資源簡介

(共60張PPT)
3.2 基本不等式
3.2.1 基本不等式的證明
探究點一 基本不等式的推導與證明
探究點二 利用基本不等式證明不等式
探究點三 利用基本不等式求最值
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.知道基本不等式 的幾何背景，能結合具體
實例解釋基本不等式成立的條件.
2.會運用所學知識證明基本不等式并能在證明過程中分析不等式
成立的條件.
知識點一 基本不等式
1.算術平均數與幾何平均數
對于正數,,我們把稱為,的______平均數,稱為, 的_____
平均數.
算術
幾何
2.兩個重要不等式
不等式 內容 等號成立的條件
重要不等式
基本不等式 _ __________________
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）對任意，，， 均成立．( )
×
[解析] 對任意,,成立,當且僅當, 都為非負數時,
不等式 成立.
（2）若，，則 .( )
×
[解析] 若,,則 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）若,則 .( )
×
[解析] 只有當時,才有不等式 成立.
（4）若，，則 .( )
√
[解析] 當，時，因為,所以 .
知識點二 最值定理
1.已知, 都是正數.
（1）如果和等于定值,那么當時,積取得最____值 .
（2）如果積等于定值,那么當時,和取得最____值 .
大
小
2.利用基本不等式求積的最大值或和的最小值時,需注意:
（1）, 必須是______.
（2）求積的最大值時,應看和是否為______;求和 的最
小值時,應看積 是否為______.
（3）______成立的條件是否滿足.
正數
定值
定值
等號
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩個正數的積為定值,它們的平方和有最小值.( )
√
[解析] 由 知,該說法正確.
（2）若,且,則 .( )
√
[解析] 因為，所以 .
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（3）兩個負數的和為定值,則它們積有最大值.( )
√
[解析] 設,,, 為定值,
則,
所以 ,所以 .
探究點一 基本不等式的推導與證明
例1 （多選題）若 ，則下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為，所以 ，故選項A正確；
因為,所以,，,則 ，
故，所以選項B和D正確，選項C錯誤.
故選 .
√
√
√
變式 很多代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證
明,也稱之為無字證明.現有如圖所示的圖形,點 在半
圓的圓弧上,點在直徑上,且 ,設
, ,則該圖形可以完成的無字證明為
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題圖可知, ,
.
由題可得,因為 ,所以
.故選B.
［素養小結］
（1）在理解基本不等式時,要從形式到內含中理解,特別要關注條件.
（2）運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件,即
成立的條件是,,等號成立的條件是;成
立的條件是,,等號成立的條件是.
探究點二 利用基本不等式證明不等式
例2-1 （1）已知，為正實數，求證： .
證明：因為，為正實數，所以, 也為正實數，
所以，當且僅當 時取等號.
（2）已知,，求證： .
證明： 因為， ，所以由基本不等式可得
，
故，當且僅當 時等號成立.
例2-2 已知，， 都是非負實數，求證:
.
證明：因為， 都是非負數，且
,
所以,即,當且僅當 時取得等號,則有
.
同理得，.
故，當且僅當 時等號成立.
變式 證明：對任意的,, ,
恒成立.
證明：因為,, 都是正數，
所以（當且僅當 時等號成立）,
（當且僅當 時等號成立）,
（當且僅當 時等號成立），
所以 ，當且僅當
時，等號成立.
［素養小結］
利用基本不等式證明不等式時，要先觀察題中要證明的不等式的結
構特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對代數式進行拆
項、變形、配湊等，使之達到能使用基本不等式的形式；若題目中
還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系，當已
知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換.另外，解題時要時刻注意等
號能否取到.
探究點三 利用基本不等式求最值
例3 若,求 的最小值.
解：因為,所以 ,
所以,當且僅當,即 時取等號,
故的最小值為 .
變式（1）（多選題）下列說法中正確的是( )
A.若,,則
B.若,則
C.若,,則
D.若,,,則
√
√
[解析] ,,,當且僅當 時,等號成立,
故A正確;
, ,
當且僅當,即時取等號,顯然不成立,故B錯誤;
,, 當時,不成立,故C錯誤;
, ,,,當且僅當 時,
等號成立,故D正確.
故選 .
