資源簡介

(共66張PPT)
3.2 基本不等式
3.2.2 基本不等式的應(yīng)用
探究點(diǎn)一 利用基本不等式的變形求最值
探究點(diǎn)二 基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
◆
◆
◆
課中探究
備課素材
練習(xí)冊
答案核查【練】
答案核查【導(dǎo)】
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值
的問題，從中領(lǐng)會基本不等式 成立時的三個限
制條件（一正、二定、三相等）在求解實際問題的最值中的作用.
探究點(diǎn)一 利用基本不等式的變形求最值
角度1 配湊法求最值
例1（1）［2025·江蘇無錫輔仁高級中學(xué)高一期中］已知實數(shù) ，
則 的最小值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 實數(shù) ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立， 的最小值為6.故選B.
√
（2）［2025·江蘇泰州興化中學(xué)高一月考］已知 且
，則 的最小值為( )
A.12 B. C.16 D.
[解析] 因為，所以， ，且
，則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即， 時，等
號成立，所以 的最小值為16.故選C.
√
變式 利用基本不等式求以下最值：
（1）若，求 的最大值；
解：， ，
,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立， 的
最大值為12.
變式 利用基本不等式求以下最值：
（2）若，求 的最小值；
解：，，令，則, ，
可化為， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即 時等號成立，
的最小值為 .
變式 利用基本不等式求以下最值：
（3）當(dāng)時，求 的最大值.
解：當(dāng)時，， ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時等號成立，
的最大值為1.
角度2 常數(shù)代換求最值
例2（1）［2025·江蘇宿遷湖濱高級中學(xué)高一月考］若， ，
且，則 的最小值為( )
A.20 B.12 C.16 D.25
√
[解析] 因為，所以 ，所以
， 當(dāng)且僅當(dāng)且，
即 時取等號，所以 的最小值為25.故選D.
（2）［2025·江蘇揚(yáng)州高一期中］已知，， ，
則 的最大值是____.
16
[解析] 因為，， ，所以
，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
即時等號成立，所以 的最
大值為16.
變式 ［2025·江蘇丹陽高一期中］ 已知，， ,
則 的最小值為( )
A.36 B.25 C.16 D.9
[解析] 由，，，得 ，所以
，當(dāng)且
僅當(dāng)且，即， 時等號成立，所以
的最小值為16.故選C.
√
角度3 消元法求最值
例3 ［2025·江蘇淮安漣水一中高一月考］已知 ，且
，則 的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以，由，得 ，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，且 ，
，即， 時取等號.故選A.
√
變式 ［2025·北京大興區(qū)高一期中］ 已知,，且 ，則
的最小值為( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因為，所以，, ，所以
，當(dāng)且僅當(dāng) ，即
，時，等號成立，所以 的最小值為1.故選C.
√
［素養(yǎng)小結(jié)］
若是求和的最小值,通常化（或利用）積為定值;若是求積的最大值,
通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ?其解答技巧是恰當(dāng)變形,合理拆分項或配
湊因式.
探究點(diǎn)二 基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
例4 ［2025·廣東佛山石門中學(xué)高一月考］某住宅小區(qū)
為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一
座八邊形的休閑場所.如圖，它的主體造型平面圖是由
兩個相同的矩形和 構(gòu)成的占地面積為100平
（1）設(shè)長為米，總造價為元，求關(guān)于 的表達(dá)式；
方米的十字形地域.計劃在正方形 上建一座花壇，造價為每平
方米 元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪彩色水磨石地坪，
造價為每平方米105元；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，
造價為每平方米40元.
解：由題可得，正方形的面積為 ，陰影
部分的面積為，所以 ，且
，則，則 .
（2）若市面上花壇造價為每平方米225元，求總造價
的最小值，并求此時花壇的造價.
解：由（1）可知，
，當(dāng)且僅當(dāng)
且，即 時等號成立，所以
.
此時花壇的造價為 （元）.
