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2025-2026學年陜西省西安市高新唐南中學高二（上）開學數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則等于( )
A. B. C. D.
2.設，是兩個不同的平面，是直線，且“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知復數，則( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若與垂直，則( )
A. B. C. D.
5.已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則( )
A. B. C. D.
6.已知，，，且，則下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知向量，若，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數是定義域為的奇函數，且當時，，函數，若，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知的內角，，的對邊分別為，，，已知，，銳角滿足，則( )
A. 的周長為 B.
C. D.
10.某影院連續天的觀影人數單位：百人依次為，，，，，，，，，，則下列關于這天觀影人數的結論正確的是( )
A. 眾數為 B. 平均數為
C. 中位數為 D. 第百分位數為
11.如圖，正方體的棱長為，點在線段上運動，則( )
A. 三棱錐的體積為定值
B.
C. 若為線段的中點，則點到直線的距離為
D. 存在某個點，使直線與平面所成角為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知為定義在上的奇函數，當時，，則 ______．
13.已知銳角滿足，則______．
14.如圖，在邊長為的正方形中，點，分別是，的中點將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于點若三棱錐的頂點均在球的球面上，則球的表面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
求角；
若，求及的面積．
16.本小題分
某教育局組織一地區的小學、初中、高中三個學段的學生參加“防溺水”網絡知識問答，并按學段人數比例分層隨機抽樣，從中抽取名學生，對其分數進行統計分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
求頻率分布直方圖中的值，并估計該地區所有學生知識問答分數的眾數；
分數位列前的學生平臺會生成“防溺水達人”優秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的最低分數；
教育局的工作人員在此次問答分數中抽取了名同學的分數：，，，，，已知這個分數的平均數，方差，若剔除其中的最高分和最低分，求剩余個分數的平均數與方差．
參考數據：，，．
17.本小題分
函數的部分圖象如下圖所示．
求函數的解析式；
求函數的單調遞增區間；
將函數的圖象向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到函數的圖象，求在區間上的最值．
18.本小題分
某校舉行數學競賽，初賽時，每位參賽選手從道題中隨機抽取道作答，若道題全部答對，則直接進入決賽；若道題都答錯，則直接淘汰；若恰好答對道題，則進入復賽復賽時，每位參賽選手回答道題與初賽時的題目不同，若道題都答對，則進入決賽，否則淘汰該校學生甲參加了這次數學競賽，已知甲初賽時只會其中道題，復賽時答對每道題的概率均為，初、復賽結果互不影響，且復賽時各題答對與否也互不影響．
求甲進入決賽的概率；
求甲至少答對道題的概率．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，為中點，平面，，為中點．
證明：平面；
證明：平面；
求直線與平面所成角的余弦值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根據正弦定理：，
則，，
已知，
代入得：，
因，，
等式兩邊除以得：，
即，
由，得，
又，故，綜上，角的值為；
由知，而，由正弦定理得，
由，得，則，
，
所以的面積．
16.根據題意可得，解得；
估計該地區所有學生知識問答分數的眾數為分；
前組的頻率之和為，
前組的頻率之和為，
所以內，且為分；
由題意，剩余個分數的平均數為．
因為這個分數的方差，
所以，
所以剩余個分數的方差為：
．
即剩余個分數的平均數與方差分別為分，．
17.由題意得的最大值為，周期，解得，
由，可得，結合，解得，
所以的解析式是．
由知，
根據，
解得的單調遞增區間為．
由題意得，
當時，，
可知當，即時，；
當或，即或時，，
因此，在區間上的最大值為，最小值為．
18.設事件“甲初賽答對道題”，“甲復賽答對道題”，
“甲進入決賽”，
將初賽的道題編號為，，，，其中甲會的題為，，
從道中選道，樣本空間為：，，，，，，
因為，，所以，
根據獨立性假定，得，
因為，與互斥，
，
因此，甲進入決賽的概率為．
設事件“甲至少答對兩道題”，
，，，兩兩互斥，
，
所以甲至少答對兩道題的概率為．
19.證明：連接，，因為底面為平行四邊形，
為中點，故BD與相交于，
因為為的中點，則，
因為平面，平面，
所以平面；
證明：因為，，
由余弦定理得，
即，解得，
因為，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，，
所以平面；
解：取的中點，連接，，則，
因為平面，所以平面，
則為直線與平面所成角，
其中，故，
因為，，
由勾股定理得，
故，
由勾股定理得，
所以，
即直線與平面所成角的余弦值為．
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