，使方程有實(shí)數(shù)根”，則 的否
定是( )
A.存在實(shí)數(shù)，使方程 無實(shí)數(shù)根
B.不存在實(shí)數(shù)，使方程 無實(shí)數(shù)根
C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程 都無實(shí)數(shù)根
D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)，使方程 有實(shí)數(shù)根
[解析] 命題是存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，即 的否定
為“對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程 都無實(shí)數(shù)根”.故選C.
√
2.［2025·遼寧遼陽(yáng)高一期中］“， ”的否定
為( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 易知原命題的否定為“， ”.故選D.
√
3.［2025·江蘇鹽城中學(xué)高一期中］“, ”的否定
是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 命題“，”的否定是“ ,
”.故選B.
√
4.設(shè)所有的等邊三角形都是等腰三角形，則 的否定為( )
A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形
B.有的等邊三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等邊三角形
D.不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形
[解析] 命題 的否定為“有的等邊三角形不是等腰三角形”.故選B.
√
5.已知，，如果 的否定是真命題，那么
實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 的否定：，.
因?yàn)?的否定為真命題，所以關(guān)于的方程有實(shí)根.
當(dāng) 時(shí)，方程的根為；
當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，
此時(shí) 的取值范圍為且.
綜上的取值范圍為 .故選C.
√
6.（多選題）下列命題的否定為真命題的是( )
A.每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)
B.能被3整除的整數(shù)，其各位數(shù)字之和也能被3整除
C.，
D.，
√
√
[解析] 對(duì)于A，2是偶數(shù)，也是素?cái)?shù)，所以A中的命題是假命題，故
該命題的否定為真命題；
對(duì)于B，易知原命題為真命題，故該命題的否定為假命題；
對(duì)于C，易知原命題為假命題，故該命題的否定為真命題；
對(duì)于D，易知原命題為真命題，故該命題的否定為假命題.
故選 .
7.命題“對(duì)于所有的實(shí)數(shù)，都有 ”可用符號(hào)記為______
_________________，該命題的否定為______________________.
，
，
[解析] 命題“對(duì)于所有的實(shí)數(shù)，都有 ”可用符號(hào)記為
“，”，該命題的否定為“， ”.
8.已知“，”是假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
________.
[解析] 由題可知，“，”為真命題，故當(dāng) 時(shí)，
，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
9.（13分）寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假.
（1）所有二次函數(shù)的圖象都開口向上;
解：“所有二次函數(shù)的圖象都開口向上”是全稱量詞命題,其否定為“有
些二次函數(shù)的圖象不是開口向上”,真命題.
（2）存在,使得 ;
解：“存在,使得”是存在量詞命題,其否定為“對(duì)任意 ,
都有 ”,真命題.
（3）某些平行四邊形是菱形；
解：該命題的否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，是假命題.
9.（13分）寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假.
（4）可以被5整除的數(shù)的末位是0；
解：該命題的否定：有些可以被5整除的數(shù)的末位不是0，是真命題.
（5）不論取何實(shí)數(shù)值，方程 必有實(shí)數(shù)根.
解：該命題的否定：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程 沒
有實(shí)數(shù)根.若方程沒有實(shí)數(shù)根，則判別式 ，此不等式
無解，則所得命題為假命題．
10.已知集合,集合 ,若
“, ”為假命題,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)椤? ”為假命題,所以“, ”
為真命題.
當(dāng) 時(shí),, ,符合題意;
當(dāng) 時(shí),可得,且， ,可得
.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為 ,故選A.
√
11.（多選題）下列命題的否定為假命題的是( )
A.，
B.所有的正方形都是矩形
C.，
D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使
√
√
√
[解析] 對(duì)于A，因?yàn)?，所以選項(xiàng)A中命題為
真命題，所以該命題的否定為假命題，故A符合題意；
對(duì)于B，因?yàn)樗械恼叫味际蔷匦危赃x項(xiàng)B中命題為真命題，
所以該命題的否定為假命題，故B符合題意；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C中命題為
假命題，所以該命題的否定為真命題，故C不符合題意；
對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，所以選項(xiàng)D中命題為真命題，
所以該命題的否定為假命題，故D符合題意.
故選 .