變式 ［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 已知， 為東西方向的海岸
線上相距的兩地（在的東側(cè)），地在，之間，且距離
地處，在地正南方向處有一海島，由海島 開往海岸的
小船以 的速度按直線方向航行.
（1）某人在海島上乘小船在距地正東方向處的 地登岸，登
岸后以的速度向東步行到地，求此人從海島到達(dá) 地的時間；
解：如圖①所示，由題可得 ，
，， ，
，由勾股定理可得
，因
此，此人從海島到達(dá) 地的時間為
.
變式 ［2025·江蘇徐州三中高一期中］ 已知， 為東西方向的海岸
線上相距的兩地（在的東側(cè)），地在，之間，且距離
地處，在地正南方向處有一海島，由海島 開往海岸的
小船以 的速度按直線方向航行.
（2）一快遞員以的速度從地向 地騎行，同時某人乘小船
從海島向海岸出發(fā)，兩人恰好相遇于，之間的地，且距 地
，求快遞員的速度 的最大值.
解：如圖②所示,， ，
， ，由勾股定理可得
，
由題可得，即 ，可得
且，即 時，等號成立，
因此，快遞員的速度的最大值為 .
，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)
［素養(yǎng)小結(jié)］
在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,應(yīng)注意如下的思路和方法:
（1）理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù)值;
（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值
問題;
（3）在自變量的取值范圍內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;
（4）根據(jù)實際背景寫出答案.
利用基本不等式解決實際問題的重點(diǎn)是將實際問題轉(zhuǎn)化為能利用最
值定理求最值的問題上來.
1.利用最值定理求最值的常見類型：（1）和與積型與型 ，
即已知和（或積）為定值，求積（或和）的最值；（2）平方和與積
型與型 ，即已知平方和（或積）為定值，求積
（或平方和）的最值；（3）平方和與和型與型 ，即
已知平方和（或和）為定值，求和（或平方和）的最值.
例1 ［2025·四川綿陽南山中學(xué)高一月考］已知正實數(shù), 滿足
，求 的最小值的一種解法是：
，當(dāng)且僅當(dāng)
且，即， 時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并
解決下列問題：
（1）若正實數(shù),滿足，求 的最小值；
解：因為,且 ，
所以 ，所以
的最小值是 .
例1 ［2025·四川綿陽南山中學(xué)高一月考］已知正實數(shù), 滿足
，求 的最小值的一種解法是：
，當(dāng)且僅當(dāng)
且，即， 時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并
解決下列問題：
（2）若實數(shù),,,滿足，試比較和 的大
小，并指明等號成立的條件；
解： ，
且,當(dāng)且僅當(dāng) 時,等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)且,同號時等號成立，所以 ，
此時,也滿足 .
例1 ［2025·四川綿陽南山中學(xué)高一月考］已知正實數(shù), 滿足
，求 的最小值的一種解法是：
，當(dāng)且僅當(dāng)
且，即， 時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并
解決下列問題：
（3）求代數(shù)式的最小值，并求出當(dāng) 取得
最小值時 的值.
解：令,，由可得 ，
則 ，
因為,，所以.
構(gòu)造 ，
由，可得，因此, ，
由（2）知 ，
當(dāng)且僅當(dāng)且, 同正時等號成立，
結(jié)合，解得,，即 ,可得
.
所以當(dāng)時，取得最小值 .
2.解決實際應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關(guān)系,抽象出數(shù)學(xué)
模型,利用基本不等式解應(yīng)用題,既要注意條件是否具備,還要注意有關(guān)
量的實際含義.
例2 ［2025·上海進(jìn)才中學(xué)高一期中］隨著城市居民汽車使用率的增
加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市
軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃
部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該
隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/時）和車流密度 （單位：輛/千米）
所滿足的關(guān)系式： 研究表明：當(dāng)隧道
內(nèi)的車流密度達(dá)到105輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/時.
（1）若車流速度不小于20千米/時，求車流密度 的取值范圍；
解：當(dāng)時， ，符合題意；
當(dāng)時，令，解得 ，所以
.
