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2.5三角函數的應用 同步習題
一、單選題
1．某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距50海里．客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，那么tan∠BAP=（　　）
A． B． C． D．
2．海中有一個小島A，它的周圍a海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東75°方向上，航行12海里到達D點，這是測得小島A在北偏東60°方向上．若漁船不改變航線繼續向東航行而沒有觸礁危險，則a的最大值為（　　）
A．5 B．6 C．6 D．8
3．如圖，在離鐵塔150米的處，用測角儀測得塔頂的仰角為，測角儀的高為米，則鐵塔的高為（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．如圖，小明為了測量其所在位置點A到河對岸點B之間的距離，沿著與AB垂直的方向走了m m，到達點C，測得∠ACB＝α，那么AB等于 (　　)
A．m·sinαm B．m·tanαm C．m·cosαm D．m
5．如圖，某漁船正在海上處捕魚，先向北偏東的方向航行到處，然后右轉再航行到處．在點的正南方向，點的正東方向的處有一條船，也計劃駛往處，那么它的航向是(　　)
A．北偏東 B．北偏東 C．北偏東 D．北偏東
6．某校數學“綜合與實踐”小組的同學想要測量校園內文化長廊（如圖）的最高點到地面的高度．如圖是其測量示意圖，五邊形關于直線對稱，與，分別相交于點，．測得，，，，則文化長廊的最高點離地面的高度約為（ ）（結果保留一位小數，參考數據：，，）
A． B． C． D．
7．如圖，已知一商場自動扶梯的長l為13米，高度h為5米，自動扶梯與地面所成的夾角為θ，則tanθ的值等于（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為300，看這棟高樓底部C的俯角為600，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為（ ）
A．40m B．80m C．120m D．160m
二、填空題
9．某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比，頂部A處的高為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度為 米．

10．如圖，沿傾斜角為30°的山坡植樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離AC為2m，那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為 m（精確到0.1m）．（可能用到的數據≈1.41，≈1.73）
11．如圖，某同學在樓房的A處測得荷塘的一端B處的俯角為30°，荷塘另一端D與點C、B在同一條直線上．已知AC＝32米，CD＝16米，則荷塘寬BD為 米(取≈1.73，結果保留整數)．
12．一艘觀光游船從港口以北偏東的方向出港觀光，航行海里至處時發生了側翻沉船事故，立即發出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以海里每小時的速度前往救援，海警船到達事故船處所需的時間大約為 小時（用根號表示）．
13．如圖，在平地和在山坡上樹木的株距（相鄰兩棵樹之間的水平距離）均為，已知山坡的坡度為，則山坡上相鄰兩棵樹之間的坡面距離為 ．
14．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ．
三、解答題
15．如圖，一枚運載火箭從地面A處發射．當火箭到達B點時，從位于地面D處的雷達站測得BD的距離是4km，仰角為30°；當火箭到達C點時，測得仰角為45°，這時，C點距離雷達站D有多遠（結果保留根號）？
16．如圖，斜坡AC的坡度為1：，AC=8米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB=8米，試求旗桿BC的高度．
17．如圖，為了測得旗桿AB的高度，小明在D處用高為1m的測角儀CD，測得旗桿頂點A的仰角為45°，再向旗桿方向前進10m，又測得旗桿頂點A的仰角為60°，求旗桿AB的高度．
18．如圖，小山頂上有一信號塔AB，山坡BC的傾角為30°，現為了測量塔高AB，測量人員選擇山腳C處為一測量點，測得塔頂仰角為45°，然后順山坡向上行走100米到達E處，再測得塔頂仰角為60°，求塔高AB．（結果保留整數）
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B C C A D
1．A
【詳解】試題分析：∵燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距50海里，∴PA＝50，
∵客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，
∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故選A．
2．B
【詳解】試題分析：作AC⊥BD于點C， ∠ABD=90°-75°=15°，
∵∠ADC=90°-60°=30°， ∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠BAD， ∴BD=AD=12（海里），
在直角△ADC中，AC=AD=×12=6（海里）．故選B．
3．A
【分析】本題考查了與仰角俯角有關的解直角三角形的應用；過點A作于E，則可由仰角的正切值求得，再加上的長即為的長．
【詳解】解∶ 過點A作于E，
根據題意，得米，米，
∵塔頂的仰角為，
∴，
∴米，
∴米，
故選∶A．
4．B
【詳解】∵tanα=，∴AB=mtanα米.