12.（多選題）［2025·廣東廣州玉巖中學(xué)高一期中］ “ ,
”是真命題的一個(gè)充分且不必要條件是( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)椤?”是真命題，所以“ ，
”是真命題，又當(dāng)時(shí)，，所以 .
因?yàn)椋?的一個(gè)充分且
不必要條件是或.
故選 .
√
√
13.已知“存在，使得等式 成立”是假命題，則
實(shí)數(shù) 的取值范圍是_________________.
[解析] 由題意得“對(duì)任意的，不等式 恒成立”是
真命題，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或 .
14.（15分）已知,, ,
,若的否定是假命題，是真命題，求實(shí)數(shù) 的取值
范圍.
解：因?yàn)榈姆穸ㄊ羌倜}，所以 是真命題，
由“,”為真命題，得.
因?yàn)?是真命題，所以關(guān)于的方程 有實(shí)數(shù)根，
則,解得 .
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
15.［2025·福建廈門一中高一月考］已知 ，
，是假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_______.
[解析] ，， 是真命題等價(jià)于
，因?yàn)椋?
因?yàn)?為假命題，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
16.（15分）已知，， ，
.
（1）當(dāng)為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：當(dāng)為假命題時(shí)， 為真命題.
當(dāng)時(shí)，， ，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
16.（15分）已知，， ，
.
（2）若和中有且僅有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：和中有且僅有一個(gè)是假命題，和 一真一假.
當(dāng)為真命題時(shí)，，解得 .
①當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，解得 ；
②當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，解得 .
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 ， 【診斷分析】(1)× (2)√ (3)×
知識(shí)點(diǎn)二【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）×
課中探究 例1(1)該命題的否定:存在一個(gè)能被7整除的整數(shù)不是奇數(shù).真命題.
（2）該命題的否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓．真命題.
（3）該命題的否定：存在，的個(gè)位數(shù)字等于1.真命題.
(4)該命題的否定:存在,使一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.假命題.
變式 （1）真命題.命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為 > .
（2）假命題.命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口不向下.
（3）真命題.命題的否定:存在,使一元二次方程無實(shí)數(shù)根.
例2 （1）該命題的否定:，. 假命題.
（2）該命題的否定：，. 假命題.
（3）該命題的否定:一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).真命題.
變式 （1）解：該命題的否定: 任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù).假命題.
（2）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形.假命題.
（3）該命題的否定：，.真命題.
例3 （1）（2） 變式 （1）A （2）D
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1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.AC
7.， ， 8.
9.（1）否定為“有些二次函數(shù)的圖象不是開口向上”,真命題.
（2）否定為“對(duì)任意,都有”,真命題.
（3）否定：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，是假命題.
（4）該命題的否定：有些可以被5整除的數(shù)的末位不是0，是真命題.
(5)該命題的否定:存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得方程沒有實(shí)數(shù)根.為假命題.
10.A 11.ABD 12.CD 13.
14. 15. 16.（1）（2)2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
x∈M,p(x)　 p(x)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“有些矩形不是平行四邊形”.
(2)“實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是“有些(或存在)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”.
(3)量詞改變,結(jié)論否定,但條件不能變.
知識(shí)點(diǎn)二
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)由詞語(yǔ)“有些”知原命題為存在量詞命題,故其否定為全稱量詞命題,而命題的否定只否定結(jié)論.
(2)存在量詞命題與其否定一真一假.
(3)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,只是對(duì)“p(x)”進(jìn)行否定,而將“存在量詞”調(diào)整為“全稱量詞”,不能將其理解為“同時(shí)否定”.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)該命題的否定:存在一個(gè)能被7整除的整數(shù)不是奇數(shù).真命題.
(2)該命題的否定:存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.真命題.
(3)該命題的否定:存在x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字等于1.真命題.
(4)該命題的否定:存在m>0,使一元二次方程x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根.因?yàn)閙>0,所以Δ=1+4m>0,所以對(duì)任意的m>0,一元二次方程x2+x-m=0都有實(shí)數(shù)根,所以原命題的否定為假命題.
變式　解:(1)真命題.命題的否定:三角形的內(nèi)角和不全為180°,即存在一個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于180°.
(2)假命題.命題的否定:存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開口不向下.
(3)真命題.命題的否定:存在m∈R,使一元二次方程x2+mx-1=0無實(shí)數(shù)根.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)該命題的否定: x∈R,x2+2x+1>0.因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),x2+2x+1=(-1)2+2×(-1)+1=0,所以為假命題.