所以若車流速度不小于20千米/時，則車流密度 的取值范圍是
.
（2）隧道內(nèi)的車流量 （單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/
時）滿足 ，求隧道內(nèi)車流量的最大值，并指出當(dāng)車流量最大
時的車流密度.
解：由題意得
當(dāng)時，，隨的增大而增大，所以 ，當(dāng)
時等號成立；
當(dāng)時，
.
又因為，當(dāng)且僅當(dāng) ，即
時等號成立，所以 .
所以隧道內(nèi)車流量的最大值為2450輛/時，此時車流密度約為70輛/千米.
練習(xí)冊
1.［2025·江蘇如皋中學(xué)高一月考］若，則函數(shù) 的最
小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 ，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
，即時等號成立，所以的最小值為 .
故選D.
√
2.若正實數(shù)，滿足，則 的最小值是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
[解析] ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時，等號成立，所以 的最小值是
9．故選C.
√
3.用一段長為 的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型的面積的
最大值為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)矩形模型一條邊的長為,相鄰邊的長為 ，則
，，由題意可得，所以 .
設(shè)矩形模型的面積為,則，
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，故選C.
√
4.若，則 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，則
，當(dāng)且僅當(dāng)
，即時等號成立，故原式最大值為 .故選A.
√
5.［2025·廣東河源中學(xué)高一月考］已知，則 的最小
值是( )
A.16 B.25 C.27 D.34
[解析] 由，得 ，因此
，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時取等號，所以
的最小值為25.故選B.
√
6.若實數(shù)，，且，則 的最小值為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 因為實數(shù)，，，所以 ，則
，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，即 的最小值為9，故選C.
√
7.已知，，且，則 的最小值為___.
2
[解析] 因為，，且，即 ，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)， 時取等號.
8.某公司欲購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)
品可獲得的總利潤（單位：萬元）與機(jī)器使用的時間 （單位：年）
的關(guān)系為 ，則當(dāng)每臺機(jī)器使用___年時，
年平均利潤最大，最大值是___萬元.
5
8
[解析] 每臺機(jī)器使用年的年平均利潤為 ，且
，故，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，此時年
平均利潤最大，最大值為8萬元.
9.（13分）某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1800平方
米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周
圍均是寬為1米的小路（示意圖如圖所示），大
棚的總占地面積為平方米，其中 .
（1）試用，表示 ；
解：由題意可得， ，則
，所以 .
9.（13分）某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1800平方米
的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍
均是寬為1米的小路（示意圖如圖所示），大棚的
總占地面積為平方米，其中 .
（2）若要使的值最大，則， 的值各為多少？
解： ，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時等號成立，此時，所以當(dāng)，時， 取得最大值.
10.［2024·江蘇無錫江陰高一月考］若，則 的最小
值為( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 因為，所以 ，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以 的最
小值為 ，故選A.
11.設(shè),若恒成立,則 的最大值為( )
A.4 B.2 C.8 D.1
[解析] 由題可知的最大值為 的最小值.又
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號，所以 的最大值為8.故選C.
√
12.（多選題）已知,，且 ，則( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 對于A，因為,，所以 ，當(dāng)且
僅當(dāng),時等號成立，所以 ，故A錯誤；
對于B, ，
當(dāng)且僅當(dāng), 時等號成立，故B正確；
對于C,因為 ，
當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立，所以 ，故C正確；
對于D,因為，所以 ，所以
,當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立，
故D錯誤.
故選 .
13.［2025·吉林長春實驗中學(xué)高一期中］已知， ，
，則 的最小值為_________.
[解析] 由，得，因為 ，
，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以 的最小值為
.
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正數(shù), 滿足
.
（1）求 的最小值；
解：因為,，且，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即,時等號成立，可得 ,
則，即 的最小值為8.
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正數(shù), 滿足
.
（2）求 的最小值；
解：因為,，且，所以 ，可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即, 時等號成立，
所以的最小值為 .
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正數(shù), 滿足
.