故選B.
點睛：熟記三角函數公式.
5．C
【分析】連接，由題意得：，，，，，根據得出，進而根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
由題意得：，，，，，
，
，
，
，
，
即處在處的北偏東方向，
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數關系是解題的關鍵．
6．C
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，過點作于點，證明四邊形為矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的長，再由計算即可得出答案熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，
由題意，得，，
∵垂直平分，垂足為，垂直平分，與交于點，，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故選：．
7．A
【詳解】則另一條直角邊為 ，根據正切=對邊：鄰邊，即tanθ=.
故選A.
8．D
【分析】過A作AD⊥BC，垂足為D，在直角△ABD與直角△ACD中，根據三角函數的定義求得BD和CD，再根據BC=BD+CD即可求解．
【詳解】解：過A作AD⊥BC，垂足為D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴BD=AD tan30°=120×m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，
∴CD=AD tan60°=120×=120m，
∴BC=BD+CD=m．
故選D．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
9．8
【分析】根據坡比即可求解．
【詳解】解：由題意結合坡比，代入，
∴米，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了坡比的定義，屬于基礎題，熟練掌握坡比定義即可．
10．2.3
【分析】利用特殊直角三角形中的三角函數值，三角函數定義，即可求解
【詳解】解：∵∠BCA=90°，
∴cos∠BAC=．
∵∠BAC=30°，AC=2，
∴AB=≈2.3．
答∶相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為2.3m．
故答案為：2.3
11．39
【詳解】根據題意可得：∠B=30°，
在Rt△ABC中，tan∠B=tan30°=，
則BC=32≈55米，
則BD=BC-CD=55-16=39米．
故答案為：39
12．
【分析】過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根據時間=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時間．
【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，
∴CD=AC=30海里．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，
∴BC=（海里），
∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：20÷40=（小時）．
故答案為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
13．
【分析】本題考查坡度的計算，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．
利用坡度求出豎直高度，然后利用勾股定理解題即可．
【詳解】解：山坡的坡度為，，
，
在中，，
故答案為：．
14．
【分析】先根據勾股定理求出的長，再利用余切公式．
【詳解】解：中，，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查勾股定理以及余切定理，掌握這兩個定理是解題的關鍵．
15．C點距離雷達站D是km．
【分析】先通過cos∠BDA求出AD的長,再通過cos∠CDA求出CD的長即可．
【詳解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝,
∴AD＝4×＝ (km)；
在Rt△ACD中,cos∠CDA＝,
∴CD＝＝ (km)．
∴C點距離雷達站D是km．
【點睛】本題考查解直角三角形和三角函數應用,關鍵在于通過圖象結合．
16．旗桿BC的高度為8米
【分析】如果延長交于點，則，要求的高度，就要知道和的高度，就要先求出的長度．直角三角形中有坡比，由的長，那么就可求出的長，然后求出、的高度，，即可得出結果．
【詳解】解： 延長交于點，則．
在中，AC=8，由坡度為可知：，
，
．
在中，．
，
（米．
答：旗桿的高度為8米．
【點睛】本題考查了三角函數和解直角三角形，熟悉相關性質是解題的關鍵．
17．（16+5）米．
【詳解】設AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：電視塔的高度AB約為(16+5)米．
18．塔高AB大約為58米
【分析】先判斷△ACE為等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根據AB=AF－BF即可得出答案．
【詳解】解：依題意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE，
∴∠CAE=15°．
∴△ACE為等腰三角形．
∴AE=CE=100米．
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcos60°=50（米），AF=AEsin60°=50（米）．
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=（米）．
∴（米）．
答：塔高AB大約為58米．

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