資源簡介

2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025全國高中數學聯合競賽
一試試題(A卷)
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分，
1.若log3(9x),log(27x),log2,(3x)成等差數列，則正數x的值為
2.設集合A={1,2,3,,100},B={a2+2|a∈4，則AUB的元素個數為
3.設點P在橢圓T,+5-1上，R,盡為I的兩個熊點，線段FP交橢圓
2025
9+i4
1于點Q·若△F,PQ的周長為8，則線段Q的長度為
4.設函數f(x)的定義域為R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+x·若g(x)為奇
函數，h(x)為偶函數，則f(x)的最大值為
5.若正整數k滿足
sin20
sin25
R(i為虛數單位)，則k的最小值
cos25
cos20
為
6.設下為任意四棱柱，在「的12條棱中隨機選取兩條不同的棱1，，，將事件
“I所在直線與(，所在直線平行"發生的概率記為P(T),則P(T)所有可能值為
7.平面中的3個單位向量a,b,c滿足a.b=ac]+H[b.c(其中[x]表示不超過實
數x的最大整數)，則a+b+c的取值范圍是
8.將1,2,3，…，9排列為a,b,c,d,e,f,g,h,i,使得3個三位數abc,def,ghi之和等
于2025，則不同的排列方法數為
小紅店
小紅書號345264546
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、
證明過屋或演算步驟
9.(本題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，點集
「={(x,yy2=2x+2
若T中的3個不同的點M,P,Q滿足：M為PQ的中點，且OP.OQ=-2,求
點M的坐標。
10.(本題滿分20分)設正四面體ABCD各棱長均為2.P,Q分別是棱AB,AC上
的動點（允許位于棱的端點)，AP+AQ=2,M為棱AD的中點.在△MPQ中，
MH為PQ邊上的高.求MH長度的最小值.
11.(本題滿分20分)設為實數，m,n為正整數，且sinma·sinna≠0.
1
1
證明：
sinma
sinna m.sinma.sinna+sinmna
小紅書號344

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