（3）若，，求 的最小值.
解：因為,，且，所以 ，
可得 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以 的最小
值為18.
15.［2025·湖南長沙一中高一月考］設(shè)正實數(shù)，， 滿足
，則當(dāng)取得最大值時， 的最大值為
( )
A.2 B. C.1 D.
√
[解析] 因為正實數(shù)，，滿足 ，所以
，所以 ，當(dāng)
且僅當(dāng)，即 時，等號成立，
此時，當(dāng) 取得最大值時，
，分析可得，
當(dāng)，即時， 取得最大值2.故選A.
16.（15分）［2025·上海黃浦區(qū)格致中學(xué)高一期中］ 一天早晨，同
學(xué)們走進(jìn)教室，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：
例：求, 的最小值.
解：因為當(dāng)，，都為正數(shù)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，所以當(dāng)時， ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值 .
（1）請你模仿例題，研究, 的最小值；
（注：當(dāng),,，都為正數(shù)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立）
解：因為當(dāng),,，都為正數(shù)時 ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，所以當(dāng) 時
，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值 .
16.（15分）［2025·上海黃浦區(qū)格致中學(xué)高一期中］ 一天早晨，同
學(xué)們走進(jìn)教室，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：
例：求, 的最小值.
解：因為當(dāng)，，都為正數(shù)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，所以當(dāng)時， ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值 .
（2）求, 的最小值；
解：因為當(dāng),,都為正數(shù)時，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，所以當(dāng)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值 .
16.（15分）［2025·上海黃浦區(qū)格致中學(xué)高一期中］ 一天早晨，同
學(xué)們走進(jìn)教室，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：
例：求, 的最小值.
解：因為當(dāng)，，都為正數(shù)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，所以當(dāng)時， ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值 .
（3）當(dāng)時，求, 的最小值.
解：由題可得，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)
時，取得最小值 .
快速核答案（導(dǎo)學(xué)案）
課中探究
例1 （1）B （2）C 變式 （1）12（2）<（3）1
例2 （1）D （2）16 變式 C
例3 A 變式 C
例4 （1）
（2）,此時花壇的造價為（元）.
變式 （1）（2）
快速核答案（練習(xí)冊）
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.C 7.2 8.5 8
9.（1） （2），
10.A 11.C 12.BC 13.
14.（1）8 （2）（3）18
15.A 16.（1）（2）（3）3.2.2　基本不等式的應(yīng)用
1.D　[解析] 因為x>1,所以x-1>0,所以y=x-1++1≥2+1=4+1,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2+1時等號成立,所以y的最小值為4+1.故選D.
2.C　[解析] +=(a+b)=4+++1≥5+2 =9,當(dāng)且僅當(dāng)= ,即a=2b時,等號成立,所以+的最小值是9.故選C.
3.C　[解析] 設(shè)矩形模型一條邊的長為x cm,相鄰邊的長為y cm,則x>0,y>0,由題意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.設(shè)矩形模型的面積為S cm2,則S=xy≤==4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立,故選C.
4.A　[解析] 由00,則x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x=時等號成立,故原式最大值為.故選A.
5.B　[解析] 由00,因此+=[x+(1-x)]=17++≥17+2=25,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=時取等號,所以+的最小值為25.故選B.
6.C　[解析] 因為實數(shù)x>0,y>0,x+4y=xy,所以+=1,則x+y=(x+y)=++5≥2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立,即x+y的最小值為9,故選C.
7.2　[解析] 因為a>0,b>0,且=2,即a=2b,所以b+=b+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=1,a=2時取等號.
8.5　8　[解析] 每臺機(jī)器使用x年的年平均利潤為=18-,且x>0,故≤18-2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時等號成立,此時年平均利潤最大,最大值為8萬元.
9.解:(1)由題意可得xy=1800,b=2a,則y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)·=1808-3x-y(x>3,y>3).
(2)S=1808-3x-×=1808-≤1808-2=1808-240=1568,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,即x=40時等號成立,此時y==45,所以當(dāng)x=40,y=45時,S取得最大值.