（2）已知，則 的最大值為__.
[解析] 因為,所以 ,所以
,當且僅當,即
時等號成立.
［素養小結］
利用基本不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的原則.
①一正:基本不等式成立的前提條件為,.
②二定:化不等式的一邊為定值.
③三相等:必須存在取等號的條件,即等號成立的條件.
以上三點缺一不可.
拓展 已知正實數,滿足，求 的最小值.
解：,，（當且僅當 時，
等號成立），整理可得 ，即
，可得 .
的最小值為6.
1.關于基本不等式的證明
作差法證明基本不等式 .
因為,,所以,所以 ,即
,當且僅當 時,等號成立.
2.基本不等式的結構：基本不等式 的右邊為和的形式,左邊
為積的形式,該不等式表明兩正數, 的和與積之間的大小關系,運用
該不等式可作和與積之間的不等變換.
3.基本不等式的幾何意義
如圖所示,為半圓的直徑,,,過點 作
交半圓于,連接,,.可證 ,所以
,而.因為,所以,當且僅當與
重合,即時, 等號成立.因此基本不等式 的幾何意義是
圓的半徑不小于半弦.
4.利用基本不等式證明不等式時應注意的問題
（1）注意基本不等式成立的條件；
（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否取到；
（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等
式模型，再使用.
5.基本不等式的推廣
如果 為正實數，那么
（當且僅當
時，取等號）.
1.比較大小除了用比較法,也可利用基本不等式.在應用定理時應特別
注意定理成立的條件,避免因條件遺漏導致解題結果錯誤,例如
就要求,,而等號成立的條件是 .
例1 已知,是不相等的正數,,,試比較, 的大小.
解:因為,是不相等的正數,所以， ，
由得 ,
又,即 ,
所以,即 .
2.基本不等式鏈的幾何證明
例2 證明基本不等式鏈:若 ,則
.
證明：方法一（代數法）因為 ,
所以
（當且僅當 時,等號成立）.
方法二（幾何意義法）
練習冊
1.不等式 中,等號成立的條件是( )
A. B. C. D.
[解析] 該不等式等號成立的條件為,即 .故選D.
√
2.［2024·北京延慶區高一期中］函數 有( )
A.最小值 B.最大值 C.最小值4 D.最大值4
[解析] 因為,所以,當且僅當 ,
即 時等號成立,故函數有最小值4,無最大值.故選C.
√
3.若 ，則下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，因此只有B項正確.
√
4.函數 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，， 由基本不等式得
，當且僅當 時取等號.
，故函數 的最大值是
.故選B.
√
5.已知正數，滿足，則 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為正數，滿足，所以 ，
當且僅當 時，等號成立.故選A.
√
6.［2024·人大附中高一期中］已知,,若 ,則( )
A.的最大值為1 B. 的最大值為2
C.的最小值為1 D. 的最小值為2
[解析] 因為,當且僅當 時等號成
立，所以,所以,所以 的最大值為1,故A正確,B
錯誤;
因為,當且僅當 時等號成立，
所以,所以,所以的最小值為 ,故C,D錯誤.
故選A.
√
7.［2025·江蘇南京六合高級中學高一期中］已知， ，且
，則 的最小值為___.
4
[解析] 因為,，所以 ，當且僅當
時等號成立,所以 的最小值為4.
8.已知為正數，比較大小：___4.（填“ ”“ ”“ ”“ ”中
的一個）
[解析] 由,得 ,當且僅當
時，等號成立.
9.（13分）
（1）若，求 的最大值；
解：因為，所以 ，所以
，
當且僅當，即 時取等號，
所以，即的最大值為 .
9.（13分）
（2）已知，求 的最大值；
解：因為，所以，則 ，所以
，
當且僅當，即 時取等號，
所以的最大值是 .
（3）已知，，且,求 的最小值.
解：由，，得，當且僅當 時取
等號，可得，所以 的最小值為4.
10.（13分）
（1）已知，，，求證： ；
證明：由， ，得
，當且僅當 ，即
,時取等號，所以 .
10.（13分）
（2）設,,均為正實數，求證： .
證明： .
因為,,均為正實數，所以,, ，
當且僅當 時，等號同時成立，所以
，
所以 .