(2)該命題的否定: x>0,x2-3x+2≤0.因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí),x2-3x+2=32-3×3+2=2>0,所以為假命題.
(3)該命題的否定:一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).為真命題.
變式　解:(1)該命題的否定: 任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù).假命題.
(2)該命題的否定:所有的三角形都不是等邊三角形.假命題.
(3)該命題的否定: x>2,4x2-x≠0.真命題.
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)若 p為假命題,則p為真命題,即a≤x2在[2,3]上恒成立,所以a≤(x2)min=4在[2,3]上恒成立,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4].
(2)當(dāng)q為真命題時(shí), x∈R,x2+2ax+2a=0,所以Δ=4a2-8a≥0,解得a≤0或a≥2,因?yàn)?q為真命題,所以0綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2).
變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由題意可得 x∈[-4,5],|x|-a≤0為真命題,則0≤|x|≤5,且a≥|x|,所以a≥5,所以a的取值可以是5,故選A.
(2)由x+a-1=0,得x=1-a,因?yàn)閜為假命題,所以方程x+a-1=0不存在正實(shí)數(shù)根,于是有1-a≤0,得a≥1,故選D.2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1.C　[解析] 命題p是存在量詞命題,其否定為全稱量詞命題,即p的否定為“對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,方程x2+mx+1=0都無實(shí)數(shù)根”.故選C.
2.D　[解析] 易知原命題的否定為“ x∈(-3,-1),|x-4|<5”.故選D.
3.B　[解析] 命題“ x>0,x2-4x+3≤0”的否定是“ x>0,x2-4x+3>0”.故選B.
4.B　[解析] 命題p的否定為“有的等邊三角形不是等腰三角形”.故選B.
5.C　[解析] p的否定: x∈R,ax2+2x+3=0.因?yàn)閜的否定為真命題,所以關(guān)于x的方程ax2+2x+3=0有實(shí)根.當(dāng)a=0時(shí),方程的根為x=-;當(dāng)a≠0時(shí),需滿足Δ=4-12a≥0,解得a≤,此時(shí)a的取值范圍為a≤且a≠0.綜上a的取值范圍為a≤.故選C.
6.AC　[解析] 對(duì)于A,2是偶數(shù),也是素?cái)?shù),所以A中的命題是假命題,故該命題的否定為真命題;對(duì)于B,易知原命題為真命題,故該命題的否定為假命題;對(duì)于C,易知原命題為假命題,故該命題的否定為真命題;對(duì)于D,易知原命題為真命題,故該命題的否定為假命題.故選AC.
7. x∈R,x2-x+1=0　 x∈R,x2-x+1≠0　[解析] 命題“對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x,都有x2-x+1=0”可用符號(hào)記為“ x∈R,x2-x+1=0”,該命題的否定為“ x∈R,x2-x+1≠0”.
8.(-∞,1]　[解析] 由題可知,“ x≥2,2x-3≥a”為真命題,故當(dāng)x≥2時(shí),a≤(2x-3)min=2×2-3=1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].
9.解:(1)“所有二次函數(shù)的圖象都開口向上”是全稱量詞命題,其否定為“有些二次函數(shù)的圖象不是開口向上”,真命題.
(2)“存在x∈Q,使得x2=6”是存在量詞命題,其否定為“對(duì)任意x∈Q,都有x2≠6”,真命題.
(3)該命題的否定:每一個(gè)平行四邊形都不是菱形,是假命題.
(4)該命題的否定:有些可以被5整除的數(shù)的末位不是0,是真命題.
(5)該命題的否定:存在一個(gè)實(shí)數(shù)m,使得方程x2+mx-1=0沒有實(shí)數(shù)根.若方程沒有實(shí)數(shù)根,則判別式Δ=m2+4<0,此不等式無解,則所得命題為假命題.