10.A　[解析] 因為00,所以+=[2a+(1-2a)]=2+++1≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=時取等號,所以+的最小值為3+2,故選A.
11.C　[解析] 由題可知k的最大值為+的最小值.又+=[2m+(1-2m)]=4+2≥8,當(dāng)且僅當(dāng)2m=1-2m,即m=時取等號,所以k的最大值為8.故選C.
12.BC　[解析] 對于A,因為a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時等號成立,所以ab≤2,故A錯誤;對于B,+=(2a+b)=≥=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時等號成立,故B正確;對于C,因為(+)2=2a+b+2=4+2≤4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2時等號成立,所以+≤2,故C正確;對于D,因為2a+b=4,所以b=4-2a,所以+4a=+4a=8a+-16≥16-16,當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=4-2時等號成立,故D錯誤.故選BC.
13.6-3　[解析] 由2a+b+ab=16,得(a+1)(b+2)=18,因為a>0,b>0,所以a+b=(a+1)+(b+2)-3≥2-3=6-3,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+2=3時取等號,所以a+b的最小值為6-3.
14.解:(1)因為a>0,b>0,且a+2b=ab,所以ab=a+2b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=4,即a=4,b=2時等號成立,可得≥2,則ab≥8,即ab的最小值為8.
(2)因為a>0,b>0,且a+2b=ab,所以+=1,可得a+b=(a+b)=2+1++≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b,即a=2+,b=+1時等號成立,
所以a+b的最小值為3+2.
(3)因為a>2,b>1,且a+2b=ab,所以(a-2)(b-1)=2,
可得+=+=10++≥10+2=18,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=3時等號成立,所以+的最小值為18.
15.A　[解析] 因為正實數(shù)x,y,z滿足x2-xy+4y2-z=0,所以z=x2-xy+4y2,所以==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時,等號成立,此時z=x2-xy+4y2=6y2,當(dāng)取得最大值時,+-=+-=-+=-+2,分析可得,當(dāng)=2,即y=時,+-取得最大值2.故選A.
16.解:(1)因為當(dāng)a,b,c,d都為正數(shù)時a+b+c+d≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時等號成立,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時x4+1+1+1≥4x,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,取得最小值-3.
(2)因為當(dāng)a,b,c都為正數(shù)時a+b+c≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,x3+3+3≥3x,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時等號成立,
所以x3-3x=x3+3+3-6-3x≥3x-6-3x=-6,
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時,取得最小值-6.
(3)由題可得x3++≥ax,當(dāng)且僅當(dāng)x3=時等號成立,所以x3-ax=x3++--ax≥-,當(dāng)且僅當(dāng)x3=時,取得最小值-.3.2.2　基本不等式的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　結(jié)合具體實例,能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題,從中領(lǐng)會基本不等式≤(a,b>0)成立時的三個限制條件(一正、二定、三相等)在求解實際問題的最值中的作用.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 探究點(diǎn)一　利用基本不等式的變形求最值
角度1　配湊法求最值
例1 (1)[2025·江蘇無錫輔仁高級中學(xué)高一期中] 已知實數(shù)x>1,則y=2x+的最小值為 (　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)[2025·江蘇泰州興化中學(xué)高一月考] 已知a>b≥0且+=1,則2a+b的最小值為 (　 )
A.12 B.8
C.16 D.8
變式 利用基本不等式求以下最值:
(1)若0(2)若x>-3,求y=的最小值;
(3)當(dāng)x<時,求y=3x-1+的最大值.
角度2　常數(shù)代換求最值
例2 (1)[2025·江蘇宿遷湖濱高級中學(xué)高一月考] 若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,則+的最小值為 (　 )
A.20 B.12
C.16 D.25
(2)[2025·江蘇揚(yáng)州高一期中] 已知a>0,b>0,2a+3b=5,則(2a+2)(3b+1)的最大值是　　　　.