11.［2025·江蘇鹽城東臺一中高一月考］若 ，則
有( )
A.最小值0 B.最大值2 C.最大值 D.不能確定
√
[解析] 由基本不等式得，
，當且僅當
，即時等號成立，故有最大值 ，故C
正確，B，D錯誤；
令,解得或 ,又，所以
取不到0，故A錯誤.
故選C.
12.“”是“ ”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
√
[解析] 由，可得或當時， ，當
且僅當時，等號成立；當時，， ，則
，當且僅當時等號成立，所以充分性成立.
當 時，設，則，則，可得，
即 ，可得，所以必要性成立.
故“”是“ ”的充要條件.故選C.
13.（多選題）下列函數的最小值為4的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 對于A，當時， ，則
，當且僅當 ，即
時等號成立，故，當且僅當 時等號成
立，故A錯誤；
√
√
，當且僅當
時，等號成立，故B正確；
對于C，當時， ，
當且僅當 時，等號成立，故C正確；
對于D，易知，令， ，
則原式，當且僅當時，等號成立，因為 ，
所以取不到等號，該函數的最小值不是4，故D錯誤.
故選 .
14.［2025·揚州一中高一月考］已知，，且 ，
則 的最大值為___.
[解析] 因為，，且 ，所以
，當且僅當 且
，即，時，等號成立，故的最大值為 .
15.已知，則 的最小值為
__________.
[解析] 因為,所以 ，
設，則,所以， ,所以
,當且僅
當，即時等號成立，所以 的最小值為
.
16.（15分）我們都知道，,,，當且僅當 時
等號成立，于是就有，當且僅當 時等號成立，即
得到重要的不等關系：，,，當且僅當 時等
號成立，其實這是基于完全平方公式和非負數的性質得出的.事實上，
我們還能得出下列結論：，, .
（1）證明“，, ”.
證明：因為，當且僅當 時等號成立，所以
，即 ，
則 .
因為，當且僅當 時等號成立,所以
，即，則 .
綜上可得 .
16.（15分）我們都知道，,,，當且僅當 時
等號成立，于是就有，當且僅當 時等號成立，即
得到重要的不等關系：，,，當且僅當 時等
號成立，其實這是基于完全平方公式和非負數的性質得出的.事實上，
我們還能得出下列結論：，, .
（2）若，,，求 的最大值與最小值.
解：由，得 且
，即
.
因為，
當且僅當 時等號成立，
所以 ，
即，可得 ，當且僅
當時等號成立.又因為 ，且
，
所以，即 ，
可得，當且僅當， 或
， 時等號成立.
所以的最大值為，最小值為 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.算術 幾何 2.
【診斷分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
知識點二 1.（1）大（2）小 2.（1）正數（2）定值 定值（3）等號
【診斷分析】 （1）√ （2）√ （3）√
課中探究 例1 ABD 變式 B
例2-1 略 例2-2 略
例3 變式 （1）AD （2） 拓展 6
快速核答案（練習冊）
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.4 8.
9.（1）（2）（3）4 10.略
11.C 12.C 13.BC 14.
15.
16.（1）略（2）的最大值為，最小值為3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明
【課前預習】
知識點一
1.算術　幾何　2.≤(a,b≥0)　a=b
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab成立,當且僅當a,b都為非負數時,不等式a+b≥2成立.
(2)若a>0,b>0,則3a+2b≥2.
(3)只有當a>0時,才有不等式a+≥2=4成立.
(4)當a>0,b>0時,因為≤,所以ab≤.
知識點二
1.(1)大　(2)小　2.(1)正數　(2)定值　定值　(3)等號
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)由x2+y2≥2xy知,該說法正確.
(2)因為≤=5,所以ab≤25.
(3)設x<0,y<0,x+y=s(s<0),s為定值,則(-x)+(-y)≥2=2,所以2≤-s(-s>0),所以xy≤.
【課中探究】
探究點一
例1　ABD　[解析] 因為a>b>0,所以>,故選項A正確;因為a>b>0,所以a+b>0,ab>0,>,則0<<1,故<<,所以選項B和D正確,選項C錯誤.故選ABD.