10.A　[解析] 因?yàn)椤?m∈R,A∩B≠ ”為假命題,所以“ m∈R,A∩B= ”為真命題.當(dāng)A={x|0≤x≤a}= 時(shí),a<0,A∩B= ,符合題意;當(dāng)A={x|0≤x≤a}≠ 時(shí),可得a≥0,且 m∈R,a11.ABD　[解析] 對(duì)于A,因?yàn)閤2-x+=≥0,所以選項(xiàng)A中命題為真命題,所以該命題的否定為假命題,故A符合題意;對(duì)于B,因?yàn)樗械恼叫味际蔷匦?所以選項(xiàng)B中命題為真命題,所以該命題的否定為假命題,故B符合題意;對(duì)于C,因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以選項(xiàng)C中命題為假命題,所以該命題的否定為真命題,故C不符合題意;對(duì)于D,因?yàn)楫?dāng)x=±時(shí),x2-2=0,所以選項(xiàng)D中命題為真命題,所以該命題的否定為假命題,故D符合題意.故選ABD.
12.CD　[解析] 因?yàn)椤?x∈[1,3],x2-a≤0”是真命題,所以“ x∈[1,3],x2≤a”是真命題,又當(dāng)x∈[1,3]時(shí),(x2)min=1,所以a≥1.因?yàn)閇2,+∞) [1,+∞),[3,+∞) [1,+∞),所以a≥1的一個(gè)充分且不必要條件是a≥2或a≥3.故選CD.
13.(-∞,6]∪[9,+∞)　[解析] 由題意得“對(duì)任意的x∈(-2,3),不等式3x-m≠0恒成立”是真命題,故m (-6,9),所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-6或m≥9.
14.解:因?yàn)閜的否定是假命題,所以p是真命題,由“ x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1”為真命題,得a≥3.因?yàn)閝是真命題,所以關(guān)于x的方程2x2+5x+a=0有實(shí)數(shù)根,
則Δ=25-8a≥0,解得a≤.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是3≤a≤.
15.m≥2　[解析] p: x∈[2,3], y∈[m,m+3],x>y是真命題等價(jià)于xmin>ymin,因?yàn)?≤x≤3,m≤y≤m+3,所以m<2.因?yàn)閜為假命題,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥2.
16.解:(1)當(dāng) p為假命題時(shí),p為真命題.
當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),x2+2x∈[-1,3],∴k≥(x2+2x)max=3,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[3,+∞).
(2)∵p和q中有且僅有一個(gè)是假命題,∴p和q一真一假.
當(dāng)q為真命題時(shí),Δ=4-4(3k+4)≥0,解得k≤-1.
①當(dāng)p為真命題,q為假命題時(shí),解得k≥3;
②當(dāng)q為真命題,p為假命題時(shí),解得k≤-1.
綜上所述,實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-1]∪[3,+∞).2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定.
　　2.能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　全稱量詞命題的否定
命題名稱 語(yǔ)言表示 符號(hào)表示 命題的否定
全稱量 詞命題 對(duì)M中任意一個(gè)x, 有p(x)成立 　　　 　　　 x∈M, 　　
常見全稱量詞的否定:“任意”的否定是“存在”,“所有”的否定是“不都”.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)“所有的矩形都是平行四邊形”的否定是“所有的矩形都不是平行四邊形”. (　 )
(2)“實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是“有些實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”. (　 )
(3)“ x>0,x2-2x+1≥0”的否定是“ x≤0,x2-2x+1<0”. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　存在量詞命題的否定
命題名稱 語(yǔ)言表示 符號(hào)表示 命題的否定
存在量 詞命題 存在M中的一個(gè)x, 使p(x)成立 x∈M, p(x) x∈M, p(x)
常見存在量詞的否定:“存在”的否定是“任意”,“有”的否定是“所有”.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是“ x∈R,|x|≤0”. (　 )
(2)“ x∈M,p(x)”與“ x∈M, p(x)”的真假性相反. (　 )
(3)從存在量詞命題的否定看,是對(duì)“量詞”和“p(x)”同時(shí)否定. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　全稱量詞命題的否定
例1 寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假.
(1)所有能被7整除的整數(shù)都是奇數(shù);
(2)每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都共圓;
(3)對(duì)任意x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字都不等于1;
(4)對(duì)任意的m>0,一元二次方程x2+x-m=0都有實(shí)數(shù)根.
變式 判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定:
(1)三角形的內(nèi)角和為180°;
(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向下;
(3)對(duì)任意的m∈R,一元二次方程x2+mx-1=0都必有實(shí)數(shù)根.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定的兩步操作:①找到命題所含的量詞,沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再改變量詞;②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.