變式 [2025·江蘇丹陽高一期中] 已知a>0,b>0,a+4b=ab,則a+4b的最小值為 (　 )
A.36 B.25
C.16 D.9
角度3　消元法求最值
例3 [2025·江蘇淮安漣水一中高一月考] 已知b>2,且2a+b=ab+1,則a+2b的最小值是 (　 )
A.5+2 B.3+
C.3- D.5-2
變式 [2025·北京大興區(qū)高一期中] 已知a,b∈R,且ab=2,則+的最小值為 (　 )
A. B. C.1 D.2
[素養(yǎng)小結(jié)]
若是求和的最小值,通常化(或利用)積為定值;若是求積的最大值,通?；?或利用)和為定值,其解答技巧是恰當(dāng)變形,合理拆分項或配湊因式.
◆ 探究點(diǎn)二　基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
例4 [2025·廣東佛山石門中學(xué)高一月考] 某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計劃建一座八邊形的休閑場所.如圖,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的占地面積為100平方米的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價為每平方米a元;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪彩色水磨石地坪,造價為每平方米105元;在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為每平方米40元.
(1)設(shè)AD長為x米,總造價為S元,求S關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)若市面上花壇造價為每平方米225元,求總造價S的最小值,并求此時花壇的造價.
變式 [2025·江蘇徐州三中高一期中] 已知A,B為東西方向的海岸線上相距12 km的兩地(B在A的東側(cè)),C地在A,B之間,且距離A地3 km處,在C地正南方向3 km處有一海島P,由海島P開往海岸的小船以10 km/h的速度按直線方向航行.
(1)某人在海島P上乘小船在距C地正東方向4 km處的D地登岸,登岸后以5 km/h的速度向東步行到B地,求此人從海島P到達(dá)B地的時間;
(2)一快遞員以v km/h的速度從A地向B地騎行,同時某人乘小船從海島P向海岸出發(fā),兩人恰好相遇于C,B之間的E地,且距C地x km(0[素養(yǎng)小結(jié)]
在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,應(yīng)注意如下的思路和方法:
(1)理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù)值;
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;
(3)在自變量的取值范圍內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;
(4)根據(jù)實際背景寫出答案.3.2.2　基本不等式的應(yīng)用
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)B　(2)C　[解析] (1)∵實數(shù)x>1,∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立,∴y=2x+的最小值為6.故選B.
(2)因為a>b≥0,所以a+b>0,a-b>0,且2a+b=(a+b)+(a-b),則2a+b==10++≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)=且+=1,即a=8,b=0時,等號成立,所以2a+b的最小值為16.故選C.
變式　解:(1)∵00,∴y=x(12-3x)=×3x×(12-3x)≤×=12,
當(dāng)且僅當(dāng)3x=12-3x,即x=2時等號成立,∴y=x(12-3x)的最大值為12.
(2)∵x>-3,∴x+3>0,令t=x+3,則t>0,x=t-3,
∴y=可化為y==t+,∵y=t+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=,即x=-3時等號成立,∴y=的最小值為2.
(3)當(dāng)x<時,3x-4<0,4-3x>0,∴y=3x-4++3=-+3≤-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)4-3x=,即x=1時等號成立,
∴y=3x-1+的最大值為1.
例2　(1)D　(2)16　[解析] (1)因為3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,當(dāng)且僅當(dāng)=且3m+2n-1=0,即m=n=時取等號,所以+的最小值為25.故選D.
(2)因為a>0,b>0,2a+3b=5,所以(2a+2)+(3b+1)=8,所以(2a+2)(3b+1)≤=42=16,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以(2a+2)(3b+1)的最大值為16.
變式　C　[解析] 由a>0,b>0,a+4b=ab,得+=1,所以a+4b=(a+4b)=8++≥8+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b且a+4b=ab,即a=8,b=2時等號成立,所以a+4b的最小值為16.故選C.