變式　B　[解析] 由題圖可知,OF=AB=(a+b),OC=(a+b)-b=(a-b).由題可得CF==,因為CF≥OF,所以≥.故選B.
探究點二
例2-1　證明:(1)因為a,b為正實數,所以,也為正實數,
所以+≥2=2,當且僅當a=b時取等號.
(2)因為a>0,b>0,所以由基本不等式可得+++≥2+2,
故+≥+,當且僅當a=b時等號成立.
例2-2　證明:因為a,b都是非負數,且-==≥0,
所以≥,即≥,當且僅當a=b時取得等號,則有≥(a+b).
同理得≥(b+c),≥(c+a).故++≥(a+b)+(b+c)+(c+a)=(a+b+c),當且僅當a=b=c時等號成立.
變式　證明:因為x,y,z都是正數,
所以x+4y≥2=4>0(當且僅當x=4y時等號成立),y+z≥2>0(當且僅當y=z時等號成立),4z+x≥2=4>0(當且僅當4z=x時等號成立),
所以(x+4y)(y+z)(4z+x)≥32=32xyz,當且僅當x=4y=4z時,等號成立.
探究點三
例3　解:因為x>0,所以x3>0,
所以+x3≥2=2,當且僅當=x3,即x=時取等號,故+x3的最小值為2.
變式　(1)AD　(2)　[解析] (1)∵a,b>0,∴+≥2=2,當且僅當a=b時,等號成立,故A正確;∵≥>0,∴+≥2=2,當且僅當=,即x2=-4時取等號,顯然不成立,故B錯誤;∵a∈R,a≠0,∴當a<0時,+a≥2=2不成立,故C錯誤;∵x,y∈R,xy<0,∴+=-≤-2,當且僅當-x=y時,等號成立,故D正確.故選AD.
(2)因為0拓展　解:∵a>0,b>0,∴a+b+3=ab≤(當且僅當a=b時,等號成立),整理可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0,即[(a+b)+2][(a+b)-6]≥0,可得a+b≥6.
∴a+b的最小值為6.3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明
1.不等式a2+≥4中,等號成立的條件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a=4 B.a=
C.a=- D.a=±
2.[2024·北京延慶區高一期中] 函數y=2x+(x>0)有 (　 )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值4 D.最大值4
3.若a>b>0,則下列不等式成立的是 (　 )
A.a>b>>
B.a>>>b
C.a>>b>
D.a>>>b
4.函數y=2-3x-(x>0)的最大值是 (　 )
A.2-2 B.2-4
C.2+2 D.2+4
5.已知正數a,b滿足ab=10,則的最大值是 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2024·人大附中高一期中] 已知x,y∈R,若x2+y2=2,則 (　 )
A.xy的最大值為1
B.xy的最大值為2
C.xy的最小值為1
D.xy的最小值為2
7.[2025·江蘇南京六合高級中學高一期中] 已知x>0,y>0,且xy=4,則x+y的最小值為　　　　.
8.已知a為正數,比較大小:　　　　4.(填“>”“<”“≥”“≤”中的一個)
9.(13分)(1)若x<0,求y=+3x的最大值;
(2)已知0(3)已知a>0,b>0,且a+b=ab,求a+b的最小值.
10.(13分)(1)已知a>0,b>0,ab=4,求證:+≥;
(2)設a,b,c均為正實數,求證:++≥++.
11.[2025·江蘇鹽城東臺一中高一月考] 若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.不能確定
12.“ab>0”是“+≥2”的 (　 )
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
13.(多選題)下列函數的最小值為4的是 (　 )
A.y=x+
B.y=x++1(x>1)
C.y=(x>0)
D.y=
14.[2025·揚州一中高一月考] 已知a>0,b>0,且3a+7b=10,則ab的最大值為　　　　　.
15.已知x2-3xy+2y2=1(x,y∈R),則2x2+y2的最小值為　　　　.
16.(15分)我們都知道, a,b∈R,(a-b)2≥0,當且僅當a=b時等號成立,于是就有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立,即得到重要的不等關系: a,b∈R,≥ab,當且僅當a=b時等號成立,其實這是基于完全平方公式和非負數的性質得出的.事實上,我們還能得出下列結論: a,b∈R,≥≥ab.
(1)證明“ a,b∈R,≥≥ab”.