(2)判定全稱量詞命題“ x∈M,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題,只要舉出集合M中的一個(gè)特殊值x,使p(x)不成立即可.要判定存在量詞命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)至少能找到一個(gè)x,使p(x)成立即可,否則就是假命題.
◆ 探究點(diǎn)二　存在量詞命題的否定
例2 寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假.
(1) x∈R,x2+2x+1≤0;
(2) x>0,x2-3x+2>0;
(3)有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).
變式 寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷所得命題的真假.
(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值不是正數(shù);
(2)有些三角形是等邊三角形;
(3) x>2,4x2-x=0.
[素養(yǎng)小結(jié)]
存在量詞命題的否定,是在否定結(jié)論p(x)的同時(shí),改變量詞的屬性,即將存在量詞改為全稱量詞.
◆ 探究點(diǎn)三　全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用
例3 已知p: 2≤x≤3,x2-a≥0,q: x∈R,x2+2ax+2a=0.
(1)若 p為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若p和 q均為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)若“ x∈[-4,5],|x|-a>0”為假命題,則a的值可以是 (　 )
A.5 B.3
C.1 D.-1
(2)[2025·北京延慶一中高一月考] 已知p: x>0,x+a-1=0,若p為假命題,則a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)p與p的否定只能一真一假,解決問題時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化.
(2)在求參數(shù)范圍的問題中,往往分離參數(shù),轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.2.3.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
1.若p:“存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根”,則p的否定是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實(shí)數(shù)根
B.不存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0無實(shí)數(shù)根
C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,方程x2+mx+1=0都無實(shí)數(shù)根
D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根
2.[2025·遼寧遼陽(yáng)高一期中] “ x∈(-3,-1),|x-4|≥5”的否定為 (　 )
A. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
B. x∈(-3,-1),|x-4|<5
C. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
D. x∈(-3,-1),|x-4|<5
3.[2025·江蘇鹽城中學(xué)高一期中] “ x>0,x2-4x+3≤0”的否定是 (　 )
A. x≤0,x2-4x+3>0
B. x>0,x2-4x+3>0
C. x>0,x2-4x+3>0
D. x≤0,x2-4x+3>0
4.設(shè)p:所有的等邊三角形都是等腰三角形,則p的否定為 (　 )
A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形
B.有的等邊三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等邊三角形
D.不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形
5.已知p: x∈R,ax2+2x+3≠0,如果p的否定是真命題,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.a< B.0C.a≤ D.a≥
6.(多選題)下列命題的否定為真命題的是 (　 )
A.每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)
B.能被3整除的整數(shù),其各位數(shù)字之和也能被3整除
C. x∈R,=0
D. x∈R,x2+x+1≠0
7. 命題“對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x,都有x2-x+1=0”可用符號(hào)記為　　　　　　　　　,該命題的否定為　　　　　　　　　.
8.已知“ x≥2,2x-39.(13分)寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.
(1)所有二次函數(shù)的圖象都開口向上;
(2)存在x∈Q,使得x2=6;
(3)某些平行四邊形是菱形;
(4)可以被5整除的數(shù)的末位是0;
(5)不論m取何實(shí)數(shù)值,方程x2+mx-1=0必有實(shí)數(shù)根.
10.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},若“ m∈R,A∩B≠ ”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.a<3 B.a<4
C.111.(多選題)下列命題的否定為假命題的是 (　 )
A. x∈R,x2-x+≥0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-2=0
12.(多選題)[2025·廣東廣州玉巖中學(xué)高一期中] “ x∈[1,3],x2-a≤0”是真命題的一個(gè)充分且不必要條件是 (　 )
A.a≥1 B.a≥0
C.a≥2 D.a≥3
13.已知“存在x∈(-2,3),使得等式3x-m=0成立”是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　　　　　.
14.(15分)已知p: x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,q: x∈R,2x2+5x+a=0,若p的否定是假命題,q是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
15.[2025·福建廈門一中高一月考] 已知p: x∈[2,3], y∈[m,m+3],x>y是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.
16.(15分)已知p: x∈[-1,1],x2+2x-k≤0,q: x∈R,x2+2x+3k+4=0.
(1)當(dāng) p為假命題時(shí),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若p和q中有且僅有一個(gè)是假命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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