例3　A　[解析] 因為b>2,所以b-2>0,由2a+b=ab+1,得a=,則a+2b=2b+=2b+=2(b-2)++5≥5+2=5+2,當(dāng)且僅當(dāng)2(b-2)=,且a=,b>2,即b=+2,a=1+時取等號.故選A.
變式　C　[解析] 因為ab=2,所以b=,a≠0,a2>0,所以+=+=+≥2=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=±,b=±時,等號成立,所以+的最小值為1.故選C.
探究點(diǎn)二
例4　解:(1)由題可得,正方形MNPQ的面積為x2,陰影部分的面積為100-x2,所以AM=,且AM>0,則0(2)由(1)可知,S=(225-100)x2++9500=125x2++9500≥2+9500=200×25+9500=14 500,當(dāng)且僅當(dāng)125x2=且0此時花壇的造價為225x2=225×20=4 500(元).
變式　解:(1)如圖①所示,由題可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=5 km,PC⊥CD,由勾股定理可得PD===5(km),因此,此人從海島P到達(dá)B地的時間為+=+=1.5(h).
(2)如圖②所示,AC=3 km,PC=3 km,CE=x km,PC⊥CE,由勾股定理可得PE==(km),
由題可得=,即=,可得====≤=,所以v≤10,當(dāng)且僅當(dāng)x=且0因此,快遞員的速度v的最大值為10 km/h.3.2.2　基本不等式的應(yīng)用
1.[2025·江蘇如皋中學(xué)高一月考] 若x>1,則函數(shù)y=x+的最小值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.4
C.2+1 D.4+1
2.若正實數(shù)a,b滿足a+b=1,則+ 的最小值是 (　 )
A.6 B.8
C.9 D.10
3.用一段長為8 cm的鐵絲圍成一個矩形模型,則這個模型的面積的最大值為 (　 )
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
4.若0A. B.
C.- D.-
5.[2025·廣東河源中學(xué)高一月考] 已知0A.16 B.25
C.27 D.34
6.若實數(shù)x>0,y>0,且x+4y=xy,則x+y的最小值為 (　 )
A.7 B.8
C.9 D.10
7.已知a>0,b>0,且=2,則b+的最小值為　　　　.
8.某公司欲購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器使用的時間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺機(jī)器使用　　　　年時,年平均利潤最大,最大值是　　　　萬元.
9.(13分)某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚,大棚周圍均是寬為1米的小路(示意圖如圖所示),大棚的總占地面積為S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)試用x,y表示S;
(2)若要使S的值最大,則x,y的值各為多少
10.[2024·江蘇無錫江陰高一月考] 若0A.3+2 B.3-2
C.4 D.4
11.設(shè)0A.4 B.2
C.8 D.1
12.(多選題)已知a>0,b>0,且2a+b=4,則 (　 )
A.ab≤1 B.+≥2
C.+≤2 D.+4a≥12
13.[2025·吉林長春實驗中學(xué)高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b+ab=16,則a+b的最小值為　　　　.
14.(15分)[2025·河北唐山一中高一月考] 已知正數(shù)a,b滿足a+2b=ab.
(1)求ab的最小值;
(2)求a+b的最小值;
(3)若a>2,b>1,求+的最小值.
15.[2025·湖南長沙一中高一月考] 設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時,+-的最大值為 (　 )
A.2 B.
C.1 D.
16.(15分)[2025·上海黃浦區(qū)格致中學(xué)高一期中] 一天早晨,同學(xué)們走進(jìn)教室,發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容:
例:求x3-3x,x∈(0,+ )的最小值. 解:因為當(dāng)a,b,c都為正數(shù)時,a+b+c≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,x3+1+1≥3x,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立, 所以x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,取到最小值-2.
(1)請你模仿例題,研究x4-4x,x∈(0,+∞)的最小值;(注:當(dāng)a,b,c,d都為正數(shù)時,a+b+c+d≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時等號成立)
(2)求x3-3x,x∈(0,+∞)的最小值;
(3)當(dāng)a>0時,求x3-ax,x∈(0,+∞)的最小值.

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