(2)若a,b∈R,=2,求a+b的最大值與最小值.3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明
1.D　[解析] 該不等式等號成立的條件為a2=,即a=±.故選D.
2.C　[解析] 因為x>0,所以y=2x+≥2=4,當且僅當2x=,即x=1時等號成立,故函數有最小值4,無最大值.故選C.
3.B　[解析] a=>>>=b,因此只有B項正確.
4.B　[解析] y=2-,∵x>0,∴由基本不等式得3x+≥2=4,當且僅當x=時取等號.∴y=2-≤2-4,故函數y=2-3x-的最大值是2-4.故選B.
5.A　[解析] 因為正數a,b滿足ab=10,所以≤==,當且僅當a=2b=2時,等號成立.故選A.
6.A　[解析] 因為x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,當且僅當x=y時等號成立,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤1,所以xy的最大值為1,故A正確,B錯誤;因為x2+y2+2xy=(x+y)2≥0,當且僅當x=-y時等號成立,所以x2+y2≥-2xy,所以xy≥-1,所以xy的最小值為-1,故C,D錯誤.故選A.
7.4　[解析] 因為x>0,y>0,所以x+y≥2=2=4,當且僅當x=y=2時等號成立,所以x+y的最小值為4.
8.≥　[解析] 由a>0,得=a+2+≥2+2=4,當且僅當a=1時,等號成立.
9.解:(1)因為x<0,所以-x>0,所以-y=-+(-3x)≥2=2×6=12,
當且僅當-=-3x,即x=-2時取等號,
所以y=+3x≤-12,即y=+3x的最大值為-12.
(2)因為00,所以y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤=,
當且僅當3x=1-3x,即x=時取等號,
所以y=x(1-3x)的最大值是.
(3)由a>0,b>0,得a+b=ab≤,當且僅當a=b時取等號,可得a+b≥4,所以a+b的最小值為4.
10.證明:(1)由a>0,b>0,得+==(2a+b)≥×2=,當且僅當2a=b,即a=,b=2時取等號,所以+≥.
(2)++==.
因為a,b,c均為正實數,所以ab≤,bc≤,ac≤,當且僅當a=b=c時,等號同時成立,所以≥=++,
所以++≥++.
11.C　[解析] 由基本不等式得,=·≤·=2,當且僅當x=4-x,即x=2時等號成立,故有最大值2,故C正確,B,D錯誤;令=0,解得x=0或x=4,又012.C　[解析] 由ab>0,可得或當時,+≥2,當且僅當a=b時,等號成立;當時,>0,>0,則+≥2,當且僅當a=b時等號成立,所以充分性成立.當+≥2時,設t=,則t+≥2,則≥0,可得t>0,即>0,可得ab>0,所以必要性成立.故“ab>0”是“+≥2”的充要條件.故選C.
13.BC　[解析] 對于A,當x<0時,-x>0,則-y=(-x)+≥2=4,當且僅當-x=,即x=-2時等號成立,故y=x+≤-4,當且僅當x=-2時等號成立,故A錯誤;對于B,當x>1時,x++1=x-1++2≥4,當且僅當x=2時,等號成立,故B正確;對于C,當x>0時,=2x+-2≥6-2=4,當且僅當x=時,等號成立,故C正確;對于D,易知y==+,令t=,t≥3,則原式=t+≥4,當且僅當t=2時,等號成立,因為t≥3,所以取不到等號,該函數的最小值不是4,故D錯誤.故選BC.
14.　[解析] 因為a>0,b>0,且3a+7b=10,所以ab=×3a×7b≤×=,當且僅當3a=7b且3a+7b=10,即b=,a=時,等號成立,故ab的最大值為.
15.6-10　[解析] 因為x2-3xy+2y2=(x-y)(x-2y)=1,所以x≠y,設x-y=t(t≠0),則x-2y=,所以x=2t-,y=t-,所以2x2+y2=2+=9t2+-10≥6-10,當且僅當9t2=,即t4=時等號成立,所以2x2+y2的最小值為6-10.
16.解:(1)證明:因為a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立,所以2a2+2b2≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2,
則≥.
因為a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立,所以a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,則≥ab.
綜上可得≥≥ab.
(2)由=2,得a+b>0且(a+b)2=4(+)2,即(a+b)2=8+4(a+b)+8·.因為2·≤a+1+b+1=a+b+2,當且僅當a=b時等號成立,
所以(a+b)2≤8+4(a+b)+4(a+b+2),
即(a+b)2-8(a+b)-16≤0,可得0所以(a+b)2≥8+4(a+b),即(a+b)2-4(a+b)-8≥0,
可得a+b≥2+2,當且僅當a=-1,b=3+2或a=3+2,b=-1時等號成立.
所以a+b的最大值為4+4,最小值為2+2.3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的證明
【學習目標】
　　1.知道基本不等式≤(a,b≥0)的幾何背景,能結合具體實例解釋基本不等式成立的條件.
　　2.會運用所學知識證明基本不等式并能在證明過程中分析不等式成立的條件.
◆ 知識點一　基本不等式
1.算術平均數與幾何平均數
對于正數a,b,我們把稱為a,b的　　　平均數,稱為a,b的　　　平均數.
2.兩個重要不等式
不等式 內容 等號成立的條件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) “a=b”時取“=”
基本不等式 　　　　　　　　　 “　　　”時取“=”
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立. (　 )
(2)若a>0,b>0,則3a+2b≥. (　 )
(3)若a≠0,則a+≥2=4. (　 )
(4)若a>0,b>0,則ab≤. (　 )
◆ 知識點二　最值定理
1.已知x,y都是正數.
(1)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時,積xy取得最　　　　值.
(2)如果積xy等于定值P,那么當x=y時,和x+y取得最　　　　值2.
2.利用基本不等式求積的最大值或和的最小值時,需注意:
(1)x,y必須是　　　　.
(2)求積xy的最大值時,應看和x+y是否為　　　　;求和x+y的最小值時,應看積xy是否為　　　　.
(3)　　　　成立的條件是否滿足.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個正數的積為定值,它們的平方和有最小值. (　 )
(2)若a>0,b>0且a+b=10,則ab≤25. (　 )
(3)兩個負數的和為定值,則它們積有最大值.(　 )
◆ 探究點一　基本不等式的推導與證明
例1 (多選題)若a>b>0,則下列不等式一定成立的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.> B.<
C.> D.>
變式 很多代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明,也稱之為無字證明.現有如圖所示的圖形,點F在半圓O的圓弧上,點C在直徑AB上,且OF⊥AB,設AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為 (　 )
A.≥ B.≤
C.≤ D.a2+b2≥2ab
[素養小結]
(1)在理解基本不等式時,要從形式到內含中理解,特別要關注條件.
(2)運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件,即a+b≥2成立的條件是a≥0,b≥0,等號成立的條件是a=b;a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R,等號成立的條件是a=b.
◆ 探究點二　利用基本不等式證明不等式
例2-1 (1)已知a,b為正實數,求證:+≥2.
(2)已知a>0,b>0,求證:+≥+.
例2-2 已知a,b,c都是非負實數,求證:++≥(a+b+c).
變式 證明:對任意的x,y,z∈(0,+∞),(x+4y)(y+z)(4z+x)≥32xyz恒成立.
[素養小結]
利用基本不等式證明不等式時,要先觀察題中要證明的不等式的結構特征,若不能直接使用基本不等式證明,則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等,使之達到能使用基本不等式的形式;若題目中還有已知條件,則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系,當已知條件中含有“1”時,要注意“1”的代換.另外,解題時要時刻注意等號能否取到.
◆ 探究點三　利用基本不等式求最值
例3 若x>0,求+x3的最小值.
變式 (1)(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.若a,b>0,則+≥2=2
B.若x∈R,則+≥2=2
C.若a∈R,a≠0,則+a≥2=2
D.若x,y∈R,xy<0,則+=-≤-2
(2)已知0[素養小結]
利用基本不等式求最值,必須按照“一正,二定,三相等”的原則.
①一正:基本不等式≥成立的前提條件為a>0,b>0.
②二定:化不等式的一邊為定值.
③三相等:必須存在取等號的條件,即等號成立的條件.
以上三點缺一不可.
拓展 已知正實數a,b滿足ab=a+b+3,求a+b的最小值.

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